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山东省济南市市中区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题
1．（2024七下·市中区期末）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会的项目图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·市中区期末）中国宝钢集团最新生产的“手撕钢”，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅0.015毫米，即0.000015米，7张钢片叠放才相当于一张报纸的厚度．据悉，这是目前全世界最薄的不锈钢，未来有可能用于芯片里的加工材料，所以也叫“芯片钢”．请将数据0.000015用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·市中区期末）下列长度的线段中，与长度为3，5的两条线段能组成三角形的是（　　）
A．2 B．7 C．9 D．11
4．（2024七下·市中区期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·市中区期末）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．太阳从东方升起
B．抛掷1枚质地均匀的硬币10次，有5次正面朝上
C．打开电视机在播放《新闻联播》
D．在只装有2个红球和3个白球的袋子里，摸出一个黑球
6．（2024七下·市中区期末）若二次三项式是完全平方式，则k的值是（　　）
A．6 B． C． D．
7．（2024七下·市中区期末）在数学活动课上，小丽同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·市中区期末）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（　　）
A．13 B．14 C．18 D．24
9．（2024七下·市中区期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（　　）．
A．8 B．12 C．16 D．20
10．（2024七下·市中区期末）一个动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（　　）
①动点H的速度是；②的长度为；③；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024七下·市中区期末）计算： 　 　.
12．（2024七下·市中区期末）如图是一块矩形飞镖游戏板，向游戏板随机投掷飞镖，飞镖扎在阴影区域内的概率为　 　．
13．（2024七下·市中区期末）如果等腰三角形一个内角为，则该等腰三角形顶角的度数为　 　．
14．（2024七下·市中区期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90 ，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB 于点 M 、N，再分别以点M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP 交边BC 于点D，若CD=3，AB=10，则△ABD 的面积是　 　．
15．（2024七下·市中区期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对变量之间关系的创造性应用．小明制作了一个简单的漏刻模型，并研究发现每分钟水位上升的高度相同，水位和时间之间存在如表所示的关系，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当t为时，对应的水位h为　 　．
… 1 2 3 5 …
… 4 …
16．（2024七下·市中区期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，过点B作于点I，延长交于点J，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长交于点J，则．④若J是中点，则．其中正确的结论有　 　（只填写序号）
17．（2024七下·市中区期末）计算：．
18．（2024七下·市中区期末）先化简，再求值：[(2x＋y)2－y(y＋4x)－8xy]÷(2x)，其中x＝2，y＝－1．
19．（2024七下·市中区期末）如图，已知，．求证：．
证明：∵（已知）
∴（________）
∴________（两直线平行，同位角相等．）
又∵（已知）
∴________（________）
∴（________）
∴（________）．
20．（2024七下·市中区期末）一只口袋里放着4个红球、8个黑球，这些球除颜色外形状大小完全相同．
（1）事件“从口袋中随机摸出一个球是绿球”发生的概率是________；
（2）搅匀袋中的球后，取出红球的概率为多少？
（3）如果往原来的袋中放进若干个红球，再取出相同数量的黑球，从中任意摸出一个球，使取出红球的概率达到，求放入多少个红球？
21．（2024七下·市中区期末）如图，的顶点都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）求的面积；
（2）画出，使它与关于直线成轴对称；
（3）在直线上找一点，使周长最小．
22．（2024七下·市中区期末）如图所示，为了提醒同学们用电安全，小安同学为学校设计了一个安全用电的标识贴在学校的所有插座附近，图中的点A、D、C、F在同一条直线上，且，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
23．（2024七下·市中区期末）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米．
（1）为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出） 并计算新路的长度．
（2）为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．
24．（2024七下·市中区期末）大明湖上赛龙舟是泉城济南独有的端午民俗文化盛会.2024年6月16日，第二十三届明湖龙舟邀请赛隆重开幕，来自省内外的十余只参赛队伍展开激烈竞逐．若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程y（米）与划行的时间x（分）（）之间满足的关系如图所示，根据图象信息，回答问题：
（1）甲队划行的速度为________米/分；当时，乙队划行的速度为________米/分；
（2）当________分钟时，甲、乙两队划行途中相遇；
（3）当划行多少分钟时，甲、乙两队划行的路程相差100米？
25．（2024七下·市中区期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个．
（1）用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式_______；
（2）用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系式：________；
根据上面的解题思路与方法，解决下面问题：
（3）直接写出下列问题答案：
①若，，则________；
②若，则________．
（4）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积．
26．（2024七下·市中区期末）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长．
（3）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段、、三者之间的等量关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
B、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
C、是轴对称图形，故该选项是正确的；
D、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
故选：C．
【分析】平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；
B、 ，满足三角形的三边关系定理，能组成三角形，此项符合题意；
C、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；
D、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边的关系：三角形两边之和大于第三边，只要把两条较短的边相加，看其结果是不是大于最长的边，即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，运算错误；
B：，运算错误；
C：，运算错误；
D：，运算正确；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘除法则，幂的乘方，合并同类项法则计算求解即可。
5．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、太阳从东方升起，是必然事件，符合题意；
B、抛掷1枚质地均匀的硬币10次，有5次正面朝上，是随机事件，不符合题意；
C、打开电视机在播放《新闻联播》，是随机事件，不符合题意；
D、在只装有2个红球和3个白球的袋子里，摸出一个黑球，是不可能事件，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用必然事件的定义及特征（必然事件是指在一定的条件下，某些事件在每次试验中必然会发生）逐项分析判断即可.
6．【答案】C
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵，是完全平方式，
∴，
解得．
故选：C．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，三角板与直尺分别交于点、．
，
．
，
．
故选：D．
【分析】
利用平行线的性质先把转移到上，再利用三角形的外角的性质即可．
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，，
∴，
∴的周长，
故答案为：C．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得，，，再利用三角形的周长公式及等量代换求出△ABC的周长即可.
9．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意：，
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴设，
∴
∴FG∶CG=2∶1
∴
∵正方形的面积为
∴
∴，解得
∴阴影部分的面积之和=梯形GQPF的面积
∴阴影部分的面积之和为
=2×8
=16
∴阴影部分的面积之和为16．
故答案为：C．
【分析】先证明，得到，，再设
，，根据正方形的面积和勾股定理可，列出方程：，解得，再根据割补法可得：阴影部分的面积之和为梯形的面积，再利用梯形的面积公式和等量代换即可得出阴影部分的面积.
10．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点H在上时，如图所示，
∴，
∴，
∴三角形面积随着时间增大而逐渐增大，
当点H在上时，如图所示，是的高，且，
∴，此时三角形面积不变，
当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线，
∴，点H从点C到点D运动过程中，逐渐减小，故三角形面积不断减小，
当点H在上时，如图所示，是的高，且，
∴，此时三角形面积不变，
当点H在时，如图所示，
∴，点H从点E向点F运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，
对照图2可得时，点H在上，
，
∴，，
∴动点H的速度是，
故①正确，符合题意；
当时，点H在上，此时三角形面积不变，
∴动点H由点B运动到点C共用时，
∴，
故②错误，不符合题意；
当，点H在上，，
∴动点H由点D运动到点E共用时，
∴，
故③错误，不符合题意；
当的面积是时，点H在上或上，
点H在上时，，
解得，
点H在上时，
，
解得，
∴，
∴从点C运动到点H共用时，
由点A到点C共用时，
∴此时共用时，
故④正确，符合题意；
综合上所述：正确的有2个，
故答案为：B．
【分析】根据点H的运动轨迹，再利用三角形的面积公式列出函数解析式，再结合函数图象中的数据逐项分析判断即可.
11．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（x+1）（x-1）=x2-1．
故答案为 .
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】矩形的性质；几何概率
【解析】【解答】解：观察发现：由矩形的中心对称性得图中阴影部分面积，
∴针头扎在阴影区域内的概率为；
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的图形的面积，再求出总面积，最后利用概率公式求解即可.
13．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）若等腰三角形一个底角为，顶角为；
（2）等腰三角形的顶角为．
因此这个等腰三角形的顶角的度数为或．
故答案为：或．
【分析】分类讨论：（1）若等腰三角形一个底角为；（2）等腰三角形的顶角为，再求解即可.
14．【答案】15
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H．
∵AP平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH＝3，
∴S△ABD＝AB×DH=×10×3＝15，
故答案为：15．
【分析】过点D作DH⊥AB于H，根据角平分线性质可得DC＝DH＝3，再根据三角形面积即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：由表格可得：当时，当时，当时，时间每增加一分钟，水位就上升，由此可知错误的数据为当时，，
设水位与时间的函数解析式为，
把和代入，
可得：，
解得：，
∴水位与时间的函数解析式为，
∴当时，则有，
故答案为：．
【分析】设水位与时间的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，再将代入计算即可.
16．【答案】①②③④
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，
∴，，
∵
∴
∴
∴，故①正确；
如图所示，过点F作交延长线于点O，
∵
∴
又∵，
∴
∴
∵
∵，
∴，
同理可得：，
∴，故②正确；
如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作
∵，
∴
又∵，
∴
∴
同理可证，
∴
∴
∵，
∴
∴，故③正确；
延长交于，过作于，过作于，
∵为中点；
同理可得：，
∴，，
∴，而，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，而，
∴；故④正确．
故答案为：①②③④．
【分析】先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，从而可判断①是否正确；过点F作交延长线于点O，先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式可得，从而可判断②是否正确； 过点A作交的延长线于点P，过点C作， 再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再结合，利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，从而可判断③是否正确； 延长交于，过作于，过作于， 先证出，可得，再证出，从而可判断④是否正确，从而得解.
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】先利用有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂和绝对值的性质化简，再计算即可.
18．【答案】解：原式＝(4x2＋4xy＋y2－y2－4xy－8xy)÷(2x)
＝(4x2－8xy)÷(2x)
＝2x－4y
当x＝2，y＝－1时，
原式＝2×2－4×(－1)＝4＋4＝8．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据合并同类项法则化简括号内，再根据多项式除以单项式化简，再将x，y值代入即可求出答案.
19．【答案】证明：∵（已知）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴．（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理步骤分析求解即可.
20．【答案】（1）0
（2）解：一只口袋里放着4个红球、8个黑球，
搅匀袋中的球后，从口袋中随机摸出一个球共有12种等可能结果，其中取出红球包含4种情况，则取出红球的概率为.
（3）解：设放入红球个，
由题意得，
解得，
答：放入红球有2个．
【知识点】事件的分类；可能性的大小；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：一只口袋里放着4个红球、8个黑球，没有绿球，
事件“从口袋中随机摸出一个球是绿球”发生的概率是0，
故答案为：0.
【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（3）设放入红球个，根据“ 取出红球的概率达到 ”列出方程，再求解即可.
21．【答案】（1）解：根据题意可得的面积.
（2）解：如图，由网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点，
∴即为所求.
（3）解：如上图，连接交于，利用，得到，
则根据两点之间线段最短可判断此时点满足条件；
∴点即为所求．
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可；
（2）先利用对称的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）连接交于，从而得解.
22．【答案】（1）证明：∵，
∴即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用线段的和差及等量代换可得，利用平行线的性质可得，再利用“SAS”证出即可；
（2）利用全等三角形的性质可得，再结合，利用角的运算求出∠E的度数即可.
23．【答案】（1）解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示：
∵，，，
∴，，
∴在中，，
由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴新路长度是80米．
（2）解：该车没有超速．
理由：在中，，
由勾股定理得，
∴，，
∴，
∴，
该车经过区间用时，
∴该车的速度为，
∵．
∴该车没有超速．
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；勾股定理的实际应用-（信号塔、加油站）位置问题；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）超速问题
【解析】【分析】（1）过点A作，交l于点D，则即为所求，先求出，利用勾股定理可得，再将数据代入求出即可；
（2）先利用勾股定理及线段的和差求出，再利用“速速=路程÷时间”求出速度，最后比较大小即可.
24．【答案】（1）200；100
（2）4
（3）解：根据甲、乙的函数图象可知，
当，乙比甲快，在时，两者划行的路程相差最大为，
在存在一个时刻，两者划行的路程相差100米，设时间为，
则，
解得，符合题意；
当，由于在时，两者划行的路程相差为200米，甲、乙相遇后，甲超过乙，并在时，两者划行的路程相差为，
在存在两个时刻，两者划行的路程相差100米，设时间为，
则或
解得或，符合题意；
综上所述，即当，3或5分钟时，甲、乙两队划行的路程相差100米．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：由图象可知，甲队划行的速度为：（米分）；
当时，乙队划行的速度为：（米分）；
故答案为：200；100.
（2）解：设时间为时，甲、乙两队划行的路程相等，
由图象可知，在2分钟后，即划行600米后，甲、乙两队的图象相交，此时对应路程相等，
，
解得，
即分钟时，甲、乙两队划行的路程相等；
故答案为：4.
【分析】（1）根据函数图象中的数据并利用“速度、时间和路程”的关系分析求解即可；（2）设时间为时，甲、乙两队划行的路程相等，列出方程，再求解即可；
（3）分类讨论：①当，乙比甲快，② 当， 再分别列出方程求解即可.
25．【答案】（1）
（2）
（3）①；②13
（4）解：由题意得，
，
，
，
，
，
，
∴．
即图中阴影部分的面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积为(a+b)2，
方法2：大正方形的面积为a2+b2+2ab，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，，
而，
∴，
故答案为：；
（3）①，，
∴
；
故答案为：；
②∵，
，
故答案为：13；
【分析】（1）图1由两个长与宽分别为a、b的小长方形与边长分别为a及b的两个小正方形构成一个大的正方形，则大正方形边长为(a+b)，根据正方形及长方形面积计算公式，利用边长为(a+b)正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a，b的正方形的面积列式即可；
（2）图2由四个长与宽分别为a、b的小长方形与边长为(a-b)的小正方形构成一个大的正方形，则大正方形边长为(a+b)，根据正方形及长方形面积计算公式，利用边长为(a+b)正方形的面积等于四个长方形的面积加边长为(a-b)的正方形的面积列式即可；
（3）①利用，整体代入计算后再开平方即可；
②利用整体代入求值即可；
（4）由正方形面积公式得，，由长方形面积公式及正方形四边相等得，进而利用代入求值即可．
26．【答案】解：（1）SAS；；
（2）延长到M，使，连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵是中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
（3）等量关系为：．
理由如下：延长到点G，使，连接，，如图所示：
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴中，由勾股定理得：，
∴．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）由已知和作图得到，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；．
【分析】（1）先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，最后利用三角形三边的关系分析求解即可；
（2）延长到M，使，连接，先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，最后利用等角对等边的性质可得；
（3）延长到点G，使，连接，，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，， 再利用角的运算可得，最后利用勾股定理及等量代换可得.
1 / 1山东省济南市市中区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题
1．（2024七下·市中区期末）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会的项目图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
B、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
C、是轴对称图形，故该选项是正确的；
D、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
故选：C．
【分析】平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形.
2．（2024七下·市中区期末）中国宝钢集团最新生产的“手撕钢”，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅0.015毫米，即0.000015米，7张钢片叠放才相当于一张报纸的厚度．据悉，这是目前全世界最薄的不锈钢，未来有可能用于芯片里的加工材料，所以也叫“芯片钢”．请将数据0.000015用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．（2024七下·市中区期末）下列长度的线段中，与长度为3，5的两条线段能组成三角形的是（　　）
A．2 B．7 C．9 D．11
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；
B、 ，满足三角形的三边关系定理，能组成三角形，此项符合题意；
C、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；
D、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边的关系：三角形两边之和大于第三边，只要把两条较短的边相加，看其结果是不是大于最长的边，即可得出答案.
4．（2024七下·市中区期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，运算错误；
B：，运算错误；
C：，运算错误；
D：，运算正确；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘除法则，幂的乘方，合并同类项法则计算求解即可。
5．（2024七下·市中区期末）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．太阳从东方升起
B．抛掷1枚质地均匀的硬币10次，有5次正面朝上
C．打开电视机在播放《新闻联播》
D．在只装有2个红球和3个白球的袋子里，摸出一个黑球
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、太阳从东方升起，是必然事件，符合题意；
B、抛掷1枚质地均匀的硬币10次，有5次正面朝上，是随机事件，不符合题意；
C、打开电视机在播放《新闻联播》，是随机事件，不符合题意；
D、在只装有2个红球和3个白球的袋子里，摸出一个黑球，是不可能事件，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用必然事件的定义及特征（必然事件是指在一定的条件下，某些事件在每次试验中必然会发生）逐项分析判断即可.
6．（2024七下·市中区期末）若二次三项式是完全平方式，则k的值是（　　）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵，是完全平方式，
∴，
解得．
故选：C．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
7．（2024七下·市中区期末）在数学活动课上，小丽同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，三角板与直尺分别交于点、．
，
．
，
．
故选：D．
【分析】
利用平行线的性质先把转移到上，再利用三角形的外角的性质即可．
8．（2024七下·市中区期末）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（　　）
A．13 B．14 C．18 D．24
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，，
∴，
∴的周长，
故答案为：C．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得，，，再利用三角形的周长公式及等量代换求出△ABC的周长即可.
9．（2024七下·市中区期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（　　）．
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意：，
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴设，
∴
∴FG∶CG=2∶1
∴
∵正方形的面积为
∴
∴，解得
∴阴影部分的面积之和=梯形GQPF的面积
∴阴影部分的面积之和为
=2×8
=16
∴阴影部分的面积之和为16．
故答案为：C．
【分析】先证明，得到，，再设
，，根据正方形的面积和勾股定理可，列出方程：，解得，再根据割补法可得：阴影部分的面积之和为梯形的面积，再利用梯形的面积公式和等量代换即可得出阴影部分的面积.
10．（2024七下·市中区期末）一个动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（　　）
①动点H的速度是；②的长度为；③；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点H在上时，如图所示，
∴，
∴，
∴三角形面积随着时间增大而逐渐增大，
当点H在上时，如图所示，是的高，且，
∴，此时三角形面积不变，
当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线，
∴，点H从点C到点D运动过程中，逐渐减小，故三角形面积不断减小，
当点H在上时，如图所示，是的高，且，
∴，此时三角形面积不变，
当点H在时，如图所示，
∴，点H从点E向点F运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，
对照图2可得时，点H在上，
，
∴，，
∴动点H的速度是，
故①正确，符合题意；
当时，点H在上，此时三角形面积不变，
∴动点H由点B运动到点C共用时，
∴，
故②错误，不符合题意；
当，点H在上，，
∴动点H由点D运动到点E共用时，
∴，
故③错误，不符合题意；
当的面积是时，点H在上或上，
点H在上时，，
解得，
点H在上时，
，
解得，
∴，
∴从点C运动到点H共用时，
由点A到点C共用时，
∴此时共用时，
故④正确，符合题意；
综合上所述：正确的有2个，
故答案为：B．
【分析】根据点H的运动轨迹，再利用三角形的面积公式列出函数解析式，再结合函数图象中的数据逐项分析判断即可.
11．（2024七下·市中区期末）计算： 　 　.
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（x+1）（x-1）=x2-1．
故答案为 .
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
12．（2024七下·市中区期末）如图是一块矩形飞镖游戏板，向游戏板随机投掷飞镖，飞镖扎在阴影区域内的概率为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；几何概率
【解析】【解答】解：观察发现：由矩形的中心对称性得图中阴影部分面积，
∴针头扎在阴影区域内的概率为；
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的图形的面积，再求出总面积，最后利用概率公式求解即可.
13．（2024七下·市中区期末）如果等腰三角形一个内角为，则该等腰三角形顶角的度数为　 　．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）若等腰三角形一个底角为，顶角为；
（2）等腰三角形的顶角为．
因此这个等腰三角形的顶角的度数为或．
故答案为：或．
【分析】分类讨论：（1）若等腰三角形一个底角为；（2）等腰三角形的顶角为，再求解即可.
14．（2024七下·市中区期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90 ，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB 于点 M 、N，再分别以点M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP 交边BC 于点D，若CD=3，AB=10，则△ABD 的面积是　 　．
【答案】15
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H．
∵AP平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH＝3，
∴S△ABD＝AB×DH=×10×3＝15，
故答案为：15．
【分析】过点D作DH⊥AB于H，根据角平分线性质可得DC＝DH＝3，再根据三角形面积即可求出答案.
15．（2024七下·市中区期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对变量之间关系的创造性应用．小明制作了一个简单的漏刻模型，并研究发现每分钟水位上升的高度相同，水位和时间之间存在如表所示的关系，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当t为时，对应的水位h为　 　．
… 1 2 3 5 …
… 4 …
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：由表格可得：当时，当时，当时，时间每增加一分钟，水位就上升，由此可知错误的数据为当时，，
设水位与时间的函数解析式为，
把和代入，
可得：，
解得：，
∴水位与时间的函数解析式为，
∴当时，则有，
故答案为：．
【分析】设水位与时间的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，再将代入计算即可.
16．（2024七下·市中区期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，过点B作于点I，延长交于点J，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长交于点J，则．④若J是中点，则．其中正确的结论有　 　（只填写序号）
【答案】①②③④
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，
∴，，
∵
∴
∴
∴，故①正确；
如图所示，过点F作交延长线于点O，
∵
∴
又∵，
∴
∴
∵
∵，
∴，
同理可得：，
∴，故②正确；
如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作
∵，
∴
又∵，
∴
∴
同理可证，
∴
∴
∵，
∴
∴，故③正确；
延长交于，过作于，过作于，
∵为中点；
同理可得：，
∴，，
∴，而，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，而，
∴；故④正确．
故答案为：①②③④．
【分析】先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，从而可判断①是否正确；过点F作交延长线于点O，先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式可得，从而可判断②是否正确； 过点A作交的延长线于点P，过点C作， 再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再结合，利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，从而可判断③是否正确； 延长交于，过作于，过作于， 先证出，可得，再证出，从而可判断④是否正确，从而得解.
17．（2024七下·市中区期末）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】先利用有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂和绝对值的性质化简，再计算即可.
18．（2024七下·市中区期末）先化简，再求值：[(2x＋y)2－y(y＋4x)－8xy]÷(2x)，其中x＝2，y＝－1．
【答案】解：原式＝(4x2＋4xy＋y2－y2－4xy－8xy)÷(2x)
＝(4x2－8xy)÷(2x)
＝2x－4y
当x＝2，y＝－1时，
原式＝2×2－4×(－1)＝4＋4＝8．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据合并同类项法则化简括号内，再根据多项式除以单项式化简，再将x，y值代入即可求出答案.
19．（2024七下·市中区期末）如图，已知，．求证：．
证明：∵（已知）
∴（________）
∴________（两直线平行，同位角相等．）
又∵（已知）
∴________（________）
∴（________）
∴（________）．
【答案】证明：∵（已知）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴．（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理步骤分析求解即可.
20．（2024七下·市中区期末）一只口袋里放着4个红球、8个黑球，这些球除颜色外形状大小完全相同．
（1）事件“从口袋中随机摸出一个球是绿球”发生的概率是________；
（2）搅匀袋中的球后，取出红球的概率为多少？
（3）如果往原来的袋中放进若干个红球，再取出相同数量的黑球，从中任意摸出一个球，使取出红球的概率达到，求放入多少个红球？
【答案】（1）0
（2）解：一只口袋里放着4个红球、8个黑球，
搅匀袋中的球后，从口袋中随机摸出一个球共有12种等可能结果，其中取出红球包含4种情况，则取出红球的概率为.
（3）解：设放入红球个，
由题意得，
解得，
答：放入红球有2个．
【知识点】事件的分类；可能性的大小；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：一只口袋里放着4个红球、8个黑球，没有绿球，
事件“从口袋中随机摸出一个球是绿球”发生的概率是0，
故答案为：0.
【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（3）设放入红球个，根据“ 取出红球的概率达到 ”列出方程，再求解即可.
21．（2024七下·市中区期末）如图，的顶点都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）求的面积；
（2）画出，使它与关于直线成轴对称；
（3）在直线上找一点，使周长最小．
【答案】（1）解：根据题意可得的面积.
（2）解：如图，由网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点，
∴即为所求.
（3）解：如上图，连接交于，利用，得到，
则根据两点之间线段最短可判断此时点满足条件；
∴点即为所求．
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可；
（2）先利用对称的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）连接交于，从而得解.
22．（2024七下·市中区期末）如图所示，为了提醒同学们用电安全，小安同学为学校设计了一个安全用电的标识贴在学校的所有插座附近，图中的点A、D、C、F在同一条直线上，且，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用线段的和差及等量代换可得，利用平行线的性质可得，再利用“SAS”证出即可；
（2）利用全等三角形的性质可得，再结合，利用角的运算求出∠E的度数即可.
23．（2024七下·市中区期末）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米．
（1）为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出） 并计算新路的长度．
（2）为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．
【答案】（1）解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示：
∵，，，
∴，，
∴在中，，
由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴新路长度是80米．
（2）解：该车没有超速．
理由：在中，，
由勾股定理得，
∴，，
∴，
∴，
该车经过区间用时，
∴该车的速度为，
∵．
∴该车没有超速．
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；勾股定理的实际应用-（信号塔、加油站）位置问题；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）超速问题
【解析】【分析】（1）过点A作，交l于点D，则即为所求，先求出，利用勾股定理可得，再将数据代入求出即可；
（2）先利用勾股定理及线段的和差求出，再利用“速速=路程÷时间”求出速度，最后比较大小即可.
24．（2024七下·市中区期末）大明湖上赛龙舟是泉城济南独有的端午民俗文化盛会.2024年6月16日，第二十三届明湖龙舟邀请赛隆重开幕，来自省内外的十余只参赛队伍展开激烈竞逐．若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程y（米）与划行的时间x（分）（）之间满足的关系如图所示，根据图象信息，回答问题：
（1）甲队划行的速度为________米/分；当时，乙队划行的速度为________米/分；
（2）当________分钟时，甲、乙两队划行途中相遇；
（3）当划行多少分钟时，甲、乙两队划行的路程相差100米？
【答案】（1）200；100
（2）4
（3）解：根据甲、乙的函数图象可知，
当，乙比甲快，在时，两者划行的路程相差最大为，
在存在一个时刻，两者划行的路程相差100米，设时间为，
则，
解得，符合题意；
当，由于在时，两者划行的路程相差为200米，甲、乙相遇后，甲超过乙，并在时，两者划行的路程相差为，
在存在两个时刻，两者划行的路程相差100米，设时间为，
则或
解得或，符合题意；
综上所述，即当，3或5分钟时，甲、乙两队划行的路程相差100米．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：由图象可知，甲队划行的速度为：（米分）；
当时，乙队划行的速度为：（米分）；
故答案为：200；100.
（2）解：设时间为时，甲、乙两队划行的路程相等，
由图象可知，在2分钟后，即划行600米后，甲、乙两队的图象相交，此时对应路程相等，
，
解得，
即分钟时，甲、乙两队划行的路程相等；
故答案为：4.
【分析】（1）根据函数图象中的数据并利用“速度、时间和路程”的关系分析求解即可；（2）设时间为时，甲、乙两队划行的路程相等，列出方程，再求解即可；
（3）分类讨论：①当，乙比甲快，② 当， 再分别列出方程求解即可.
25．（2024七下·市中区期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个．
（1）用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式_______；
（2）用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系式：________；
根据上面的解题思路与方法，解决下面问题：
（3）直接写出下列问题答案：
①若，，则________；
②若，则________．
（4）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）①；②13
（4）解：由题意得，
，
，
，
，
，
，
∴．
即图中阴影部分的面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积为(a+b)2，
方法2：大正方形的面积为a2+b2+2ab，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，，
而，
∴，
故答案为：；
（3）①，，
∴
；
故答案为：；
②∵，
，
故答案为：13；
【分析】（1）图1由两个长与宽分别为a、b的小长方形与边长分别为a及b的两个小正方形构成一个大的正方形，则大正方形边长为(a+b)，根据正方形及长方形面积计算公式，利用边长为(a+b)正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a，b的正方形的面积列式即可；
（2）图2由四个长与宽分别为a、b的小长方形与边长为(a-b)的小正方形构成一个大的正方形，则大正方形边长为(a+b)，根据正方形及长方形面积计算公式，利用边长为(a+b)正方形的面积等于四个长方形的面积加边长为(a-b)的正方形的面积列式即可；
（3）①利用，整体代入计算后再开平方即可；
②利用整体代入求值即可；
（4）由正方形面积公式得，，由长方形面积公式及正方形四边相等得，进而利用代入求值即可．
26．（2024七下·市中区期末）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长．
（3）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段、、三者之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】解：（1）SAS；；
（2）延长到M，使，连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵是中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
（3）等量关系为：．
理由如下：延长到点G，使，连接，，如图所示：
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴中，由勾股定理得：，
∴．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）由已知和作图得到，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；．
【分析】（1）先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，最后利用三角形三边的关系分析求解即可；
（2）延长到M，使，连接，先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，最后利用等角对等边的性质可得；
（3）延长到点G，使，连接，，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，， 再利用角的运算可得，最后利用勾股定理及等量代换可得.
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