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湖南省邵东市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·邵东期末）在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，如图，四个图标分别是中国人民大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·邵东期末）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·邵东期末）已知，，则的值为（　　）．
A．9 B．16 C．19 D．25
4．（2024七下·邵东期末）已知 ，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七下·邵东期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：学、我、爱、数、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）．
A．我爱美 B．数学游 C．我爱数学 D．美我数学
6．（2024七下·邵东期末）如图，点E在的延长线上，下列条件中，能判定的条件有（　　）
①，②，③，④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024七下·邵东期末）某校按照《山西省教育厅关于组织开展2024年全省教育系统“爱眼护眼从我做起”主题系列活动的通知》积极开展了校园板报评比活动，宣传有益的经验做法，营造健康、积极的用眼护眼氛围．七年级（1）班8个小组在此次评比中的得分（单位：分）分别为，，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．分，分 B．分，分
C．分，分 D．分，分
8．（2024七下·邵东期末）玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件一个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具， 怎样安排生产才能在60 天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件x天 乙种玩具零件y天，则有( )
A． B．
C． D．
9．（2024七下·邵东期末）如图，在点A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边，沿的路径走才能使所走的路程最少，其依据是（　　）
A．经过一点有无数条直线 B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线
10．（2024七下·邵东期末）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024七下·邵东期末）计算的结果是　 　．
12．（2024七下·邵东期末）因式分解： 　 　.
13．（2024七下·邵东期末）若多项式是完全平方式，则k的值是　 　．
14．（2024七下·邵东期末） 已知方程组的解满足，则　 　．
15．（2024七下·邵东期末）已知AB、CD、EF是同一平面内三条互相平行的直线，且AB与CD的距离是8cm，CD与EF的距离是2cm，则AB与EF的距离是　 　cm．
16．（2024七下·邵东期末）如图，两条直线相交成四个角，已知∠2＝3∠1，那么∠4＝　 　°.
17．（2024七下·邵东期末）如图，将三角形沿方向平移得到三角形，连接，若三角形的周长是，则四边形的周长是　 　．
18．（2024七下·邵东期末）已知，，，……，若符合前面式子的规律，则　 　．
19．（2024七下·邵东期末）解方程组：
（1）
（2）
20．（2024七下·邵东期末）因式分解
（1）3x-12x3；
（2）
21．（2024七下·邵东期末）先化简，再求值：
，其中
22．（2024七下·邵东期末）推理填空：如图，已知，，可推得．理由如下：
∵（已知），且（ 　　）
∴（等量代换）
∴（ 　　）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知），
∴（ 　　）
∴（ 　　）
23．（2024七下·邵东期末）如图，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，如果，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若是的平分线，，求的度数．
24．（2024七下·邵东期末）某班50名同学进行科普知识竞赛，根据50名同学的成绩绘成如图所示的统计图．
（1）求这50名同学的平均成绩；
（2）甲同学在竞赛前练习的5次成绩分别为：60，60，90，70，70（单位：分），求这5个数据的方差．
25．（2024七下·邵东期末）北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进、两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计105元．
（1）求，两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
（2）若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．
26．（2024七下·邵东期末）如图，有一副三角板，和，，，，，在同一直线上．
（1）如图1，与点重合．将绕点按顺时针方向进行旋转，当与首次平行，求此时的度数；
（2）如图2，若点在边上（不与、重合），再将绕点按顺时针方向进行旋转（如图3），边交边于，当时，求边旋转的度数；
（3）将从图2初始位置开始，绕点顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当第一次与直线平行时停止运动．设运动时间为秒，当线段与的一条边平行，求满足条件的的值（请直接写出结果）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
B选项图形是轴对称图形，符合题意；
C选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
D选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【分析】在平面内一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形.
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选；A．
【分析】根据同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴.
故选C.
【分析】根据完全平方公式化简计算即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-其他方法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：，，，，
∴．
故选：B．
【分析】根据幂的乘方的逆运算可得，，，，再比较大小即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，
又∵分别对应下列四个个字：学、我、爱、数，
∴结果呈现的密码信息是：我爱数学．
故选：C．
【分析】提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵，∴，故本选项符合题意；
②∵，∴，故本选项不符合题意；
③∵，∴，故本选项符合题意；
④∵，∴，故本选项符合题意．
综上所述，能判定的条件有①③④，有3个．
故选：C．
【分析】根据平行线的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据从小到大排序为：，，，，，，，，
其中91出现了4次，出现次数最多，所以这组数据的众数为91；
这组数据最中间2个数为，，所以这组数据的中位数是．
故选：B．
【分析】根据众数，中位数的定义即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【分析】根据每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，则x天能够生产24x个甲种零件，y天能够生产12y个乙种零件．
此题中的等量关系有：
①总天数是60天；
②根据甲种玩具零件一个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，则乙种零件应是甲种零件的2倍，可列方程为2×24x=12y．
【解答】根据总天数是60天，可得x+y=60；根据乙种零件应是甲种零件的2倍，可列方程为2×24x=12y．
则可列方程组为．
故选C．
【点评】此题的难点在于列第二个方程，注意甲种玩具零件一个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，说明生产的乙种零件是甲种零件的2倍，要列方程，则应让少的2倍，方可列出方程．
9．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意得：依据是：垂线段最短；
故选：B．
【分析】本题考查了垂线段的性质，直线外一点与垂足形成的线段叫做垂线段，且垂直线段最短，结合图形，据此作答，即可得到答案.
10．【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：延长FG，交CH于I．
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
∴①错误；②正确，
∵平分，
，
，
，
可见，的值未必为，未必为，只是和为而已
∴③，④不一定正确．
故答案为：A．
【分析】延长FG，交CH于I，由二直线平行，内错角相等，得， 由二直线平行，同位角相等，得， 由角平分线的定义及已知可推出，进而根据直角三角形的量锐角互余求出∠ EHC=∠D=30°，从而即可判断①②；由平角的定义可推出， ∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只是和为90°，据此可判断③④.
11．【答案】
【知识点】同底数幂乘法的逆用；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
，
；
故答案为：．
【分析】根据负数的偶次方为将转化为，再根据同底数幂乘法的逆运算化简计算即可求出答案.
12．【答案】3（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： .
【分析】先提取公因式3，再根据平方差公式分解因式.
13．【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式即可即可求出答案.
14．【答案】7
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，①+②得3（x+y）=k+2.
又因为 ，所以3（x+y）=9=k+2，解得k=7.
故答案为：7.
【分析】由①+②，得3（x+y）=k+2，再将x+y=3代入，即可求解．
15．【答案】10或6
【知识点】平行线之间的距离；分类讨论
【解析】【解答】解：如图所示：

∵AB与CD的距离是8cm，CD与EF的距离是2cm，
∴AB与EF的距离是：8+2=10（cm）或8-2=6（cm）．
故答案为10或6．
【分析】分情况讨论，CD分别在AB两侧，EF分别在CD两侧，根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】135
【知识点】对顶角及其性质；补角
【解析】【解答】解：∵∠2=3∠1，∠1+∠2=180°，
∴∠2=135°，
则∠4=∠2=135°.
【分析】根据补角可得∠2=135°，再根据对顶角相等即可求出答案.
17．【答案】20
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将沿方向平移得到，
∴，
∵三角形的周长为，
∴，
∴四边形的周长为：．
故答案为：20．
【分析】本题考查平移的基本性质，其中平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，根据平移的性质，得到，结合四边形的周长等于的周长与的和，代入数据计算，即可得解．
18．【答案】419
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：，，，，
，
，
，，
，
故答案为：419．
【分析】观察可得，等式的前面为加法算式，前面加数与后面加数的分母为算式的序数加1，分母为分子的平方减1，总结规律即可求出答案.
19．【答案】（1）解：
得：
将代入②得
，
解得：
∴原方程组的解为；
（2）解：
原方程组整理得：
把得：
，
解得：，
将代入③得：
，
解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
（2）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
（1）解：
得：
将代入②得
，
解得：
∴原方程组的解为；
（2）原方程组整理得：
把得：
，
解得：，
将代入③得：
，
解得：，
∴原方程组的解为．
20．【答案】（1）解：3x-12x3
=3x（1-4x2）
=3x（1-2x）（1+2x）；
（2）解：a2-2ab+b2-1
=（a-b）2-1
=（a-b+1）（a-b-1）．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（2）根据完全平方公式及平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（1）解：3x-12x3
=3x（1-4x2）
=3x（1-2x）（1+2x）；
（2）解：a2-2ab+b2-1
=（a-b）2-1
=（a-b+1）（a-b-1）．
21．【答案】解：原式＝4x2 9 4x2＋4x＋x2 4x＋4
＝x2 5，
当 时，
原式＝（ ）2 5
＝3 5
＝ 2．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据多项式的混合运算顺序和运算法则将原多项式化简，然后将x的值代入求值即可。
22．【答案】解：∵（已知），且（对顶角相等）
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知），
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
23．【答案】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；补角
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，则，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得，再根据角平分线定义可得，再根据补角可得，再根据直线平行性质可得，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
；
（2），，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
．
24．【答案】（1）解：根据题意得：
这50名同学的平均成绩为：（分）；
（2）解：根据题意得：这5个数据的平均数为：，
这5个数据的方差为：．
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）根据平均数的定义即可求出答案.
（2）根据方差的定义即可求出答案.
（1）解：根据题意得：
这50名同学的平均成绩为：（分）；
（2）解：根据题意得：这5个数据的平均数为：，
这5个数据的方差为：．
25．【答案】（1）解：设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，
根据题意，得，
解得，
答：A种飞船模型每件进价25元，B种飞船模型每件进价15元；
（2）解：设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据题意，得，
∴，
∵a，b均为正整数，
∴当时，；当时，；当时，，
∴所有购买方案如下：
①购进7件A型飞船模型和5件B型飞船模型；
②购进4件A型飞船模型和10件B型飞船模型；
③购进1件A型飞船模型和15件B型飞船模型．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据“2种A型飞船模型和3种B型飞船模型的进价共计95元；3种A飞船模型和2种B型飞船模型的进价共计105元”，列出关于x、y的一元二次方程组，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据总价=单价×数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数，求得a，b的值，进而得出购买方案．
26．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴；

（2）如图，过点F作，
则，
∵，
∴，
∴，
同理：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴边旋转了．
（3）3或或12．
【知识点】角的运算；平行线的性质；旋转的性质；分类讨论
【解析】【解答】（3）如图：当时，
∵，
∴，
如图：当时，
则，
∴，
由（2）知
则
∴，
当时，
则，
∵，
∴，
综上所述，满足条件的t的值为：3，或12．
【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）过点F作，则，即，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，则，即可求出答案；当时，，根据角之间的关系可得，则，即可求出答案；当时，则，即，即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）如图，过点F作，
则，
∵，
∴，
∴，
同理：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴边旋转了．
（3）如图：当时，
∵，
∴，
如图：当时，
则，
∴，
由（2）知
则
∴，
当时，
则，
∵，
∴，
综上所述，满足条件的t的值为：3，或12．
1 / 1湖南省邵东市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·邵东期末）在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，如图，四个图标分别是中国人民大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
B选项图形是轴对称图形，符合题意；
C选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
D选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【分析】在平面内一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形.
2．（2024七下·邵东期末）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选；A．
【分析】根据同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
3．（2024七下·邵东期末）已知，，则的值为（　　）．
A．9 B．16 C．19 D．25
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴.
故选C.
【分析】根据完全平方公式化简计算即可求出答案.
4．（2024七下·邵东期末）已知 ，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-其他方法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：，，，，
∴．
故选：B．
【分析】根据幂的乘方的逆运算可得，，，，再比较大小即可求出答案.
5．（2024七下·邵东期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：学、我、爱、数、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）．
A．我爱美 B．数学游 C．我爱数学 D．美我数学
【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，
又∵分别对应下列四个个字：学、我、爱、数，
∴结果呈现的密码信息是：我爱数学．
故选：C．
【分析】提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
6．（2024七下·邵东期末）如图，点E在的延长线上，下列条件中，能判定的条件有（　　）
①，②，③，④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵，∴，故本选项符合题意；
②∵，∴，故本选项不符合题意；
③∵，∴，故本选项符合题意；
④∵，∴，故本选项符合题意．
综上所述，能判定的条件有①③④，有3个．
故选：C．
【分析】根据平行线的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．（2024七下·邵东期末）某校按照《山西省教育厅关于组织开展2024年全省教育系统“爱眼护眼从我做起”主题系列活动的通知》积极开展了校园板报评比活动，宣传有益的经验做法，营造健康、积极的用眼护眼氛围．七年级（1）班8个小组在此次评比中的得分（单位：分）分别为，，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．分，分 B．分，分
C．分，分 D．分，分
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据从小到大排序为：，，，，，，，，
其中91出现了4次，出现次数最多，所以这组数据的众数为91；
这组数据最中间2个数为，，所以这组数据的中位数是．
故选：B．
【分析】根据众数，中位数的定义即可求出答案.
8．（2024七下·邵东期末）玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件一个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具， 怎样安排生产才能在60 天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件x天 乙种玩具零件y天，则有( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【分析】根据每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，则x天能够生产24x个甲种零件，y天能够生产12y个乙种零件．
此题中的等量关系有：
①总天数是60天；
②根据甲种玩具零件一个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，则乙种零件应是甲种零件的2倍，可列方程为2×24x=12y．
【解答】根据总天数是60天，可得x+y=60；根据乙种零件应是甲种零件的2倍，可列方程为2×24x=12y．
则可列方程组为．
故选C．
【点评】此题的难点在于列第二个方程，注意甲种玩具零件一个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，说明生产的乙种零件是甲种零件的2倍，要列方程，则应让少的2倍，方可列出方程．
9．（2024七下·邵东期末）如图，在点A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边，沿的路径走才能使所走的路程最少，其依据是（　　）
A．经过一点有无数条直线 B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意得：依据是：垂线段最短；
故选：B．
【分析】本题考查了垂线段的性质，直线外一点与垂足形成的线段叫做垂线段，且垂直线段最短，结合图形，据此作答，即可得到答案.
10．（2024七下·邵东期末）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：延长FG，交CH于I．
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
∴①错误；②正确，
∵平分，
，
，
，
可见，的值未必为，未必为，只是和为而已
∴③，④不一定正确．
故答案为：A．
【分析】延长FG，交CH于I，由二直线平行，内错角相等，得， 由二直线平行，同位角相等，得， 由角平分线的定义及已知可推出，进而根据直角三角形的量锐角互余求出∠ EHC=∠D=30°，从而即可判断①②；由平角的定义可推出， ∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只是和为90°，据此可判断③④.
11．（2024七下·邵东期末）计算的结果是　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂乘法的逆用；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
，
；
故答案为：．
【分析】根据负数的偶次方为将转化为，再根据同底数幂乘法的逆运算化简计算即可求出答案.
12．（2024七下·邵东期末）因式分解： 　 　.
【答案】3（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： .
【分析】先提取公因式3，再根据平方差公式分解因式.
13．（2024七下·邵东期末）若多项式是完全平方式，则k的值是　 　．
【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式即可即可求出答案.
14．（2024七下·邵东期末） 已知方程组的解满足，则　 　．
【答案】7
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，①+②得3（x+y）=k+2.
又因为 ，所以3（x+y）=9=k+2，解得k=7.
故答案为：7.
【分析】由①+②，得3（x+y）=k+2，再将x+y=3代入，即可求解．
15．（2024七下·邵东期末）已知AB、CD、EF是同一平面内三条互相平行的直线，且AB与CD的距离是8cm，CD与EF的距离是2cm，则AB与EF的距离是　 　cm．
【答案】10或6
【知识点】平行线之间的距离；分类讨论
【解析】【解答】解：如图所示：

∵AB与CD的距离是8cm，CD与EF的距离是2cm，
∴AB与EF的距离是：8+2=10（cm）或8-2=6（cm）．
故答案为10或6．
【分析】分情况讨论，CD分别在AB两侧，EF分别在CD两侧，根据边之间的关系即可求出答案.
16．（2024七下·邵东期末）如图，两条直线相交成四个角，已知∠2＝3∠1，那么∠4＝　 　°.
【答案】135
【知识点】对顶角及其性质；补角
【解析】【解答】解：∵∠2=3∠1，∠1+∠2=180°，
∴∠2=135°，
则∠4=∠2=135°.
【分析】根据补角可得∠2=135°，再根据对顶角相等即可求出答案.
17．（2024七下·邵东期末）如图，将三角形沿方向平移得到三角形，连接，若三角形的周长是，则四边形的周长是　 　．
【答案】20
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将沿方向平移得到，
∴，
∵三角形的周长为，
∴，
∴四边形的周长为：．
故答案为：20．
【分析】本题考查平移的基本性质，其中平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，根据平移的性质，得到，结合四边形的周长等于的周长与的和，代入数据计算，即可得解．
18．（2024七下·邵东期末）已知，，，……，若符合前面式子的规律，则　 　．
【答案】419
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：，，，，
，
，
，，
，
故答案为：419．
【分析】观察可得，等式的前面为加法算式，前面加数与后面加数的分母为算式的序数加1，分母为分子的平方减1，总结规律即可求出答案.
19．（2024七下·邵东期末）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
得：
将代入②得
，
解得：
∴原方程组的解为；
（2）解：
原方程组整理得：
把得：
，
解得：，
将代入③得：
，
解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
（2）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
（1）解：
得：
将代入②得
，
解得：
∴原方程组的解为；
（2）原方程组整理得：
把得：
，
解得：，
将代入③得：
，
解得：，
∴原方程组的解为．
20．（2024七下·邵东期末）因式分解
（1）3x-12x3；
（2）
【答案】（1）解：3x-12x3
=3x（1-4x2）
=3x（1-2x）（1+2x）；
（2）解：a2-2ab+b2-1
=（a-b）2-1
=（a-b+1）（a-b-1）．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（2）根据完全平方公式及平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（1）解：3x-12x3
=3x（1-4x2）
=3x（1-2x）（1+2x）；
（2）解：a2-2ab+b2-1
=（a-b）2-1
=（a-b+1）（a-b-1）．
21．（2024七下·邵东期末）先化简，再求值：
，其中
【答案】解：原式＝4x2 9 4x2＋4x＋x2 4x＋4
＝x2 5，
当 时，
原式＝（ ）2 5
＝3 5
＝ 2．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据多项式的混合运算顺序和运算法则将原多项式化简，然后将x的值代入求值即可。
22．（2024七下·邵东期末）推理填空：如图，已知，，可推得．理由如下：
∵（已知），且（ 　　）
∴（等量代换）
∴（ 　　）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知），
∴（ 　　）
∴（ 　　）
【答案】解：∵（已知），且（对顶角相等）
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知），
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
23．（2024七下·邵东期末）如图，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，如果，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若是的平分线，，求的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；补角
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，则，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得，再根据角平分线定义可得，再根据补角可得，再根据直线平行性质可得，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
；
（2），，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
．
24．（2024七下·邵东期末）某班50名同学进行科普知识竞赛，根据50名同学的成绩绘成如图所示的统计图．
（1）求这50名同学的平均成绩；
（2）甲同学在竞赛前练习的5次成绩分别为：60，60，90，70，70（单位：分），求这5个数据的方差．
【答案】（1）解：根据题意得：
这50名同学的平均成绩为：（分）；
（2）解：根据题意得：这5个数据的平均数为：，
这5个数据的方差为：．
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）根据平均数的定义即可求出答案.
（2）根据方差的定义即可求出答案.
（1）解：根据题意得：
这50名同学的平均成绩为：（分）；
（2）解：根据题意得：这5个数据的平均数为：，
这5个数据的方差为：．
25．（2024七下·邵东期末）北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进、两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计105元．
（1）求，两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
（2）若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．
【答案】（1）解：设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，
根据题意，得，
解得，
答：A种飞船模型每件进价25元，B种飞船模型每件进价15元；
（2）解：设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据题意，得，
∴，
∵a，b均为正整数，
∴当时，；当时，；当时，，
∴所有购买方案如下：
①购进7件A型飞船模型和5件B型飞船模型；
②购进4件A型飞船模型和10件B型飞船模型；
③购进1件A型飞船模型和15件B型飞船模型．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据“2种A型飞船模型和3种B型飞船模型的进价共计95元；3种A飞船模型和2种B型飞船模型的进价共计105元”，列出关于x、y的一元二次方程组，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据总价=单价×数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数，求得a，b的值，进而得出购买方案．
26．（2024七下·邵东期末）如图，有一副三角板，和，，，，，在同一直线上．
（1）如图1，与点重合．将绕点按顺时针方向进行旋转，当与首次平行，求此时的度数；
（2）如图2，若点在边上（不与、重合），再将绕点按顺时针方向进行旋转（如图3），边交边于，当时，求边旋转的度数；
（3）将从图2初始位置开始，绕点顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当第一次与直线平行时停止运动．设运动时间为秒，当线段与的一条边平行，求满足条件的的值（请直接写出结果）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴；

（2）如图，过点F作，
则，
∵，
∴，
∴，
同理：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴边旋转了．
（3）3或或12．
【知识点】角的运算；平行线的性质；旋转的性质；分类讨论
【解析】【解答】（3）如图：当时，
∵，
∴，
如图：当时，
则，
∴，
由（2）知
则
∴，
当时，
则，
∵，
∴，
综上所述，满足条件的t的值为：3，或12．
【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）过点F作，则，即，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，则，即可求出答案；当时，，根据角之间的关系可得，则，即可求出答案；当时，则，即，即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）如图，过点F作，
则，
∵，
∴，
∴，
同理：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴边旋转了．
（3）如图：当时，
∵，
∴，
如图：当时，
则，
∴，
由（2）知
则
∴，
当时，
则，
∵，
∴，
综上所述，满足条件的t的值为：3，或12．
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