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辽宁省辽阳市第一中学协作体2024-2025学年八年级下学期数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列命题的逆命题是真命题的有（ ）
（1）对顶角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）如果，那么；（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．关于的不等式组，恰好只有两个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．是的平分线 B．
C．点D在的中垂线上 D．
7．如图，等边中，，，若，则等于（ ）

A． B． C．3 D．4
8．如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．某公司组织员工一公园划船，报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘；每只船坐10人，其余的船坐满后有一只船不空也不满，参加划船的员工共有（ ）
A．48人 B．45人 C．44人 D．42人
10．已知如图，等腰，，，于点.点是延长线上一点，点是线段上一点，下面的结论：①；②；③是等边三角形④.其中正确的是（）
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④
二、填空题
11．若分式的值为0，则 ．
12．已知，则代数式的值为 ．
13．如图，直线经过点和点，直线经过点，则不等式组的解集是 ．
14．如图，在中，，，，点P从点C出发沿向点B运动，到达点B时停止，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，得到线段，连接，则的最小值为 ．
15．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，，且点在线段上．若，则的长为 ．
三、解答题
16．（1）把下列多项式因式分解：
①
②
（2）解下列一元一次不等式（组）：
①
②
17．先化简再求值：，并在，0，1，2这四个数中取一个合适的数作为的值代入求值．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（4，0），O（0，0）．
（1）画出将△ABO向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的△A1B1O1；
（2）在（1）中，若△ABC上有一点M（3，1），则其在△A1B1O1中的对应点M1的坐标为　 　；
（3）若将（1）中△A1B1O1看成是△ABO经过一次平移得到的，则这一平移的距离是　 　；
（4）画出△ABO关于点O成中心对称的图形△A2B2O．
19．已知：如图，为斜边上的高，的平分线分别交、于，垂足为点．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
20．某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件．
（1）求A、B两种纪念品的进价分别为多少？
（2）若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出时总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？
21．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式；
再如：求代数式的最小值．
解：；
，
原式，
即当时，原式有最小值．
学以致用：
(1)用配方法分解因式：；（其他方法不得分）
(2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．（用配方法）
(3)已知，请直接写出的最小值．
22．数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证些数学结论．
(1)糖水实验
现有克糖水，其中含有克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为，加入克水，则糖水的浓度为，生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡．由此可以写出一个不等式___________，我们趣称为“糖水不等式”．
(2)糖水实验二：
将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，根据生活经验，请你写出个新的糖水不等式___________．
(3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设、、是三边的长，求证：
23．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，，求的度数．
为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出　 　；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题．
已知，如图②，点P为等边外一点，，，，求长．
（3）能力提升
如图③，在中，，，，点D是上一点，线段绕点D顺时针旋转，点B的对应点为点E，当为直角三角形时，求面积．
《辽宁省辽阳市第一中学协作体2024-2025学年八年级下学期数学试题》参考答案
1．D
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
2．B
A、若，则，正确，不符合题意；
B、若，且时，则或，原说法错误，符合题意；
C、若，则，正确，不符合题意；
D、若，则，正确，不符合题意；
故选：B．
3．D
解：、，不符合因式分解的定义，故选项不符合题意；
、，右边不是积的形式，故选项不符合题意；
、，右边不是积的形式，故选项不符合题意；
、 是因式分解，故选项符合题意．
故选：D
4．A
解：（1）对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题；
（2）全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题；
（3）如果，那么的逆命题是若，则，是假命题；
（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题到这条线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，是真命题；
因此以上命题的逆命题是真命题的有1个；
故选：A．
5．A
解：解得：，
解得：，
故不等式组的解集为：，
关于的不等式组恰好只有两个整数解，
两个整数为：，，
，
解得：．
故选：A．
6．D
解：由题意得：是的平分线，故A正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
过点D作于E，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴点在的中垂线上，故C正确，不符合题意；
∵是的平分线，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故D错误，符合题意；
故选：D．
7．C
解：∵为等边三角形，
∴，
在和中，
∴
∴
∵
∴
∵为的外角，
∴
∴在中，
则
故
即
∴
故选：C．
8．D
解：连接，如图所示：
∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选D．
9．A
设共安排x艘船．
根据题意得，
由①得③，
由②得④，
由③④得，
∴，
∴，
划船人数为48人．
故选：A．
10．A
解：①如图，连接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90° ∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正确；
②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；
③∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，
∴∠APC＋∠DCP＝150°，
∵∠APO＋∠DCO＝30°，
∴∠OPC＋∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180° （∠OPC＋∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形；故③正确；
④如图，在AC上截取AE＝PA ，连接PB，
∵∠PAE＝180° ∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO＋∠OPE＝60°，
∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP；故④正确；
本题正确的结论有：①③④，
故选A.
11．
解：由题可得，且，
解得，
故答案为：．
12．/
解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
13．
解：根据题意得到y=kx+b与y=2x交点为A（-1，-2），
解不等式2x＜kx+b＜0的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分，
又B（-2，0），
此时自变量x的取值范围，是-2＜x＜-1．
即不等式2x＜kx+b＜0的解集为：-2＜x＜-1．
故答案为-2＜x＜-1．
14．/
解：在左侧作等边，连接，
，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
点Q在过点D且与垂直的直线上，
过点B作点Q运动轨迹的垂线，垂足为Q，此时取最小值，
，
，
，
，
，
，
即最小值为，
故答案为：．
15．
解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
同理，
，
……，
．
故答案为：
16．（1）①；②；（2）①；②
解：（1）①
②
（2）①
移项合并同类项得：，
解得∶ ；
②，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
17．
解：原式
；
且，
，
∴当时，原式．
18．（1）见解析；（2）（﹣1，3）；（3）2；（4）见解析.
（1）如图，△A1B1O1即为所求；
（2）∵M（3，1），
∴M1（﹣1，3）．
故答案为（﹣1，3）；
（3）连接BB1，则BB1＝＝2，
故答案为2；
（4）如图，△A2B2O即为所求．
19．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵，的平分线分别交、于，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（1）A，B两种纪念品的进价分别为20元、30元；（2）应进A种纪念品30件，B种纪念品l0件，才能使获得利润最大，最大值是220元．
解：（1）设A种纪念品的进价为x元、B种纪念品的进价为y元．由题意得：
，解得：．
答：A种纪念品的进价为20元、B种纪念品的进价为30元．
（2）设商店准备购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品（40﹣a）件．由题意得：
，
解得：30≤a≤32．
设总利润为w．
总获利w=5a+7（40﹣a）=﹣2a+280．
∵w是a的一次函数，且w随a的增大而减小，
∴当a=30时，w最大，最大值w=﹣2×30+280=220，∴40﹣a=10，
∴当购进A种纪念品30件，B种纪念品10件时，总获利不低于216元，且获得利润最大，最大值是220元．
点睛：利用了总获利=A利润×A件数+B利润×B件数，件数×进价=付款，还用到了解二元一次方程组以及二元一次不等式组的知识．
21．(1)
(2)当时，有最大值13
(3)最小值
（1）解：
（2）解：
，
原式，
即当时，原式有最大值13．
（3）解：
，
，
原式有最小值．
22．(1)
(2)
(3)见解析
（1）解：由题意得，加入m克水，糖水为克，
∴糖水的浓度为；
∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵加入克糖，糖水为克，糖为克，
∴糖水的浓度为，
∴；
故答案为：；
（3）解：，
，
，
，
23．（1）；（2）；（3）4
解：（1）和都是等边三角形，
，，，
，
，
，，
，，
，
，
，
；
（2）如图②，将绕点顺时针旋转60度，得到，连接，，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
（3）当点与点重合时，线段绕点顺时针旋转，
，，
是等边三角形，
，
，，
为直角三角形，
，
，，，
，
如图③，延长至，使，连接，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，，，
又，
，
．

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