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【期末章节复习】空间向量与立体几何-2024-2025学年高二数学下学期苏教版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 长沙月考）已知空间向量（1，n，2），（﹣3，1，3），若与垂直，则||＝（　　）
A． B． C． D．14
2．（2025春 常州月考）若平面α，β的法向量分别为（2，﹣1，0），，则α与β的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
3．（2025 沧县校级模拟）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，则AC与平面B1CD1所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 东西湖区校级模拟）三个非零向量，则“共面”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2025春 杭州期中）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2AD，点E，F分别是棱CD和BB1的中点，点P在侧面ADD1A1（包括边界）移动．若FE⊥EP，则异面直线EP与AB所成角的余弦值的最大值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025春 常州校级期中）关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角
C．若直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，则l⊥α
D．若空间向量，则在方向上的投影向量为
7．（2024秋 和平区期末）已知平面α的一个法向量为，点A（﹣1，2，0）在平面α内，点在平面α外，则直线PA与平面α所成角的大小为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025春 河南期中）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，点O，O1分别为正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心，E为OB1的中点，点M为线段AD1上的动点，则当点M到平面CEO1的距离最大时，直线CM与平面CEO1所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 云南月考）给出下列命题，其中正确的命题有（　　）
A．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
B．已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α
C．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l与平面α所成角的正弦值为
D．若，则与的夹角是钝角
（多选）10．（2025 武汉模拟）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且点O到平面PAC的距离为，则（　　）
A．该圆锥的体积为3π
B．直线OP与平面PAC所成的角为45°
C．二面角P﹣AC﹣O为45°
D．直线PA与BC所成的角为60°
（多选）11．（2025 朝阳区校级三模）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的有（　　）
A．
B．
C．设，则AN⊥BM
D．以D为球心，为半径的球与四边形BCC1B1的交线长为
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 宝山区校级月考）向量且，则实数k＝ 　 　 ．
13．（2025春 常州月考）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为　 　 ．
14．（2025春 兴化市期中）空间直角坐标系中，u（x﹣x0）+v（y﹣y0）+w（z﹣z0）＝0表示经过点（x0，y0，z0），且法向量为（u，v，w）的平面的方程．已知平面α的方程为x+2y+z﹣3＝0，过点P（1，2，3）作直线l⊥α，点M（a，b，c）为直线l上任意一点，则a，b满足的关系式为 　 　 ；点P到平面α的距离为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 浙江月考）如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆O上一点，且AB＝BC＝5．
（1）求三棱锥A﹣BCD的体积最大值；
（2）求直线AD与平面ABC所成角正弦值的最大值．
16．（2025 金山区校级三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD＝AD＝4，Q为PB上一点．
（1）求证：平面PBD⊥平面ACQ；
（2）当Q为PB中点时，求点B到平面ACQ的距离．
17．（2025 南通校级三模）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB＝2，E，F分别为PB，PD的中点．设平面AEF∩平面ABCD＝m．
（1）求证：m∥BD；
（2）求直线PA与平面AEF所成角的正弦值；
（3）若平面AEF与棱PC交于点M，求的值．
18．（2025 银川校级模拟）如图（1），梯形ABCD中，AB∥CD，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F．AB＝AE＝2，CD＝5，已知DE＝1，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，得空间几何体ADE﹣BCF，如图（2）．
（Ⅰ）若AF⊥BD，证明：DE⊥平面ABFE；
（Ⅱ）若DE∥CF，，线段AB上存在一点P，满足CP与平面ACD所成角的正弦值为，求AP的长．
19．（2025 东西湖区校级模拟）已知三棱锥P﹣ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P﹣ABC中：
（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（2）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角M﹣BC﹣A的余弦值．
【期末章节复习】空间向量与立体几何-2024-2025学年高二数学下学期苏教版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D B A C D D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC BCD ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 长沙月考）已知空间向量（1，n，2），（﹣3，1，3），若与垂直，则||＝（　　）
A． B． C． D．14
【解答】解：∵，
∴，解得n＝﹣3，
∴．
故选：B．
2．（2025春 常州月考）若平面α，β的法向量分别为（2，﹣1，0），，则α与β的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
【解答】解：已知平面α的法向量为 ＝ （2，﹣1，0），平面β的法向量（1，2，1）．根据向量数量积的坐标运算公式，
，所以，故面α，β所成的二面角平面角为，
则平面α与β垂直．
故选：B．
3．（2025 沧县校级模拟）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，则AC与平面B1CD1所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且AA1＝2AB＝4，所以AB＝2，
以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，2，4），D1（0，0，4），
所以，，，
设平面B1CD1的法向量为，
则，即，
令z＝1，所以，
设直线AC与平面B1CD1所成角为θ，则，
而，
，，
可得cos，，
所以sinθ．
故选：D．
4．（2025 东西湖区校级模拟）三个非零向量，则“共面”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由共面向量的基本定理可知，若三个非零向量满足，则共面，
反之，若三个非零向量共面，当共线，与不共线时，就不存在实数λ，μ使得，
故向量，则“共面”是“”的必要不充分条件，
故选：B．
5．（2025春 杭州期中）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2AD，点E，F分别是棱CD和BB1的中点，点P在侧面ADD1A1（包括边界）移动．若FE⊥EP，则异面直线EP与AB所成角的余弦值的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以{，，}为正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz．
设AB＝AA1＝2AD＝4，由E、F分别是CD、BB1的中点，得E（0，2，0），F（2，4，2）．
设P（t，0，n），t∈[0，2]，n∈[0，4]，
则，，，
因为FE⊥EP，所以，化简得t+n＝2，
设异面直线EP与AB所成角为α，α∈，
则cosα＝|，|，
因为t+n＝2，所以，当且仅当t＝n＝l时取等号，
所以，可知异面直线EP与AB所成角的余弦值的最大值为．
故选：A．
6．（2025春 常州校级期中）关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角
C．若直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，则l⊥α
D．若空间向量，则在方向上的投影向量为
【解答】解：对于A，因为在中，由于，由空间向量共面定理，可知P，A，B，C四点不共面，故A错误；
对于B，当共线同向时，，但与夹角不是锐角，故B错误；
对于C，因，即，故l⊥α，即C正确；
对于D，在方向上的投影向量为，故D错误．
故选：C．
7．（2024秋 和平区期末）已知平面α的一个法向量为，点A（﹣1，2，0）在平面α内，点在平面α外，则直线PA与平面α所成角的大小为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题可得，
因为平面α的一个法向量为，
所以，
设直线PA与平面α所成的角为θ，
则，
因为θ，
所以．
故选：D．
8．（2025春 河南期中）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，点O，O1分别为正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心，E为OB1的中点，点M为线段AD1上的动点，则当点M到平面CEO1的距离最大时，直线CM与平面CEO1所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），O（1，1，0），C（0，2，0），B1（2，2，4），O1（1，1，4），
因为E为OB1的中点，所以，
则，，
设平面CEO1的一个法向量为，
则，则，
取y＝4，则，
设，
所以，
所以，
点M到平面CEO1的距离，
当k＝1时，即M与点A重合时，点M到平面CEO1的距离最大，
此时，
直线CM与平面CEO1所成角的正弦值为，
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 云南月考）给出下列命题，其中正确的命题有（　　）
A．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
B．已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α
C．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l与平面α所成角的正弦值为
D．若，则与的夹角是钝角
【解答】解：选项A，由，知与共面，
∴，与不共面，故选项A正确；
选项B，∵，∴，∴l∥α或l α，故选项B错误；
选项C，设直线l与平面α所成角为θ，
则，
即直线l与平面α所成角的正弦值为，故选项C正确；
选项D，当时，与的夹角可能为π，故选项D错误．
故选：AC．
（多选）10．（2025 武汉模拟）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且点O到平面PAC的距离为，则（　　）
A．该圆锥的体积为3π
B．直线OP与平面PAC所成的角为45°
C．二面角P﹣AC﹣O为45°
D．直线PA与BC所成的角为60°
【解答】解：取线段AC的中点M，连接PM，过O作ON⊥PM，垂足为N，
易知AC⊥OM，AC⊥PM，又OM∩PM＝M，OM，PM 面PMO，
所以AC⊥面PMO，又ON 面PMO，
所以AC⊥ON，又ON⊥PM，且AC∩PM＝M，AC，PM 面PAC，
所以ON⊥面PAC，所以线段ON的长为点O到平面PAC的距离，
即，
对于A：在等腰三角形APB中，∠APO＝60°，PA＝2，
所以，
所以该圆锥的体积为，A错误；
对于B：由ON⊥面PAC可得直线OP与平面PAC所成的角为∠OPN，
在直角三角形OPN中，，所以∠OPN＝45°，B正确；
对于C：由AC⊥面PMO可得二面角P﹣AC﹣O的平面角为∠PMO，
在直角三角形PMO中，，所以∠PMO＝45°，C正确；
对于D：取线段PC的中点D，连接DM，DO，DM，DO，OM，
明显有BC∥OM，AP∥MD，
则直线PA与BC所成的角为∠DMO或其补角，
因为∠PMO＝45°，则，
在直角三角形POC中，，
在直角三角形PMC中，，
在△DMO中，，
所以∠DMO＝60°，D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（2025 朝阳区校级三模）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的有（　　）
A．
B．
C．设，则AN⊥BM
D．以D为球心，为半径的球与四边形BCC1B1的交线长为
【解答】解：由题得，
，故A正确．
因为，
，，
所以，
所以，故B错误．
因为，
所以
，
所以，以AN⊥BM，故C正确．
取BC的中点为H，连接DH，易知DH⊥平面BCC1B1，且．
由球的半径为，知球面与平面BCC1B1的交线是以H为圆心，为半径的圆．
如图，在正方形BCC1B1内，以H为圆心，2为半径作圆，所得的圆弧PQ即为所求交线．
由题意可知，所以弧PQ的长为，故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 宝山区校级月考）向量且，则实数k＝ 　　 ．
【解答】解：因为，
所以（1﹣k，1，2k），（1，2，2），
因为，所以，
解得k．
故答案为：．
13．（2025春 常州月考）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为　　 ．
【解答】解：以A为坐标原点，AD，AB，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），P（0，0，1），
所以，，
故，，，
所以，即AC与PB所成角的余弦值为．
故答案为：
14．（2025春 兴化市期中）空间直角坐标系中，u（x﹣x0）+v（y﹣y0）+w（z﹣z0）＝0表示经过点（x0，y0，z0），且法向量为（u，v，w）的平面的方程．已知平面α的方程为x+2y+z﹣3＝0，过点P（1，2，3）作直线l⊥α，点M（a，b，c）为直线l上任意一点，则a，b满足的关系式为 　b＝2a　 ；点P到平面α的距离为 　　 ．
【解答】解：平面α的方程为x+2y+z﹣3＝0，
所以平面α的法向量为，
又直线l⊥α，且P，M∈l，
因为点P（1，2，3），M（a，b，c），
所以，
则，
则存在λ∈R，使得，
即（1﹣a，2﹣b，3﹣c）＝λ（1，2，1），
即，
所以2（1﹣a）＝2﹣b，
即b＝2a；
又平面x+2y+z﹣3＝0经过点（0，0，3），记为A，
则，
所以点P到平面α的距离为．
故答案为：b＝2a；．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 浙江月考）如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆O上一点，且AB＝BC＝5．
（1）求三棱锥A﹣BCD的体积最大值；
（2）求直线AD与平面ABC所成角正弦值的最大值．
【解答】解：（1）由于三棱锥A﹣BCD的高AB＝5，
所以当底面△BCD面积最大时，三棱锥的体积最大，
又BC是底面圆的一条直径，所以当OD⊥BC时，底面△BCD的面积最大，
此时；
（2）如图以B为原点，BC所在直线为y轴，BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，5），设平面ABC的一个法向量为，
记∠DBC＝θ，则D（5cosθsinθ，5cosθcosθ，0），
所以，5cosθcosθ，﹣5），
则直线AD与平面ABC所成角的正弦值为：
，
当且仅当时等号成立，
故直线AD与平面ABC所成角正弦值的最大值为．
16．（2025 金山区校级三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD＝AD＝4，Q为PB上一点．
（1）求证：平面PBD⊥平面ACQ；
（2）当Q为PB中点时，求点B到平面ACQ的距离．
【解答】（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以PD⊥AC，
因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，
又PD∩BD＝D，PD、BD 平面PBD，所以AC⊥平面PBD，
因为AC 平面ACQ，所以平面PBD⊥平面ACQ．
（2）解：连接AC，交BD于点O，连接OQ，则O是BD的中点
因为Q为PB中点，所以OQ∥PD，
因为PD⊥平面ABCD，所以OQ⊥平面ABCD，
又BD 平面ABCD，所以OQ⊥BD，
因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，
又OQ∩AC＝O，OQ、AC 平面ACQ，所以BD⊥平面ACQ，
所以OB即为点B到平面ACQ的距离，
由题意知，正方形ABCD的边长为4，
所以OB＝2，
故点B到平面ACQ的距离为2．
17．（2025 南通校级三模）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB＝2，E，F分别为PB，PD的中点．设平面AEF∩平面ABCD＝m．
（1）求证：m∥BD；
（2）求直线PA与平面AEF所成角的正弦值；
（3）若平面AEF与棱PC交于点M，求的值．
【解答】解：（1）证明：连接EF，在△PBD中，因为E，F分别为PB，PD的中点，
所以EF∥BD，又因为EF 平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以EF∥平面ABCD，
又因为EF 平面AEF，平面AEF∩平面ABCD＝m，
所以EF∥m，
又因为EF∥BD，
所以m∥BD．
（2）设AC∩BD＝O，连接PO，
因为P﹣ABCD为正四棱锥，所以O为正方形ABCD的中心，
所以OA⊥OB，PO⊥平面ABCD，
以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可知，，，，，，，，
，，，
设平面AEF的法向量为，
则，即，令z＝2，则（1，0，2），
设直线PA与平面AEF所成角为θ，
则，
所以直线PA与平面AEF所成角的正弦值为；
（3）连接AM，设，所以，
因为，
所以，
由（2）知平面AEF的法向量为，
所以平面AEMF的法向量为（1，0，2），
由AM 平面AEMF，可知，
即，解得，
即．
18．（2025 银川校级模拟）如图（1），梯形ABCD中，AB∥CD，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F．AB＝AE＝2，CD＝5，已知DE＝1，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，得空间几何体ADE﹣BCF，如图（2）．
（Ⅰ）若AF⊥BD，证明：DE⊥平面ABFE；
（Ⅱ）若DE∥CF，，线段AB上存在一点P，满足CP与平面ACD所成角的正弦值为，求AP的长．
【解答】证明：（Ⅰ）由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，AF⊥BE，
由已知得AF⊥BD，BE∩BD＝B，∴AF⊥平面BDE………………………………（2分）
又DE 平面BDE，∴AF⊥DE，
又AE⊥DE，AE∩AF＝A，∴DE⊥平面ABFE．……………………………………（5分）
解：（Ⅱ）在图2中，AE⊥DE，AE⊥EF，DE∩EF＝E，即AE⊥面DEFC，
在梯形DEFC中，过点D作DM∥EF交CF于点M，连接CE，
由题意得DM＝2，CM＝1，则DC⊥CF，则，CE＝2，
过E作EG⊥EF交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，
以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，………………（7分）
则，
．
设平面ACD的一个法向量为，
由得取x＝1得（9分）
设AP＝m，则P（2，m，0），（0≤m≤2），得
设CP与平面ACD所成的角为θ，
．
所以．…………………………………………（12分）
19．（2025 东西湖区校级模拟）已知三棱锥P﹣ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P﹣ABC中：
（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（2）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角M﹣BC﹣A的余弦值．
【解答】解：（1）证明：设AC的中点为O，连接BO，PO，
由题意得PA＝PB＝PC，PO＝1，AO＝BO＝CO＝1，
∵在△PAC中，PA＝PC，O为AC中点，∴PO⊥AC，
在△POB中，PO＝1，OB＝1，PB，
∴PO2+OB2＝PB2，∴PO⊥OB，
∵AC∩OB＝O，AC 平面ABC，OB 平面ABC，∴PO⊥平面ABC，
∵PO 平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．
（2）由（1）知BO⊥PO，BO⊥AC，PO∩AC＝O，∴BO⊥平面PAC，
∴∠BMO是直线BM与平面PAC所成角，且tan∠BMO，
∴当OM最短时，即M为PA中点时，∠BMO最大，
由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，∴PO⊥OB，PO⊥OC，
以O为原点，OC，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），A（﹣1，0，0），P（0，0，1），M（，0，），
（1，﹣1，0），（1，0，﹣1），（，0，），
设平面MBC的法向量为（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，1，3），
平面ABC的法向量（0，0，1），
设二面角M﹣BC﹣A的平面角为θ，
则二面角M﹣BC﹣A的余弦值为cosθ．
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