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吉林省长春市二道区2023-2024学年下学期七年级期末考试数学试题
1．（2024七下·二道期末）下列各式中，属于方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·二道期末）小华用数学软件画出了下列图形，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·二道期末）已知 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七下·二道期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·二道期末）下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（　　）
A．正六边形和正三角形 B．正六边形和正方形
C．正八边形和正五边形 D．正十二边形和正五边形
6．（2024七下·二道期末）如图，已知，，，则的度数为（　　）
A．31° B．35° C．41° D．46°
7．（2024七下·二道期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出了钱：每人出7钱，还差4钱．问人数、物价各是多少？设人数是x人，根据题意列一元一次方程，正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·二道期末）如图，直线l上摆放着两个大小相间的和，，，将沿直线l向左平移到，使点落在上，与交于点P．给出下面四个结论：
①；
②；
③和的周长之和等于的周长；
④图中阴影部分的面积之和大于的面积．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．（2024七下·二道期末）若方程是关于x、y的二元一次方程，则　 　．
10．（2024七下·二道期末）已知二元一次方程，则用的代数式表示　 　.
11．（2024七下·二道期末）公交车上乘客双腿岔开站立使得站立平稳，这样的原理是三角形具有　 　性．
12．（2024七下·二道期末）正五边形绕它的中心旋转后能与自身完全重合，则旋转角度至少为　 　度．
13．（2024七下·二道期末）已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为　 　．
14．（2024七下·二道期末）如图，在中，点D是的中点，，若的面积为10，则的面积是　 　．
15．（2024七下·二道期末）解方程： ．
16．（2024七下·二道期末）解不等式组．
17．（2024七下·二道期末）一个多边形的内角和是外角和的倍，求这个多边形的边数．
18．（2024七下·二道期末）甲、乙两车站相距300千米，慢车以每小时50千米的速度从甲站开往乙站，1小时后，快车以每小时75千米的速度从乙站开往甲站，求慢车开出几小时后与快车相遇．
19．（2024七下·二道期末）如图，在中，平分，于点E，交于点F．若，求的度数．
20．（2024七下·二道期末）已知三角形的三条边长分别为、和．
（1）的取值范围为__________；
（2）当该三角形为等腰三角形时，求它的周长．
21．（2024七下·二道期末）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点．图、图中点均为格点．图中点为格点、点在网格线上且不是格点．只用无刻度的直尺，分别在图、图、图中画出线段关于直线的对称图形，保留作图痕迹．
22．（2024七下·二道期末）如图①，在中，，，在上取点P，连结，将沿折叠，使点B的对应点E恰好落在射线上．
（1）当时，_______，_______．
（2）如图②，延长至点D，连结，在上取点Q，连结，将沿C折叠，使点D的对应点F恰好落在射线上，．
①当点F在线段上且不与点A重合时，求（用含的代数式表示）．
②当，时，______________（用含、的代数式表示）．
③当时，若，则_________．
23．（2024七下·二道期末）请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三．
背景 2024年5月3日，嫦娥六号探测器发射任务取得圆满成功！嫦娥六号探测器的发射成功，意味着我国正式开启世界首次月球背面采样返回之旅，也引发了航模纪念品的热销，某商店采用线下、线上两种方式销售A、B两种款式的航模纪念品，且线下、线上商品标价相同．
素材一 该商店在无促销活动时，顾客若买2个A款航模纪念品、1个B款航模纪念品，共需50元；若买1个A款航模纪念品、2个B款航模纪念品，共需55元．
素材二 该商店为吸引顾客在线下、线上分别开展促销活动．线下促销方案：顾客花费66元办理会员卡成为会员后，即可享受会员服务，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品标价的8折出售；线上促销方案：顾客购买商店内任何商品，一律按商品标价的9折出售且包邮．
任务一 该商店在无促销活动时，求A款航模纪念品和B款航模纪念品的标价各是多少元？
任务二 某班级计划在促销期间购买A、B两款航模纪念品共40个，其中A款航模纪念品m个（），若在线下商店首次办理会员卡后购买，共需要_______元；若在线上商店购买，共需要______元．（均用含m的代数式表示）
任务三 请你算一算，在任务二的条件下，该班级购买A款航模纪念品的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
24．（2024七下·二道期末）如图①，在△ABC中，，，、均是的外角．射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转．交射线于点E．设射线的旋转时间为秒．
（1）______度(用含t的代数式表示)，当点E与点C重合时，______．
（2）当点E在点C右侧时，t的取值范围是_______．
（3）如图②，、的角平分线交于点P，请判断与的数量关系并说明理由．
（4）如图③、的角平分线交的反向延长线于点Q，当的三个内角中，有一个角等于另一个角的3倍时，直接写出t的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】方程的定义及分类
【解析】【解答】解：A、不是等式，故A不符合题意；
B、是方程，故B符合题意；
C、不是等式，故C不符合题意；
D、不含有未知数，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】
根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程；最重要的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）；逐一判断即可解答．
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可解答．
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】∵a>b，
∴根据不等式的基本性质3可得：
a< b，
再根据不等式的基本性质2可得：
2a< 2b；
故本题选C.
【分析】根据不等式的性质，不等式的两边都加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；即可做出判断。
4．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
．
在数轴上表示为：
，
故答案为：B．
【分析】
先解一元一次不等式得，将不等式的解集在数轴上表示出来小于向左，x取得到2则x在该点是实心的，即可解答．
5．【答案】A
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、∵正六边形的内角为：（6-2）×180°÷6=120°，
正三角形的内角为：180°÷3=60°，
而，
∴正六边形和正三角形能构成周角，
∴正六边形和正三角形的组合能铺满地面，此选项符合题意；
B、同理可得：正六边形和正方形内角分别为、，120°和90°不能构成周角，
∴正六边形和正方形不能铺满地面，此选项不符合题意；
C、同理可得：正八边形和正五边形内角分别为、，135°和108°不能构成周角，
∴ 正八边形和正五边形不能铺满地面，此选项不符合题意；
D、同理可得：正十二边形正五边形内角分别为、，150°和108°不能构成周角，
∴ 正十二边形和正五边形不能铺满地面，此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据几何图形镶嵌成平面的关键"围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角"可知：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满，计算每一个选项中各多边形的内角，计算能否能构成周角即可判断求解．
6．【答案】C
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵ ，，
∴，，
∵
∴，
故答案为：C．
【分析】
先根据全等三角形的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理即可求出的度数．
7．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由人数是人可得：
故答案为：A．
【分析】
由人数是人，根据物价不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案．
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；平移的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵两个大小相同的和，
，，
，，，，
由平移的性质可知，，，，
，
，
故①正确；
，，
，
，
故②正确；
和的周长之和为
'，
即与的周长相等，而与形状大小完全一样，
和的周长之和等于的周长，
故③正确；
，
，
故④不正确；
综上所述，正确的结论有①②③，
故答案为：A．
【分析】
根据平移的性质得到，即可得到，可判断①；根据角度得和差运算可得，可判断②；利用周长得关系可得和的周长之和等于的周长，可判断③；利用三角形的面积关系可得，可判断④；逐一进行判断即可解答．
9．【答案】0
【知识点】解一元一次方程；二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：方程是关于x、y的二元一次方程，
，
解得，
故答案为：0．
【分析】
根据二元一次方程的定义可知：未知数的系数不能等于零，未知数的最高次数为1，然后列式，进行求解即可．
10．【答案】
【知识点】等式的基本性质；解二元一次方程；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：
移项得：，
故答案为：.
【分析】
根据已知等式，用含一个字母的式子表示另一个字母，利用等式的基本性质进行移项，即可得答案.
11．【答案】稳定
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：公交车上乘客双腿岔开站立使得站立平稳，这样的原理是三角形具有稳定性．
故答案为：稳定．
【分析】
根据三角形的稳定性即可求解．
12．【答案】72
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为，
故答案为：．
【分析】
根据旋转对称图形的性质，任何一个正n边形都是旋转对称图形，只需绕它的中心旋转度便可与自身重合，据此求解即可解答．
13．【答案】
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式；有理数中的“非”数问题；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：由解得，
∵关于的方程的解是非负数，
∴，解得，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】
先解一元一次方程得，根据解为非负数，列出关于的不等式，求出的取值范围即可解答.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；线段的中点
【解析】【解答】解：的面积为10，点D是的中点，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
根据中线性质可得，再结合，得到，即可解答．
15．【答案】解：，
，
，
．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】根据解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解出，逐一计算即可解答．
16．【答案】解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
∵不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】
首先解每个不等式，解①得，解②得，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，解答即可.
17．【答案】解：设这个多边形的边数为，
根据题意，得，
解得，
即这个多边形的边数为．
【知识点】解一元一次方程；多边形内角与外角
【解析】【分析】设这个多边形的边数为，根据题意得，然后求解即可解答.
18．【答案】解：设慢车开出x小时后与快车相遇，则快车行驶了小时，根据提题意，得
．
解得．
答：慢车开出3小时后与快车相遇．
【知识点】解一元一次方程；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设慢车开出x小时后与快车相遇，则快车行驶了小时，根据两地之间的距离慢车速度慢车行驶时间快车速度快车行驶时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可解答．
19．【答案】解：平分，
．
，
．
，
．
．
【知识点】角的运算；垂线的概念；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线得定义得，利用垂直得定义得，再根据求解，即可解答．
20．【答案】（1）
（2）解：当时，，不能构成三角形；
当时，能构成三角形，周长为．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵三角形的三条边长分别为、和，
∴，
解得：，
故答案为：；
【分析】
（）根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和进行计算，即可解答；
（）分或，再根据构成三角形得条件：三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和进行取舍；即可解答.
（1）解：∵三角形的三条边长分别为、和，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）当时，，不能构成三角形；
当时，能构成三角形，周长为．
21．【答案】解：如图，轴对称的性质可直接画出图图，在图中，先取点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接并延长与网格线交于点，连接即可，
∴图中即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】根据轴对称的性质可直接画出图图；在图中，先取点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接并延长与网格线交于点，连接即可，即可解答.
22．【答案】（1），
（2）解：，
，
，
，
由折叠可知，
又，；
②；③或
【知识点】角的运算；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）如图，，，
，
由折叠得性质可知：，
，
故答案为：，；
（2），，
∴点E，点F都在点A上方，
如图③，
，
，
，
，
由折叠可知，
又，
，
同理可得：，
，
故答案为：；
，
，
，
，
当点F在点A上方时，，
，
当点F在点A下方时，，
，
故答案为：或．
【分析】
（1）由直角三角形的两锐角互余可求的度数，由折叠的性质可得，由外角的性质得，计算即可求解；
（2）①由直角三角形的两锐角互余可求的度数，由折叠的性质可得，由外角的性质可求解；
②由，，可得点E，点F都在点A上方，由①同样方法可求，，即可求解；
③先求出的度数，再分当点F在点A上方和当点F在点A下方两种情况讨论，即可求解．
（1）解：如图，，，
，
∵将沿折叠，
，
，
故答案为：，；
（2）解：，
，
，
，
由折叠可知，
又，；
，，
∴点E，点F都在点A上方，
如图③，
，
，
，
，
由折叠可知，
又，
，
同理可得：，
，
故答案为：；
，
，
，
，
当点F在点A上方时，，
，
当点F在点A下方时，，
，
故答案为：或．
23．【答案】任务一、解：设A款航模纪念品的标价为元，B款航模纪念品的标价为元；
根据题意有，
解得，
答：A款航模纪念品的标价为15元，B款航模纪念品的标价为20元；
任务二：；；
任务三、解：要线下购买方式更合算，
即，
解得，
购买A款航模纪念品的数量在时，线下购买方式更合算．
【知识点】解二元一次方程；解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】
任务二、解：计划在促销期间购买A、B两款航模纪念品共40个，其中A款航模纪念品m个（），
B款航模纪念品个，
若在线下商店首次办理会员卡后购买，则需要费用为：
（元），
在线上商店购买，共需要费用为：
（元），
故答案为：；．
【分析】
任务一：设A款航模纪念品的标价为元，B款航模纪念品的标价为元；根据“买2个A款航模纪念品、1个B款航模纪念品，共需50元；若买1个A款航模纪念品、2个B款航模纪念品，共需55元”建立二元一次方程组，计算即可解答；
任务二：根据题意得到A款航模纪念品m个，B款航模纪念品个，结合任务一中价格，分别表示出线下商店首次办理会员卡后购买的费用和线上商店购买的费用，即可解答；
任务三：根据线下购买方式更合算，建立不等式，计算即可解答．
24．【答案】（1），6
（2）
（3）解：，理由如下：
∵是的外角，
∴，
∵、的角平分线交于点P，
∴，，
∵
∴；
（4）4.5或6或12
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组；三角形的外角性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转，
∴；
∵，，
∴，
当点E与点C重合时，
∴，解得；
故答案为：，；
（2）若要与射线相交，
则，
当点E在点C右侧时，
，解得，
故答案为：；
（4）∵，
∴，
又∵和时和的平分线，
∴，，
∴，
∴
∴，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得(舍去)；
当时，则，解得；
综上所述，t的值为，或．
故答案为：4.5或6或12.
【分析】
（1）根据运动可以得到 ，然后三角形得内角和为180得出， 当点E与点C重合时， 列方程求出值即可解答；
（2）根据动线的位置确定，且不超过时的。列不等式组 解题即可解答；
（3）由角平分线的定义得到，，然后利用三角形外角的性质计算即可解答；
（4）先求出、、的度数，分为、、和四种情况分别解题即可解答．
（1）解：∵射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转，
∴；
∵，，
∴，
当点E与点C重合时，
∴，解得；
故答案为：，；
（2）若要与射线相交，
则，
当点E在点C右侧时，
，解得，
故答案为：；
（3）解：，理由为：
∵是的外角，
∴，
∵、的角平分线交于点P，
∴，，
∴；
（4）解：∵，
∴，
又∵和时和的平分线，
∴，，
∴，
∴，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得(舍去)；
当时，则，解得；
综上所述，t的值为，或．
1 / 1吉林省长春市二道区2023-2024学年下学期七年级期末考试数学试题
1．（2024七下·二道期末）下列各式中，属于方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】方程的定义及分类
【解析】【解答】解：A、不是等式，故A不符合题意；
B、是方程，故B符合题意；
C、不是等式，故C不符合题意；
D、不含有未知数，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】
根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程；最重要的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）；逐一判断即可解答．
2．（2024七下·二道期末）小华用数学软件画出了下列图形，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可解答．
3．（2024七下·二道期末）已知 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】∵a>b，
∴根据不等式的基本性质3可得：
a< b，
再根据不等式的基本性质2可得：
2a< 2b；
故本题选C.
【分析】根据不等式的性质，不等式的两边都加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；即可做出判断。
4．（2024七下·二道期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
．
在数轴上表示为：
，
故答案为：B．
【分析】
先解一元一次不等式得，将不等式的解集在数轴上表示出来小于向左，x取得到2则x在该点是实心的，即可解答．
5．（2024七下·二道期末）下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（　　）
A．正六边形和正三角形 B．正六边形和正方形
C．正八边形和正五边形 D．正十二边形和正五边形
【答案】A
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、∵正六边形的内角为：（6-2）×180°÷6=120°，
正三角形的内角为：180°÷3=60°，
而，
∴正六边形和正三角形能构成周角，
∴正六边形和正三角形的组合能铺满地面，此选项符合题意；
B、同理可得：正六边形和正方形内角分别为、，120°和90°不能构成周角，
∴正六边形和正方形不能铺满地面，此选项不符合题意；
C、同理可得：正八边形和正五边形内角分别为、，135°和108°不能构成周角，
∴ 正八边形和正五边形不能铺满地面，此选项不符合题意；
D、同理可得：正十二边形正五边形内角分别为、，150°和108°不能构成周角，
∴ 正十二边形和正五边形不能铺满地面，此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据几何图形镶嵌成平面的关键"围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角"可知：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满，计算每一个选项中各多边形的内角，计算能否能构成周角即可判断求解．
6．（2024七下·二道期末）如图，已知，，，则的度数为（　　）
A．31° B．35° C．41° D．46°
【答案】C
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵ ，，
∴，，
∵
∴，
故答案为：C．
【分析】
先根据全等三角形的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理即可求出的度数．
7．（2024七下·二道期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出了钱：每人出7钱，还差4钱．问人数、物价各是多少？设人数是x人，根据题意列一元一次方程，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由人数是人可得：
故答案为：A．
【分析】
由人数是人，根据物价不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案．
8．（2024七下·二道期末）如图，直线l上摆放着两个大小相间的和，，，将沿直线l向左平移到，使点落在上，与交于点P．给出下面四个结论：
①；
②；
③和的周长之和等于的周长；
④图中阴影部分的面积之和大于的面积．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；平移的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵两个大小相同的和，
，，
，，，，
由平移的性质可知，，，，
，
，
故①正确；
，，
，
，
故②正确；
和的周长之和为
'，
即与的周长相等，而与形状大小完全一样，
和的周长之和等于的周长，
故③正确；
，
，
故④不正确；
综上所述，正确的结论有①②③，
故答案为：A．
【分析】
根据平移的性质得到，即可得到，可判断①；根据角度得和差运算可得，可判断②；利用周长得关系可得和的周长之和等于的周长，可判断③；利用三角形的面积关系可得，可判断④；逐一进行判断即可解答．
9．（2024七下·二道期末）若方程是关于x、y的二元一次方程，则　 　．
【答案】0
【知识点】解一元一次方程；二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：方程是关于x、y的二元一次方程，
，
解得，
故答案为：0．
【分析】
根据二元一次方程的定义可知：未知数的系数不能等于零，未知数的最高次数为1，然后列式，进行求解即可．
10．（2024七下·二道期末）已知二元一次方程，则用的代数式表示　 　.
【答案】
【知识点】等式的基本性质；解二元一次方程；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：
移项得：，
故答案为：.
【分析】
根据已知等式，用含一个字母的式子表示另一个字母，利用等式的基本性质进行移项，即可得答案.
11．（2024七下·二道期末）公交车上乘客双腿岔开站立使得站立平稳，这样的原理是三角形具有　 　性．
【答案】稳定
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：公交车上乘客双腿岔开站立使得站立平稳，这样的原理是三角形具有稳定性．
故答案为：稳定．
【分析】
根据三角形的稳定性即可求解．
12．（2024七下·二道期末）正五边形绕它的中心旋转后能与自身完全重合，则旋转角度至少为　 　度．
【答案】72
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为，
故答案为：．
【分析】
根据旋转对称图形的性质，任何一个正n边形都是旋转对称图形，只需绕它的中心旋转度便可与自身重合，据此求解即可解答．
13．（2024七下·二道期末）已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式；有理数中的“非”数问题；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：由解得，
∵关于的方程的解是非负数，
∴，解得，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】
先解一元一次方程得，根据解为非负数，列出关于的不等式，求出的取值范围即可解答.
14．（2024七下·二道期末）如图，在中，点D是的中点，，若的面积为10，则的面积是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；线段的中点
【解析】【解答】解：的面积为10，点D是的中点，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
根据中线性质可得，再结合，得到，即可解答．
15．（2024七下·二道期末）解方程： ．
【答案】解：，
，
，
．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】根据解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解出，逐一计算即可解答．
16．（2024七下·二道期末）解不等式组．
【答案】解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
∵不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】
首先解每个不等式，解①得，解②得，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，解答即可.
17．（2024七下·二道期末）一个多边形的内角和是外角和的倍，求这个多边形的边数．
【答案】解：设这个多边形的边数为，
根据题意，得，
解得，
即这个多边形的边数为．
【知识点】解一元一次方程；多边形内角与外角
【解析】【分析】设这个多边形的边数为，根据题意得，然后求解即可解答.
18．（2024七下·二道期末）甲、乙两车站相距300千米，慢车以每小时50千米的速度从甲站开往乙站，1小时后，快车以每小时75千米的速度从乙站开往甲站，求慢车开出几小时后与快车相遇．
【答案】解：设慢车开出x小时后与快车相遇，则快车行驶了小时，根据提题意，得
．
解得．
答：慢车开出3小时后与快车相遇．
【知识点】解一元一次方程；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设慢车开出x小时后与快车相遇，则快车行驶了小时，根据两地之间的距离慢车速度慢车行驶时间快车速度快车行驶时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可解答．
19．（2024七下·二道期末）如图，在中，平分，于点E，交于点F．若，求的度数．
【答案】解：平分，
．
，
．
，
．
．
【知识点】角的运算；垂线的概念；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线得定义得，利用垂直得定义得，再根据求解，即可解答．
20．（2024七下·二道期末）已知三角形的三条边长分别为、和．
（1）的取值范围为__________；
（2）当该三角形为等腰三角形时，求它的周长．
【答案】（1）
（2）解：当时，，不能构成三角形；
当时，能构成三角形，周长为．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵三角形的三条边长分别为、和，
∴，
解得：，
故答案为：；
【分析】
（）根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和进行计算，即可解答；
（）分或，再根据构成三角形得条件：三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和进行取舍；即可解答.
（1）解：∵三角形的三条边长分别为、和，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）当时，，不能构成三角形；
当时，能构成三角形，周长为．
21．（2024七下·二道期末）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点．图、图中点均为格点．图中点为格点、点在网格线上且不是格点．只用无刻度的直尺，分别在图、图、图中画出线段关于直线的对称图形，保留作图痕迹．
【答案】解：如图，轴对称的性质可直接画出图图，在图中，先取点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接并延长与网格线交于点，连接即可，
∴图中即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】根据轴对称的性质可直接画出图图；在图中，先取点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接并延长与网格线交于点，连接即可，即可解答.
22．（2024七下·二道期末）如图①，在中，，，在上取点P，连结，将沿折叠，使点B的对应点E恰好落在射线上．
（1）当时，_______，_______．
（2）如图②，延长至点D，连结，在上取点Q，连结，将沿C折叠，使点D的对应点F恰好落在射线上，．
①当点F在线段上且不与点A重合时，求（用含的代数式表示）．
②当，时，______________（用含、的代数式表示）．
③当时，若，则_________．
【答案】（1），
（2）解：，
，
，
，
由折叠可知，
又，；
②；③或
【知识点】角的运算；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）如图，，，
，
由折叠得性质可知：，
，
故答案为：，；
（2），，
∴点E，点F都在点A上方，
如图③，
，
，
，
，
由折叠可知，
又，
，
同理可得：，
，
故答案为：；
，
，
，
，
当点F在点A上方时，，
，
当点F在点A下方时，，
，
故答案为：或．
【分析】
（1）由直角三角形的两锐角互余可求的度数，由折叠的性质可得，由外角的性质得，计算即可求解；
（2）①由直角三角形的两锐角互余可求的度数，由折叠的性质可得，由外角的性质可求解；
②由，，可得点E，点F都在点A上方，由①同样方法可求，，即可求解；
③先求出的度数，再分当点F在点A上方和当点F在点A下方两种情况讨论，即可求解．
（1）解：如图，，，
，
∵将沿折叠，
，
，
故答案为：，；
（2）解：，
，
，
，
由折叠可知，
又，；
，，
∴点E，点F都在点A上方，
如图③，
，
，
，
，
由折叠可知，
又，
，
同理可得：，
，
故答案为：；
，
，
，
，
当点F在点A上方时，，
，
当点F在点A下方时，，
，
故答案为：或．
23．（2024七下·二道期末）请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三．
背景 2024年5月3日，嫦娥六号探测器发射任务取得圆满成功！嫦娥六号探测器的发射成功，意味着我国正式开启世界首次月球背面采样返回之旅，也引发了航模纪念品的热销，某商店采用线下、线上两种方式销售A、B两种款式的航模纪念品，且线下、线上商品标价相同．
素材一 该商店在无促销活动时，顾客若买2个A款航模纪念品、1个B款航模纪念品，共需50元；若买1个A款航模纪念品、2个B款航模纪念品，共需55元．
素材二 该商店为吸引顾客在线下、线上分别开展促销活动．线下促销方案：顾客花费66元办理会员卡成为会员后，即可享受会员服务，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品标价的8折出售；线上促销方案：顾客购买商店内任何商品，一律按商品标价的9折出售且包邮．
任务一 该商店在无促销活动时，求A款航模纪念品和B款航模纪念品的标价各是多少元？
任务二 某班级计划在促销期间购买A、B两款航模纪念品共40个，其中A款航模纪念品m个（），若在线下商店首次办理会员卡后购买，共需要_______元；若在线上商店购买，共需要______元．（均用含m的代数式表示）
任务三 请你算一算，在任务二的条件下，该班级购买A款航模纪念品的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
【答案】任务一、解：设A款航模纪念品的标价为元，B款航模纪念品的标价为元；
根据题意有，
解得，
答：A款航模纪念品的标价为15元，B款航模纪念品的标价为20元；
任务二：；；
任务三、解：要线下购买方式更合算，
即，
解得，
购买A款航模纪念品的数量在时，线下购买方式更合算．
【知识点】解二元一次方程；解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】
任务二、解：计划在促销期间购买A、B两款航模纪念品共40个，其中A款航模纪念品m个（），
B款航模纪念品个，
若在线下商店首次办理会员卡后购买，则需要费用为：
（元），
在线上商店购买，共需要费用为：
（元），
故答案为：；．
【分析】
任务一：设A款航模纪念品的标价为元，B款航模纪念品的标价为元；根据“买2个A款航模纪念品、1个B款航模纪念品，共需50元；若买1个A款航模纪念品、2个B款航模纪念品，共需55元”建立二元一次方程组，计算即可解答；
任务二：根据题意得到A款航模纪念品m个，B款航模纪念品个，结合任务一中价格，分别表示出线下商店首次办理会员卡后购买的费用和线上商店购买的费用，即可解答；
任务三：根据线下购买方式更合算，建立不等式，计算即可解答．
24．（2024七下·二道期末）如图①，在△ABC中，，，、均是的外角．射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转．交射线于点E．设射线的旋转时间为秒．
（1）______度(用含t的代数式表示)，当点E与点C重合时，______．
（2）当点E在点C右侧时，t的取值范围是_______．
（3）如图②，、的角平分线交于点P，请判断与的数量关系并说明理由．
（4）如图③、的角平分线交的反向延长线于点Q，当的三个内角中，有一个角等于另一个角的3倍时，直接写出t的值．
【答案】（1），6
（2）
（3）解：，理由如下：
∵是的外角，
∴，
∵、的角平分线交于点P，
∴，，
∵
∴；
（4）4.5或6或12
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组；三角形的外角性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转，
∴；
∵，，
∴，
当点E与点C重合时，
∴，解得；
故答案为：，；
（2）若要与射线相交，
则，
当点E在点C右侧时，
，解得，
故答案为：；
（4）∵，
∴，
又∵和时和的平分线，
∴，，
∴，
∴
∴，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得(舍去)；
当时，则，解得；
综上所述，t的值为，或．
故答案为：4.5或6或12.
【分析】
（1）根据运动可以得到 ，然后三角形得内角和为180得出， 当点E与点C重合时， 列方程求出值即可解答；
（2）根据动线的位置确定，且不超过时的。列不等式组 解题即可解答；
（3）由角平分线的定义得到，，然后利用三角形外角的性质计算即可解答；
（4）先求出、、的度数，分为、、和四种情况分别解题即可解答．
（1）解：∵射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转，
∴；
∵，，
∴，
当点E与点C重合时，
∴，解得；
故答案为：，；
（2）若要与射线相交，
则，
当点E在点C右侧时，
，解得，
故答案为：；
（3）解：，理由为：
∵是的外角，
∴，
∵、的角平分线交于点P，
∴，，
∴；
（4）解：∵，
∴，
又∵和时和的平分线，
∴，，
∴，
∴，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得(舍去)；
当时，则，解得；
综上所述，t的值为，或．
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