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【深圳市中考数学备考指南】专题25尺规作图（中等）
1．如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步：画射线BP．射线BP即为所求．
下列正确的是（　　）
A．a，b均无限制 B．的长
C．有最小限制，无限制 D．的长
2．（2019八上·重庆期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
3．如图，在ABC中，D是边BC上一点，AD=AB
（1）请用尺规作图法作绕点旋转后得到的，使旋转后的AB边与AD边重合．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接CE，若，求证：．
4．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：
①分别以点C和点D为圆心，大于CD的同样的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；
②作直线MN，交CD于点E，连接BE．若直线MN恰好经过点A，则下列说法错误的是（　　）
A． B．
C．若，则 D．
5．尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图．尺规作
图是起源于古希腊的数学课题．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决
不同的平面几何作图题．初中阶段同学们首次接触的尺规作图是“作一条线段等于已
知线段”
（1）如图1，在线段AB外有一点，现在利用尺规作图验证＂两点之间线段最短＂，
．请根据提示，用尺规完成作图，并补充验证步骤．
第一步，以为圆心，AC为半径作弧，交线段AB于点，则　 　
第二步，以为圆心，BC为半径作弧，交线段AB于点，则　 　
则　 　+　 　　 　．
故：．
（2）如图2，在直线上，从左往右依次有四个点，且．现以为圆心，半径长为作圆，与直线两个交点中右侧交点记为点．再以为圆心；相同半径长作圆，与直线两个交点中左侧交点记为点．若P，Q，F三点中，有一点分另外两点所连线段之比为1：2，求半径的长．
6．如图，已知．（1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点，交AB于点．（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．（3）作射线AP交BC于点．（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点．（5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F．
依据以上作图，若，则CD的长是（　　）
A． B．1 C． D．4
7．（2022八上·新会月考）△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD，则下列结论错误的是（　　）
A．AD＝BD B．∠BDC＝72°
C．S△ABD：S△BCD＝BC：AC D．△BCD的周长＝AB+BC
8．（2022八上·成都期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，CB于点E和F；②分别以E，F为圆心，大于EF为半径画弧，两弧交于点D；③作射线CD交AB于点G；延长CA至H，使CH＝CB，连接HG，若AH＝2，AB＝5，则△AHG的周长为 　 　.
9．如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　）
A．∠BDE=∠BAC B．∠BAD=∠B C．DE=DC D．AE=AC
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）尺规作图：按要求完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母．
①作∠BAC的角平分线交BC于点D；
②过点D作线段AC的垂线交AC于点E；
（2）若BD＝6，CD＝10，求AC的值．
11．（2024八下·从江期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（　　）
A．3 B． C． D．
12．某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中AB＝AC，如图Ⅰ，进行了如下操作：
第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图Ⅱ
第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；
（1）填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为　 　；
（2）①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
②当AB＝AC＝6，BC＝2时，连接DG，请直接写出＝ ▲ ；
（3）如图Ⅲ，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当∠CPM＝∠B时，求AM的长
13．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，sinC＝，以点A为圆心，AB长为半径作弧交AC于点M，分别以点B，M为圆心，以大于BM长为半径作弧，两弧相交于点N，射线AN与BC相交于点D，则AD的长为　 　．
14．如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出（　　）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
15．用尺规作图的方法在一个平行四边形内作菱形 ，下列作
法错误的是(　　)
A． B．
C． D．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：以为圆心画弧时，半径必须大于0，分别以D，E为圆心，以为半径画弧时，必须大于，否则没有交点，
故选：B．
【分析】根据角平分线的作图定义即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；
∴这样的顶点C有8个.
故答案为：A.
【分析】利用方格纸的特点及等腰三角形的判定方法，分：①以AB为底，②以AB为腰且A为等腰三角形顶角的顶点，③以AB为腰且B为等腰三角形顶角的顶点，三种情况分类讨论即可得出符合条件的点C，从而得出答案。
3．【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）证明：连CE，
是等边三角形
旋转至
是等边三角形
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转性质作图即可求出答案.
（2）连CE，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据旋转性质可得，根据全等三角形性质可得，则，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
A、根据作图过程可知：
AE是DC的垂直平分线，连接AC，
∴AC＝AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴AB＝BC＝AC，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°．
所以A选项正确；
B、∵点E是CD的中点，
∴S△ADE＝S△BCE＝S△ABE，
∴S△ABE＝2S△ADE，
所以B选项正确；
C、∵∠BAC＝∠CAD＝60°，∠CAE＝∠CAD＝30°，
∴∠BAE＝90°，
∵AB＝AD＝4，
∴AE＝2，
∴在Rt△ABE中，根据勾股定理，得
∴在Rt△EBF中，BF＝BC+CF＝5，
.
所以D选项正确．
所以下列说法错误的是C选项．
故选：C．
【分析】A：根据作图过程可知：AE是DC的垂直平分线，连接AC，根据垂直平分线性质可得AC＝AD，再根据菱形性质可得AB＝BC＝CD＝AD，根据等边三角形判定定理可得三角形ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°，正确；
B：根据三角形中线性质可得S△ADE＝S△BCE＝S△ABE，则S△ABE＝2S△ADE，正确；
C：根据含30°角的直角三角形性质可得AE＝2，再根据勾股定理可得BE，错误
D：根据正切定义即可判断.
5．【答案】（1）AM；BN；AM；BN；MN
（2）解：如图1，当时，
解得
如图2，当时，
，解得r=6
如图3，当时，
，解得r=9
答：半径的长为2或6或9。
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）第一步，以为圆心，AC为半径作弧，交线段AB于点，则；第二步，以为圆心，BC为半径作弧，交线段AB于点，则；
则．
故：．
【分析】（1）根据边之间的关系即可求出答案.
（2）分情况讨论：当时，当时，当时，根据边之间的关系即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接DE，DF由作图可得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD
∴∠EAD=∠FAD，EA=ED，FA=FD
∵EA=ED
∴∠EAD=∠EDA
∴∠FAD=∠EDA
∴DE∥AF
同理可得AE∥DF
∴四边形AEDF为平行四边形
∵EA=ED
∴四边形AEDF为菱形
∴AE=AF=2
∵DE∥AB
∴，即
∴
故答案为：C
【分析】连接DE，DF由作图可得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，根据角平分线定义，垂直平分线性质可得∠EAD=∠FAD，EA=ED，FA=FD，根据等边对等角可得∠EAD=∠EDA，则∠FAD=∠EDA，根据直线平行判定定理可得DE∥AF，同理可得AE∥DF，根据菱形判定定理可得四边形AEDF为菱形，则AE=AF=2，再根据平行线成比例定理可得，代值计算即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵等腰中，，，
∴，
由作图痕迹发现BD平分，
∴，
∴，，故A、B正确；
∵，
∴，
结合图形可得：与的高相同，
∴，故C错误；
的周长为：，故D正确；
故选：C．
【分析】根据等腰三角形性质可得，根据作图痕迹发现BD平分，根据角平分线定义可得，则，，可判断A，B，再根据等角对等边可得，根据三角形面积可判断C，再根据三角形周长可判断D.
8．【答案】7
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：由作图可知，CH=CB，∠GCH=∠GCB，
在△GCH和△GCB中，
，
∴△GCH≌△GCB（SAS），
∴GH=GB，
∴△AHG的周长=AH+AG+GH=AH+AG+GB=AH+AB=2+5=7.
故答案为：7.
【分析】由作图可知：CH=CB，∠GCH=∠GCB，利用SAS证明△GCH≌△GCB，得到GH=GB，则可将△AHG的周长转化为AH+AB，据此解答.
9．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得，DE⊥AB，AD平分∠BAC
∵∠C=90°
∴DE=DC，C正确，
AE=AC，D正确
∠B+∠BDE=∠B+∠BAC=90°
∴∠BDE=∠BAC，A正确
∵DE不是AB的垂直平分线
∴不能判断∠BAD=∠B，B错误
故答案为：B
【分析】根据作图可得DE⊥AB，AD平分∠BAC，再根据角平分线性质逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】（1）解：①如图，AD为所作；
②如图，DE为所作；
（2）解：∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DE⊥AC，
∴DE＝DB＝6，
在Rt△CDE中，
∴AB＝AE，
设AB＝x，则AE＝x，AC＝x+8，
在Rt△ABC中，x2+162＝（x+8）2，解得x＝12，
∴AC＝12+8＝20
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）①根据垂直平分线定义作图即可.
②根据垂线定义作图即可.
（2）根据角平分线性质可得DE＝DB＝6，根据勾股定理可得CE，AE，AB，设AB＝x，则AE＝x，AC＝x+8，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，
过D点作DH⊥AB于H点，
∵∠C=∠DHB=90°，
∴DC=DH，
，
∵∠C=∠DHB=90°，∠HBD=∠CBD，BD=BD
∴△BHD≌△BCD（AAS）
∴ BC=BH
设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，
在Rt△ADH中，由勾股定理：，
代入数据：，解得，故，
故选：A．
【分析】由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，过D点作DH⊥AB于H点，根据角平分线性质可得DC=DH，根据勾股定理可得AC，再根据全等三角形判定定理可得△BHD≌△BCD（AAS），则BC=BH，设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
12．【答案】（1）∠CAD＝∠GAD
（2）解：①AD∥BC，理由如下：
∵AB＝AC，
∴AB＝AC，且∠GAC＝∠B+∠C＝2∠C，
∵∠GAC＝∠CAD+∠GAD＝2∠CAD，
∴∠C＝∠DAC，
∴AD∥BC；
②3
（3）解：如图所示，延长CP交MA的延长线于点Q，
∵AM∥BC，
∴∠3＝∠4+∠5，
∵∠B＝∠4+∠5，
∴∠3＝∠B，
∵∠CPM＝∠B，
∴∠CPM＝∠3，
又∵∠1＝∠2，∠2+∠3+∠M＝180°，∠1+∠CPM+∠5＝180°，
∴∠M＝∠5，
又∵AQ∥BC，
∴∠Q＝∠PCB，∠PAQ＝∠B，
又∵P为AB的中点，
∴AP＝PB，
∴△PAQ≌△PBC（AAS），
∴AQ＝BC＝2，
又∵∠APC＝∠B+∠4＝∠APM+∠CPM，∠B＝∠CPM，
∴∠4＝∠APM，
又∵∠Q＝∠4，
∴∠APM＝∠Q，
又∵∠M＝∠5，
∴△APM∽△AQC，
，
∵AB＝2，AP＝3，AC＝6
，
答：AM的长为9．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由作图步骤可得AD为∠GAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠GAD，
故答案为：∠CAD＝∠GAD；
（2）②∵∠CAD＝∠GAD＝∠GAC，
∴∠B＝∠C＝∠GAC，
∵∠CAD＝∠GAD＝∠GAC，
∴∠GAD＝B＝∠C，
又∵AD＝GD，
∴∠GAD＝∠AGD，
∴∠GAD＝∠AGD＝B＝∠C，
∴△ADG∽△BAC，
即
故答案为：3．
【分析】（1）由作图步骤可得AD为∠GAC的角平分线，根据角平分线定义即可求出答案.
（2）①根据等边对等角可得AB＝AC，再根据角之间的关系可得∠C＝∠DAC，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
②根据角之间的关系可得∠GAD＝B＝∠C，根据等边对等角可得∠GAD＝∠AGD，再根据相似三角形判定定理可得△ADG∽△BAC，则，即，代值计算即可求出答案.
（3）延长CP交MA的延长线于点Q，根据直线平行性质可得∠3＝∠4+∠5，根据角之间的关系可得∠M＝∠5，再根据直线平行性质可得∠Q＝∠PCB，∠PAQ＝∠B，再根据线段中点可得AP＝PB，根据全等三角形判定定理可得△PAQ≌△PBC（AAS），则AQ＝BC＝2，根据饺子回见的关系可得∠APM＝∠Q，再根据相似三角形判定定理可得△APM∽△AQC，则，代值计算即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；解直角三角形；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是正方形．
∴DE∥AC，DF∥AB．
∴∠ABC＝∠FDC，∠EDB＝∠ACD．
∴△EBD∽△FDC．
.
∴设
设正方形AEDF的边长是x
．解得．
故答案为
【分析】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质可得DE＝DF，再根据正方形判定定理可得四边形AEDF是正方形，则DE∥AC，DF∥AB，即∠ABC＝∠FDC，∠EDB＝∠ACD．，再根据相似三角形判定定理可得△EBD∽△FDC．，则，再根据正弦定义设，根据勾股定理可得AC=4k，再根据正切定义可得AC=8，设正方形AEDF的边长是x，根据题意建立方程，解方程可得x值，再根据勾股定理即可求出答案.
14．【答案】B
【知识点】尺规作图-作三角形
【解析】【解答】解： 分别以D为圆心，AB长为半径作弧，以E为圆心，AC长为半径作弧，两弧相交于两点（线段DE上下各一个），经过连接后可以得到两个与△ABC全等的三角形；
以D为圆心，AC长为半径作弧，以E为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于两点（线段DE上下各一个），经过连接后也可以得到两个与△ABC全等的三角形.
故这样的三角形最多可以画4个
故答案为：B
【分析】别以D为圆心，AB长为半径作弧，以E为圆心，AC长为半径作弧，两弧相交于两点（线段DE上下各一个），经过连接后可以得到两个与△ABC全等的三角形；以D为圆心，AC长为半径作弧，以E为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于两点（线段DE上下各一个），经过连接后也可以得到两个与△ABC全等的三角形.
15．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：．由作图可知，只能得出四边形ABCD是平行四边形，错误；
B．由作图可知，对角线AC平分对角，可以得出四边形ABCD是菱形，正确；
．由作图可知，所以，又，所以四边形ABCD是平行四边形，又，所以四边形ABCD是菱形，正确；
D．由作图可知AC垂直平分BD，所以，可以得出四边形ABCD是菱形，正确．
故选．
【分析】根据平行四边形，菱形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
1 / 1【深圳市中考数学备考指南】专题25尺规作图（中等）
1．如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步：画射线BP．射线BP即为所求．
下列正确的是（　　）
A．a，b均无限制 B．的长
C．有最小限制，无限制 D．的长
【答案】B
【知识点】尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：以为圆心画弧时，半径必须大于0，分别以D，E为圆心，以为半径画弧时，必须大于，否则没有交点，
故选：B．
【分析】根据角平分线的作图定义即可求出答案.
2．（2019八上·重庆期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；
∴这样的顶点C有8个.
故答案为：A.
【分析】利用方格纸的特点及等腰三角形的判定方法，分：①以AB为底，②以AB为腰且A为等腰三角形顶角的顶点，③以AB为腰且B为等腰三角形顶角的顶点，三种情况分类讨论即可得出符合条件的点C，从而得出答案。
3．如图，在ABC中，D是边BC上一点，AD=AB
（1）请用尺规作图法作绕点旋转后得到的，使旋转后的AB边与AD边重合．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接CE，若，求证：．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）证明：连CE，
是等边三角形
旋转至
是等边三角形
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转性质作图即可求出答案.
（2）连CE，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据旋转性质可得，根据全等三角形性质可得，则，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，即可求出答案.
4．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：
①分别以点C和点D为圆心，大于CD的同样的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；
②作直线MN，交CD于点E，连接BE．若直线MN恰好经过点A，则下列说法错误的是（　　）
A． B．
C．若，则 D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
A、根据作图过程可知：
AE是DC的垂直平分线，连接AC，
∴AC＝AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴AB＝BC＝AC，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°．
所以A选项正确；
B、∵点E是CD的中点，
∴S△ADE＝S△BCE＝S△ABE，
∴S△ABE＝2S△ADE，
所以B选项正确；
C、∵∠BAC＝∠CAD＝60°，∠CAE＝∠CAD＝30°，
∴∠BAE＝90°，
∵AB＝AD＝4，
∴AE＝2，
∴在Rt△ABE中，根据勾股定理，得
∴在Rt△EBF中，BF＝BC+CF＝5，
.
所以D选项正确．
所以下列说法错误的是C选项．
故选：C．
【分析】A：根据作图过程可知：AE是DC的垂直平分线，连接AC，根据垂直平分线性质可得AC＝AD，再根据菱形性质可得AB＝BC＝CD＝AD，根据等边三角形判定定理可得三角形ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°，正确；
B：根据三角形中线性质可得S△ADE＝S△BCE＝S△ABE，则S△ABE＝2S△ADE，正确；
C：根据含30°角的直角三角形性质可得AE＝2，再根据勾股定理可得BE，错误
D：根据正切定义即可判断.
5．尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图．尺规作
图是起源于古希腊的数学课题．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决
不同的平面几何作图题．初中阶段同学们首次接触的尺规作图是“作一条线段等于已
知线段”
（1）如图1，在线段AB外有一点，现在利用尺规作图验证＂两点之间线段最短＂，
．请根据提示，用尺规完成作图，并补充验证步骤．
第一步，以为圆心，AC为半径作弧，交线段AB于点，则　 　
第二步，以为圆心，BC为半径作弧，交线段AB于点，则　 　
则　 　+　 　　 　．
故：．
（2）如图2，在直线上，从左往右依次有四个点，且．现以为圆心，半径长为作圆，与直线两个交点中右侧交点记为点．再以为圆心；相同半径长作圆，与直线两个交点中左侧交点记为点．若P，Q，F三点中，有一点分另外两点所连线段之比为1：2，求半径的长．
【答案】（1）AM；BN；AM；BN；MN
（2）解：如图1，当时，
解得
如图2，当时，
，解得r=6
如图3，当时，
，解得r=9
答：半径的长为2或6或9。
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）第一步，以为圆心，AC为半径作弧，交线段AB于点，则；第二步，以为圆心，BC为半径作弧，交线段AB于点，则；
则．
故：．
【分析】（1）根据边之间的关系即可求出答案.
（2）分情况讨论：当时，当时，当时，根据边之间的关系即可求出答案.
6．如图，已知．（1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点，交AB于点．（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．（3）作射线AP交BC于点．（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点．（5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F．
依据以上作图，若，则CD的长是（　　）
A． B．1 C． D．4
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接DE，DF由作图可得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD
∴∠EAD=∠FAD，EA=ED，FA=FD
∵EA=ED
∴∠EAD=∠EDA
∴∠FAD=∠EDA
∴DE∥AF
同理可得AE∥DF
∴四边形AEDF为平行四边形
∵EA=ED
∴四边形AEDF为菱形
∴AE=AF=2
∵DE∥AB
∴，即
∴
故答案为：C
【分析】连接DE，DF由作图可得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，根据角平分线定义，垂直平分线性质可得∠EAD=∠FAD，EA=ED，FA=FD，根据等边对等角可得∠EAD=∠EDA，则∠FAD=∠EDA，根据直线平行判定定理可得DE∥AF，同理可得AE∥DF，根据菱形判定定理可得四边形AEDF为菱形，则AE=AF=2，再根据平行线成比例定理可得，代值计算即可求出答案.
7．（2022八上·新会月考）△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD，则下列结论错误的是（　　）
A．AD＝BD B．∠BDC＝72°
C．S△ABD：S△BCD＝BC：AC D．△BCD的周长＝AB+BC
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵等腰中，，，
∴，
由作图痕迹发现BD平分，
∴，
∴，，故A、B正确；
∵，
∴，
结合图形可得：与的高相同，
∴，故C错误；
的周长为：，故D正确；
故选：C．
【分析】根据等腰三角形性质可得，根据作图痕迹发现BD平分，根据角平分线定义可得，则，，可判断A，B，再根据等角对等边可得，根据三角形面积可判断C，再根据三角形周长可判断D.
8．（2022八上·成都期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，CB于点E和F；②分别以E，F为圆心，大于EF为半径画弧，两弧交于点D；③作射线CD交AB于点G；延长CA至H，使CH＝CB，连接HG，若AH＝2，AB＝5，则△AHG的周长为 　 　.
【答案】7
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：由作图可知，CH=CB，∠GCH=∠GCB，
在△GCH和△GCB中，
，
∴△GCH≌△GCB（SAS），
∴GH=GB，
∴△AHG的周长=AH+AG+GH=AH+AG+GB=AH+AB=2+5=7.
故答案为：7.
【分析】由作图可知：CH=CB，∠GCH=∠GCB，利用SAS证明△GCH≌△GCB，得到GH=GB，则可将△AHG的周长转化为AH+AB，据此解答.
9．如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　）
A．∠BDE=∠BAC B．∠BAD=∠B C．DE=DC D．AE=AC
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得，DE⊥AB，AD平分∠BAC
∵∠C=90°
∴DE=DC，C正确，
AE=AC，D正确
∠B+∠BDE=∠B+∠BAC=90°
∴∠BDE=∠BAC，A正确
∵DE不是AB的垂直平分线
∴不能判断∠BAD=∠B，B错误
故答案为：B
【分析】根据作图可得DE⊥AB，AD平分∠BAC，再根据角平分线性质逐项进行判断即可求出答案.
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）尺规作图：按要求完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母．
①作∠BAC的角平分线交BC于点D；
②过点D作线段AC的垂线交AC于点E；
（2）若BD＝6，CD＝10，求AC的值．
【答案】（1）解：①如图，AD为所作；
②如图，DE为所作；
（2）解：∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DE⊥AC，
∴DE＝DB＝6，
在Rt△CDE中，
∴AB＝AE，
设AB＝x，则AE＝x，AC＝x+8，
在Rt△ABC中，x2+162＝（x+8）2，解得x＝12，
∴AC＝12+8＝20
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）①根据垂直平分线定义作图即可.
②根据垂线定义作图即可.
（2）根据角平分线性质可得DE＝DB＝6，根据勾股定理可得CE，AE，AB，设AB＝x，则AE＝x，AC＝x+8，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
11．（2024八下·从江期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，
过D点作DH⊥AB于H点，
∵∠C=∠DHB=90°，
∴DC=DH，
，
∵∠C=∠DHB=90°，∠HBD=∠CBD，BD=BD
∴△BHD≌△BCD（AAS）
∴ BC=BH
设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，
在Rt△ADH中，由勾股定理：，
代入数据：，解得，故，
故选：A．
【分析】由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，过D点作DH⊥AB于H点，根据角平分线性质可得DC=DH，根据勾股定理可得AC，再根据全等三角形判定定理可得△BHD≌△BCD（AAS），则BC=BH，设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
12．某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中AB＝AC，如图Ⅰ，进行了如下操作：
第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图Ⅱ
第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；
（1）填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为　 　；
（2）①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
②当AB＝AC＝6，BC＝2时，连接DG，请直接写出＝ ▲ ；
（3）如图Ⅲ，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当∠CPM＝∠B时，求AM的长
【答案】（1）∠CAD＝∠GAD
（2）解：①AD∥BC，理由如下：
∵AB＝AC，
∴AB＝AC，且∠GAC＝∠B+∠C＝2∠C，
∵∠GAC＝∠CAD+∠GAD＝2∠CAD，
∴∠C＝∠DAC，
∴AD∥BC；
②3
（3）解：如图所示，延长CP交MA的延长线于点Q，
∵AM∥BC，
∴∠3＝∠4+∠5，
∵∠B＝∠4+∠5，
∴∠3＝∠B，
∵∠CPM＝∠B，
∴∠CPM＝∠3，
又∵∠1＝∠2，∠2+∠3+∠M＝180°，∠1+∠CPM+∠5＝180°，
∴∠M＝∠5，
又∵AQ∥BC，
∴∠Q＝∠PCB，∠PAQ＝∠B，
又∵P为AB的中点，
∴AP＝PB，
∴△PAQ≌△PBC（AAS），
∴AQ＝BC＝2，
又∵∠APC＝∠B+∠4＝∠APM+∠CPM，∠B＝∠CPM，
∴∠4＝∠APM，
又∵∠Q＝∠4，
∴∠APM＝∠Q，
又∵∠M＝∠5，
∴△APM∽△AQC，
，
∵AB＝2，AP＝3，AC＝6
，
答：AM的长为9．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由作图步骤可得AD为∠GAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠GAD，
故答案为：∠CAD＝∠GAD；
（2）②∵∠CAD＝∠GAD＝∠GAC，
∴∠B＝∠C＝∠GAC，
∵∠CAD＝∠GAD＝∠GAC，
∴∠GAD＝B＝∠C，
又∵AD＝GD，
∴∠GAD＝∠AGD，
∴∠GAD＝∠AGD＝B＝∠C，
∴△ADG∽△BAC，
即
故答案为：3．
【分析】（1）由作图步骤可得AD为∠GAC的角平分线，根据角平分线定义即可求出答案.
（2）①根据等边对等角可得AB＝AC，再根据角之间的关系可得∠C＝∠DAC，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
②根据角之间的关系可得∠GAD＝B＝∠C，根据等边对等角可得∠GAD＝∠AGD，再根据相似三角形判定定理可得△ADG∽△BAC，则，即，代值计算即可求出答案.
（3）延长CP交MA的延长线于点Q，根据直线平行性质可得∠3＝∠4+∠5，根据角之间的关系可得∠M＝∠5，再根据直线平行性质可得∠Q＝∠PCB，∠PAQ＝∠B，再根据线段中点可得AP＝PB，根据全等三角形判定定理可得△PAQ≌△PBC（AAS），则AQ＝BC＝2，根据饺子回见的关系可得∠APM＝∠Q，再根据相似三角形判定定理可得△APM∽△AQC，则，代值计算即可求出答案.
13．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，sinC＝，以点A为圆心，AB长为半径作弧交AC于点M，分别以点B，M为圆心，以大于BM长为半径作弧，两弧相交于点N，射线AN与BC相交于点D，则AD的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；解直角三角形；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是正方形．
∴DE∥AC，DF∥AB．
∴∠ABC＝∠FDC，∠EDB＝∠ACD．
∴△EBD∽△FDC．
.
∴设
设正方形AEDF的边长是x
．解得．
故答案为
【分析】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质可得DE＝DF，再根据正方形判定定理可得四边形AEDF是正方形，则DE∥AC，DF∥AB，即∠ABC＝∠FDC，∠EDB＝∠ACD．，再根据相似三角形判定定理可得△EBD∽△FDC．，则，再根据正弦定义设，根据勾股定理可得AC=4k，再根据正切定义可得AC=8，设正方形AEDF的边长是x，根据题意建立方程，解方程可得x值，再根据勾股定理即可求出答案.
14．如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出（　　）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】B
【知识点】尺规作图-作三角形
【解析】【解答】解： 分别以D为圆心，AB长为半径作弧，以E为圆心，AC长为半径作弧，两弧相交于两点（线段DE上下各一个），经过连接后可以得到两个与△ABC全等的三角形；
以D为圆心，AC长为半径作弧，以E为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于两点（线段DE上下各一个），经过连接后也可以得到两个与△ABC全等的三角形.
故这样的三角形最多可以画4个
故答案为：B
【分析】别以D为圆心，AB长为半径作弧，以E为圆心，AC长为半径作弧，两弧相交于两点（线段DE上下各一个），经过连接后可以得到两个与△ABC全等的三角形；以D为圆心，AC长为半径作弧，以E为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于两点（线段DE上下各一个），经过连接后也可以得到两个与△ABC全等的三角形.
15．用尺规作图的方法在一个平行四边形内作菱形 ，下列作
法错误的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：．由作图可知，只能得出四边形ABCD是平行四边形，错误；
B．由作图可知，对角线AC平分对角，可以得出四边形ABCD是菱形，正确；
．由作图可知，所以，又，所以四边形ABCD是平行四边形，又，所以四边形ABCD是菱形，正确；
D．由作图可知AC垂直平分BD，所以，可以得出四边形ABCD是菱形，正确．
故选．
【分析】根据平行四边形，菱形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
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