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【期末章节复面向量-2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025 渭南模拟）已知向量满足，则在上的投影向量为（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，3） C． D．（﹣1，3）
2．（2025 孝义市模拟）已知向量（2，3），（x，4），若⊥（），则x＝（　　）
A．1 B． C．2 D．3
3．（2025春 菏泽期中）下面命题中，正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2025春 金水区校级月考）已知△ABC中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（　　）
A．﹣12 B．﹣11 C．﹣10 D．﹣9
5．（2025 梁山县校级模拟）设x∈R，向量，且，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025春 安康期中）已知A，B，C，D是平面内不同的四点，设甲：∥；乙：四边形ABCD为平行四边形，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．（2025 福州模拟）已知平面向量，且，，向量满足，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025春 云南期中）若D是△ABC的边BC上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 涟源市月考）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，点P为正六边形上的动点，下列说法错误的是（　　）
A． B．
C．的最小值为﹣2 D．的最大值为12
（多选）10．（2025春 沧州期中）已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点（含边界），且，λ∈R，则（　　）
A．△PCD的面积恒为
B．存在λ，使得
C．
D． 的取值范围是
（多选）11．（2025春 汕头校级期中）已知平面向量，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．与方向相反的单位向量是
C．与的夹角的余弦值为
D．在方向上的投影向量为
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 贵州期中）已知不共线的三个平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则 　 　 ．
13．（2025春 浙江期中）已知为平面中的单位向量，满足，若，，且，则实数λ＝ 　 　 ．
14．（2025春 徐汇区校级月考）在边长为1的等边△ABC中，O为边AC的中点，，设，若（λ∈R），则的值为　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 贵州期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，E是AB的中点，．
（1）用向量，表示向量，；
（2）若，∠BAD＝60°，求的值．
16．（2025春 邯郸期中）如图，在四边形ABCD中，，点E是AB的中点．
（1）若AB＝4，BC＝1，，求的值；
（2）若，当A，F，C三点共线时，求λ的值．
17．（2025春 陕西校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，E，F分别为边AB，BC上的点，且AE＝EB，2BF＝CF．
（1）求；
（2）求cos∠AFC．
18．（2025春 邱县校级月考）已知，记在方向上的投影向量为．
（1）求的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
（3）已知A（1，0），B（2，2），求与共线的单位向量的坐标．
19．（2025 黑龙江校级三模）定义平面凸四边形为没有内角度数大于180°的四边形．如图，已知平面凸四边形ABCD中，AB＝3，，AD＝6．
（1）若四边形ABCD被对角线BD分为面积相等的两部分，且∠A＝60°；
①求CD的长；
②若，求的值．
（2）若，求四边形ABCD面积的最大值．
【期末章节复面向量-2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C D D B B C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AD AC AC
一．选择题（共8小题）
1．（2025 渭南模拟）已知向量满足，则在上的投影向量为（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，3） C． D．（﹣1，3）
【解答】解：，
则，，
所以在上的投影向量为．
故选：A．
2．（2025 孝义市模拟）已知向量（2，3），（x，4），若⊥（），则x＝（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【解答】解：根据题意，向量 （2，3），（x，4），
则（2﹣x，﹣1），
若⊥（），则有 （）＝2（2﹣x）+3×（﹣1）＝0，
解可得：x
故选：B．
3．（2025春 菏泽期中）下面命题中，正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【解答】解：对于A，若，但两向量方向不确定，则不成立，故A错误；
对于B，向量无法比较大小，故B错误；
对于C，若，则两向量反向，因此，故C正确；
对于D，若，则，故D错误．
故选：C．
4．（2025春 金水区校级月考）已知△ABC中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（　　）
A．﹣12 B．﹣11 C．﹣10 D．﹣9
【解答】解：因为，，设λ（1﹣λ），λ∈R，
由的最小值为知，AD为等腰△ABC的中线，
所以BD2＝AB2﹣AD2＝36﹣18＝18，即BD＝3，△ABD是等腰直角三角形，
所以△ABC也是等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，如图所示：
则A（0，0），B（6，0），C（0，6），设P（x，0），则x∈[0，6]，
所以（6﹣x，0），（﹣x，6），
则 x（6﹣x）＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，
所以x﹣3时，取得最小值为9．
故选：D．
5．（2025 梁山县校级模拟）设x∈R，向量，且，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：，
又，所以x﹣2＝0，得到x＝2，
所以，
，
所以．
故选：D．
6．（2025春 安康期中）已知A，B，C，D是平面内不同的四点，设甲：∥；乙：四边形ABCD为平行四边形，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【解答】解：当∥时，可能A，B，D，C四点共线，此时A，B，C，D不构成四边形，故充分性不成立；
当四边形ABCD为平行四边形时，则AB∥DC，所以，故必要性成立，
所以甲是乙的必要条件但不是充分条件．
故选：B．
7．（2025 福州模拟）已知平面向量，且，，向量满足，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，，所以cos，，所以，60°，因为足，
因为||24，||＝2，所以△ABC是正三角形，所以1，所以，
所以点C的轨迹是以M为M圆心，以1为半径的圆，设λ，|CP|的最小值为|OP| sin30°﹣|MC|＝211．
故选：B．
8．（2025春 云南期中）若D是△ABC的边BC上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【解答】解：由点D在边BC上（不包含端点），可知存在正数λ，使λ，
即λ（），解得，
结合，可得，所以m+2n1，
结合m＞0，n＞0，可得（m+2n）（）＝448，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述，当时，取最小值8．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 涟源市月考）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，点P为正六边形上的动点，下列说法错误的是（　　）
A． B．
C．的最小值为﹣2 D．的最大值为12
【解答】解：已知正六边形ABCDEF的边长为2，点P为正六边形上的动点，
对于A选项，根据平面向量的减法法则可得，
由图可知，与为相反向量，故A选项错误；
对于B选项，由题可得，平分∠EAC，
则△ACE为正三角形，如图，设AD交EC于H，
根据平面向量的中点向量可得与共线且同方向，
易知|DH|＝1，则，
而，所以，
所以，故B选项正确；
对于C选项，根据向量数量积的几何意义可知，的最小值为，故C选项正确；
对于D选项，如图，取AE的中点为M，连接CM，
则，
根据平面向量的加法法则可得
，故D选项错误．
故选：AD．
（多选）10．（2025春 沧州期中）已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点（含边界），且，λ∈R，则（　　）
A．△PCD的面积恒为
B．存在λ，使得
C．
D． 的取值范围是
【解答】解：由题意，P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点（含边界），
由，可得，即，
所以P在正六边形ABCDEF的对角线BE上运动，
所以BP∥CD，△PCD的面积为定值，
且，故A正确；
因为正六边形ABCDEF关于直线BE对称，
则恒成立，故B错误；
根据图形的对称性，
当P为BE的中点时，∠CPD取到最大值，
当P与B或E重合时，∠CPD取到最小值，
故cos∠CPD的取值范围是，故C正确；
，故D错误．
故选：AC．
（多选）11．（2025春 汕头校级期中）已知平面向量，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．与方向相反的单位向量是
C．与的夹角的余弦值为
D．在方向上的投影向量为
【解答】解：已知平面向量，，
因为，所以根据平面向量的模长公式可得，所以选项A正确；
与相反的单位向量为，所以选项B错误；
因，所以根据两向量的夹角公式可得，所以选项C正确；
由投影向量的定义知，在方向上的投影向量为，所以选项D错误．
故选：AC．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 贵州期中）已知不共线的三个平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则 　　 ．
【解答】解：已知不共线的三个平面向量，，两两的夹角相等，
则向量，，两两的夹角为120°，
又，，，
则，，，
所以，
故．
故答案为：．
13．（2025春 浙江期中）已知为平面中的单位向量，满足，若，，且，则实数λ＝ 　　 ．
【解答】解：若，，且，
则，解得．
故答案为：．
14．（2025春 徐汇区校级月考）在边长为1的等边△ABC中，O为边AC的中点，，设，若（λ∈R），则的值为　　 ．
【解答】解：因为O为边AC的中点，所以，
因为，所以2（），故，
因为，所以存在k∈R，使得k，
，
若（λ∈R），则k＝3，，
所以||．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 贵州期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，E是AB的中点，．
（1）用向量，表示向量，；
（2）若，∠BAD＝60°，求的值．
【解答】解：（1）因为E是AB的中点，所以，
所以．
因为AD∥BC，AD＝2BC，所以，
则；
（2）因为，所以，
由（1）可知，，
所以，
因为，∠BAD＝60°，所以，，
所以
．
16．（2025春 邯郸期中）如图，在四边形ABCD中，，点E是AB的中点．
（1）若AB＝4，BC＝1，，求的值；
（2）若，当A，F，C三点共线时，求λ的值．
【解答】解：（1）由题意可得：，AD∥BC，又，
所以，所以，
所以，，
所以
＝8+66；
（2）因为，当A，F，C三点共线时，
由（1）知，，
所以，，，
因为当A，F，C三点共线，所以存在实数x，
使得，
即
，
因为，不共线，
所以，解得：．
17．（2025春 陕西校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，E，F分别为边AB，BC上的点，且AE＝EB，2BF＝CF．
（1）求；
（2）求cos∠AFC．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
E，F分别为边AB，BC上的点，且AE＝EB，2BF＝CF，
因为AE＝EB，所以根据平面向量的加法法则可得，
又2BF＝FC，所以根据平面向量的减法法则可得，
因为∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，所以根据平面向量数量积公式可得，
根据平面向量数量积的运算可得；
（2）由题意可得，
，
因为∠BAC＝90°，所以根据勾股定理可得，
根据两向量的夹角公式可得．
18．（2025春 邱县校级月考）已知，记在方向上的投影向量为．
（1）求的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
（3）已知A（1，0），B（2，2），求与共线的单位向量的坐标．
【解答】解：（1）∵与的夹角为，
∴；
（2）∵向量与的夹角为锐角，
∴
，且与不能共线，
∴λ2﹣8λ+12＜0即2＜λ＜6，
当与共线时，设，得，
∴2＜λ＜6且，
则实数λ的取值范围为（2，2）∪（2，6）；
（3），
所求单位向量坐标为：或．
19．（2025 黑龙江校级三模）定义平面凸四边形为没有内角度数大于180°的四边形．如图，已知平面凸四边形ABCD中，AB＝3，，AD＝6．
（1）若四边形ABCD被对角线BD分为面积相等的两部分，且∠A＝60°；
①求CD的长；
②若，求的值．
（2）若，求四边形ABCD面积的最大值．
【解答】解：已知平面凸四边形ABCD中，AB＝3，，AD＝6，
（1）已知四边形ABCD被对角线BD分为面积相等的两部分，且∠A＝60°，
①如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AD＝6，
由余弦定理可得BD2＝32+62﹣2×3×6×cos60°＝27，则
，
注意到BD2+AB2＝AD2，所以∠ABD＝90°，
又S△BCD＝S△BCD，得，
即9sin60°＝9sin∠DBC ，
又因为四边形ABCD为凸四边形，0＜∠DBC＜90°，故∠DBC＝60°，
则在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BD2+BC2﹣2BD BCcos60° CD2＝12+27﹣18＝21，
所以．
②由①，如图，以B为原点，建立平面直角坐标系，
所以B（0，0），D，A（0，3），，则．
设M（x，y），由，
得，
则，
则．
（2）若，
在△ABD和△BCD中，
由余弦定理得BD2＝AB2+AD2﹣2AB ADcosA＝CB2+CD2﹣2CB CDcosC，
则BD2＝45﹣36cosA＝39﹣36cosC ，
四边形ABCD面积为：，
即，所以
＝2﹣2（cosAcosC﹣sinAsinC）＝2﹣2cos（A+C）≤4，
当且仅当A+C＝π，即，时，cos（A+C）取最小值，
则，
所以四边形ABCD面积S的最大值为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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