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浙江省2024年初中学业水平考试数学模拟试题
1．（2024·浙江模拟）（﹣2）3=（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：原式=﹣8，
故选C．
【分析】原式利用乘方的意义计算即可得到结果．此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
2．（2024·浙江模拟）作为全球首家商业运营C919 国产大飞机的航空公司，东航于 2023 年5月 28日圆满完成 C919全球商业首航，截至2023年 10 月 16 日，东航 2架 C919 飞机累计安全飞行小时.数据1 695.48用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】本题主要考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．本题先将1695.48变形，其中a是1.65948，然后确定n=3，最后写出即可。
3．（2024·浙江模拟）下列计算结果是负数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则；求有理数的绝对值的方法；有理数的加法法则；求算术平方根
【解析】【解答】解：A，，结果是正数，不选；
B，，结果是正数，不选；
C，，结果是负数，当选；
D，，结果是正数，不选；
故答案为：C．
【分析】本题考查绝对值、有理数的加法和乘法运算、算术平方根，根据运算法则逐项计算，然后找到对应的结果是负数的选项即可．
4．（2024·浙江模拟）下图是由四个相同的正方体堆砌而成的几何体，该几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看到的图形为： 3个小正方形排成一行，
因此该几何体的俯视图是。
故答案为：D．
【分析】本题考查判断简单几何体的三视图，俯视图是从物体的上面往下看得到的视图，因此D选项正确。A选项是主视图，C选项是左视图.
5．（2024·浙江模拟）如图，点O为凸透镜的光心，点 F 为凸透镜的焦点，根据凸透镜成像规律：过光心的光线经凸透镜后传播方向不变；过焦点 F的光线经凸透镜折射后，折射光线平行于主光轴.现发光点 S发出的光经过凸透镜折射后所成的像为，已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意知，
，
∵，
。
故答案为：A．
【分析】首先根据“两直线平行、内错角相等”，可得，再放到△SBS'中根据三角形内角和为180度即可求解．
6．（2024·浙江模拟）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有牛五羊二，直金十两.牛二羊五，直金八两.问牛羊各直金几何 其大意是：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少 设每头牛值x两金，每头羊值y两金，则可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据“牛5头，羊2头，共值金10两”可列式为，
根据“牛2头，羊5头，共值金8两”可列式为，
可列方程组为，
故答案为：B．
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．根据条件“牛5头，羊2头，共值金10两”和“牛2头，羊5头，共值金8两”分别列出方程，然后联立方程组即可.
7．（2024·浙江模拟）为检测学生体育锻炼效果，从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示．对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是（　　）
A．中位数是5 B．众数是5 C．平均数是5.2 D．方差是2
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：根据条形统计图可得，
从小到大排列第5和第6人投篮进球数都是5，故中位数是5，选项A不符合题意；
投篮进球数是5的人数最多，故众数是5，选项B不符合题意；
平均数，故选项C不符合题意；
方差，故选项D符合题意.
故答案为：D．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
8．（2024·浙江模拟）如图，在中，，.是边的中点，过点作的平行线，交以为直径的于点，交于点，连接 并延长，交于点，则的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵是的中点，，
∴，且H是CD的中点，
∴F是DG的中点，HF=CG，
∵AE=EF=5，EH=BC=6，
∴，CG=2HF=2，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线性质等知识。
因为平行四边形ABCD中的EH∥AD，所以四边形AEHD和四边形EBCH也是平行四边形，这样就有H是CD的中点；然后放到△DGC中，发现HF是中位线，此时利用三角形中位线性质即可列出HF与CG的关系，并计算出HF的长度，然后计算出CG的长度，最后计算出BG 的长度。
9．（2024·浙江模拟）已知二次函数与轴只有一个交点，且图象经过两点，，则满足的关系为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵点的纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵二次函数与轴只有一个交点，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】首先点的纵坐标相同，利用对称轴公式可得，再由二次函数与轴只有一个交点，利用△判别式得，最后把代入二次函数解析式并进行变形，即可求解.
10．（2024·浙江模拟）如图，在矩形中，，，点在线段上(不与点，点重合)，，则的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，交于，作平分，交于，如图所示
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，，
故答案为：．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形外角性质，相似三角形的判定和性质。
利用矩形性质以及勾股定理，得出AC和AO的长度，然后利用三角形的外角性质以及矩形对角线的性质，即得，从而求出，由平分，推出得到，并证明出，即可得出相似比，最后列式计算即可.
11．（2024·浙江模拟）因式分解： 　 　．
【答案】（2+a）（2-.a）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：4-a2=（2+a）（2-a）.
故答案为：（2+a）（2-a）.
【分析】观察此多项式的特点：有两项，都能写成平方形式且两项的符号相反，因此利用平方差公式分解因式.
12．（2024·浙江模拟）两个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的小球.甲袋中有2 个红球，1个白球，乙袋中有1 个红球，1个白球．搅匀后，从两个袋子中各随机摸出一个球，则摸出的两个球都为白球的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：，
即从两个袋子中各随机摸出一个球，则摸出的两个球都为白球的概率为。
故答案为：．
【分析】本题考查概率的计算。可以画图来观察，也可以通过分析计算得出答案。甲袋中一共有3个球，其中有一个是白球，因此摸到白球的概率是；乙袋中一共有2个球，其中有一个是白球，因此摸到白球的概率是；所以从两个袋子中各随机摸出一个球，则摸出的两个球都为白球的概率就是。
13．（2024·浙江模拟）如图，已知线段，分别以点 A、点 B 为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点 C，连结，则　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；尺规作图-作三角形；求正切值
【解析】【解答】解：由作图知，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
【分析】根据作图的步骤，可以判断出是等边三角形，然后根据等边三角形内角是60度，利用特殊角三角函数计算即可求解．
14．（2024·浙江模拟）关于的一元二次方程（，和为常数)的两个根分别为，则抛物线的对称轴为直线　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的两个根分别为，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线。
故答案为：．
【分析】由一元二次方程根和系数的关系可得，然后由二次函数对称轴方程列式计算即可。
15．（2024·浙江模拟）如图，与直线l相交，圆心O到直线l 的距离，在直线l上取点B使，将直线l绕点B逆时针旋转后得到的直线m，若直线m恰好与相切于点C，则的半径为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵圆心O到直线l 的距离，
∴
∵
∴，
∴
∵将直线l绕点B逆时针旋转后得到的直线m，
∴
∴
∵直线m恰好与相切于点C，
∴
∴
∴，
∴
∴
∴的半径为．
故答案为：．
【分析】连接OB，OC，由题意易得OA⊥AB，由∠ABO的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出∠ABO=30°，进而利用勾股定理算出OB的长，由旋转的性质及角的和差求出∠CBO=45°，由切线性质“圆的切线垂直经过切点的半径”得∠OCB=90°，进而根据等腰直角三角形的性质及勾股定理可算出OC的长，从而得出答案.
16．（2024·浙江模拟）如图，正方形中，点在边上，且，点在边 上，点 在边上，．
()若，则的长为　 　；
()若与相似，则的长为　 　．
【答案】；或
【知识点】正方形的性质；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（）∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
（）情况，即，
∴，
则四边形为矩形，
∴；
情况，则，
由（）得，，即，
∴，
∴，
∴，
∵由（）得，，
∴，
∴，即点和点重合，
∵，
∴；
综上，的长为或，
故答案为：（1）；（2）或．
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的的判定和性质，三角函数，勾股定理，利用数形结合和分类讨论思想解答是解题的关键．
（）利用正方形的性质和角度变换，可以证明出，得到相似比，由得到求出，进而可得，，再利用勾股定理列式即可求解；
（）分和两种情况，画出图形解答即可求解.
17．（2024·浙江模拟）化简并求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，
原式
，
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的运算法则对整式进行去括号、合并同类项进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解.
18．（2024·浙江模拟）已知平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数(为常数，)的图象都经过点和点，求的值．
【答案】解：反比例函数的图象经过点和点，
，即，
反比例函数为，
，即，
一次函数的图象经过点和点，
，解得，
，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】首先根据一次函数与反比例函数都经过A、B两点，利用待定系数法求出反比例函数的解析式和a的值，然后再次利用待定系数法将A、B两点的坐标代入一次函数中，列出二元一次方程组求出K1和b的值即可.
19．（2024·浙江模拟）如图，为的直径，是上一点，连结，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，连接，与相交于点．
（1）求证： ；
（2）若求线段的长．
【答案】（1）证明：∵ 以点为圆心，的长为半径作弧交于点
∴，，
∴，
∴
（2）解：连接，如图所示
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，，
∴，
∴，
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（）根据作图步骤可得，，然后根据垂径定理即可得出证明结果；
（）首先得出，然后结合（1）的结论可以得出、、，利用特殊角的三角函数以及“30°角对应的直角边是斜边的一半”，即可求出BE的值。
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
20．（2024·浙江模拟）某校九年级共个班准备开展数学项目化学习，学生根据前期调研确定了“时光刻漏”“制作杆秤”“话说杭州”三个项目，每个班单独成立学习小组，其中每人为一个小组(若最后剩余不足人，则剩余的学生全部加入其中一个已成立的小组；否则剩余的学生单独成立一个学习小组)，每小组只选择一个项目进行研究学习，依据收集的学生选择情况，绘制了如下表格：
课题 频数 频率
“时光刻漏”
“制作杆秤”
“话说杭州”
结合上述信息回答下列问题：
（1）________；________.
（2）方方根据表格估计该校九年级的人数，方方说：“根据表格信息我可以估计出该校九年级至少有人．”方方的说法是否正确？请说明理由．
【答案】（1），
（2）解：方方的说法不正确，理由如下：
∵每个班的学生人数为人，
∴九年级共个班的学生人数至少有人
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，，
每个班的学生人数为人，
∴，
故答案为：，.
【分析】本题考查了频数分布表，样本估计总体。
（）频率之和为“1”，因此用减去另外两个课题的频率可得到；根据“总数等于频数除以频率”，用“话说杭州”的人数和频率求出每个班的学生人数，再乘以即可得到；
（）用每个班的学生人数乘以班级数即可判断求解.
（1）解：由题意可得，，
每个班的学生人数为人，
∴，
故答案为：，；
（2）解：方方的说法不正确，理由如下：
∵每个班的学生人数为人，
∴九年级共个班的学生人数至少有人．
21．（2024·浙江模拟）在劳动课上，小华同学所在小组进行了风筝框架设计比赛
（1）小华设计的风筝框架平面图如图1，已知. 与 交于点O，求证：
（2）小明提出了改进建议：制作风筝框架只需要两个支架和 (如图2)，当垂直平分时即可固定风筝.现在有总长度为的细木条用于制作该风筝框架，小明同学想做面积最大的风筝，请你帮他设计：当为何值时，风筝的面积最大，面积最大值为多少？
【答案】（1）证明：，，
，
，
即平分，
又，
（2）解：设，则，
垂直平分，
，，
风筝的面积，
，
，
当时，取最大值1800，
即为时，风筝的面积最大，面积最大值为
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先用“SSS”证明，这样可以推出，然后根据等腰三角形三线合一即可证明；
（2）利用面积相等，列出风筝的面积S关于x的二次函数关系式，然后变形为顶点式，即可求出最值.
（1）证明：，，
，
，
即平分，
又，
；
（2）解：设，则，
垂直平分，
，，
风筝的面积，
，
，
当时，取最大值1800，
即为时，风筝的面积最大，面积最大值为．
22．（2024·浙江模拟）综合与实践
【问题情境】
在一次数学探究课上，老师带领大家一起研究特殊三角形的性质.
圆圆小组对直角三角形进行了各种类型的折叠探究，并尝试用数学方法说明发现的结论.
类型．如图，沿着折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，他们发现：点的位置与 和的长有关．
问题.若，，则________．
【变式探究】
类型．如图，点为上一点，沿着折叠，恰好落在上，点的对称点为，折痕交于点．
问题．若，则 ．
请猜测与有何关系，并证明．
【拓展思考】
方方小组对等腰三角形进行了各种折叠探究.如图，在等腰三角形中，为底边，为钝角，点为边上一点，将沿直线翻折得到．
问题．若，，求的长．
【答案】问题1：
问题2：；
猜测：．
证明：由折叠可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即。
问题，解：连接，与相交于点，如图所示
由折叠可得，，，
∴，
∵，
∴为的中位线，，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：问题：由折叠可得，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴。
问题：由折叠可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；.
【分析】问题．由折叠可得，，然后放到在中，用勾股定理列出方程，解方程求出即可求解；
问题 ．证明，进而利用相似比可得，又由即可求解；．同理即可求证；
问题．连接，与相交于点，由折叠可得，，进而可得为的中位线，得到，利用勾股定理求出AO的长度和BO的长度，BD的长度即可求出。
23．（2024·浙江模拟）在生活中，我们会观察到这样的现象：当道路上车辆增多，车流密度增大，司机会被迫降低车速；当车流密度减小，车速又会增加.我们通常用车流密度K，速度 v，交通量Q对道路的交通状况进行宏观描述.车流密度K 是指在单位长度(通常为)路段上，一条道路上某一瞬时的车辆数，它是表示在一条道路上车辆的密集程度.交通量Q是指单位时间(通常为1小时)通过道路某断面的车辆数目.已知车流速度 v(单位：)是车流密度K(单位：辆)的函数.某城市某条道路上，v关于K的函数图象如图所示.
当车流密度时，则速度v的值为理论最高值；
②当车流密度时，v关于K 的函数关系为 (a，b是常数)，若车流密度K达到最大值270时，则.已知v关于K 的函数图象经过.
（1）若辆时，求对应v的值.
（2）点是图象上一个动点，过点 P 作横轴的垂线交于点 E，作纵轴的垂线交于点 D，此时矩形所围成的面积为交通量Q(单位：辆/小时)，求交通量Q的最大值.
【答案】（1）解：若车流密度K达到最大值270时，则，
，
将、代入，得：，
解得，
v关于K 的函数关系为，
将代入，得：
即辆时，对应v的值为
（2）解：由（1）知v关于K 的函数关系为，
，，
，
，
当时，Q取最大值，最大值为6075
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用：
（1）首先确定C点的坐标，然后将B、C点的坐标代入，列出二元一次方程组即可求出a，b，再将代入求解；
（2）根据列出Q关于K的二次函数关系式，变形为顶点式即可求出最值．
（1）解：若车流密度K达到最大值270时，则，
，
将代入，得：，
解得，
v关于K 的函数关系为，
将代入，得：
即辆时，对应v的值为；
（2）解：由（1）知v关于K 的函数关系为，
，，
，
，
当时，Q取最大值，最大值为6075．
24．（2024·浙江模拟）如图1，是等边三角形，点 D，点 E分别是，上的动点，且满足，连接，交于点H，以为直径作交于点F．
（1）求证：．
（2）如图 2，连接，
①若求直径的长．
②若，当时，用含λ的代数式表示a．
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
在中，
，
∴
（2）解：①由（1）可得，∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理可得：；
②作于点N，
，
由①得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
，
∴，
∴，
∴
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、直径所对的圆周角为直角、三角形内角和、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质，利用数形结合，找到角度之间的关系以及边长之间的关系是解题的关键．（1）根据等边三角形的性质得到边长及角度，然后利用“SAS”即可证明出两个三角形全等；
（2）①根据三角形全等的性质得到对应角相等，再根据等边三角形的性质及三角形内角和定理得到各个角度，根据角度得到边长，最后根据勾股定理可求得结果；②作出辅助线之后，由①得可以到，然后根据边长之间的关系得到，结合直径所对的角为直角可得到边长之间的关系，即，最后根据三角形的面积相等求得结果．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
在中，
，
∴；
（2）解：①由（1）可得，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理可得：；
②作于点N，
，
由①得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
1 / 1浙江省2024年初中学业水平考试数学模拟试题
1．（2024·浙江模拟）（﹣2）3=（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8
2．（2024·浙江模拟）作为全球首家商业运营C919 国产大飞机的航空公司，东航于 2023 年5月 28日圆满完成 C919全球商业首航，截至2023年 10 月 16 日，东航 2架 C919 飞机累计安全飞行小时.数据1 695.48用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024·浙江模拟）下列计算结果是负数的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江模拟）下图是由四个相同的正方体堆砌而成的几何体，该几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024·浙江模拟）如图，点O为凸透镜的光心，点 F 为凸透镜的焦点，根据凸透镜成像规律：过光心的光线经凸透镜后传播方向不变；过焦点 F的光线经凸透镜折射后，折射光线平行于主光轴.现发光点 S发出的光经过凸透镜折射后所成的像为，已知，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·浙江模拟）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有牛五羊二，直金十两.牛二羊五，直金八两.问牛羊各直金几何 其大意是：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少 设每头牛值x两金，每头羊值y两金，则可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
7．（2024·浙江模拟）为检测学生体育锻炼效果，从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示．对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是（　　）
A．中位数是5 B．众数是5 C．平均数是5.2 D．方差是2
8．（2024·浙江模拟）如图，在中，，.是边的中点，过点作的平行线，交以为直径的于点，交于点，连接 并延长，交于点，则的长为(　　)
A． B． C． D．
9．（2024·浙江模拟）已知二次函数与轴只有一个交点，且图象经过两点，，则满足的关系为(　　)
A． B． C． D．
10．（2024·浙江模拟）如图，在矩形中，，，点在线段上(不与点，点重合)，，则的长为(　　)
A． B． C． D．
11．（2024·浙江模拟）因式分解： 　 　．
12．（2024·浙江模拟）两个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的小球.甲袋中有2 个红球，1个白球，乙袋中有1 个红球，1个白球．搅匀后，从两个袋子中各随机摸出一个球，则摸出的两个球都为白球的概率为　 　.
13．（2024·浙江模拟）如图，已知线段，分别以点 A、点 B 为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点 C，连结，则　 　．
14．（2024·浙江模拟）关于的一元二次方程（，和为常数)的两个根分别为，则抛物线的对称轴为直线　 　.
15．（2024·浙江模拟）如图，与直线l相交，圆心O到直线l 的距离，在直线l上取点B使，将直线l绕点B逆时针旋转后得到的直线m，若直线m恰好与相切于点C，则的半径为　 　．
16．（2024·浙江模拟）如图，正方形中，点在边上，且，点在边 上，点 在边上，．
()若，则的长为　 　；
()若与相似，则的长为　 　．
17．（2024·浙江模拟）化简并求值：，其中．
18．（2024·浙江模拟）已知平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数(为常数，)的图象都经过点和点，求的值．
19．（2024·浙江模拟）如图，为的直径，是上一点，连结，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，连接，与相交于点．
（1）求证： ；
（2）若求线段的长．
20．（2024·浙江模拟）某校九年级共个班准备开展数学项目化学习，学生根据前期调研确定了“时光刻漏”“制作杆秤”“话说杭州”三个项目，每个班单独成立学习小组，其中每人为一个小组(若最后剩余不足人，则剩余的学生全部加入其中一个已成立的小组；否则剩余的学生单独成立一个学习小组)，每小组只选择一个项目进行研究学习，依据收集的学生选择情况，绘制了如下表格：
课题 频数 频率
“时光刻漏”
“制作杆秤”
“话说杭州”
结合上述信息回答下列问题：
（1）________；________.
（2）方方根据表格估计该校九年级的人数，方方说：“根据表格信息我可以估计出该校九年级至少有人．”方方的说法是否正确？请说明理由．
21．（2024·浙江模拟）在劳动课上，小华同学所在小组进行了风筝框架设计比赛
（1）小华设计的风筝框架平面图如图1，已知. 与 交于点O，求证：
（2）小明提出了改进建议：制作风筝框架只需要两个支架和 (如图2)，当垂直平分时即可固定风筝.现在有总长度为的细木条用于制作该风筝框架，小明同学想做面积最大的风筝，请你帮他设计：当为何值时，风筝的面积最大，面积最大值为多少？
22．（2024·浙江模拟）综合与实践
【问题情境】
在一次数学探究课上，老师带领大家一起研究特殊三角形的性质.
圆圆小组对直角三角形进行了各种类型的折叠探究，并尝试用数学方法说明发现的结论.
类型．如图，沿着折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，他们发现：点的位置与 和的长有关．
问题.若，，则________．
【变式探究】
类型．如图，点为上一点，沿着折叠，恰好落在上，点的对称点为，折痕交于点．
问题．若，则 ．
请猜测与有何关系，并证明．
【拓展思考】
方方小组对等腰三角形进行了各种折叠探究.如图，在等腰三角形中，为底边，为钝角，点为边上一点，将沿直线翻折得到．
问题．若，，求的长．
23．（2024·浙江模拟）在生活中，我们会观察到这样的现象：当道路上车辆增多，车流密度增大，司机会被迫降低车速；当车流密度减小，车速又会增加.我们通常用车流密度K，速度 v，交通量Q对道路的交通状况进行宏观描述.车流密度K 是指在单位长度(通常为)路段上，一条道路上某一瞬时的车辆数，它是表示在一条道路上车辆的密集程度.交通量Q是指单位时间(通常为1小时)通过道路某断面的车辆数目.已知车流速度 v(单位：)是车流密度K(单位：辆)的函数.某城市某条道路上，v关于K的函数图象如图所示.
当车流密度时，则速度v的值为理论最高值；
②当车流密度时，v关于K 的函数关系为 (a，b是常数)，若车流密度K达到最大值270时，则.已知v关于K 的函数图象经过.
（1）若辆时，求对应v的值.
（2）点是图象上一个动点，过点 P 作横轴的垂线交于点 E，作纵轴的垂线交于点 D，此时矩形所围成的面积为交通量Q(单位：辆/小时)，求交通量Q的最大值.
24．（2024·浙江模拟）如图1，是等边三角形，点 D，点 E分别是，上的动点，且满足，连接，交于点H，以为直径作交于点F．
（1）求证：．
（2）如图 2，连接，
①若求直径的长．
②若，当时，用含λ的代数式表示a．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：原式=﹣8，
故选C．
【分析】原式利用乘方的意义计算即可得到结果．此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】本题主要考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．本题先将1695.48变形，其中a是1.65948，然后确定n=3，最后写出即可。
3．【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则；求有理数的绝对值的方法；有理数的加法法则；求算术平方根
【解析】【解答】解：A，，结果是正数，不选；
B，，结果是正数，不选；
C，，结果是负数，当选；
D，，结果是正数，不选；
故答案为：C．
【分析】本题考查绝对值、有理数的加法和乘法运算、算术平方根，根据运算法则逐项计算，然后找到对应的结果是负数的选项即可．
4．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看到的图形为： 3个小正方形排成一行，
因此该几何体的俯视图是。
故答案为：D．
【分析】本题考查判断简单几何体的三视图，俯视图是从物体的上面往下看得到的视图，因此D选项正确。A选项是主视图，C选项是左视图.
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意知，
，
∵，
。
故答案为：A．
【分析】首先根据“两直线平行、内错角相等”，可得，再放到△SBS'中根据三角形内角和为180度即可求解．
6．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据“牛5头，羊2头，共值金10两”可列式为，
根据“牛2头，羊5头，共值金8两”可列式为，
可列方程组为，
故答案为：B．
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．根据条件“牛5头，羊2头，共值金10两”和“牛2头，羊5头，共值金8两”分别列出方程，然后联立方程组即可.
7．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：根据条形统计图可得，
从小到大排列第5和第6人投篮进球数都是5，故中位数是5，选项A不符合题意；
投篮进球数是5的人数最多，故众数是5，选项B不符合题意；
平均数，故选项C不符合题意；
方差，故选项D符合题意.
故答案为：D．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵是的中点，，
∴，且H是CD的中点，
∴F是DG的中点，HF=CG，
∵AE=EF=5，EH=BC=6，
∴，CG=2HF=2，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线性质等知识。
因为平行四边形ABCD中的EH∥AD，所以四边形AEHD和四边形EBCH也是平行四边形，这样就有H是CD的中点；然后放到△DGC中，发现HF是中位线，此时利用三角形中位线性质即可列出HF与CG的关系，并计算出HF的长度，然后计算出CG的长度，最后计算出BG 的长度。
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵点的纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵二次函数与轴只有一个交点，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】首先点的纵坐标相同，利用对称轴公式可得，再由二次函数与轴只有一个交点，利用△判别式得，最后把代入二次函数解析式并进行变形，即可求解.
10．【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，交于，作平分，交于，如图所示
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，，
故答案为：．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形外角性质，相似三角形的判定和性质。
利用矩形性质以及勾股定理，得出AC和AO的长度，然后利用三角形的外角性质以及矩形对角线的性质，即得，从而求出，由平分，推出得到，并证明出，即可得出相似比，最后列式计算即可.
11．【答案】（2+a）（2-.a）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：4-a2=（2+a）（2-a）.
故答案为：（2+a）（2-a）.
【分析】观察此多项式的特点：有两项，都能写成平方形式且两项的符号相反，因此利用平方差公式分解因式.
12．【答案】
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：，
即从两个袋子中各随机摸出一个球，则摸出的两个球都为白球的概率为。
故答案为：．
【分析】本题考查概率的计算。可以画图来观察，也可以通过分析计算得出答案。甲袋中一共有3个球，其中有一个是白球，因此摸到白球的概率是；乙袋中一共有2个球，其中有一个是白球，因此摸到白球的概率是；所以从两个袋子中各随机摸出一个球，则摸出的两个球都为白球的概率就是。
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；尺规作图-作三角形；求正切值
【解析】【解答】解：由作图知，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
【分析】根据作图的步骤，可以判断出是等边三角形，然后根据等边三角形内角是60度，利用特殊角三角函数计算即可求解．
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的两个根分别为，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线。
故答案为：．
【分析】由一元二次方程根和系数的关系可得，然后由二次函数对称轴方程列式计算即可。
15．【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵圆心O到直线l 的距离，
∴
∵
∴，
∴
∵将直线l绕点B逆时针旋转后得到的直线m，
∴
∴
∵直线m恰好与相切于点C，
∴
∴
∴，
∴
∴
∴的半径为．
故答案为：．
【分析】连接OB，OC，由题意易得OA⊥AB，由∠ABO的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出∠ABO=30°，进而利用勾股定理算出OB的长，由旋转的性质及角的和差求出∠CBO=45°，由切线性质“圆的切线垂直经过切点的半径”得∠OCB=90°，进而根据等腰直角三角形的性质及勾股定理可算出OC的长，从而得出答案.
16．【答案】；或
【知识点】正方形的性质；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（）∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
（）情况，即，
∴，
则四边形为矩形，
∴；
情况，则，
由（）得，，即，
∴，
∴，
∴，
∵由（）得，，
∴，
∴，即点和点重合，
∵，
∴；
综上，的长为或，
故答案为：（1）；（2）或．
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的的判定和性质，三角函数，勾股定理，利用数形结合和分类讨论思想解答是解题的关键．
（）利用正方形的性质和角度变换，可以证明出，得到相似比，由得到求出，进而可得，，再利用勾股定理列式即可求解；
（）分和两种情况，画出图形解答即可求解.
17．【答案】解：原式
，
当时，
原式
，
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的运算法则对整式进行去括号、合并同类项进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解.
18．【答案】解：反比例函数的图象经过点和点，
，即，
反比例函数为，
，即，
一次函数的图象经过点和点，
，解得，
，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】首先根据一次函数与反比例函数都经过A、B两点，利用待定系数法求出反比例函数的解析式和a的值，然后再次利用待定系数法将A、B两点的坐标代入一次函数中，列出二元一次方程组求出K1和b的值即可.
19．【答案】（1）证明：∵ 以点为圆心，的长为半径作弧交于点
∴，，
∴，
∴
（2）解：连接，如图所示
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，，
∴，
∴，
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（）根据作图步骤可得，，然后根据垂径定理即可得出证明结果；
（）首先得出，然后结合（1）的结论可以得出、、，利用特殊角的三角函数以及“30°角对应的直角边是斜边的一半”，即可求出BE的值。
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】（1），
（2）解：方方的说法不正确，理由如下：
∵每个班的学生人数为人，
∴九年级共个班的学生人数至少有人
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，，
每个班的学生人数为人，
∴，
故答案为：，.
【分析】本题考查了频数分布表，样本估计总体。
（）频率之和为“1”，因此用减去另外两个课题的频率可得到；根据“总数等于频数除以频率”，用“话说杭州”的人数和频率求出每个班的学生人数，再乘以即可得到；
（）用每个班的学生人数乘以班级数即可判断求解.
（1）解：由题意可得，，
每个班的学生人数为人，
∴，
故答案为：，；
（2）解：方方的说法不正确，理由如下：
∵每个班的学生人数为人，
∴九年级共个班的学生人数至少有人．
21．【答案】（1）证明：，，
，
，
即平分，
又，
（2）解：设，则，
垂直平分，
，，
风筝的面积，
，
，
当时，取最大值1800，
即为时，风筝的面积最大，面积最大值为
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先用“SSS”证明，这样可以推出，然后根据等腰三角形三线合一即可证明；
（2）利用面积相等，列出风筝的面积S关于x的二次函数关系式，然后变形为顶点式，即可求出最值.
（1）证明：，，
，
，
即平分，
又，
；
（2）解：设，则，
垂直平分，
，，
风筝的面积，
，
，
当时，取最大值1800，
即为时，风筝的面积最大，面积最大值为．
22．【答案】问题1：
问题2：；
猜测：．
证明：由折叠可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即。
问题，解：连接，与相交于点，如图所示
由折叠可得，，，
∴，
∵，
∴为的中位线，，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：问题：由折叠可得，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴。
问题：由折叠可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；.
【分析】问题．由折叠可得，，然后放到在中，用勾股定理列出方程，解方程求出即可求解；
问题 ．证明，进而利用相似比可得，又由即可求解；．同理即可求证；
问题．连接，与相交于点，由折叠可得，，进而可得为的中位线，得到，利用勾股定理求出AO的长度和BO的长度，BD的长度即可求出。
23．【答案】（1）解：若车流密度K达到最大值270时，则，
，
将、代入，得：，
解得，
v关于K 的函数关系为，
将代入，得：
即辆时，对应v的值为
（2）解：由（1）知v关于K 的函数关系为，
，，
，
，
当时，Q取最大值，最大值为6075
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用：
（1）首先确定C点的坐标，然后将B、C点的坐标代入，列出二元一次方程组即可求出a，b，再将代入求解；
（2）根据列出Q关于K的二次函数关系式，变形为顶点式即可求出最值．
（1）解：若车流密度K达到最大值270时，则，
，
将代入，得：，
解得，
v关于K 的函数关系为，
将代入，得：
即辆时，对应v的值为；
（2）解：由（1）知v关于K 的函数关系为，
，，
，
，
当时，Q取最大值，最大值为6075．
24．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
在中，
，
∴
（2）解：①由（1）可得，∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理可得：；
②作于点N，
，
由①得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
，
∴，
∴，
∴
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、直径所对的圆周角为直角、三角形内角和、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质，利用数形结合，找到角度之间的关系以及边长之间的关系是解题的关键．（1）根据等边三角形的性质得到边长及角度，然后利用“SAS”即可证明出两个三角形全等；
（2）①根据三角形全等的性质得到对应角相等，再根据等边三角形的性质及三角形内角和定理得到各个角度，根据角度得到边长，最后根据勾股定理可求得结果；②作出辅助线之后，由①得可以到，然后根据边长之间的关系得到，结合直径所对的角为直角可得到边长之间的关系，即，最后根据三角形的面积相等求得结果．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
在中，
，
∴；
（2）解：①由（1）可得，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理可得：；
②作于点N，
，
由①得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
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