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吉林省长春市九台区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·九台期末）下列方程中，解为的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的解；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解： A：，解得x=-1，故A错误；
B： ，解得x=-1，故B错误；
C： ，解得x=3，故C错误；
D： ，解得x=1，故D正确；
故答案为：D.
【分析】解简单的一元一次方程，会利用等式的基本性质进行移项、系数化为1等。或者代入验证也可以。
2．（2024七下·九台期末）已知线段，则下列线段中，能与a，b组成三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：三角形三边关系满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，，即第三边介于2和14之间，选项中只有符合．
故答案为：
【分析】
三角形三边关系满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行求解即可得出答案．
3．（2024七下·九台期末）某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购瓷砖形状可能是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正九边形
【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A中，由正五边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，所以A不符合题意；
B中，由正六边形的一个内角度数为，能整除，能进行平面镶嵌，所以B符合题意；
C中，由正七边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，所以C不符合题意；
D中，由正九边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，所以D不符合题意；
故选：B.
【分析】本题主要考查了平面镶嵌，判只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，结合选项，分别求得正五边形，正六边形，正七边形和正九边形的内角度数，据此逐一分析判断，即可求解．
4．（2024七下·九台期末）观察下列几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵等腰三角形是轴对称图形，平行四边形是中心对称图形，半圆是轴对称图形，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形；
故答案为：C．
【分析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；逐一判断即可解答.
5．（2024七下·九台期末）已知二元一次方程组：①；②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是（　　）
A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法
C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法
【答案】B
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：已知二元一次方程组：①；②；③；④，
解以上方程组比较适合选择的方法是：①③用代入法，②④用加减法．
故答案为：B．
【分析】
根据①中x、y的关系为，③中x、y的关系为，①③用代入法，②④用加减法．
6．（2024七下·九台期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性；
故答案为：A．
【分析】
钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性，即可选择正确答案．
7．（2024七下·九台期末）如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：∠DOB=85°，
∵由旋转的性质可知：△DCO≌△BAO，
∴∠D=∠B=40°，
∴∠AOB=180°-40°-110°=30°
∴∠α=85°-30°=55°
故答案为：C．
【分析】
根据旋转的性质对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角即可得∠DOB=85°，由旋转前、后的图形全等可知△DCO≌△BAO，∠D=∠B=40°，计算即可解答.
8．（2024七下·九台期末）一商家进行促销活动，某商品的优惠措施是“第二件商品半价”.现购买2件该商品，相当于这2件商品共打了（　　）
A．5折 B．5.5折 C．7折 D．7.5折
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设第一件商品x元，买两件商品共打了y折，根据题意可得：
x+0.5x=2x ，解得：y=7.5
即相当于这两件商品共打了7.5折.
故答案为：D.
【分析】根据题意设第一件商品x元，买两件商品共打y折，则售价可以列出方程，求解即可.
9．（2024七下·九台期末）如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是　 　.
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数=360°÷60°=6。
【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，得出正多边形的边数。
10．（2024七下·九台期末）如果一个等腰三角形的两边长分别是5和7，则这个三角形的周长是　 　.
【答案】17或19
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当腰是5，底边是7时：能构成三角形，则其周长=5+5+7=17.
②当底边是5，腰长是7时，能构成三角形，则其周长=5+7+7=19.
故答案为：17或19.
【分析】题中给出等腰三角形的两边长分别是5和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系（在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）验证能否组成三角形.
11．（2024七下·九台期末）如图，线段和相交于点O，，，则的度数是　 　度．
【答案】35
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由三角形得内角和定理可得：
，
由对顶角相等可知：，
∴，
∵，
∴．
故答案为：35．
【分析】
根据三角形内角和定理得到，结合对顶角相等，再进行计算即可解答．
12．（2024七下·九台期末）如图，正方形的边在正五边形的边上，则　 　．
【答案】18
【知识点】多边形内角与外角；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形AMNP是正方形，五边形ABCDE是正五边形，
∴，，
∴.
故填：18.
【分析】根据多边形内角和公式求出∠EAB=108°，根据正方形的四个角都是直角得出∠PAM=90°，根据∠PAE=∠EAB-∠PAB即可求解.
13．（2024七下·九台期末）如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为　 　．
【答案】10cm
【知识点】轴对称的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴AG=AP，PB=BH，
∵GH的长为10cm，
∴△PAB的周长为：AP+PB+AB=AG+AB+BH=GH=10cm，
故答案为：10cm．
【分析】
根据两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AG=AP，PB=BH，然后表示出三角形周长，计算可得答案．
14．（2024七下·九台期末）如图，在中，，，，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形的高；面积及等积变换
【解析】【解答】解：∵，
∴都是的高，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】
根据三角形的面积等于，即根据等面积法得，即可解答．
15．（2024七下·九台期末）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
【答案】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°=3×360°﹣180°，
n﹣2=6﹣1，
n=7．
∴这个多边形的边数是7
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
16．（2024七下·九台期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：______，得 第一步
去括号，得 第二步
移项，得 第三步
合并同类项，得 第四步
方程两边同除以2，得 第五步
（1）以上求解步骤中，第一步进行的是______；
（2）以上求解步骤中，第______步开始出现错误；
（3）请写出正确解方程的过程．
【答案】（1）去分母
（2）三
（3）解：
两边同乘6得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
两边同除以2，得．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，
故答案为：去分母；
（2）以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号，
故答案为：三；
【分析】
（1）根据解一元一次方程的步骤：先去分母解答即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤：移项跨过等号时要变号，解答即可；
（3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可．
（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，
故答案为：去分母；
（2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号，
故答案为：三；
（3）解：
两边同乘6得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
两边同除以2，得．
17．（2024七下·九台期末）如图，在中，，，平分，求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的外角，
∴．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】
由三角形的内角和可求得的度数，再由角平分线的定义可求得的度数，利用三角形的外角性质即可求的度数．
18．（2024七下·九台期末）已知方程组的解，，求的取值范围．
【答案】解：
①-②得：，解得：
将代入②可得：，
∵，，
∴，解得：．
故的取值范围：．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】将方程组中的两个方程相减可得y=3+m，将y=3+m代入第二个方程中可得x=-2m-1，然后根据x≥2、y>0可得关于m的不等式组，求解即可.
19．（2024七下·九台期末）如图，将沿方向平移得到，其中，，，求阴影部分的面积．
【答案】44
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可得：，，
∴，，
∵，
．
∴．
∵，，
∴，
∴
，
∴阴影部分的面积为44．
故答案为：44.
【分析】
由于平移不改变图形的形状和大小。图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等；因而可得减去公共部分即可得，再用梯形的面积公式计算即可解答．
20．（2024七下·九台期末）图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点都在格点上．（提醒：①每个小正方形边长1cm；②所画图中不用标注顶点字母）
（1）在图1中，画出将△ABC水平向右平移2cm的格点三角形．
（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形．
（3）在图3中，画出一个以点C为对称中心，与△ABC成中心对称的格点三角形．
【答案】（1）解：由题意知，向右平移2cm，如图1，
（2）解：由题意知，分两种情况作图，
①以边为公共边的，与△ABC成轴对称的格点三角形，如图2（1）；
②以边为公共边的，与△ABC成轴对称的格点三角形，如图2（2）；
（3）解：依题意作以点C为对称中心，与△ABC成中心对称的格点三角形，如图3，
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据平移的性质，作图即可，如图1；
（2）根据成轴对称可知，分两种情况作图，①以边为公共边的，与△ABC成轴对称的格点三角形，如图2（1）；②以边为公共边的，与△ABC成轴对称的格点三角形，如图2（2）；
（3）根据中心对称的定义，作以点C为对称中心，与△ABC成中心对称的格点三角形，如图3．
（1）解：由题意知，向右平移2cm，如图1，
（2）解：由题意知，分两种情况作图，①以边为公共边的，与△ABC成轴对称的格点三角形，如图2（1）；
②以边为公共边的，与△ABC成轴对称的格点三角形，如图2（2）；
（3）解：依题意作以点C为对称中心，与△ABC成中心对称的格点三角形，如图3，
21．（2024七下·九台期末）科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹．
（1）求，两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹；
（2）快递公司计划再购进，两种机器人共200台．若要保证购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件，求最多应购进种机器人的台数．
【答案】（1）解：设A，B两种机器人每台每小时各分拣x件、y件包裹，
依据题意得：，
解得：，
∴A，B两种机器人每台每小时各分拣40件、50件包裹；
（2）解：设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台，
依据题意得：40m+50（200-m）≥9000，
解得：m≤100，
∴最多应购进A种机器人100台.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A，B两种机器人每台每小时各分拣x件、y件包裹，根据”启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹“列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可；
（2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台，根据”购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件“列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，再取最大整数解即可.
（1）设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，
根据题意，得
解得，
答：A种机器人每台每小时分拣40件包裹，B种机器人每台每小时分拣50件包裹．
（2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台．
根据题意，得40m+50（200-m）≥9000，
解得m≤100．
答：最多应购进A种机器人100台．
22．（2024七下·九台期末）（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；
（2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________；
（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________；
（4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由．
【答案】解：（1）；（2）；（3）；
（4），理由见下：
由题意得，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；余角
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）由（1）和（2）得，，
∵，
∴，
∴．
【分析】
（1）根据直角三角形两锐角互余可得，由三角形的外角性质可得，，即可得到，代入角度计算即可解答；
（2）根据三角形的内角和为得到，由三角形的外角性质可得，，即可得到，代入角度计算即可解答；
（3）根据（1）和（2）可知，，根据，即可解答；
（4）根据折叠的性质得，根据全等三角形的性质得到，，由平角的性质得到，，叠加起来可得，由三角形的内角和为得，再根据等量代换，即可解答．
23．（2024七下·九台期末）如图，在中，，，，，点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）如图①，若点P在线段上运动，点Q在线段上运动，当t为何值时，；
（2）如图②，当t为何值时，的面积等于面积的；
（3）直接写出时t的值．
【答案】（1）解：当P在线段上运动，Q在线段上运动时，厘米，厘米，则厘米，
∵，
∴，
∴．
即秒时，；
（2）解：当Q在线段上时，厘米，则厘米，
∵的面积等于面积的，
∴，
∴，
解得：．
即秒时，的面积等于面积的；
（3）t为4或时，
【知识点】三角形的面积；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（3）由题意可知，Q在线段上运动的时间为12秒，P在线段上运动时间为8秒，
①当时，P在线段上运动，Q在线段上运动，厘米，厘米，
则厘米，厘米，
∵，
∴，
解得；
②当时，Q在线段上运动，P在线段上运动，厘米，
则厘米，厘米，
∵，
∴，
解得；
③当时，Q在线段上运动，P在线段上运动时，
则厘米，厘米，
∵，
∴，
解得，不合题意舍去
综上所述，t为4或时，；
故答案为：t为4或时，.
【分析】
（1）当P在线段上运动，Q在线段上运动时，厘米，厘米，则厘米，由，可得方程，解方程即可．
（2）当Q在线段上时，厘米，则厘米，根据的面积等于面积的，列出方程即可解决问题．
（3）分三种情形讨论即可①当时，P在线段上运动，Q在线段上运动．②当时，Q在线段上运动，P在线段上运动．③当时，Q在线段上运动，P在线段上运动时，分别列出方程求解即可．
（1）解：当P在线段上运动，Q在线段上运动时，厘米，厘米，则厘米，
∵，
∴，
∴．
即秒时，；
（2）解：当Q在线段上时，厘米，则厘米，
∵的面积等于面积的，
∴，
∴，
解得：．
即秒时，的面积等于面积的；
（3）解：由题意可知，Q在线段上运动的时间为12秒，P在线段上运动时间为8秒，
①当时，P在线段上运动，Q在线段上运动，厘米，厘米，
则厘米，厘米，
∵，
∴，
解得；
②当时，Q在线段上运动，P在线段上运动，厘米，
则厘米，厘米，
∵，
∴，
解得；
③当时，Q在线段上运动，P在线段上运动时，
则厘米，厘米，
∵，
∴，
解得，不合题意舍去
综上所述，t为4或时，．
24．（2024七下·九台期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点E．
（1）______°；
（2）延长到点F，以为边向右侧作，交的延长线于点D，求证：；
（3）在（2）的条件下，若把直线绕点F旋转，直线和直线相交于点M，当和的一边平行时，请直接写出的度数．
【答案】（1）65
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（3）或
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形的外角性质；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（1）∵中，，
∴，
∵是的角平分线，
∴．
故答案为：65．
（3）①当与平行时，如图所示，
∴；
②当与平行时，如图所示，
∴，
③∵F在上，
∴与平行不存在，
综上所述：或．
故答案为：或
【分析】
（1）根据外角的性质得到，再由角平分线的定义计算即可解答；
（2）根据是三角形内角和得出，再根据同位角相等，两直线平行即可得证；
（3）分两种情况讨论①当与平行时②当与平行时，再利用平行线的性质计算即可．
（1）解：∵中，，
∴，
∵是的角平分线，
∴．
故答案为：65．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①当与平行时，如图所示，
∴；
②当与平行时，如图所示，
∴，
③∵F在上，
∴与平行不存在，
综上所述：或．
1 / 1吉林省长春市九台区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·九台期末）下列方程中，解为的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·九台期末）已知线段，则下列线段中，能与a，b组成三角形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·九台期末）某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购瓷砖形状可能是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正九边形
4．（2024七下·九台期末）观察下列几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·九台期末）已知二元一次方程组：①；②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是（　　）
A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法
C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法
6．（2024七下·九台期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
7．（2024七下·九台期末）如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
8．（2024七下·九台期末）一商家进行促销活动，某商品的优惠措施是“第二件商品半价”.现购买2件该商品，相当于这2件商品共打了（　　）
A．5折 B．5.5折 C．7折 D．7.5折
9．（2024七下·九台期末）如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是　 　.
10．（2024七下·九台期末）如果一个等腰三角形的两边长分别是5和7，则这个三角形的周长是　 　.
11．（2024七下·九台期末）如图，线段和相交于点O，，，则的度数是　 　度．
12．（2024七下·九台期末）如图，正方形的边在正五边形的边上，则　 　．
13．（2024七下·九台期末）如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为　 　．
14．（2024七下·九台期末）如图，在中，，，，，，则的长为　 　．
15．（2024七下·九台期末）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
16．（2024七下·九台期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：______，得 第一步
去括号，得 第二步
移项，得 第三步
合并同类项，得 第四步
方程两边同除以2，得 第五步
（1）以上求解步骤中，第一步进行的是______；
（2）以上求解步骤中，第______步开始出现错误；
（3）请写出正确解方程的过程．
17．（2024七下·九台期末）如图，在中，，，平分，求的度数．
18．（2024七下·九台期末）已知方程组的解，，求的取值范围．
19．（2024七下·九台期末）如图，将沿方向平移得到，其中，，，求阴影部分的面积．
20．（2024七下·九台期末）图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点都在格点上．（提醒：①每个小正方形边长1cm；②所画图中不用标注顶点字母）
（1）在图1中，画出将△ABC水平向右平移2cm的格点三角形．
（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形．
（3）在图3中，画出一个以点C为对称中心，与△ABC成中心对称的格点三角形．
21．（2024七下·九台期末）科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹．
（1）求，两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹；
（2）快递公司计划再购进，两种机器人共200台．若要保证购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件，求最多应购进种机器人的台数．
22．（2024七下·九台期末）（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；
（2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________；
（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________；
（4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由．
23．（2024七下·九台期末）如图，在中，，，，，点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）如图①，若点P在线段上运动，点Q在线段上运动，当t为何值时，；
（2）如图②，当t为何值时，的面积等于面积的；
（3）直接写出时t的值．
24．（2024七下·九台期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点E．
（1）______°；
（2）延长到点F，以为边向右侧作，交的延长线于点D，求证：；
（3）在（2）的条件下，若把直线绕点F旋转，直线和直线相交于点M，当和的一边平行时，请直接写出的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元一次方程的解；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解： A：，解得x=-1，故A错误；
B： ，解得x=-1，故B错误；
C： ，解得x=3，故C错误；
D： ，解得x=1，故D正确；
故答案为：D.
【分析】解简单的一元一次方程，会利用等式的基本性质进行移项、系数化为1等。或者代入验证也可以。
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：三角形三边关系满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，，即第三边介于2和14之间，选项中只有符合．
故答案为：
【分析】
三角形三边关系满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行求解即可得出答案．
3．【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A中，由正五边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，所以A不符合题意；
B中，由正六边形的一个内角度数为，能整除，能进行平面镶嵌，所以B符合题意；
C中，由正七边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，所以C不符合题意；
D中，由正九边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，所以D不符合题意；
故选：B.
【分析】本题主要考查了平面镶嵌，判只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，结合选项，分别求得正五边形，正六边形，正七边形和正九边形的内角度数，据此逐一分析判断，即可求解．
4．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵等腰三角形是轴对称图形，平行四边形是中心对称图形，半圆是轴对称图形，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形；
故答案为：C．
【分析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；逐一判断即可解答.
5．【答案】B
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：已知二元一次方程组：①；②；③；④，
解以上方程组比较适合选择的方法是：①③用代入法，②④用加减法．
故答案为：B．
【分析】
根据①中x、y的关系为，③中x、y的关系为，①③用代入法，②④用加减法．
6．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性；
故答案为：A．
【分析】
钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性，即可选择正确答案．
7．【答案】C
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：∠DOB=85°，
∵由旋转的性质可知：△DCO≌△BAO，
∴∠D=∠B=40°，
∴∠AOB=180°-40°-110°=30°
∴∠α=85°-30°=55°
故答案为：C．
【分析】
根据旋转的性质对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角即可得∠DOB=85°，由旋转前、后的图形全等可知△DCO≌△BAO，∠D=∠B=40°，计算即可解答.
8．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设第一件商品x元，买两件商品共打了y折，根据题意可得：
x+0.5x=2x ，解得：y=7.5
即相当于这两件商品共打了7.5折.
故答案为：D.
【分析】根据题意设第一件商品x元，买两件商品共打y折，则售价可以列出方程，求解即可.
9．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数=360°÷60°=6。
【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，得出正多边形的边数。
10．【答案】17或19
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当腰是5，底边是7时：能构成三角形，则其周长=5+5+7=17.
②当底边是5，腰长是7时，能构成三角形，则其周长=5+7+7=19.
故答案为：17或19.
【分析】题中给出等腰三角形的两边长分别是5和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系（在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）验证能否组成三角形.
11．【答案】35
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由三角形得内角和定理可得：
，
由对顶角相等可知：，
∴，
∵，
∴．
故答案为：35．
【分析】
根据三角形内角和定理得到，结合对顶角相等，再进行计算即可解答．
12．【答案】18
【知识点】多边形内角与外角；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形AMNP是正方形，五边形ABCDE是正五边形，
∴，，
∴.
故填：18.
【分析】根据多边形内角和公式求出∠EAB=108°，根据正方形的四个角都是直角得出∠PAM=90°，根据∠PAE=∠EAB-∠PAB即可求解.
13．【答案】10cm
【知识点】轴对称的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴AG=AP，PB=BH，
∵GH的长为10cm，
∴△PAB的周长为：AP+PB+AB=AG+AB+BH=GH=10cm，
故答案为：10cm．
【分析】
根据两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AG=AP，PB=BH，然后表示出三角形周长，计算可得答案．
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形的高；面积及等积变换
【解析】【解答】解：∵，
∴都是的高，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】
根据三角形的面积等于，即根据等面积法得，即可解答．
15．【答案】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°=3×360°﹣180°，
n﹣2=6﹣1，
n=7．
∴这个多边形的边数是7
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
16．【答案】（1）去分母
（2）三
（3）解：
两边同乘6得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
两边同除以2，得．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，
故答案为：去分母；
（2）以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号，
故答案为：三；
【分析】
（1）根据解一元一次方程的步骤：先去分母解答即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤：移项跨过等号时要变号，解答即可；
（3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可．
（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，
故答案为：去分母；
（2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号，
故答案为：三；
（3）解：
两边同乘6得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
两边同除以2，得．
17．【答案】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的外角，
∴．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】
由三角形的内角和可求得的度数，再由角平分线的定义可求得的度数，利用三角形的外角性质即可求的度数．
18．【答案】解：
①-②得：，解得：
将代入②可得：，
∵，，
∴，解得：．
故的取值范围：．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】将方程组中的两个方程相减可得y=3+m，将y=3+m代入第二个方程中可得x=-2m-1，然后根据x≥2、y>0可得关于m的不等式组，求解即可.
19．【答案】44
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可得：，，
∴，，
∵，
．
∴．
∵，，
∴，
∴
，
∴阴影部分的面积为44．
故答案为：44.
【分析】
由于平移不改变图形的形状和大小。图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等；因而可得减去公共部分即可得，再用梯形的面积公式计算即可解答．
20．【答案】（1）解：由题意知，向右平移2cm，如图1，
（2）解：由题意知，分两种情况作图，
①以边为公共边的，与△ABC成轴对称的格点三角形，如图2（1）；
②以边为公共边的，与△ABC成轴对称的格点三角形，如图2（2）；
（3）解：依题意作以点C为对称中心，与△ABC成中心对称的格点三角形，如图3，
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据平移的性质，作图即可，如图1；
（2）根据成轴对称可知，分两种情况作图，①以边为公共边的，与△ABC成轴对称的格点三角形，如图2（1）；②以边为公共边的，与△ABC成轴对称的格点三角形，如图2（2）；
（3）根据中心对称的定义，作以点C为对称中心，与△ABC成中心对称的格点三角形，如图3．
（1）解：由题意知，向右平移2cm，如图1，
（2）解：由题意知，分两种情况作图，①以边为公共边的，与△ABC成轴对称的格点三角形，如图2（1）；
②以边为公共边的，与△ABC成轴对称的格点三角形，如图2（2）；
（3）解：依题意作以点C为对称中心，与△ABC成中心对称的格点三角形，如图3，
21．【答案】（1）解：设A，B两种机器人每台每小时各分拣x件、y件包裹，
依据题意得：，
解得：，
∴A，B两种机器人每台每小时各分拣40件、50件包裹；
（2）解：设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台，
依据题意得：40m+50（200-m）≥9000，
解得：m≤100，
∴最多应购进A种机器人100台.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A，B两种机器人每台每小时各分拣x件、y件包裹，根据”启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹“列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可；
（2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台，根据”购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件“列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，再取最大整数解即可.
（1）设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，
根据题意，得
解得，
答：A种机器人每台每小时分拣40件包裹，B种机器人每台每小时分拣50件包裹．
（2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台．
根据题意，得40m+50（200-m）≥9000，
解得m≤100．
答：最多应购进A种机器人100台．
22．【答案】解：（1）；（2）；（3）；
（4），理由见下：
由题意得，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；余角
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）由（1）和（2）得，，
∵，
∴，
∴．
【分析】
（1）根据直角三角形两锐角互余可得，由三角形的外角性质可得，，即可得到，代入角度计算即可解答；
（2）根据三角形的内角和为得到，由三角形的外角性质可得，，即可得到，代入角度计算即可解答；
（3）根据（1）和（2）可知，，根据，即可解答；
（4）根据折叠的性质得，根据全等三角形的性质得到，，由平角的性质得到，，叠加起来可得，由三角形的内角和为得，再根据等量代换，即可解答．
23．【答案】（1）解：当P在线段上运动，Q在线段上运动时，厘米，厘米，则厘米，
∵，
∴，
∴．
即秒时，；
（2）解：当Q在线段上时，厘米，则厘米，
∵的面积等于面积的，
∴，
∴，
解得：．
即秒时，的面积等于面积的；
（3）t为4或时，
【知识点】三角形的面积；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（3）由题意可知，Q在线段上运动的时间为12秒，P在线段上运动时间为8秒，
①当时，P在线段上运动，Q在线段上运动，厘米，厘米，
则厘米，厘米，
∵，
∴，
解得；
②当时，Q在线段上运动，P在线段上运动，厘米，
则厘米，厘米，
∵，
∴，
解得；
③当时，Q在线段上运动，P在线段上运动时，
则厘米，厘米，
∵，
∴，
解得，不合题意舍去
综上所述，t为4或时，；
故答案为：t为4或时，.
【分析】
（1）当P在线段上运动，Q在线段上运动时，厘米，厘米，则厘米，由，可得方程，解方程即可．
（2）当Q在线段上时，厘米，则厘米，根据的面积等于面积的，列出方程即可解决问题．
（3）分三种情形讨论即可①当时，P在线段上运动，Q在线段上运动．②当时，Q在线段上运动，P在线段上运动．③当时，Q在线段上运动，P在线段上运动时，分别列出方程求解即可．
（1）解：当P在线段上运动，Q在线段上运动时，厘米，厘米，则厘米，
∵，
∴，
∴．
即秒时，；
（2）解：当Q在线段上时，厘米，则厘米，
∵的面积等于面积的，
∴，
∴，
解得：．
即秒时，的面积等于面积的；
（3）解：由题意可知，Q在线段上运动的时间为12秒，P在线段上运动时间为8秒，
①当时，P在线段上运动，Q在线段上运动，厘米，厘米，
则厘米，厘米，
∵，
∴，
解得；
②当时，Q在线段上运动，P在线段上运动，厘米，
则厘米，厘米，
∵，
∴，
解得；
③当时，Q在线段上运动，P在线段上运动时，
则厘米，厘米，
∵，
∴，
解得，不合题意舍去
综上所述，t为4或时，．
24．【答案】（1）65
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（3）或
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形的外角性质；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（1）∵中，，
∴，
∵是的角平分线，
∴．
故答案为：65．
（3）①当与平行时，如图所示，
∴；
②当与平行时，如图所示，
∴，
③∵F在上，
∴与平行不存在，
综上所述：或．
故答案为：或
【分析】
（1）根据外角的性质得到，再由角平分线的定义计算即可解答；
（2）根据是三角形内角和得出，再根据同位角相等，两直线平行即可得证；
（3）分两种情况讨论①当与平行时②当与平行时，再利用平行线的性质计算即可．
（1）解：∵中，，
∴，
∵是的角平分线，
∴．
故答案为：65．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①当与平行时，如图所示，
∴；
②当与平行时，如图所示，
∴，
③∵F在上，
∴与平行不存在，
综上所述：或．
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