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吉林省长春市德惠市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·德惠期末）下列物体的运动中，属于平移的是（　　）
A．电梯上下移动 B．翻开数学课本
C．电扇扇叶转动 D．篮球向前滚动
2．（2024七下·德惠期末）以下是有关环保的四个标志，从图形的整体看，是轴对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
3．（2024七下·德惠期末）木工师傅准备钉一个三角形木架，已有两根长为2和5的木棒，木工师傅应该选择如下哪根木棒（　　）
A．2 B．3 C．6 D．7
4．（2024七下·德惠期末）下列等式变形正确的是（　　）
A．如果x＝y，那么x＋2＝y﹣2
B．如果3x﹣1＝2x，那么3x﹣2x＝﹣1
C．如果2x＝，那么x＝1
D．如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6
5．（2024七下·德惠期末）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2024七下·德惠期末）如图是某小区花园内用正边形铺设的小路的局部示意图，若用块正边形围成的中间区域是一个小正方形，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·德惠期末）如图，，将直角三角形沿着射线方向平移，得到三角形，并且，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·德惠期末）车队运送一批货物．若每车装4吨，剩下8吨未装；若每车装5吨，则剩余1辆车．甲、乙两人设该车队有x辆车，丙、丁两人设这批货物有y吨，分别列出如下方程：甲：；乙：；丙：；丁：．其中所列方程正确的是（　　）
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁
9．（2024七下·德惠期末）已知x=2关于的方程2x+a＝1的解，则a的值等于　 　．
10．（2024七下·德惠期末）已知，则整式的值为 　 　．
11．（2024七下·德惠期末）不等式的最大整数解是　 　．
12．（2024七下·德惠期末）如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得∠α＝　 　°．
13．（2024七下·德惠期末）如图，D、E分别为和的中点．的面积为5，则的面积为　 　．
14．（2024七下·德惠期末）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为　 　度．
15．（2024七下·德惠期末）解方程组：．
16．（2024七下·德惠期末）解方程：．
17．（2024七下·德惠期末）小米同学求解一元一次不等式的过程：
解不等式：. 解：去分母，得.第一步 去括号，得.第二步 移项，得.第三步 合并同类项，得.第四步 系数化为1，得.第五步 所以原不等式的解为.
（1）该解题过程中从第_________步开始出现错误；
（2）请你按照上面演算步骤写出正确的解答过程.
18．（2024七下·德惠期末）在正边形中，每个内角与每个外角的度数之比为
（1）求的值；
（2）正五边形每个顶点可引出的对角线的条数为________，正五边形对角线的总条数为________．
19．（2024七下·德惠期末）某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为千米，超过千米的部分按每千米另收费，甲说：“我乘这种出租车走了千米，付了元”；乙说：“我乘这种出租车走了千米，付了元”请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过千米后，每千米的车费是多少元？
20．（2024七下·德惠期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点的对应点．
（1）画出；
（2）连接、，那么与的数量关系是________；
（3）画出的边上的中线；
（4）平移后，线段扫过的部分所组成的封闭图形的面积为________．
21．（2024七下·德惠期末）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：
（1）的度数；
（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵（已知），
∴________，
∴（________）
∴________________（等量代换）．
（2）∵________，
∴________（等式的性质），
∴（已知），
∴________（等量代换）．
22．（2024七下·德惠期末）如图，中，，，，．若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为秒．
（1）当________秒时，把的周长分成相等的两部分；
（2）当为何值时，的面积恰好等于面积的一半？
23．（2024七下·德惠期末）【问题初探】
（1）如图1，在中，请说明：，为解决这一问题，同学们多用于下列两种思路：
①如图2，延长到，过点作射线，相当于把都移到了顶点的位置，利用图形特点获得的数量关系；
②如图3，过点作直线，相当于把都移到了顶点的位置，再利用图形特点获得的数量关系；
请你选择上述的一种思路，说明的内角和为．
【类比分析】
（2）如图4，已知，过点作直线为线段上一点，连接，若，求的度数．
【学以致用】
（3）如图5，，若，，请你判断三者之间的数量关系，并说明理由．
24．（2024七下·德惠期末）一副三角尺（分别含、、和、、）按如图1所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（，），将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为（秒）．
（1）当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是________度；
（2）如图2，若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．．
①用含的代数式表示：（________）°； （________）°；
②当为何值时，边平分；
③直接写出当为何值时，
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：A、电梯上下移动是平移，故本选项符合题意；
B、翻开数学课本为旋转，故本选项不符合题意；
C、电扇扇叶转动为旋转，故本选项不符合题意；
D、篮球向前滚动为旋转，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、此图案不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、此图案是轴对称图形，故B符合题意；
C、此图案不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此图案不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐一判断即可解答．
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为xcm，
由三角形三边关系定理可知，5﹣2＜x＜5+2
3＜x＜7，
故答案为：C．
【分析】
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，计算即可求解．
4．【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、如果x＝y，那么x＋2＝y+2，故A不符合题意；
B、如果3x﹣1＝2x，那么3x﹣2x＝1，故B不符合题意；
C、如果2x＝，那么，故C不符合题意；
D、如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】
根据等式的基本性质：在等式的两边都加上或减去同一个数或（整式），所得的结果仍然是等式，在等式的两边都乘以或除以同一个不为0的数或整式，所得的结果仍然是等式，逐一判断即可解答.
5．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式组，
可得该不等式的解集为：，
解集在数轴上表示为：
．
故答案为：B．
【分析】
先解不等式得到，再根据在数轴上表示不等式的解集画图的依据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则画出图形即可解答．
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：正方形的一个内角是，
正边形的一个内角，
正边形的一个外角，
，
故答案为：C．
【分析】
根据镶嵌满足的条件：在小正方形的顶点处可以拼成求出正边形的一个内角，进而得到一个外角的度数，根据多边形的外角和是即可解答．
7．【答案】B
【知识点】梯形；平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：∵直角三角形沿着射线方向平移，得到三角形，并且，，
∴，，，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用图形平移的性质可得，，，再利用三角形的面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
8．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设该车队有x辆车，则
，
故甲正确，乙错误；
设这批货物有y吨，则
故丙正确，丁错误；
所以甲、丙正确；
故答案为：A.
【分析】
设这个车队有x辆车，根据题意可知等量关系为：两种装法货物的总量是一定的，据此列方程，设这批货物有y吨， 根据题意可知等量关系为：两种装法货物的车数差1辆，据此列方程，由此判断即可解答．
9．【答案】-3
【知识点】解一元一次方程；估计方程的解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵x＝2是关于x的方程2x+a＝1的解，
∴2×2+a＝1，
解得a＝-3．
故答案为：-3．
【分析】
根据一元一次方程的解的定义：把x＝2代入已知方程后，列出关于a的新方程，通过解新方程来求a的值即可解答．
10．【答案】1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】
先根据已知条件得到，然后把整体代入所求式子中进行求解即可解答．
11．【答案】1
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴不等式的最大整数解是．
故答案为：1．
【分析】
根据解一元一次不等式的步骤：移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集为，可求出最大整数解，解答即可．
12．【答案】60
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图：
左边的三角形中，b所对的角为180°﹣65°﹣55°＝60°，
两个三角形全等中，相等的边是对应边，两三角形中，长度为b的边是对应边，它们对的角是对应角，
∴∠α＝60°
故答案为：60．
【分析】
根据全等三角形的对应边相等、对应角相等，可知道∠α＝60°，找准对应角即可解答．
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵E为的中点．
∴是中边上的中线，
∴，
∵D为的中点．
∴是中边上的中线，
∴，
故答案为：.
【分析】
根据三角形中线平分三角形的面积得到，则，计算即可解答.
14．【答案】
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵正五边形的每一个内角为，
由折叠的性质可知：
∴，
同理由折叠的性质得：，，
∴，，
在中：，
故答案为：．
【分析】
根据内角和公式求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理计算即可解答．
15．【答案】解：
②①得
解得
将代入①得
解得
则方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组：由②①可得y的值，将代入①可得x的值，计算即可解答．
16．【答案】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】根据解一元一次方程的步骤去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可解答．
17．【答案】（1）一
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
∴原不等式的解集为．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，解题过程中去分母的时候1漏乘6，
∴ 该解题过程中从第一步开始出现错误，
故答案为：一.
【分析】（1）根据去分母可知每一项都要乘以最小公分母，据此即可求解；
（2）根据求解一元一次不等式的过程进行求解即可．
18．【答案】（1）解：设每个内角的度数为，每个外角的度数为，则：，
∴，
∴，
∴；
（2）2，5
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（2）正五边形每个顶点可引出的对角线的条数为：，
正五边形对角线的总条数为：；
故答案为：2，5.
【分析】（1）由题意可设每个内角的度数为3x°，每个外角的度数为2x°，根据多边形的一个外角与之相邻的内角互补列出方程求出x的值，从而可求出该多边形每一个外角的度数，进而用外角和的总度数360°除以一个外角的度数即可求出该多边形的边数；
（2）根据从n多边形的一个顶点出发可以引出(n-3)条对角线，总共有条对角线，进行求解即可．
（1）解：设每个内角的度数为，每个外角的度数为，
则：，
∴，
∴，
∴；
（2）正五边形每个顶点可引出的对角线的条数为：，正五边形对角线的总条数为：；
故答案为：2，5
19．【答案】解：设这种出租车的起步价是元，超过千米后，每千米的车费是元，
由题意得：，
解得：，
答：这种出租车的起步价是元，超过千米后，每千米的车费是元．
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程组的实际应用-行程问题；二元一次方程组的实际应用-计费
【解析】【分析】设这种出租车的起步价是元，超过千米后，每千米的车费是元，根据“乘车千米，付了元；乘车千米，付了元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可解答．
20．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）
（3）解：如图，即为所求；
（4）9
【知识点】三角形的面积；平移的性质；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法；三角形的中线
【解析】【解答】
解：（2）由平移的性质可知：；
故答案为：；
（4）线段扫过的部分为四边形，
由图可知：四边形的面积为：．
【分析】
（1）根据平移的性质把 中的点A，C分别向右平移4格，向下平移1格，画出即可解答；
（2）根据平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等；解答即可；
（3）取的中点，连接即可；
（4）分割法求面积即可解答．
（1）解：如图，即为所求；
（2）由平移的性质可知：；
故答案为：；
（3）如图，即为所求；
（4）线段扫过的部分为四边形，
由图可知：四边形的面积为：．
21．【答案】解：（1）∵（已知），
∴，
∴（三角形外角的性质）
∴（等量代换）．
（2）∵，
∴（等式的性质），
∴（已知），
∴（等量代换）．
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得∠CDB=90°，然后根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”，进行求解即可；
（2）根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”，可得∠A=∠EBC-∠ACB，从而代入计算进即可．
22．【答案】（1）6
（2）解：∵三角形的中线平分三角形的面积，
∴当点为边的中点或点为边的中点时，=，
当点为边的中点时，即，
则，
∴点P的运动的路程，
即，
解得，
当点P是中点时，此时，；
综上所述，满足条件的t的值为或2．
【知识点】三角形的面积；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）在中，，，，，
∴的周长，
当把的周长分成相等的两部分时，
点P运动的路程的周长，
即，
解得，
∴当秒时，把的周长分成相等的两部分；
故答案为：6.
【分析】
（1）点P运动的路程是三角形的周长的一半，先求得周长为24，再根据点P运动的路程速度时间，由此列出方程，求解可得t的值；
（2）分点为边的中点和点为边的中点，两种情况进行求解即可解答．
（1）解：在中，，，，，
∴的周长，
当把的周长分成相等的两部分时，
点P运动的路程的周长，
即，
解得，
∴当秒时，把的周长分成相等的两部分；
（2）∵三角形的中线平分三角形的面积，
∴当点为边的中点或点为边的中点时，的面积恰好等于面积的一半，
当点为边的中点时，即，
则，
∴点P的运动的路程，
即，
解得，
当点P是中点时，此时，；
综上所述，满足条件的t的值为或2．
23．【答案】解：（1）选择①，如图2 延长到，过点作射线，
；
选择②，如图3过点A作，
，，
；
（2）如图4，作，则，
，
，
，
，
，
；
（3），理由如下：
如图5，延长交于点，延长交于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）①由平行线的性质，得到再结合平角求解即可；
②由平行线的性质，得到，，再结合平角求解即可；
（2）作，则，推出，得到，进而得到，即可求出的度数；
（3）延长交于点，延长交于点，根据平行线的性质，得到，，由，得出，进而推出，由，得出，再根据三角形外角的性质，得到，即可证明结论．
24．【答案】（1）
（2）解：①，；
②如图，
由旋转可得，，
平分，，
，
，
，
，
，
解得：，
当秒时，边平分；
③5秒或秒
【知识点】解一元一次方程；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）当时，旋转的角度为，
∴边经过的量角器刻度线对应的度数是；
（2）①当旋转时间为时，则，；
故答案为：，；
③在三角尺和三角尺旋转前，，
而，
分两种情况：与相遇前，
则：， 解得：，
与相遇后，则：，
解得：，
∴当t为5秒或秒时，．
故答案为：5秒或秒
【分析】
（1）先求解时，旋转的角度，从而可得答案；
（2）①根据旋转和角的和差关系进行求解即可；
②根据角平分线平分角可得，结合平角的定义列出方程，解方程即可得到答案；
③分两种情况：与相遇前列方程；相遇后列方程，计算即可求解；
（1）解：当时，旋转的角度为，
∴边经过的量角器刻度线对应的度数是；
（2）①当旋转时间为时，则，；
故答案为：，；
②如图，
由旋转可得，，
平分，，
，
，
，
，
，
解得：，
当秒时，边平分；
③在三角尺和三角尺旋转前，，
而，
分两种情况：与相遇前，
则：， 解得：，
与相遇后，则：，
解得：，
∴当t为5秒或秒时，．
1 / 1吉林省长春市德惠市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·德惠期末）下列物体的运动中，属于平移的是（　　）
A．电梯上下移动 B．翻开数学课本
C．电扇扇叶转动 D．篮球向前滚动
【答案】A
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：A、电梯上下移动是平移，故本选项符合题意；
B、翻开数学课本为旋转，故本选项不符合题意；
C、电扇扇叶转动为旋转，故本选项不符合题意；
D、篮球向前滚动为旋转，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
2．（2024七下·德惠期末）以下是有关环保的四个标志，从图形的整体看，是轴对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、此图案不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、此图案是轴对称图形，故B符合题意；
C、此图案不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此图案不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐一判断即可解答．
3．（2024七下·德惠期末）木工师傅准备钉一个三角形木架，已有两根长为2和5的木棒，木工师傅应该选择如下哪根木棒（　　）
A．2 B．3 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为xcm，
由三角形三边关系定理可知，5﹣2＜x＜5+2
3＜x＜7，
故答案为：C．
【分析】
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，计算即可求解．
4．（2024七下·德惠期末）下列等式变形正确的是（　　）
A．如果x＝y，那么x＋2＝y﹣2
B．如果3x﹣1＝2x，那么3x﹣2x＝﹣1
C．如果2x＝，那么x＝1
D．如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6
【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、如果x＝y，那么x＋2＝y+2，故A不符合题意；
B、如果3x﹣1＝2x，那么3x﹣2x＝1，故B不符合题意；
C、如果2x＝，那么，故C不符合题意；
D、如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】
根据等式的基本性质：在等式的两边都加上或减去同一个数或（整式），所得的结果仍然是等式，在等式的两边都乘以或除以同一个不为0的数或整式，所得的结果仍然是等式，逐一判断即可解答.
5．（2024七下·德惠期末）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式组，
可得该不等式的解集为：，
解集在数轴上表示为：
．
故答案为：B．
【分析】
先解不等式得到，再根据在数轴上表示不等式的解集画图的依据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则画出图形即可解答．
6．（2024七下·德惠期末）如图是某小区花园内用正边形铺设的小路的局部示意图，若用块正边形围成的中间区域是一个小正方形，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：正方形的一个内角是，
正边形的一个内角，
正边形的一个外角，
，
故答案为：C．
【分析】
根据镶嵌满足的条件：在小正方形的顶点处可以拼成求出正边形的一个内角，进而得到一个外角的度数，根据多边形的外角和是即可解答．
7．（2024七下·德惠期末）如图，，将直角三角形沿着射线方向平移，得到三角形，并且，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】梯形；平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：∵直角三角形沿着射线方向平移，得到三角形，并且，，
∴，，，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用图形平移的性质可得，，，再利用三角形的面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
8．（2024七下·德惠期末）车队运送一批货物．若每车装4吨，剩下8吨未装；若每车装5吨，则剩余1辆车．甲、乙两人设该车队有x辆车，丙、丁两人设这批货物有y吨，分别列出如下方程：甲：；乙：；丙：；丁：．其中所列方程正确的是（　　）
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设该车队有x辆车，则
，
故甲正确，乙错误；
设这批货物有y吨，则
故丙正确，丁错误；
所以甲、丙正确；
故答案为：A.
【分析】
设这个车队有x辆车，根据题意可知等量关系为：两种装法货物的总量是一定的，据此列方程，设这批货物有y吨， 根据题意可知等量关系为：两种装法货物的车数差1辆，据此列方程，由此判断即可解答．
9．（2024七下·德惠期末）已知x=2关于的方程2x+a＝1的解，则a的值等于　 　．
【答案】-3
【知识点】解一元一次方程；估计方程的解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵x＝2是关于x的方程2x+a＝1的解，
∴2×2+a＝1，
解得a＝-3．
故答案为：-3．
【分析】
根据一元一次方程的解的定义：把x＝2代入已知方程后，列出关于a的新方程，通过解新方程来求a的值即可解答．
10．（2024七下·德惠期末）已知，则整式的值为 　 　．
【答案】1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】
先根据已知条件得到，然后把整体代入所求式子中进行求解即可解答．
11．（2024七下·德惠期末）不等式的最大整数解是　 　．
【答案】1
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴不等式的最大整数解是．
故答案为：1．
【分析】
根据解一元一次不等式的步骤：移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集为，可求出最大整数解，解答即可．
12．（2024七下·德惠期末）如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得∠α＝　 　°．
【答案】60
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图：
左边的三角形中，b所对的角为180°﹣65°﹣55°＝60°，
两个三角形全等中，相等的边是对应边，两三角形中，长度为b的边是对应边，它们对的角是对应角，
∴∠α＝60°
故答案为：60．
【分析】
根据全等三角形的对应边相等、对应角相等，可知道∠α＝60°，找准对应角即可解答．
13．（2024七下·德惠期末）如图，D、E分别为和的中点．的面积为5，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵E为的中点．
∴是中边上的中线，
∴，
∵D为的中点．
∴是中边上的中线，
∴，
故答案为：.
【分析】
根据三角形中线平分三角形的面积得到，则，计算即可解答.
14．（2024七下·德惠期末）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为　 　度．
【答案】
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵正五边形的每一个内角为，
由折叠的性质可知：
∴，
同理由折叠的性质得：，，
∴，，
在中：，
故答案为：．
【分析】
根据内角和公式求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理计算即可解答．
15．（2024七下·德惠期末）解方程组：．
【答案】解：
②①得
解得
将代入①得
解得
则方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组：由②①可得y的值，将代入①可得x的值，计算即可解答．
16．（2024七下·德惠期末）解方程：．
【答案】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】根据解一元一次方程的步骤去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可解答．
17．（2024七下·德惠期末）小米同学求解一元一次不等式的过程：
解不等式：. 解：去分母，得.第一步 去括号，得.第二步 移项，得.第三步 合并同类项，得.第四步 系数化为1，得.第五步 所以原不等式的解为.
（1）该解题过程中从第_________步开始出现错误；
（2）请你按照上面演算步骤写出正确的解答过程.
【答案】（1）一
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
∴原不等式的解集为．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，解题过程中去分母的时候1漏乘6，
∴ 该解题过程中从第一步开始出现错误，
故答案为：一.
【分析】（1）根据去分母可知每一项都要乘以最小公分母，据此即可求解；
（2）根据求解一元一次不等式的过程进行求解即可．
18．（2024七下·德惠期末）在正边形中，每个内角与每个外角的度数之比为
（1）求的值；
（2）正五边形每个顶点可引出的对角线的条数为________，正五边形对角线的总条数为________．
【答案】（1）解：设每个内角的度数为，每个外角的度数为，则：，
∴，
∴，
∴；
（2）2，5
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（2）正五边形每个顶点可引出的对角线的条数为：，
正五边形对角线的总条数为：；
故答案为：2，5.
【分析】（1）由题意可设每个内角的度数为3x°，每个外角的度数为2x°，根据多边形的一个外角与之相邻的内角互补列出方程求出x的值，从而可求出该多边形每一个外角的度数，进而用外角和的总度数360°除以一个外角的度数即可求出该多边形的边数；
（2）根据从n多边形的一个顶点出发可以引出(n-3)条对角线，总共有条对角线，进行求解即可．
（1）解：设每个内角的度数为，每个外角的度数为，
则：，
∴，
∴，
∴；
（2）正五边形每个顶点可引出的对角线的条数为：，正五边形对角线的总条数为：；
故答案为：2，5
19．（2024七下·德惠期末）某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为千米，超过千米的部分按每千米另收费，甲说：“我乘这种出租车走了千米，付了元”；乙说：“我乘这种出租车走了千米，付了元”请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过千米后，每千米的车费是多少元？
【答案】解：设这种出租车的起步价是元，超过千米后，每千米的车费是元，
由题意得：，
解得：，
答：这种出租车的起步价是元，超过千米后，每千米的车费是元．
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程组的实际应用-行程问题；二元一次方程组的实际应用-计费
【解析】【分析】设这种出租车的起步价是元，超过千米后，每千米的车费是元，根据“乘车千米，付了元；乘车千米，付了元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可解答．
20．（2024七下·德惠期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点的对应点．
（1）画出；
（2）连接、，那么与的数量关系是________；
（3）画出的边上的中线；
（4）平移后，线段扫过的部分所组成的封闭图形的面积为________．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）
（3）解：如图，即为所求；
（4）9
【知识点】三角形的面积；平移的性质；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法；三角形的中线
【解析】【解答】
解：（2）由平移的性质可知：；
故答案为：；
（4）线段扫过的部分为四边形，
由图可知：四边形的面积为：．
【分析】
（1）根据平移的性质把 中的点A，C分别向右平移4格，向下平移1格，画出即可解答；
（2）根据平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等；解答即可；
（3）取的中点，连接即可；
（4）分割法求面积即可解答．
（1）解：如图，即为所求；
（2）由平移的性质可知：；
故答案为：；
（3）如图，即为所求；
（4）线段扫过的部分为四边形，
由图可知：四边形的面积为：．
21．（2024七下·德惠期末）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：
（1）的度数；
（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵（已知），
∴________，
∴（________）
∴________________（等量代换）．
（2）∵________，
∴________（等式的性质），
∴（已知），
∴________（等量代换）．
【答案】解：（1）∵（已知），
∴，
∴（三角形外角的性质）
∴（等量代换）．
（2）∵，
∴（等式的性质），
∴（已知），
∴（等量代换）．
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得∠CDB=90°，然后根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”，进行求解即可；
（2）根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”，可得∠A=∠EBC-∠ACB，从而代入计算进即可．
22．（2024七下·德惠期末）如图，中，，，，．若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为秒．
（1）当________秒时，把的周长分成相等的两部分；
（2）当为何值时，的面积恰好等于面积的一半？
【答案】（1）6
（2）解：∵三角形的中线平分三角形的面积，
∴当点为边的中点或点为边的中点时，=，
当点为边的中点时，即，
则，
∴点P的运动的路程，
即，
解得，
当点P是中点时，此时，；
综上所述，满足条件的t的值为或2．
【知识点】三角形的面积；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）在中，，，，，
∴的周长，
当把的周长分成相等的两部分时，
点P运动的路程的周长，
即，
解得，
∴当秒时，把的周长分成相等的两部分；
故答案为：6.
【分析】
（1）点P运动的路程是三角形的周长的一半，先求得周长为24，再根据点P运动的路程速度时间，由此列出方程，求解可得t的值；
（2）分点为边的中点和点为边的中点，两种情况进行求解即可解答．
（1）解：在中，，，，，
∴的周长，
当把的周长分成相等的两部分时，
点P运动的路程的周长，
即，
解得，
∴当秒时，把的周长分成相等的两部分；
（2）∵三角形的中线平分三角形的面积，
∴当点为边的中点或点为边的中点时，的面积恰好等于面积的一半，
当点为边的中点时，即，
则，
∴点P的运动的路程，
即，
解得，
当点P是中点时，此时，；
综上所述，满足条件的t的值为或2．
23．（2024七下·德惠期末）【问题初探】
（1）如图1，在中，请说明：，为解决这一问题，同学们多用于下列两种思路：
①如图2，延长到，过点作射线，相当于把都移到了顶点的位置，利用图形特点获得的数量关系；
②如图3，过点作直线，相当于把都移到了顶点的位置，再利用图形特点获得的数量关系；
请你选择上述的一种思路，说明的内角和为．
【类比分析】
（2）如图4，已知，过点作直线为线段上一点，连接，若，求的度数．
【学以致用】
（3）如图5，，若，，请你判断三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】解：（1）选择①，如图2 延长到，过点作射线，
；
选择②，如图3过点A作，
，，
；
（2）如图4，作，则，
，
，
，
，
，
；
（3），理由如下：
如图5，延长交于点，延长交于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）①由平行线的性质，得到再结合平角求解即可；
②由平行线的性质，得到，，再结合平角求解即可；
（2）作，则，推出，得到，进而得到，即可求出的度数；
（3）延长交于点，延长交于点，根据平行线的性质，得到，，由，得出，进而推出，由，得出，再根据三角形外角的性质，得到，即可证明结论．
24．（2024七下·德惠期末）一副三角尺（分别含、、和、、）按如图1所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（，），将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为（秒）．
（1）当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是________度；
（2）如图2，若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．．
①用含的代数式表示：（________）°； （________）°；
②当为何值时，边平分；
③直接写出当为何值时，
【答案】（1）
（2）解：①，；
②如图，
由旋转可得，，
平分，，
，
，
，
，
，
解得：，
当秒时，边平分；
③5秒或秒
【知识点】解一元一次方程；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）当时，旋转的角度为，
∴边经过的量角器刻度线对应的度数是；
（2）①当旋转时间为时，则，；
故答案为：，；
③在三角尺和三角尺旋转前，，
而，
分两种情况：与相遇前，
则：， 解得：，
与相遇后，则：，
解得：，
∴当t为5秒或秒时，．
故答案为：5秒或秒
【分析】
（1）先求解时，旋转的角度，从而可得答案；
（2）①根据旋转和角的和差关系进行求解即可；
②根据角平分线平分角可得，结合平角的定义列出方程，解方程即可得到答案；
③分两种情况：与相遇前列方程；相遇后列方程，计算即可求解；
（1）解：当时，旋转的角度为，
∴边经过的量角器刻度线对应的度数是；
（2）①当旋转时间为时，则，；
故答案为：，；
②如图，
由旋转可得，，
平分，，
，
，
，
，
，
解得：，
当秒时，边平分；
③在三角尺和三角尺旋转前，，
而，
分两种情况：与相遇前，
则：， 解得：，
与相遇后，则：，
解得：，
∴当t为5秒或秒时，．
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