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浙江省丽水市莲都区2025年中考二模数学试卷
1．（2025·莲都模拟）物资仓库某天运进物资5吨，运出物资3吨，若记运进物资为＂+＂，运出物资为＂-＂，则该仓库当天物资变化的结果可表示为（　　）
A．-8吨 B．-2吨 C．+2吨 D．+8吨
【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： 将运进和运出的量相加：+5吨 + (-3吨) = 2吨，即+2吨.
故答案为：C .
【分析】 正确理解题目中符号的定义，直接进行加减运算即可得出结果.
2．（2025·莲都模拟）2025年2月，中国AI初创公司DeepSeek在人工智能领域掀起了一场风暴．据AI分析平台发布的报告显示，2月DeepSeek的网站访问量达到了525000000次，数据525000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 525000000=5.25×108.
故答案为：A.
【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.
3．（2025·莲都模拟）下列几何体中，主视图与俯视图的形状不一样的几何体是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： A、正方体的主视图与俯视图都是正方形，故A不符合题意；
B、圆柱的主视图与俯视图都是长方形，故B不符合题意；
C、圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是一个圆和圆心，故C符合题意；
D、球体的主视图与俯视图都是圆形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 根据每一个几何体的三种视图，即可解答.
4．（2025·莲都模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A．a2与a不是同类项，不能直接合并相减，所以该选项计算错误，不符合题意；
B．根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．a6÷a2=a6-2=a4≠a3，所以该选项计算错误，不符合题意；
C．根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．（a2）4=a2×4=a8≠a6，所以该选项计算错误，不符合题意；
D．根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a2 a4=a2+4=a6，所以该选项计算正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】 根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法法则，逐项判断即可.
5．（2025·莲都模拟）如图是丽水市区某周周一到周五的气温变化情况统计图，下列说法正确的是（　　）
A．这周周一到周五，温差最大的是周四
B．这五天中，主要以多云为主
C．从周一到周五，气温在不断下降
D．这五天中，最高气温大于25度的有四天
【答案】C
【知识点】统计表
【解析】【解答】解：
A、周一温差为32℃-20℃=12℃，周二温差为29℃-19℃=10℃，周三温差为27℃-17℃=10℃，周四温差为25℃-14℃=11℃，周五温差为22℃-13℃=9℃，
∴温差最大的是周一，故错误，不符合题意；
B、这五天中，小雨有三天，多云有两天，则主要以小雨为主，故错误，不符合题意；
C、从周一到周五，气温在不断下降，正确，符合题意；
D、这五天中，最高气温大于25度的有周一、二、三，共3天，故错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】从统计图中获取信息，逐一分析即可求解.
6．（2025·莲都模拟）已知是方程的一个根，则代数式的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： 由条件可知a2+2a+1=0，
∴a2+2a=-1，
∴2a2+4a+3=2（a2+2a）+3=2×（-1）+3=1.
故答案为：B.
【分析】 由题意可得a2+2a=-1，将原式变形后代入数值计算即可.
7．（2025·莲都模拟）如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
如图，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，
∴∠ABD==108°，∠DBC=∠BAC，
∵∠α+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ACB=∠BAC=180°-108°=72°，
∴∠α=180°-∠ACB-∠BAC=180°-72°-72°=36°，
故答案为：C.
【分析】 根据题目描述，五个完全相同的等腰三角形组合构成了内外两个正五边形，通过计算正五边形的内角可知∠ABD为108度，运用三角形内角和为180度的性质，可以推导出∠ACB和∠BAC均为72度（180°-108°），最终即可求得∠α的具体数.
8．（2025·莲都模拟）平面直角坐标系中，线段AB经过平移得到线段，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：
∵点A（-1，2）的对应点A'的坐标为（1，-1），
∴点B的对应点B'的坐标是（m+2，n-3）．
故答案为：A.
【分析】 根据点A平移的特点：横坐标加上2，纵坐标减去3，结合点A的平移特点得出答案.
9．（2025·莲都模拟）已知点与点都在反比例函数的图像上，则下列说法中一定正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：
A、∵k＞0，a＞1，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，xA=a-1＞0，xB=a+2＞0，
∴点A、B在第一象限，
∴
∴解不等式组得b＞1，故A错误，不符合题意；
B、∵k＞0，a＜-2，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，xA=a-1＜0，xB=a+2＜0，
∴点A、B在第三象限，
∴
∴解不等式组得b＜0，故B错误，不符合题意；
C、∵k＜0，a＞1，
∴点A，B均在第四象限，
∴
解得：b＜0，故C错误，不符合题意；
D、∵k＜0，-2＜a＜1，
∴点A在第二象限，点B在第四象限，
∴
解得0＜b＜1，故D正确，符合题意，
故答案为：D.
【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征研究反比例函数的性质即可判断.
10．（2025·莲都模拟）如图，在中，点是BC延长线上一点，．设，，当为定值时，无论x，y的值如何变化，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C．xy D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；用代数式表示几何图形的数量关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作AM⊥BE于M，
根据等腰三角形三线合一，得BM=ME，
由平行四边形性质，知AD=BC，
=BC·CE=(BM+MC)(ME-MC)=BM2-MC2
在Rt△ABM中，BM2=AB2-AM2=x2-AM2，
在Rt△ACM中，CM2=AC2-AM2=y2-AM2，
∴BM2-MC2=x2-AM2-（y2-AM2）=x2-y2，
故答案为：B.
【分析】通过作AM⊥BE于M，利用等腰三角形的性质得到BM=ME，根据等量代换以及线段和差，将AD·CE转化为BM2-MC2，再根据勾股定理，分别表示出BM与MC，最后进行相减即可.
11．（2025·莲都模拟）因式分解： 　 　.
【答案】（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】观察此多项式的特点：含有；两项，都能写成平方形式，两项的符号相反，由此利用平方差公式分解因式。
12．（2025·莲都模拟）动车组列车的普通坐席位置通常用A，B，C，D，F五个字母表示，其中A，F代表靠窗坐席，小莲随机购买了一张动车组列车的普通坐席车票，坐席是靠窗位留的概率为　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
∵动车组列车的普通坐席位置通常用A，B，C，D，F五个字母表示，A，F代表靠窗坐席，
∴共有5种等可能的结果，其中坐席是靠窗位置的结果有2种，
∴随机购买一张动车组列车的普通坐席车票，坐席是靠窗位置的概率为.
故答案为：.
【分析】由题意知，共有5种等可能的结果，其中坐席是靠窗位置的结果有2种.
13．（2025·莲都模拟）如图，中，，以AB为直径作，与边BC相切于点，与AC相交于点，则图中的长是　 　．
【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解： 连接OD，如图，
∴OD=OB==2，
由题意可得：AB⊥BC，
∵AB=BC=4，
∴∠BAC=45°，
∴∠BOD=90°，
∴=π，
故答案为：π.
【分析】 连接OD，由切线的性质得∠ABC=90°，根据AB=BC得∠BAC=∠BCA=45°，由圆周角定理得∠BOD=2∠A=90°，最后根据弧长公式求解即可.
14．（2025·莲都模拟）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文是：一份文件，若用慢马送到800里远的做市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为天，则根据题意可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，
则：=，
故答案为：=.
【分析】 根据快马的速度是慢马的2倍，即可列出相应的方程.
15．（2025·莲都模拟）如图，在中，的平分线交AC于点，点D，E分别是边AB，AC上的点，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
如图，延长DE，BF交于点G，
∵，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠ABC，
∴DE∥BC，
∴∠CBG=∠DGB，
由题意可得：∠DBG=∠CBG，
∴∠DBG=∠DGB，
∴BD=DG，
∵EG∥BC，
∴△EFG∽△CFB，
∴，
∵
∴EG=，
故答案为： .
【分析】 延长DE，BF交于点G，可证△ADE∽△ABC，得DE∥BC，得出BD=DG，可证△EFG∽△CFB，求出 EG=，则BD-DE的值可求.
16．（2025·莲都模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点，过点的直线EF交AB于点，交CD于点，把四边形BCFE沿着EF翻折得到四边形．若，且，则与的面积比为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过F作FH⊥HC于点H，
∵B'C'∥AC，∠B'=∠C'=90°，
∴∠B'MH=∠C'HM=90°，
∴B'MHC'为矩形，则B'M=C'H，
由∠BAN=∠AMN=90°，可得∠BAC=∠ANE，
∴，
易知AE=CF，
不妨令AN=3，AE=CF=4，设B'N=x，
则NE=5，
在Rt△AMN中，NM：AM：AN=3：4：5，
∴MN=，
在Rt△AME中，AM：ME：AE=3：4：5，
∴ME=，
由矩形的对称性，知HF=ME=，
根据B'M=C'H，
可列得：，
解得x=，
∴BE=B'E=EN+NB'=5+x=，
由对称性知△OCF≌△OAE，
∴，
故答案为：.
【分析】先构造矩形B'MHC'，令AN=3，AE=4，设B'N=x，利用直角三角形的三边比例关系以及矩形对称性，可求得MN=，HF=ME=，再根据B'M=C'H，解得x=，进而去表示面积的比值.

17．（2025·莲都模拟）计算：．
【答案】解：．
【知识点】负整数指数幂；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】 分别计算每个部分的值，再进行加减运算.
18．（2025·莲都模拟）解不等式组
【答案】解：由①得：，
由②得：，
所以不等式组的解是：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】 分别解出每个不等式的解集，然后求这两个解集的公共部分，得到最终的解.
19．（2025·莲都模拟）如图，已知中，，过点作，交AB于点．
（1）求CD的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：因为，所以，
设CD为3x，则BD为5x，因为，
所以，解得，所以．
（2）解：作，垂足为点，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以．
【知识点】已知正弦值求边长；求正切值
【解析】【分析】
（1）由正弦定义得到，设CD为3x，则BD为5x，根据勾股定理列方程并解方程即可；
（2）作CH⊥AB，垂足为点H，求出CH和AH的长度，根据正切的定义即可求出答案.
20．（2025·莲都模拟）清明节是中国的传统节日，民间有吃清明果的习俗．今年清明节前，某校七、八年级开展了一次＂包清明果＂的实践活动，每个班级选送成品参加评比，按10分制进行评分．七年级所有班级的评分数据分别为7.5，7.5，8，8，8，8，8.5，9，9，9，9.5，10；八年级所有班级的评分数据如条形统计图（图1）所示，两个年级的评分数据经计算后整理成统计表（图2）.
图2
　 平均分（分） 众数（分） 中位数（分） 方差（分2）
七年级 a 8 8.25 7
八年级 8.5 8.5 b 4
（1）求出统计表中a，b的值；
（2）根据表中数据，你认为哪个年级的活动效果更好？请说明理由．
【答案】（1）解：．
（2）解：从平均数看，七、八年级成绩相当；从众数与中位数看，八年级更好；从方差看，八年级方差小，各班级差距更小，综合来说八年级的活动效果更好．
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】 （1）根据加权平均数的计算公式和中位数的求解方法求解即可；
（2）根据平均数，中位数或众数，方差的意义回答均可.

21．（2025·莲都模拟）共享电动车作为绿色便捷的交通工具，为短程出行带来很大的便利．如图反映了两种品牌共享电动车的收费（元）与骑行时间（分）之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）当时，求关于的函数关系式；
（2）小莲每天早上需骑共享电动车到单位上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300米／分，小莲家到单位的路程为4500米，问小莲选择这两种品牌共享电动车中的哪种骑行去单位会更省钱？省多少？
【答案】（1）解：当时，设，
由条件可知解得
所以．
（2）解：设，由条件可知，
解得，所以．
因为，
所以（元），
（元），
（元），
所以小莲选择A品牌共享电动车骑行更省钱，省1元．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】 （1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据小莲家到单位的距离和共享单车的速度可以求出小莲家到单位需要的时间，再根据两种共享单车的收费标准分别计算出两种共享单车所需要的费用，从而计算求解.
22．（2025·莲都模拟）如图，中，分别以A，C为圆心，大于线段AC一半的长为半径画弧，相交于M，N两点，过M，N作直线交AC于点，连结BE．点是AB的中点，连结DE并延长至点，使，连结CF，已知．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若，求菱形BCFE的周长.
【答案】（1）证明：由作图可知，因为点是AB的中点，
所以，且，
又因为，所以，
所以四边形BCFE是平行四边形，
因为，
所以四边形BCFE是菱形．
（2）解：由（1）得四边形BCFE是菱形，因为，所以，
因为，所以是等边三角形，所以，
所以，
因为，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以，
所以菱形BCFE的周长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）由作图可知AE=CE，则由三角形中位线定理可得DE∥BC，且BC=2DE，据此可证明EF=BC，再证明四边形BCFE是平行四边形，进而可证明四边形BCFE是菱形．
（2）求出∠EBC=60°，证明△BCE是等边三角形，得到AE=CE=BE，则∠EAB=∠EBA，∠EBC=∠ECB，可证明∠ABC=90°，则∠ADE=∠ABC=90°，据此可得DE=2，则EF=2DE=4，再由菱形的周长计算公式可得答案.
23．（2025·莲都模拟）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差；
（3）已知点在该二次函数的图象上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为对称轴为直线，
所以设，
因为图象经过点，所以，解得，
所以二次函数的表达式为．
（2）解：因为点到轴的距离不大于2，所以，
因为该函数二次项系数为1大于0，
所以当时，有最小值1；当时，取得最大值为10，
因为，所以的最大值与最小值之差为9．
（3）解：二次函数图象的对称轴为直线，
①若点在轴的左侧，点在轴的右侧，
所以，解得：，
因为恒成立，所以，解得，
所以．
②若点在轴的右侧，点在轴的左侧，
所以，解得：，
因为恒成立，所以，解得，
所以，
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【分析】 （1）将A（2，2）代入解析式，并利用对称轴解析式解答即可；
（2）由题意得-2≤m≤2，由于开口向上，那么当m=1时，n有最小值1；由于横坐标为-2的点到对称轴的距离1-（-2）=3大于点A到对称轴的距离1，则当m=-2时，n取得最大值，即可求解；
（3）①若点P在y轴的左侧，点Q在y轴的右侧，则， 由于y1＞y2恒成立，所以 ，再分别解不等式和不等式组；②若点P在y轴的右侧，点Q在y轴的左侧，则 ，由于y1＞y2恒成立，则 ，再分别解不等式和不等式组即可.
24．（2025·莲都模拟）如图，四边形ABCD内接于是直径，AC平分，与BD相交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的值；
（3）过点作AC的垂线AG，交CB的延长线于点，过点G，C分别作，交点为，延长DB交FG于点，求证：．
【答案】（1）解：因为BD是直径，
所以，
因为AC平分，所以，
因为，所以，
所以．
（2）解：设，
在等腰Rt中，，
因为，
所以，所以，
所以，所以，
所以．
（3）证明：因为，
所以为等腰直角三角形，
作，交FG于点，
由（1）得，
因为，所以，
因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】 （1）根据直径所对的圆周角是直角得∠BCD=∠BAD=90°，再根据角平分线的定义得∠DCE=45°，然后根据等腰三角形的性质得∠CED=∠CDE=67.5°，最后根据同弧所对的圆周角相等得∠CAB=∠CDE=67.5°；
（2）先设BD=，再求出AD=，接下来说明 △ACD∽△ADE，根据相似三角形的性质表示AE=5k，进而求出AE=5k，CE=AC-AE=3k，则答案可得；
（3）先说明△GAC为等腰直角三角形，作BK⊥BG，交FG于点K，再结合“边角边”证明△GAB≌△CAD，可得BG=CD，最后证明△BKH≌△DCE．
1 / 1浙江省丽水市莲都区2025年中考二模数学试卷
1．（2025·莲都模拟）物资仓库某天运进物资5吨，运出物资3吨，若记运进物资为＂+＂，运出物资为＂-＂，则该仓库当天物资变化的结果可表示为（　　）
A．-8吨 B．-2吨 C．+2吨 D．+8吨
2．（2025·莲都模拟）2025年2月，中国AI初创公司DeepSeek在人工智能领域掀起了一场风暴．据AI分析平台发布的报告显示，2月DeepSeek的网站访问量达到了525000000次，数据525000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·莲都模拟）下列几何体中，主视图与俯视图的形状不一样的几何体是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·莲都模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·莲都模拟）如图是丽水市区某周周一到周五的气温变化情况统计图，下列说法正确的是（　　）
A．这周周一到周五，温差最大的是周四
B．这五天中，主要以多云为主
C．从周一到周五，气温在不断下降
D．这五天中，最高气温大于25度的有四天
6．（2025·莲都模拟）已知是方程的一个根，则代数式的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
7．（2025·莲都模拟）如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·莲都模拟）平面直角坐标系中，线段AB经过平移得到线段，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·莲都模拟）已知点与点都在反比例函数的图像上，则下列说法中一定正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2025·莲都模拟）如图，在中，点是BC延长线上一点，．设，，当为定值时，无论x，y的值如何变化，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C．xy D．
11．（2025·莲都模拟）因式分解： 　 　.
12．（2025·莲都模拟）动车组列车的普通坐席位置通常用A，B，C，D，F五个字母表示，其中A，F代表靠窗坐席，小莲随机购买了一张动车组列车的普通坐席车票，坐席是靠窗位留的概率为　 　．
13．（2025·莲都模拟）如图，中，，以AB为直径作，与边BC相切于点，与AC相交于点，则图中的长是　 　．
14．（2025·莲都模拟）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文是：一份文件，若用慢马送到800里远的做市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为天，则根据题意可列方程为　 　．
15．（2025·莲都模拟）如图，在中，的平分线交AC于点，点D，E分别是边AB，AC上的点，若，则的值为　 　．
16．（2025·莲都模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点，过点的直线EF交AB于点，交CD于点，把四边形BCFE沿着EF翻折得到四边形．若，且，则与的面积比为　 　．
17．（2025·莲都模拟）计算：．
18．（2025·莲都模拟）解不等式组
19．（2025·莲都模拟）如图，已知中，，过点作，交AB于点．
（1）求CD的值；
（2）若，求的值．
20．（2025·莲都模拟）清明节是中国的传统节日，民间有吃清明果的习俗．今年清明节前，某校七、八年级开展了一次＂包清明果＂的实践活动，每个班级选送成品参加评比，按10分制进行评分．七年级所有班级的评分数据分别为7.5，7.5，8，8，8，8，8.5，9，9，9，9.5，10；八年级所有班级的评分数据如条形统计图（图1）所示，两个年级的评分数据经计算后整理成统计表（图2）.
图2
　 平均分（分） 众数（分） 中位数（分） 方差（分2）
七年级 a 8 8.25 7
八年级 8.5 8.5 b 4
（1）求出统计表中a，b的值；
（2）根据表中数据，你认为哪个年级的活动效果更好？请说明理由．
21．（2025·莲都模拟）共享电动车作为绿色便捷的交通工具，为短程出行带来很大的便利．如图反映了两种品牌共享电动车的收费（元）与骑行时间（分）之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）当时，求关于的函数关系式；
（2）小莲每天早上需骑共享电动车到单位上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300米／分，小莲家到单位的路程为4500米，问小莲选择这两种品牌共享电动车中的哪种骑行去单位会更省钱？省多少？
22．（2025·莲都模拟）如图，中，分别以A，C为圆心，大于线段AC一半的长为半径画弧，相交于M，N两点，过M，N作直线交AC于点，连结BE．点是AB的中点，连结DE并延长至点，使，连结CF，已知．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若，求菱形BCFE的周长.
23．（2025·莲都模拟）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差；
（3）已知点在该二次函数的图象上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围．
24．（2025·莲都模拟）如图，四边形ABCD内接于是直径，AC平分，与BD相交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的值；
（3）过点作AC的垂线AG，交CB的延长线于点，过点G，C分别作，交点为，延长DB交FG于点，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： 将运进和运出的量相加：+5吨 + (-3吨) = 2吨，即+2吨.
故答案为：C .
【分析】 正确理解题目中符号的定义，直接进行加减运算即可得出结果.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 525000000=5.25×108.
故答案为：A.
【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： A、正方体的主视图与俯视图都是正方形，故A不符合题意；
B、圆柱的主视图与俯视图都是长方形，故B不符合题意；
C、圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是一个圆和圆心，故C符合题意；
D、球体的主视图与俯视图都是圆形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 根据每一个几何体的三种视图，即可解答.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A．a2与a不是同类项，不能直接合并相减，所以该选项计算错误，不符合题意；
B．根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．a6÷a2=a6-2=a4≠a3，所以该选项计算错误，不符合题意；
C．根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．（a2）4=a2×4=a8≠a6，所以该选项计算错误，不符合题意；
D．根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a2 a4=a2+4=a6，所以该选项计算正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】 根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法法则，逐项判断即可.
5．【答案】C
【知识点】统计表
【解析】【解答】解：
A、周一温差为32℃-20℃=12℃，周二温差为29℃-19℃=10℃，周三温差为27℃-17℃=10℃，周四温差为25℃-14℃=11℃，周五温差为22℃-13℃=9℃，
∴温差最大的是周一，故错误，不符合题意；
B、这五天中，小雨有三天，多云有两天，则主要以小雨为主，故错误，不符合题意；
C、从周一到周五，气温在不断下降，正确，符合题意；
D、这五天中，最高气温大于25度的有周一、二、三，共3天，故错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】从统计图中获取信息，逐一分析即可求解.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： 由条件可知a2+2a+1=0，
∴a2+2a=-1，
∴2a2+4a+3=2（a2+2a）+3=2×（-1）+3=1.
故答案为：B.
【分析】 由题意可得a2+2a=-1，将原式变形后代入数值计算即可.
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
如图，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，
∴∠ABD==108°，∠DBC=∠BAC，
∵∠α+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ACB=∠BAC=180°-108°=72°，
∴∠α=180°-∠ACB-∠BAC=180°-72°-72°=36°，
故答案为：C.
【分析】 根据题目描述，五个完全相同的等腰三角形组合构成了内外两个正五边形，通过计算正五边形的内角可知∠ABD为108度，运用三角形内角和为180度的性质，可以推导出∠ACB和∠BAC均为72度（180°-108°），最终即可求得∠α的具体数.
8．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：
∵点A（-1，2）的对应点A'的坐标为（1，-1），
∴点B的对应点B'的坐标是（m+2，n-3）．
故答案为：A.
【分析】 根据点A平移的特点：横坐标加上2，纵坐标减去3，结合点A的平移特点得出答案.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：
A、∵k＞0，a＞1，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，xA=a-1＞0，xB=a+2＞0，
∴点A、B在第一象限，
∴
∴解不等式组得b＞1，故A错误，不符合题意；
B、∵k＞0，a＜-2，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，xA=a-1＜0，xB=a+2＜0，
∴点A、B在第三象限，
∴
∴解不等式组得b＜0，故B错误，不符合题意；
C、∵k＜0，a＞1，
∴点A，B均在第四象限，
∴
解得：b＜0，故C错误，不符合题意；
D、∵k＜0，-2＜a＜1，
∴点A在第二象限，点B在第四象限，
∴
解得0＜b＜1，故D正确，符合题意，
故答案为：D.
【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征研究反比例函数的性质即可判断.
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；用代数式表示几何图形的数量关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作AM⊥BE于M，
根据等腰三角形三线合一，得BM=ME，
由平行四边形性质，知AD=BC，
=BC·CE=(BM+MC)(ME-MC)=BM2-MC2
在Rt△ABM中，BM2=AB2-AM2=x2-AM2，
在Rt△ACM中，CM2=AC2-AM2=y2-AM2，
∴BM2-MC2=x2-AM2-（y2-AM2）=x2-y2，
故答案为：B.
【分析】通过作AM⊥BE于M，利用等腰三角形的性质得到BM=ME，根据等量代换以及线段和差，将AD·CE转化为BM2-MC2，再根据勾股定理，分别表示出BM与MC，最后进行相减即可.
11．【答案】（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】观察此多项式的特点：含有；两项，都能写成平方形式，两项的符号相反，由此利用平方差公式分解因式。
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
∵动车组列车的普通坐席位置通常用A，B，C，D，F五个字母表示，A，F代表靠窗坐席，
∴共有5种等可能的结果，其中坐席是靠窗位置的结果有2种，
∴随机购买一张动车组列车的普通坐席车票，坐席是靠窗位置的概率为.
故答案为：.
【分析】由题意知，共有5种等可能的结果，其中坐席是靠窗位置的结果有2种.
13．【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解： 连接OD，如图，
∴OD=OB==2，
由题意可得：AB⊥BC，
∵AB=BC=4，
∴∠BAC=45°，
∴∠BOD=90°，
∴=π，
故答案为：π.
【分析】 连接OD，由切线的性质得∠ABC=90°，根据AB=BC得∠BAC=∠BCA=45°，由圆周角定理得∠BOD=2∠A=90°，最后根据弧长公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，
则：=，
故答案为：=.
【分析】 根据快马的速度是慢马的2倍，即可列出相应的方程.
15．【答案】
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
如图，延长DE，BF交于点G，
∵，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠ABC，
∴DE∥BC，
∴∠CBG=∠DGB，
由题意可得：∠DBG=∠CBG，
∴∠DBG=∠DGB，
∴BD=DG，
∵EG∥BC，
∴△EFG∽△CFB，
∴，
∵
∴EG=，
故答案为： .
【分析】 延长DE，BF交于点G，可证△ADE∽△ABC，得DE∥BC，得出BD=DG，可证△EFG∽△CFB，求出 EG=，则BD-DE的值可求.
16．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过F作FH⊥HC于点H，
∵B'C'∥AC，∠B'=∠C'=90°，
∴∠B'MH=∠C'HM=90°，
∴B'MHC'为矩形，则B'M=C'H，
由∠BAN=∠AMN=90°，可得∠BAC=∠ANE，
∴，
易知AE=CF，
不妨令AN=3，AE=CF=4，设B'N=x，
则NE=5，
在Rt△AMN中，NM：AM：AN=3：4：5，
∴MN=，
在Rt△AME中，AM：ME：AE=3：4：5，
∴ME=，
由矩形的对称性，知HF=ME=，
根据B'M=C'H，
可列得：，
解得x=，
∴BE=B'E=EN+NB'=5+x=，
由对称性知△OCF≌△OAE，
∴，
故答案为：.
【分析】先构造矩形B'MHC'，令AN=3，AE=4，设B'N=x，利用直角三角形的三边比例关系以及矩形对称性，可求得MN=，HF=ME=，再根据B'M=C'H，解得x=，进而去表示面积的比值.

17．【答案】解：．
【知识点】负整数指数幂；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】 分别计算每个部分的值，再进行加减运算.
18．【答案】解：由①得：，
由②得：，
所以不等式组的解是：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】 分别解出每个不等式的解集，然后求这两个解集的公共部分，得到最终的解.
19．【答案】（1）解：因为，所以，
设CD为3x，则BD为5x，因为，
所以，解得，所以．
（2）解：作，垂足为点，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以．
【知识点】已知正弦值求边长；求正切值
【解析】【分析】
（1）由正弦定义得到，设CD为3x，则BD为5x，根据勾股定理列方程并解方程即可；
（2）作CH⊥AB，垂足为点H，求出CH和AH的长度，根据正切的定义即可求出答案.
20．【答案】（1）解：．
（2）解：从平均数看，七、八年级成绩相当；从众数与中位数看，八年级更好；从方差看，八年级方差小，各班级差距更小，综合来说八年级的活动效果更好．
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】 （1）根据加权平均数的计算公式和中位数的求解方法求解即可；
（2）根据平均数，中位数或众数，方差的意义回答均可.

21．【答案】（1）解：当时，设，
由条件可知解得
所以．
（2）解：设，由条件可知，
解得，所以．
因为，
所以（元），
（元），
（元），
所以小莲选择A品牌共享电动车骑行更省钱，省1元．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】 （1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据小莲家到单位的距离和共享单车的速度可以求出小莲家到单位需要的时间，再根据两种共享单车的收费标准分别计算出两种共享单车所需要的费用，从而计算求解.
22．【答案】（1）证明：由作图可知，因为点是AB的中点，
所以，且，
又因为，所以，
所以四边形BCFE是平行四边形，
因为，
所以四边形BCFE是菱形．
（2）解：由（1）得四边形BCFE是菱形，因为，所以，
因为，所以是等边三角形，所以，
所以，
因为，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以，
所以菱形BCFE的周长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）由作图可知AE=CE，则由三角形中位线定理可得DE∥BC，且BC=2DE，据此可证明EF=BC，再证明四边形BCFE是平行四边形，进而可证明四边形BCFE是菱形．
（2）求出∠EBC=60°，证明△BCE是等边三角形，得到AE=CE=BE，则∠EAB=∠EBA，∠EBC=∠ECB，可证明∠ABC=90°，则∠ADE=∠ABC=90°，据此可得DE=2，则EF=2DE=4，再由菱形的周长计算公式可得答案.
23．【答案】（1）解：因为对称轴为直线，
所以设，
因为图象经过点，所以，解得，
所以二次函数的表达式为．
（2）解：因为点到轴的距离不大于2，所以，
因为该函数二次项系数为1大于0，
所以当时，有最小值1；当时，取得最大值为10，
因为，所以的最大值与最小值之差为9．
（3）解：二次函数图象的对称轴为直线，
①若点在轴的左侧，点在轴的右侧，
所以，解得：，
因为恒成立，所以，解得，
所以．
②若点在轴的右侧，点在轴的左侧，
所以，解得：，
因为恒成立，所以，解得，
所以，
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【分析】 （1）将A（2，2）代入解析式，并利用对称轴解析式解答即可；
（2）由题意得-2≤m≤2，由于开口向上，那么当m=1时，n有最小值1；由于横坐标为-2的点到对称轴的距离1-（-2）=3大于点A到对称轴的距离1，则当m=-2时，n取得最大值，即可求解；
（3）①若点P在y轴的左侧，点Q在y轴的右侧，则， 由于y1＞y2恒成立，所以 ，再分别解不等式和不等式组；②若点P在y轴的右侧，点Q在y轴的左侧，则 ，由于y1＞y2恒成立，则 ，再分别解不等式和不等式组即可.
24．【答案】（1）解：因为BD是直径，
所以，
因为AC平分，所以，
因为，所以，
所以．
（2）解：设，
在等腰Rt中，，
因为，
所以，所以，
所以，所以，
所以．
（3）证明：因为，
所以为等腰直角三角形，
作，交FG于点，
由（1）得，
因为，所以，
因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】 （1）根据直径所对的圆周角是直角得∠BCD=∠BAD=90°，再根据角平分线的定义得∠DCE=45°，然后根据等腰三角形的性质得∠CED=∠CDE=67.5°，最后根据同弧所对的圆周角相等得∠CAB=∠CDE=67.5°；
（2）先设BD=，再求出AD=，接下来说明 △ACD∽△ADE，根据相似三角形的性质表示AE=5k，进而求出AE=5k，CE=AC-AE=3k，则答案可得；
（3）先说明△GAC为等腰直角三角形，作BK⊥BG，交FG于点K，再结合“边角边”证明△GAB≌△CAD，可得BG=CD，最后证明△BKH≌△DCE．
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