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【期末章节复习】数列-2024-2025学年高二数学下学期人教版A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 临泉县校级期中）已知数列{an}满足an+1﹣an＝1，若a8＝﹣10，am＝0，则m＝（　　）
A．28 B．13 C．18 D．20
2．（2025 朝阳区校级三模）正项递增等比数列{an}，前n项的和为Sn，若a2+a4＝30，a1a5＝81，则q＝（　　）
A．3 B． C．4 D．
3．（2025 牡丹江校级模拟）各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2a8的最大值为（　　）
A．20 B．64 C．45 D．50
4．（2025 河北模拟）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若，则数列{an}的公差为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025 上海）设λ＝[0，1]，数列an＝10n﹣9，数列bn＝2n．设cn＝λan+（1﹣λ）bn．若对任意λ∈[0，1]，长为an、bn、cn的线段均能构成三角形，则满足条件的n有（　　）
A．1个 B．3个 C．4个 D．无穷
6．（2025 江苏校级一模）已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则a11＝（　　）
A． B． C． D．
7．（2025春 河南月考）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a7＜0，a5+a11＞0，则下列说法正确的是（　　）
A．数列{an}为递增数列 B．a8＜0
C．Sn的最小值为S8 D．S13＞0
8．（2025春 辽宁期中）某林业局计划将公园内一块梯形状空地栽种花卉，从梯形的上底边向下底边共栽种13排，上底边第一排栽种花卉10株，第n排栽种花卉数目比第n﹣1排多n+1（2≤n≤13，n∈N*）株，则第13排栽种花卉（　　）
A．112株 B．102株 C．92株 D．82株
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 雁塔区校级月考）记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an+3，则（　　）
A．a1＝﹣3 B．a2＝6
C． D．
（多选）10．（2025春 雁塔区校级月考）数列{an}满足：a1＝a2＝1，a3＝2，an＝an﹣1+an﹣3（n≥4，n∈N*），前n项和为Sn，下列结论正确的是（　　）
A．a6＝6
B．S9＝58
C．a2025是偶数
D．Sn＝2Sn﹣3+an﹣1+an﹣2+2（n≥4）
（多选）11．（2025春 沈阳期中）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S13＞0，，则下列结论正确的是（　　）
A．|a7|＜|a8|
B．n＝7时，Sn最大
C．使Sn＞0的n的最大值为13
D．数列中的最小项为第8项
三．填空题（共3小题）
12．（2025 仁寿县校级四模）已知等差数列{an}满足，且前2m﹣1项和S2m﹣1＝38，则m＝ 　 　 ．
13．（2025 靖远县校级模拟）已知等比数列{an}的公比q＝2，且，则tan（a1+a2+a3+ +a8）＝ 　 　 ．
14．（2025春 沈阳期中）已知数列{an}中，，，数列{bn}满足：，则b2025＝ 　 　 ；若as、分别是数列{an}的最大项与最小项，则as﹣at＝ 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 兴庆区校级三模）数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1且an+1﹣Sn＝1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列bn满足，求bn的最大值．
16．（2025春 河南月考）在数列{an}中，a1＝1，．
（1）求a2，a3，猜想数列{an}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
17．（2025春 河南月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，．
（1）求证：数列是等差数列．
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn．
①求Tn；
②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数λ的取值范围．
18．（2025春 宝山区校级月考）定义：对于任意n∈N*，满足条件且an≤M（M是与n无关的常数）的无穷数列{an}称为T数列．
（1）若，证明：数列{an}是T数列；
（2）设数列{bn}的通项为bn＝24n﹣3n，且数列{bn}是T数列，求常数M的取值范围；
（3）设数列，问数列{cn}是否是T数列？请说明理由．
19．（2025春 沈阳期中）设Sn是数列{an}的前n项和，若，3Sn+2an+1+1＝0，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，Tn是数列{anbn}的前n项和，若对任意的n∈N*，恒成立，其中λ、μ是实数，求μ﹣λ的最小值．
【期末章节复习】数列-2024-2025学年高二数学下学期人教版A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B D B A A A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD ABD BD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 临泉县校级期中）已知数列{an}满足an+1﹣an＝1，若a8＝﹣10，am＝0，则m＝（　　）
A．28 B．13 C．18 D．20
【解答】解：∵数列{an}满足an+1﹣an＝1，
∴{an}是以d＝1为公差的等差数列，
又∵a8＝﹣10，
∴a1+7d＝﹣10，
∴a1＝﹣17，
∴am＝a1+（m﹣1）d＝﹣17+m﹣1＝m﹣18＝0，
∴m＝18．
故选：C．
2．（2025 朝阳区校级三模）正项递增等比数列{an}，前n项的和为Sn，若a2+a4＝30，a1a5＝81，则q＝（　　）
A．3 B． C．4 D．
【解答】解：正项递增等比数列{an}，a2+a4＝30，a1a5＝a2a4＝81，
则a2＝3，a4＝27，
则q3．
故选：A．
3．（2025 牡丹江校级模拟）各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2a8的最大值为（　　）
A．20 B．64 C．45 D．50
【解答】解：因为S9＝72，故9a5＝72，a5＝8，
由等差数列的性质，a2+a8＝2a5＝16，
因为{an}各项为正数，故由基本不等式，，
故a2a8≤64，当且仅当a2＝a8＝8时等号成立，
故a2a8的最大值为64．
故选：B．
4．（2025 河北模拟）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若，则数列{an}的公差为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由于{an}是等差数列，且，故S2＝8＝a1+a2，a1＝2，故a2＝6，
所以公差为a2﹣a1＝4．
故选：D．
5．（2025 上海）设λ＝[0，1]，数列an＝10n﹣9，数列bn＝2n．设cn＝λan+（1﹣λ）bn．若对任意λ∈[0，1]，长为an、bn、cn的线段均能构成三角形，则满足条件的n有（　　）
A．1个 B．3个 C．4个 D．无穷
【解答】解：∵长为an，bn，cn的线段均能构成三角形，
∴，
当cn＜an+bn时，有λan+（1﹣λ）bn＜an+bn，即λ（an﹣bn）＜an，又λ∈[0，1]，
∴an﹣bn＜an，即bn＝2n＞0恒成立；
当bn＜an+cn时，有bn＜（1+λ）an+（1﹣λ）bn，即λbn＜（1+λ）an，
∴∈（0，]，解得n∈{2，3，4，5，6}，
当an＜bn+cn时，有an＜λan+（2﹣λ）bn，即（λ﹣2）bn＜（λ﹣1）an，
∴1∈[2，+∞），即an＜2bn解得n∈{1，4，5，6，7，...}
综上，n∈{4，5，6}，
∴满足条件的n有3个．
故选：B．
6．（2025 江苏校级一模）已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则a11＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由数列是首项为5，公差为2的等差数列，
可得，即，则．
故选：A．
7．（2025春 河南月考）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a7＜0，a5+a11＞0，则下列说法正确的是（　　）
A．数列{an}为递增数列 B．a8＜0
C．Sn的最小值为S8 D．S13＞0
【解答】解：因为{an}是等差数列，则a5+a11＝2a8＞0，即a8＞0，
又因为a7＜0，则公差d＝a8﹣a7＞0，可知a1＜a2＜ ＜a7＜0＜a8＜a9＜ ，
所以数列{an}为递增数列，且Sn的最小值为S7，．
故选：A．
8．（2025春 辽宁期中）某林业局计划将公园内一块梯形状空地栽种花卉，从梯形的上底边向下底边共栽种13排，上底边第一排栽种花卉10株，第n排栽种花卉数目比第n﹣1排多n+1（2≤n≤13，n∈N*）株，则第13排栽种花卉（　　）
A．112株 B．102株 C．92株 D．82株
【解答】解：设第n排栽种花卉an株，根据题意，
又a1＝10，
所以an＝an﹣an﹣1+an﹣1﹣an﹣2+...+（a2﹣a1）+a1＝n+1+n+...+4+3+10（3+n+1）+1010，
所以a1310＝112．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 雁塔区校级月考）记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an+3，则（　　）
A．a1＝﹣3 B．a2＝6
C． D．
【解答】解：由Sn＝2an+3，可得a1＝S1＝2a1+3，即有a1＝﹣3，
由a1+a2＝2a2+3，可得a2＝﹣6，故A正确，B错误；
当n≥2时，由Sn＝2an+3，可得Sn﹣1＝2an﹣1+3，
相减可得an＝2an+3﹣2an﹣1﹣3，即为an＝2an﹣1，
可得数列{an}是首项为﹣3，公比为2的等比数列，
即有an＝﹣3×2n﹣1，Sn＝﹣3×2n+3，故C、D都正确．
故选：ACD．
（多选）10．（2025春 雁塔区校级月考）数列{an}满足：a1＝a2＝1，a3＝2，an＝an﹣1+an﹣3（n≥4，n∈N*），前n项和为Sn，下列结论正确的是（　　）
A．a6＝6
B．S9＝58
C．a2025是偶数
D．Sn＝2Sn﹣3+an﹣1+an﹣2+2（n≥4）
【解答】解：由a1＝a2＝1，a3＝2，an＝an﹣1+an﹣3（n≥4，n∈N*），
可得a4＝a3+a1＝3，a5＝a4+a2＝4，a6＝a5+a3＝6，
a7＝a6+a4＝9，a8＝a7+a5＝13，a9＝a8+a6＝19，
可得S9＝1+1+2+3+4+6+9+13+19＝58，故A正确，B正确；
由数列{an}的递推式，可得数列{an}从第5项起，每隔7项为偶数、偶数、奇数、奇数、奇数、偶数、奇数，
不断重复出现，而2025﹣4＝2021＝288×7+5，可得a2025为奇数，故C错误；
由n≥4时，an＝an﹣1+an﹣3，可得an﹣an﹣1＝an﹣3，
可得an＝a3+（a4﹣a3）+...+（an﹣an﹣1）＝2+a1+a2+...+an﹣3＝2+Sn﹣3，
而2Sn﹣3+an﹣1+an﹣2+2＝Sn﹣3+an﹣1+an﹣2+an＝Sn，故D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（2025春 沈阳期中）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S13＞0，，则下列结论正确的是（　　）
A．|a7|＜|a8|
B．n＝7时，Sn最大
C．使Sn＞0的n的最大值为13
D．数列中的最小项为第8项
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，等差数列{an}中，S13＞0，则，必有a7＞0，
又，所以a8＜0，从而a7+a8＞0，则|a7|＞|a8|，A错误；
对于B，由于a7＞0，a8＜0，则d＜0，故{an}为递减数列，
从第8项开始，an＜0，
则n＝7时，Sn最大，B正确；
对于C，，所以使Sn＞0的n的最大值为14，C错误；
对于D，由ABC分析可知，当1≤n≤7或n≥15时，时，
当8≤n≤14时，，又S8＞S9＞ ＞S14＞0，0＞a8＞a9＞ ＞a14，所以n＝8时，最小，D正确．
故选：BD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 仁寿县校级四模）已知等差数列{an}满足，且前2m﹣1项和S2m﹣1＝38，则m＝ 　10　 ．
【解答】解：因为，所以，解得am＝0或2，
又，
所以am＝2，
所以2m﹣1＝19，解得m＝10．
故答案为：10．
13．（2025 靖远县校级模拟）已知等比数列{an}的公比q＝2，且，则tan（a1+a2+a3+ +a8）＝ 　﹣1　 ．
【解答】解：因为{an}为等比数列，且公比q＝2，
所以a1+a2+a3+ +a8＝（a1+a3+a5+a7）+（a2+a4+a6+a8）
，
所以．
故答案为：﹣1．
14．（2025春 沈阳期中）已知数列{an}中，，，数列{bn}满足：，则b2025＝ 　　 ；若as、分别是数列{an}的最大项与最小项，则as﹣at＝ 　8　 ．
【解答】解：根据题意，
又b1，所以数列{bn}是以为首项，以1为公差的等差数列，
所以，
所以；
又，所以，n∈N*，
当n≥9时，an2单调递减，an＞2；当n≤8时，an单调递减，an＜2，
所以列{an}的最大项为as＝a9＝6，最小项为at＝a8＝﹣2，所以as﹣at＝8．
故答案为：，8．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 兴庆区校级三模）数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1且an+1﹣Sn＝1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列bn满足，求bn的最大值．
【解答】解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1且an+1﹣Sn＝1，
当n≥2时，由an+1﹣Sn＝1，
可得an﹣Sn﹣1＝1（n≥2），
两式相减可得an+1＝2an，
令n＝2，则a2＝S1+1＝a1+1＝2，∴，
∴{an}为首项为1，公比为2的等比数列，
∴．
（2）由（1）知：，
则，
所以b1 b2 b3 b4 b5＞...＞bn，
所以当n＝3时，bn有最大值．
16．（2025春 河南月考）在数列{an}中，a1＝1，．
（1）求a2，a3，猜想数列{an}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
【解答】解：（1）因为a1＝1，，
所以，，
由此猜想：．
（2）证明：当n＝1时，a1＝1，等式成立；
假设当n＝k（k≥1）时，等式成立，即，
则当n＝k+1时，，
即当n＝k+1时，等式也成立．
综上所述，对任意n∈N*，．
17．（2025春 河南月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，．
（1）求证：数列是等差数列．
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn．
①求Tn；
②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）证明：因为，可得，
所以，
可得，
可得数列是首项和公差为1的等差数列．
（2）①由等差数列的通项公式可得，
所以，可得，
所以，
则．
两式相减，可得
，
所以．
②因为对任意的n∈N+恒成立，
所以，
则对任意的n∈N+恒成立．
令，
可得，
所以数列{cn}是递减数列，
当n＝1时，cn取得最大值，所以，
即实数λ的取值范围是．
18．（2025春 宝山区校级月考）定义：对于任意n∈N*，满足条件且an≤M（M是与n无关的常数）的无穷数列{an}称为T数列．
（1）若，证明：数列{an}是T数列；
（2）设数列{bn}的通项为bn＝24n﹣3n，且数列{bn}是T数列，求常数M的取值范围；
（3）设数列，问数列{cn}是否是T数列？请说明理由．
【解答】解：（1）证明：由，
可得an+1＝1﹣（n+1）2，an+2＝1﹣（n+2）2，
即有an+an+2﹣2an+1＝﹣2＜0，
可得an+1，
又an＝1﹣n2单调递减，
即an≤a1＝0，
所以数列{an}是T数列；
（2）数列{bn}的通项为bn＝24n﹣3n，且数列{bn}是T数列，
得bn+1﹣bn＝24（n+1）﹣3n+1﹣24n+3n＝24﹣2×3n，
当24﹣2×3n＞0，即1≤n≤2时，bn+1﹣bn＞0，此时数列{bn}单调递增；
而当n≥3时，bn+1﹣bn＜0，此时数列{bn}单调递减；
因此数列{bn}中的最大项是b3＝72﹣27＝45，
所以M的取值范围是[45，+∞）．
（3）假设数列{cn}是T数列，
依题意有cn+cn+2﹣2cn+1，
因为n∈N*，所以当且仅当p小于n的最小值时，cn+cn+2﹣2cn+1＜0对任意n恒成立，
即可得p＜1．
又当p＜1时，n﹣p＞0，cn＝qq，则M≥q，
综上所述，当p＜1且M≥q时，数列{cn}是T数列．
19．（2025春 沈阳期中）设Sn是数列{an}的前n项和，若，3Sn+2an+1+1＝0，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，Tn是数列{anbn}的前n项和，若对任意的n∈N*，恒成立，其中λ、μ是实数，求μ﹣λ的最小值．
【解答】解：（1）当n≥2时，，
两式相减可得：，
令n＝1，得，此时符合上式，
所以数列{an}是以为首项，为公比得等比数列．
所以；
（2），
，
，
相减得（）2+…+（）n﹣n （）n+1
（） （）n，
所以，则
从而恒成立．即
令，
则当n为偶数时，f（n）随着n增大而增大，当n为奇数时，f（n）随着n增大而减小，
又注意到，则
所以，从而．
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