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四川省内江市市中区2024年中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024·内江模拟）的相反数是（　　）
A． B．2024 C． D．
2．（2024·内江模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·内江模拟）星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用．“北斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度. 1纳秒秒，那么20纳秒用科学记数法表示应为（　　）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
4．（2024·内江模拟）四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024·内江模拟）如图，已知，，，则的度数为
A． B． C． D．
6．（2024·内江模拟）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·内江模拟）下列说法正确的是（　　）
A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式。
B．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
C．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖
D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为，，则甲的成绩比乙的稳定
8．（2024·内江模拟） 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024·内江模拟）如图，点A，B，C，D在⊙O上，，，则点到的距离是(　　)
A． B． C．3 D．4
10．（2024·内江模拟）如图，点，，以为边作正方形，点E是边上一点，且，则点E的坐标为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024·内江模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，过点E作EF⊥DE交AB于点F，连接BE，DF，若∠ADF=α，则∠BEF的度数是（　　）
A． B． C． D．
12．（2024·内江模拟）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点（-1，0）．下列结论：①；②若点，是抛物线上的两点，则；③；④若，则，其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填在题中横线上）
13．（2024·内江模拟）分解因式：　 　．
14．（2024·内江模拟）请写出一个当时有意义的二次根式　 　．
15．（2024·内江模拟）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22024的个位数字是　 　．
16．（2024·内江模拟）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
17．（2024·内江模拟）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中m满足．
18．（2024·内江模拟）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠ABE＝62°，求∠GFC+∠BCF的值．
19．（2024·内江模拟）我市某中学举行“中国梦·我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题.
（1）参加比赛的学生人数共有　 　名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为　 　度，图中m的值为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率.
20．（2024·内江模拟）如图，在小山的西侧处有一热气球，以25米分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为的方向升空，20分钟后到达处，这时热气球上的人发现，在处的正东方向有一处着火点，在处测得着火点的俯角为，求热气球升空点与着火点的距离．（结果精确到1米，．
21．（2024·内江模拟）如图，已知一次函数的图象与反比例函数第一象限内的图象相交于点，与轴相交于点．
（1）求和的值；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）如图，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，双曲线交于点，连接、，求．
四、填空题（本大题共4个小题．每小题6分，共24分。请将解答结果直接填在题中的横线上）
22．（2024·内江模拟）已知，是方程的两个实数根，则的值为　 　．
23．（2024·内江模拟）取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字：，1，，2，，3，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上.从中任意抽出1张，记卡片上的数字为，则数字使分式方程无解的概率为　 　.
24．（2024·内江模拟）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形A2024B2024 2024D2024的面积是　 　．
25．（2024·内江模拟）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最小值是　 　．
五、解答题（3个小题，共36分）
26．（2024·内江模拟）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
27．（2024·内江模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是⊙O的直径，连接AC，AC平分∠BAD，过点C作CE∥BD交AD的延长线于点E．
（1）求证：为⊙O的切线．
（2）求证：．
（3）若，求线段的长．
28．（2024·内江模拟）如图，抛物线过点B（3，0），C（0，-3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）连接BC，CD，DB，求的正切值；
（3）点关于抛物线对称轴的对称点为E点，连接，直线BE与对称轴交于点M，在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点，是否存在点使△CDB和△BMP相似，若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】的相反数是2024，
故答案为：B.
【分析】利用相反数的定义及计算方法分析求解即可.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数的乘除对选项逐一运算即可求解。
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵1纳秒秒，
∴20纳秒用科学记数法表示应为秒，
故答案为：A.
【分析】 把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式(1≤|a|<10，n为整数)，这种记数法叫做科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图延长AB交b于点F，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】延长AB交b于点F，由平行线性质得到，再利用三角形的外角性质可得，进而得出，最后根据平角的定义即可求出答案。
6．【答案】D
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴得，
∴
故答案为：D.
【分析】观察数轴得到进而可以判断出从而得出结论。
7．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；概率的意义；中位数；方差
【解析】【解答】解： A：调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用抽样调查的方式，故错误；
B：数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，故错误；
C：中奖概率为，不代表抽奖20次就一定有1次中奖，故错误；
D：∵，，故甲的成绩比乙的稳定，正确。
故答案为：D.
【分析】利用调查方式的选择、中位数的定义、概率的意义及方差的意义分别判断后即可确定正确的选项。
8．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，可得：
．
故答案为：A．
【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接AO并延长交BD于点E，连接BO，如图，
由题意得，点A，B，C，D在⊙O上，且，根据圆内接四边形的性质，可得，
，
∵，故为等边三角形，
∴，
∵ ⊙O 是的外接圆，故，，BO平分，
∴，
在中，，
∴，
故点到的距离是 。
故答案为：A。
【分析】此题主要考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，以及锐角三角函数的应用。首先，我们应确定△ABD构成等边三角形。随后，利用圆的性质和三角函数计算点O到BD的距离。
10．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点E作于点H，
∵点，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
故选：A
【分析】
过点E作于点H，先求出，再证明，由相似比可求得，则，即可得到答案．
11．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点E做于M，于N，如图所示；
∵四边形ABCD是矩形，
∴，AB=AD
∴，
∴
∴
∵
∴
在△EMF和△END中，
∴
∴
∴
∵ ∠ADF=α
∴
∴
在△ABE和△ADE中，
∴
∴
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】过点E做于M，于N，根据全等三角形的判定定理结合正方形的性质证得进而得到，根据等腰三角形性质和平角定义即可得出答案。
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵对称轴
∴
∴①错误；
∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离大于点的距离，
∴故②正确；
∵
∴故③正确；
∵ 对称轴为直线，
∴点（0，c）的对称点为（3，c），
∵开口向上，
∴时，则 ，故 ④ 正确；
故答案为：B.
【分析】由对称轴 对称轴为直线，即可判断①；根据点， 到对称轴的距离即可判断②；由得出代入即可判断③；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断④.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】先提取公因式2，再利用平方差公式进行因式分解即可求解.
14．【答案】答案不唯一
【知识点】二次根式的定义；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解： 当时 二次根式有意义，则符合条件的二次根式可以为：
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据二次根式有意义的条件进行解答即可。
15．【答案】6
【知识点】有理数的乘方法则；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现，
∵
∴的个位数字与相同，为6，
故答案为：6.
【分析】根据尾数的循环性得出结论即可。
16．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；弧长的计算；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点，连接交OB于点，连接、
此时最小，即：
由题意得，
∴
的长=
∴阴影部分周长的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与的长度和，分别进行计算即可.
17．【答案】（1）解：
．
（2）解：
∵m满足，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】(1)先计算开方、特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂，在计算乘法，最后计算加减法即可得；
（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出 ，最后代入求出答案即可。
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵，∴，
∵°，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵BE⊥BF，
∴，
又∵，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴的值为．
【知识点】三角形的外角性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）要证AE＝CF ，可将其放入和中，证这两个三角形全等，由正方形性质知，，又由，易知，又BF=BF，从而可证明；
（2）由BE⊥BF，，则，四边形ABCD是正方形，，，则可得出，从而可求出．
19．【答案】（1）20；72；40
（2）解：等级B的人数为（人），
补全统计图，如图所示：
（3）解：根据题意，列出表格，如下：
男 女1 女2
男 　 女1、男 女2、男
女1 男、女1 　 女2、女1
女2 男、女2 女1、女2 　
共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，
所以恰是一男一女的概率为.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：总人数为：（人），
表示“D等级”的扇形的圆心角为；
C等级所占的百分比为，
所以，
故答案为：20，72，40；
【分析】（1）用“A等级”的人数除以所占的比例即可求出本次参加比赛的学生的总人数；用360°× “D等级”的人数所占的百分比即可求出扇形统计图中 “D等级”的扇形的圆心角 度数；用“C等级”的人数除以本次参赛的总人数再×100％即可求出扇形统计图中m的值；
（2）根据各组人数之和等于总人数可求出“B等级”的人数，据此可补全条形统计图；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意列出表格，由表格可知共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，从而根据概率公式即可算出答案.
20．【答案】解：如图，作垂足为，（米，
∵，
，
，
在中，，
（米，
（米，
答：热气球升空点与着火点的距离是707米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】在Rt△ABD中求出AD，再在Rt△ADC中求出AC即可解决问题。
21．【答案】（1）解：把点坐标代入一次函数解析式可得：，，
点在反比例函数图象上，
；
（2）解：
（3）解：过点作垂足为，连接，
一次函数的图象与轴相交于点，
点的坐标为，
，
四边形是菱形，
，，
．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质；锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】（1）我们可以通过将，代入一次函数 可求得n的值，再将得到的点代入反比例函数 求得k的值；
（2）由一次函数的图象与反比例函数相交于 第三象限内，将两函数联立求解，可求得交点坐标，进而得出解集。
（3）由一次函数一次函数的图象与轴相交于点，当 y = 0 时，得到点B的坐标为(2，0)。由题意知四边形ABCD是菱形，因此，由菱形的性质和反比例函数的性质，可以得到，从而求出的面积．
22．【答案】0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵α，β是方程的两个实数根，
∴
∴.
故答案为：0.
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出再将其代入.即可得出答案。
23．【答案】
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
x(x-m)+x-2=x(x-2)
（3-m）x=2
原方程无解时，有三种情形：
情形1，3-m=0，则m=3
情形2，x=2，则（3-m）×2=2，∴m=2
情形3，x=0，则（3-m）×0=2，∴m无解。
综上，当m=3或m=2时，原方程无解。
∴无解的概率是：。
故答案为：
【分析】先把分式方程去分母化为整式方程，再根据原方程无解时的几种情形分别求出相应的m值。再根据m值的个数计算出概率.
24．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；中点四边形模型；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：如图，连接A1C1，D1B1，
∵顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴四边形A1BCC1是矩形，
∴A1C1=BC，，
同理，
∴
∴，
∵顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2，
∴
∴
......
依此可得
∴ 四边形A2024B2024 2024D2024的面积为.
故答案为：.
【分析】连接A1C1，D1B1，可知四边形A1B1C1D1的面积为矩形ABCD面积的一半，则，再根据三角形中位线定理可得则依次可得出规律代入即可求出答案。
25．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，连接PB，
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴，
解得x=4或x=-4，
∴A(-4，0)，B(4，0)，
∴OA=OB，
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ是△ABP的中位线，
∴OQ=，当BP最小时，OQ最小，
设BC与圆较近的交点为D，
∵点，B(4，0)，
∴BC==5，
∵圆的半径为2，
∴BD=5-2=3，
∴OQ==，
根据圆的性质，当P位于BC与圆的第一个交点位置时，取得最小值，
∴OQ=，
故答案为：．
【分析】连接PB，由求出y=0时x值，即得A(-4，0)，B(4，0)，可得OA=OB，即得OQ是△ABP的中位线，可得OQ=，当BP最小时，OQ最小，设BC与圆较近的交点为D，当P与D重合时，BP最小，利用勾股定理求出BC=5，可求BD=BC-CD=3，即得OQ的最小值==.
26．【答案】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得：
，解得：；
经检验：是原方程的解；
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
（2）解：①由题意可得：购买B型机器人的台数为台，
∴；
②由题意得：，解得：，
∵-0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=17时，w有最小值，即为，
答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物(x+10)吨，根据题目中A型和B型机器人搬运相同吨数货物所需台数相同，可以建立分式方程求解x。
（2）① 购买A型机器人m台，B型机器人(30 - m)台，根据两种型号机器人的单价，可以写出总金额W与m的函数关系式。
② 根据每天搬运货物不低于2830吨和购买金额不超过48万元的条件，可以建立不等式组，求解m的取值范围。然后根据W与m的函数关系式，确定总金额最低的采购方案。
27．【答案】（1）证明：如图：连接．
∵平分，
∴，
∴；
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与相切，即为的切线；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
∵四边形为的内接四边形，
∴，∴，
（3）解：在中，
在中，，
∵，
∴，∴，∴．
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，为 ⊙O 直径，由于直径与平行于直径的线段所形成的角为直角，O为 ⊙O 的圆心，所以，OC为半径。由于半径与切线垂直，所以 为⊙O的切线。
（2）根据，同位角相等可得到，根据同弧所对的圆周角相等，所以，可知，因为四边形为的内接四边形，可得，从而求得。
（3）由直径所对的圆周角为直角和角平分线的意义可得出△BCD是等腰直角三角形，在和中，由勾股定理可求出BC、CD的值，再根据，求出DE.
28．【答案】（1）解：将点B、的坐标代入抛物线表达式，
可得，解得，
故抛物线的解析式为；
∵，∴；
（2）解：如下图，连接BC，CD，DB，
∵，
∴，，
，，
，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（3）解：∵点关于抛物线对称轴的对称点为点，的对称轴为，∴，
又∵，可设直线BE的解析式为，将点B、E的坐标代入，
得，解得，
∴直线为，当时，，∴，
由（2）知是直角三角形，，
若和相似，可分两种情况进行解析：
①时，点在轴上，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴和，
∴；
②时，
∵，
∴，
∵和，
∴，
∴，
解得，
∴点的纵坐标为，∴．
综上所述，存在，点的坐标为或．
【知识点】求正切值；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）将点B、的坐标代入抛物线表达式，联立方程组求解即可求出b，c的值，带入即可求得抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）如图，连接BC，CD，DB，已知三点的坐标，根据勾股定理可求得，，，根据，从而得出是直角三角形，，进而求出的正切值；
（3）点关于抛物线对称轴的对称点为点，的对称轴为，从而可求得，将B、E两点代入解析式联立方程求解即可求得；由（2）知是直角三角形，，若和相似，可分两种情况进行解析：
①时，点在轴上，根据，可知，可求得
，根据和相似，求得；
②时，根据条件使△CDB和△BMP相似对应边成比例代入值即可求得点P的坐标。
1 / 1四川省内江市市中区2024年中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024·内江模拟）的相反数是（　　）
A． B．2024 C． D．
【答案】B
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】的相反数是2024，
故答案为：B.
【分析】利用相反数的定义及计算方法分析求解即可.
2．（2024·内江模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数的乘除对选项逐一运算即可求解。
3．（2024·内江模拟）星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用．“北斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度. 1纳秒秒，那么20纳秒用科学记数法表示应为（　　）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵1纳秒秒，
∴20纳秒用科学记数法表示应为秒，
故答案为：A.
【分析】 把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式(1≤|a|<10，n为整数)，这种记数法叫做科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
4．（2024·内江模拟）四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
5．（2024·内江模拟）如图，已知，，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图延长AB交b于点F，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】延长AB交b于点F，由平行线性质得到，再利用三角形的外角性质可得，进而得出，最后根据平角的定义即可求出答案。
6．（2024·内江模拟）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴得，
∴
故答案为：D.
【分析】观察数轴得到进而可以判断出从而得出结论。
7．（2024·内江模拟）下列说法正确的是（　　）
A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式。
B．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
C．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖
D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为，，则甲的成绩比乙的稳定
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；概率的意义；中位数；方差
【解析】【解答】解： A：调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用抽样调查的方式，故错误；
B：数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，故错误；
C：中奖概率为，不代表抽奖20次就一定有1次中奖，故错误；
D：∵，，故甲的成绩比乙的稳定，正确。
故答案为：D.
【分析】利用调查方式的选择、中位数的定义、概率的意义及方差的意义分别判断后即可确定正确的选项。
8．（2024·内江模拟） 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，可得：
．
故答案为：A．
【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，
9．（2024·内江模拟）如图，点A，B，C，D在⊙O上，，，则点到的距离是(　　)
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接AO并延长交BD于点E，连接BO，如图，
由题意得，点A，B，C，D在⊙O上，且，根据圆内接四边形的性质，可得，
，
∵，故为等边三角形，
∴，
∵ ⊙O 是的外接圆，故，，BO平分，
∴，
在中，，
∴，
故点到的距离是 。
故答案为：A。
【分析】此题主要考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，以及锐角三角函数的应用。首先，我们应确定△ABD构成等边三角形。随后，利用圆的性质和三角函数计算点O到BD的距离。
10．（2024·内江模拟）如图，点，，以为边作正方形，点E是边上一点，且，则点E的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点E作于点H，
∵点，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
故选：A
【分析】
过点E作于点H，先求出，再证明，由相似比可求得，则，即可得到答案．
11．（2024·内江模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，过点E作EF⊥DE交AB于点F，连接BE，DF，若∠ADF=α，则∠BEF的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点E做于M，于N，如图所示；
∵四边形ABCD是矩形，
∴，AB=AD
∴，
∴
∴
∵
∴
在△EMF和△END中，
∴
∴
∴
∵ ∠ADF=α
∴
∴
在△ABE和△ADE中，
∴
∴
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】过点E做于M，于N，根据全等三角形的判定定理结合正方形的性质证得进而得到，根据等腰三角形性质和平角定义即可得出答案。
12．（2024·内江模拟）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点（-1，0）．下列结论：①；②若点，是抛物线上的两点，则；③；④若，则，其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵对称轴
∴
∴①错误；
∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离大于点的距离，
∴故②正确；
∵
∴故③正确；
∵ 对称轴为直线，
∴点（0，c）的对称点为（3，c），
∵开口向上，
∴时，则 ，故 ④ 正确；
故答案为：B.
【分析】由对称轴 对称轴为直线，即可判断①；根据点， 到对称轴的距离即可判断②；由得出代入即可判断③；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断④.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填在题中横线上）
13．（2024·内江模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】先提取公因式2，再利用平方差公式进行因式分解即可求解.
14．（2024·内江模拟）请写出一个当时有意义的二次根式　 　．
【答案】答案不唯一
【知识点】二次根式的定义；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解： 当时 二次根式有意义，则符合条件的二次根式可以为：
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据二次根式有意义的条件进行解答即可。
15．（2024·内江模拟）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22024的个位数字是　 　．
【答案】6
【知识点】有理数的乘方法则；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现，
∵
∴的个位数字与相同，为6，
故答案为：6.
【分析】根据尾数的循环性得出结论即可。
16．（2024·内江模拟）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；弧长的计算；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点，连接交OB于点，连接、
此时最小，即：
由题意得，
∴
的长=
∴阴影部分周长的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与的长度和，分别进行计算即可.
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
17．（2024·内江模拟）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中m满足．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
∵m满足，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】(1)先计算开方、特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂，在计算乘法，最后计算加减法即可得；
（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出 ，最后代入求出答案即可。
18．（2024·内江模拟）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠ABE＝62°，求∠GFC+∠BCF的值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵，∴，
∵°，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵BE⊥BF，
∴，
又∵，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴的值为．
【知识点】三角形的外角性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）要证AE＝CF ，可将其放入和中，证这两个三角形全等，由正方形性质知，，又由，易知，又BF=BF，从而可证明；
（2）由BE⊥BF，，则，四边形ABCD是正方形，，，则可得出，从而可求出．
19．（2024·内江模拟）我市某中学举行“中国梦·我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题.
（1）参加比赛的学生人数共有　 　名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为　 　度，图中m的值为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率.
【答案】（1）20；72；40
（2）解：等级B的人数为（人），
补全统计图，如图所示：
（3）解：根据题意，列出表格，如下：
男 女1 女2
男 　 女1、男 女2、男
女1 男、女1 　 女2、女1
女2 男、女2 女1、女2 　
共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，
所以恰是一男一女的概率为.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：总人数为：（人），
表示“D等级”的扇形的圆心角为；
C等级所占的百分比为，
所以，
故答案为：20，72，40；
【分析】（1）用“A等级”的人数除以所占的比例即可求出本次参加比赛的学生的总人数；用360°× “D等级”的人数所占的百分比即可求出扇形统计图中 “D等级”的扇形的圆心角 度数；用“C等级”的人数除以本次参赛的总人数再×100％即可求出扇形统计图中m的值；
（2）根据各组人数之和等于总人数可求出“B等级”的人数，据此可补全条形统计图；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意列出表格，由表格可知共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，从而根据概率公式即可算出答案.
20．（2024·内江模拟）如图，在小山的西侧处有一热气球，以25米分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为的方向升空，20分钟后到达处，这时热气球上的人发现，在处的正东方向有一处着火点，在处测得着火点的俯角为，求热气球升空点与着火点的距离．（结果精确到1米，．
【答案】解：如图，作垂足为，（米，
∵，
，
，
在中，，
（米，
（米，
答：热气球升空点与着火点的距离是707米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】在Rt△ABD中求出AD，再在Rt△ADC中求出AC即可解决问题。
21．（2024·内江模拟）如图，已知一次函数的图象与反比例函数第一象限内的图象相交于点，与轴相交于点．
（1）求和的值；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）如图，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，双曲线交于点，连接、，求．
【答案】（1）解：把点坐标代入一次函数解析式可得：，，
点在反比例函数图象上，
；
（2）解：
（3）解：过点作垂足为，连接，
一次函数的图象与轴相交于点，
点的坐标为，
，
四边形是菱形，
，，
．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质；锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】（1）我们可以通过将，代入一次函数 可求得n的值，再将得到的点代入反比例函数 求得k的值；
（2）由一次函数的图象与反比例函数相交于 第三象限内，将两函数联立求解，可求得交点坐标，进而得出解集。
（3）由一次函数一次函数的图象与轴相交于点，当 y = 0 时，得到点B的坐标为(2，0)。由题意知四边形ABCD是菱形，因此，由菱形的性质和反比例函数的性质，可以得到，从而求出的面积．
四、填空题（本大题共4个小题．每小题6分，共24分。请将解答结果直接填在题中的横线上）
22．（2024·内江模拟）已知，是方程的两个实数根，则的值为　 　．
【答案】0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵α，β是方程的两个实数根，
∴
∴.
故答案为：0.
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出再将其代入.即可得出答案。
23．（2024·内江模拟）取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字：，1，，2，，3，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上.从中任意抽出1张，记卡片上的数字为，则数字使分式方程无解的概率为　 　.
【答案】
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
x(x-m)+x-2=x(x-2)
（3-m）x=2
原方程无解时，有三种情形：
情形1，3-m=0，则m=3
情形2，x=2，则（3-m）×2=2，∴m=2
情形3，x=0，则（3-m）×0=2，∴m无解。
综上，当m=3或m=2时，原方程无解。
∴无解的概率是：。
故答案为：
【分析】先把分式方程去分母化为整式方程，再根据原方程无解时的几种情形分别求出相应的m值。再根据m值的个数计算出概率.
24．（2024·内江模拟）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形A2024B2024 2024D2024的面积是　 　．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；中点四边形模型；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：如图，连接A1C1，D1B1，
∵顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴四边形A1BCC1是矩形，
∴A1C1=BC，，
同理，
∴
∴，
∵顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2，
∴
∴
......
依此可得
∴ 四边形A2024B2024 2024D2024的面积为.
故答案为：.
【分析】连接A1C1，D1B1，可知四边形A1B1C1D1的面积为矩形ABCD面积的一半，则，再根据三角形中位线定理可得则依次可得出规律代入即可求出答案。
25．（2024·内江模拟）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，连接PB，
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴，
解得x=4或x=-4，
∴A(-4，0)，B(4，0)，
∴OA=OB，
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ是△ABP的中位线，
∴OQ=，当BP最小时，OQ最小，
设BC与圆较近的交点为D，
∵点，B(4，0)，
∴BC==5，
∵圆的半径为2，
∴BD=5-2=3，
∴OQ==，
根据圆的性质，当P位于BC与圆的第一个交点位置时，取得最小值，
∴OQ=，
故答案为：．
【分析】连接PB，由求出y=0时x值，即得A(-4，0)，B(4，0)，可得OA=OB，即得OQ是△ABP的中位线，可得OQ=，当BP最小时，OQ最小，设BC与圆较近的交点为D，当P与D重合时，BP最小，利用勾股定理求出BC=5，可求BD=BC-CD=3，即得OQ的最小值==.
五、解答题（3个小题，共36分）
26．（2024·内江模拟）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【答案】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得：
，解得：；
经检验：是原方程的解；
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
（2）解：①由题意可得：购买B型机器人的台数为台，
∴；
②由题意得：，解得：，
∵-0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=17时，w有最小值，即为，
答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物(x+10)吨，根据题目中A型和B型机器人搬运相同吨数货物所需台数相同，可以建立分式方程求解x。
（2）① 购买A型机器人m台，B型机器人(30 - m)台，根据两种型号机器人的单价，可以写出总金额W与m的函数关系式。
② 根据每天搬运货物不低于2830吨和购买金额不超过48万元的条件，可以建立不等式组，求解m的取值范围。然后根据W与m的函数关系式，确定总金额最低的采购方案。
27．（2024·内江模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是⊙O的直径，连接AC，AC平分∠BAD，过点C作CE∥BD交AD的延长线于点E．
（1）求证：为⊙O的切线．
（2）求证：．
（3）若，求线段的长．
【答案】（1）证明：如图：连接．
∵平分，
∴，
∴；
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与相切，即为的切线；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
∵四边形为的内接四边形，
∴，∴，
（3）解：在中，
在中，，
∵，
∴，∴，∴．
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，为 ⊙O 直径，由于直径与平行于直径的线段所形成的角为直角，O为 ⊙O 的圆心，所以，OC为半径。由于半径与切线垂直，所以 为⊙O的切线。
（2）根据，同位角相等可得到，根据同弧所对的圆周角相等，所以，可知，因为四边形为的内接四边形，可得，从而求得。
（3）由直径所对的圆周角为直角和角平分线的意义可得出△BCD是等腰直角三角形，在和中，由勾股定理可求出BC、CD的值，再根据，求出DE.
28．（2024·内江模拟）如图，抛物线过点B（3，0），C（0，-3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）连接BC，CD，DB，求的正切值；
（3）点关于抛物线对称轴的对称点为E点，连接，直线BE与对称轴交于点M，在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点，是否存在点使△CDB和△BMP相似，若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点B、的坐标代入抛物线表达式，
可得，解得，
故抛物线的解析式为；
∵，∴；
（2）解：如下图，连接BC，CD，DB，
∵，
∴，，
，，
，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（3）解：∵点关于抛物线对称轴的对称点为点，的对称轴为，∴，
又∵，可设直线BE的解析式为，将点B、E的坐标代入，
得，解得，
∴直线为，当时，，∴，
由（2）知是直角三角形，，
若和相似，可分两种情况进行解析：
①时，点在轴上，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴和，
∴；
②时，
∵，
∴，
∵和，
∴，
∴，
解得，
∴点的纵坐标为，∴．
综上所述，存在，点的坐标为或．
【知识点】求正切值；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）将点B、的坐标代入抛物线表达式，联立方程组求解即可求出b，c的值，带入即可求得抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）如图，连接BC，CD，DB，已知三点的坐标，根据勾股定理可求得，，，根据，从而得出是直角三角形，，进而求出的正切值；
（3）点关于抛物线对称轴的对称点为点，的对称轴为，从而可求得，将B、E两点代入解析式联立方程求解即可求得；由（2）知是直角三角形，，若和相似，可分两种情况进行解析：
①时，点在轴上，根据，可知，可求得
，根据和相似，求得；
②时，根据条件使△CDB和△BMP相似对应边成比例代入值即可求得点P的坐标。
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