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浙江省温州市瓯海、乐清、苍南、永嘉2025年初中毕业生学业考试第二次学科素养测试数学试题卷（二模）
1．（2025·乐清二模）某工地记录了仓库水泥的进货和出货数量，某天进货2吨，出货3吨，记进货为正，出货为负，下列算式能表示当天库存变化的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·乐清二模）如图所示的4个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·乐清二模）估计的范围，下列正确的是（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
4．（2025·乐清二模）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·乐清二模）一分钟跳绳是温州中考体育选考项目，某校为了了解九年级女生该项目的情况，随机抽取40名女生进行测试并绘制频数直方图如图所示．若成绩为不少于160个为优秀，则抽取的女生中跳绳能达到优秀有（　　）
A．5人 B．12人 C．14人 D．17人
6．（2025·乐清二模）如图，AB是的切线，为切点，连接AO并延长交于点，连接CD．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·乐清二模）某校要举办一场教师茶话会．若每桌坐8人，则有10人不能就坐；若每桌坐10人，则空出一张桌子．问该校准备的桌子和参加茶话会的教师各有多少？设该校准备了张桌子，参加茶话会的教师有人．根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·乐清二模）“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．如图由两个全等的矩形ABHC和矩形BDJE，与一个小正方形EFHG剪拼成大正方形CBJK，点A，B，D在一条直线上，若，则拼补后的正方形CBJK边长为（　　）
A．5 B．6 C． D．
9．（2025·乐清二模）如图，在“探索一次函数中k，b与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．（2025·乐清二模）如图，在矩形ABCD中，是BC上一点，交AD于点，交对角线AC于点，连接BG，DG，DE．若求阴影部分的面积，则只需要知道（　　）
A．的面积 B．的面积
C．四边形ABEF的面积 D．四边形CDFE的面积
11．（2025·乐清二模）端午节吃粽子是我国传统习俗，小瓯为全家人蒸了2个红枣粽，3个肉粽，妈妈随机选了一个，则妈妈吃到红枣粽的概率是　 　。
12．（2025·乐清二模）不等式组的解集为　 　。
13．（2025·乐清二模）如图，已知，若要使得，则可添加的条件是　 　．（只需填写一个条件）
14．（2025·乐清二模）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为　 　。
15．（2025·乐清二模）如图，在中，，点D，E把线段AC三等分，是BC边上的中点，连接BE，DF．若，则DF的长为　 　．
16．（2025·乐清二模）如图，在菱形ABCD中，点在对角线BD上，，将边AB平移至EF，点的对应点为点，连接BF，若，则AB的长为　 　。
17．（2025·乐清二模）计算：．
18．（2025·乐清二模）小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：．”
（1）老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们错的是哪一步？
（2）请你写出正确的计算过程，并求出当时原式的值．
19．（2025·乐清二模）如图，在Rt中，，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，连接AE．
（1）求AC的长．
（2）求的值．
20．（2025·乐清二模）甲、乙两名队员参加射击训练，成绩被制成折线统计图与表格：
甲、乙两名队员射击成绩的折线统计图
甲、乙两名队员射击成绩分析表
平均数／环 中位数／环 众数／环 方差／环
甲 2.36
乙 7.8 8 9 2.96
（1）表格中甲队员射击成绩三项统计量被遮挡住了，请求出甲队员射击成绩的平均数，中位数和众数。
（2）现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较适宜？请根据表格中统计量，并结合折线统计图分析说明理由．
21．（2025·乐清二模）小温和小州在研究尺规作图问题：过直线外一点作已知直线的平行线．
如图1，①在直线上取一点，连接AP并在AP延长线上取一点与不垂直）． ②以为圆心，OA为半径画弧交直线于另一点，连接OB． ③再以为圆心，OP为半径画弧交线段OB于点，作直线PQ即可．
如图2，①在直线上取两点C，D，作的角平分线CE． ②以为圆心，PC为半径的圆弧交CE于点，作直线PQ即可．
（1）给出小温作法中的证明．
（2）在图2中，完成小州的尺规作图，并保留作图痕迹．
22．（2025·乐清二模）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要10min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分．
方案 恒温工作 间歇加热工作
过程 ①从加热到； ②保持进行加工。 ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段。
加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元。（注：自然降温阶段不产生成本）
（1）求材料加热到的时间。
（2）求材料自然降温时，关于的函数表达式。
（3）已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，，为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）。仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？
23．（2025·乐清二模）已知二次函数（为常数）．
（1）若点在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式．
（2）请证明不论为何值，二次函数的图象与轴都有两个交点．
（3）当时，该二次函数有最小值-3，求的值．
24．（2025·乐清二模）如图，点是在内部一点，OC平分，以为圆心，OC为半径的圆经过点，交AC于点，连接BO并延长交于点，连接ED并延长交AB于点．
（1）求证：．
（2）当时．
①求的度数．
②若是AB的中点，的半径为1，求AB的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解： 由题意得：进货2吨，即库存变化为+2吨，
出货3吨，即库存变化为-3吨，
∴当天库存变化表示为（+2）+（-3）.
故答案为：A.
【分析】 根据正数和负数表示的意义列式即可.
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 从上面看易得底层右边是一个正方形，上层是两个正方形．
故答案为：B.
【分析】 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.
3．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ∵22＜5＜32，
∴，
即介于2和3之间.
故答案为：B.
【分析】 根据算术平方根的定义确定 介于哪两个相邻的整数之间即可.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A、2a2与a3不能合并，故此选项不符合题意；
B、a2 a3=a5，故此选项不符合题意；
C、（a2）3=a6，故此选项符合题意；
D、2a3÷a=2a2，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】 根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、单项式除以单项式法则分别计算判断即可.
5．【答案】D
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解： 由频数分布直方图的数据得，抽取的女生中跳绳能达到优秀的有12+5=17（名）.
故答案为：D.
【分析】 根据频数分布直方图的数据即可求解.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ∵AB是⊙O的切线，
∴∠ACO=90°，
∵∠A=24°，
∴∠AOC=90°-24°=66°，
∵OC=OD，
∴∠D=∠OCD，
∵∠AOC=∠D+∠OCD，
∴∠D=.
故答案为：C.
【分析】根据切线的性质得到∠ACO=90°，求得∠AOC=90°-24°=66°，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论.
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：
根据若每桌坐8人，则有10人不能就坐，
有8x=y-10，
若每桌坐10人，则空出一张桌子，
则实际坐了（x-1）桌，可列10（x-1）=y，
则.
故答案为：A.
【分析】 根据若每桌坐8人，则有10人不能就坐；若每桌坐10人，则空出一张桌子，可以列出相应的方程组.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：
设AB=a，BD=b，
根据题意得，，
∴，
∴AB=4，AC=3，
∴BC=，
∴拼补后的正方形CBJK边长为5.
故答案为：A.
【分析】 设AB=a，BD=b，根据题意列方程组，然后根据勾股定理即可得到结论.
9．【答案】C
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：如图，
若点P为（2，1）时，m＞n，则b＜0，故A错误；
若点P为（1，4）时，m＜n，则b＞0，故B错误；
当m+n=3时，由题意可知0＜m＜3，0＜n＜3，
∵一次函数y=kx+b图象经过A（3，3），P（m，n），
∴y随x的增大而增大，
∴k＞0，故C正确，D错误.
故答案为：C.
【分析】 利用图象即可判断A、B；利用一次函数的性质即可判断C、D.
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：设AB=BE=x，EC=y，
由FE∥CD得，，
∴，
由GE∥AB得，△GEC∽△ABC，
∴，
即，
∴GE=
则===xy，
又∵SCDFE=EC·DC=xy=，
故答案为：D.
【分析】根据平行线间的距离相等，得到阴影部分面积为△GBC面积，设B=BE=x，EC=y，通过相似将GE用x，y的代数式表示，进而可表示△GBC的面积为xy，即为四边形CDFE的一半.
11．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： ∵小瓯为全家人蒸了2个红枣粽，3个肉粽，
∴妈妈随机选了一个，则妈妈吃到红枣粽的概率=
故答案为：.
【分析】 直接利用概率公式解答即可.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解第一个不等式得：x＞-1，
解第二个不等式得：x≤6．
则不等式组的解集是：-1＜x≤6，
故答案为：-1＜x≤6.
【分析】 两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.
13．【答案】（或，答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： 补充的条件是AB=AC，理由如下：
在△ABD和△ACD中，
AB=AC，
∠1=∠2，
AD=AD，
∴ △ABD≌△ACD（SAS）
故答案为：AB=AC（答案不唯一）.
【分析】 先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法解答即可.
14．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据弧长公式： ，
故答案为： ．
【分析】利用弧长公式：，代入计算可求解。
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：
连接BD，
∵点D，E把线段AC三等分，
∴AD=DE=EC=2，
∴DC=2CE=4，
∵BE=BA，AD=DE，
∴BD⊥AE，
∴∠BDC=90°，
∵∠C=45°，
∴△DBC是等腰直角三角形，
∵F是BC的中点，
∴DF⊥BC，
∴∠DFC=90°，
∵∠C=45°，
∴△DFC是等腰直角三角形，
∴DF=.
故答案为：2.
【分析】 连接BD，求出AD=DE=EC=2，得到DC=2CE=4，由等腰三角形的性质推出∠BDC=90°，判定△DBC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质推出∠DFC=90°，判定△DFC是等腰直角三角形，即可求出DF的长.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解： 延长BF交DC的延长线于点H，连接AE，AE的延长线交CD于点P，
由平移的性质得：AB平行且等于EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵∠BFE=90°，
∴平行四边形ABFE是矩形，
∴∠AEF=∠FEO=90°，AP∥BH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，
∴∠APD=∠FEO=90°，∠H=∠BFE=90°，
∵AB∥CD，BE=8，DE=2，
∴△PDE∽△ABE，
∴，
设PD=a，AB=4a，
∴AB=BC=CD=AD=4a，
在Rt△APD中，由勾股定理得：AP=，
∵AP∥BH，AB∥CD，
∴四边形ABHP是平行四边形，
∴PH=AB=4a，BH=AP=，
∴DH=PH+PD=4a+a=5a，
又∵BD=BE+DE=10，
∴在Rt△BDH中，与勾股定理得：BD=，
得a=，
∴AB=4a=
故答案为：.
【分析】 延长BF交DC的延长线于点H，连接AE，AE的延长线交CD于点P，证明四边形ABFE是矩形，进而得∠APD=90°，∠H=90°，证明△PDE和△ABE相似， 设PD=a，AB=4a，由勾股定理得AP=， 再证明四边形ABHP是平行四边形得PH=AB=4a，BH=AP=， 则DH=5a，然后在Rt△BDH中，利用勾股定理可求出a的值，进而求得AB长.
17．【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】 先根据二次根式的性质、零指数幂、立方根的定义计算，再根据有理数加减法则计算即可.
18．【答案】（1）小明的解法：①错误；小红的解法：②错误。
（2）原式.
当时，原式
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【分析】 （1）观察小明和小红的计算过程，然后进行解答即可；
（2）先把分式的分母分解因式，再进行通分，然后按照同分母分式相减法则进行计算，然后约分，最后把a=1代入化简后的式子进行计算即可.
19．【答案】（1），
．
在Rt中，．
（2）垂直平分AB，
．
设，则，
在Rt中，，
，解得，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】 （1）先根据∠B的余弦求出BC的长，进一步求出AC的长即可．
（2）根据线段垂直平分线的性质及勾股定理求出CE的长，再结合正切的定义即可解决问题.
20．【答案】（1）甲平均成绩：（环）
甲中位数：8环；甲众数：8环
（2）挑选甲，理由如下：
根据折线统计图的趋势看，甲状态持续上升；
甲射击成绩方差小于乙射击成绩方差，说明甲比乙更稳定；
或挑选乙，理由如下：
乙射击成绩众数高于甲射击成绩，说明乙的高分成绩数量多；
乙方差虽大于甲方差，但9环及以上占比，甲占比，说明乙爆发力强，适合选拔参与比赛。
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义解答即可；
（2）结合平均数和中位数、方差三方面的特点进行分析.
21．【答案】（1）由作图可知：，
；
，
，
．
（2）作图如下：
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-平行线
【解析】【分析】
（1）证明∠OPQ=∠OAB即可；
（2）根据要求作出图.
22．【答案】（1）由图可知加热时，关于的函数为一次函数，
可设解析式为，
将点代入，得
解得
关于的函数解析式为．
当时，，解得．
第一次加热到时间为20分钟。
（2）由题意可设加热后关于的表达式为，
将（20，90）代入，得，
关于的表达式为
（3）由题意可知，加热时长为10分钟．
恒温阶段分钟，
费用为：元。
间歇加热工作：对于，令，得，
除第一次加热到需要10分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要20分钟．一天8小时中，加热时间为分钟，
费用为：元。
，因此仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本．
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求出解析式，然后把 y=90时代入即可求解；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解.
23．【答案】（1）方法一：
由题意可知关于对称轴直线对称，
，
该二次函数的解析式为．
方法二：
将代入，得
解得
该二次函数的解析式为．
（2）由判别式，
二次函数的图象与轴都有两个交点．
（3）如图1，
（I）若时，当时，函数有最小值为，
解得（舍去）；
如图2，
（II）若时，当时，函数有最小值为，
解得；
如图3，
（III）若时，当时，函数有最小值为，解得（舍去），
综上所述满足条件的的值为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）由题意得该二次函数的图象的对称轴为直线x=2，则根据对称轴公式，求出a的值，即可得出答案．
（2）根据二次函数与x轴有两个交点，对应Δ＞0，可得结论．
（3）由题意得，二次函数y=x2-2ax+a-1图象的对称轴为直线x=a，当a＜0时，可得当x=0时，y=-3，即a-1=-3，求出a的值即可；当0≤a≤3，可得当x=a时，y=-3，即a2-2a2+a-1=-3，求出a的值即可；当a＞3时，可得当x=3时，y=-3，即9-6a+a-1=-3，求出a的值，进而可得答案．
24．【答案】（1）如图
平分，
．
，
．
，
，
．
（2）①由（1）可设，
设，
．
，
，
，
在中，，即，
，即．
②方法一：如图
连结BD，延长CO交BD于点，交AB于点，
设，
是的直径，
，即．
．
，
．
是AB的中点，，
，
．
在Rt中，，
即，解得（舍去），
．
方法二：如图
连结BD，作交DC的延长线于点，设，
是的直径，
，即．
．
是AB的中点，
，
．
，
，
，
，
，
，解得，
．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】 （1）根据OC平分∠ACB得∠1=∠2，根据OB=OC得∠2=∠4，再根据圆周角定理得∠3=∠4，进而得∠1=∠3，然后根据平行线的判定即可得出结论；
（2）①设∠1=∠2=∠3=∠4=x，∠A=y，则∠ADF=∠3=x，∠E=∠DCB=2x，∠EBF=2y，∠EFB=x+y，由三角形内角和定理得∠EFB+∠E+∠EBF=180°，则x+y+2x+2y=180°，由此得x+y=60°，据此即可得出∠EFB的度数；
②连接BD，延长CO交BD于点R，∠AB于点N，设DF=m，在Rt△BDF中，根据∠DBF=90°-∠EFB=30°得BF=2DF=2m，BD=， 证明CR⊥BD得DR=BR=， 证明RN是△BDF的中位线得RN=， FN=BN=m，根据F是AB的中点得AF=BF=2m，则AN=AF+FN=3m，AB=AF+BF=4m，再证明△ADF和△ACN相似得CN=， 则OR=m-1，然后在Rt△OBR中，由勾股定理可求出m=， 据此即可得出AB的长.
1 / 1浙江省温州市瓯海、乐清、苍南、永嘉2025年初中毕业生学业考试第二次学科素养测试数学试题卷（二模）
1．（2025·乐清二模）某工地记录了仓库水泥的进货和出货数量，某天进货2吨，出货3吨，记进货为正，出货为负，下列算式能表示当天库存变化的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解： 由题意得：进货2吨，即库存变化为+2吨，
出货3吨，即库存变化为-3吨，
∴当天库存变化表示为（+2）+（-3）.
故答案为：A.
【分析】 根据正数和负数表示的意义列式即可.
2．（2025·乐清二模）如图所示的4个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 从上面看易得底层右边是一个正方形，上层是两个正方形．
故答案为：B.
【分析】 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.
3．（2025·乐清二模）估计的范围，下列正确的是（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ∵22＜5＜32，
∴，
即介于2和3之间.
故答案为：B.
【分析】 根据算术平方根的定义确定 介于哪两个相邻的整数之间即可.
4．（2025·乐清二模）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A、2a2与a3不能合并，故此选项不符合题意；
B、a2 a3=a5，故此选项不符合题意；
C、（a2）3=a6，故此选项符合题意；
D、2a3÷a=2a2，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】 根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、单项式除以单项式法则分别计算判断即可.
5．（2025·乐清二模）一分钟跳绳是温州中考体育选考项目，某校为了了解九年级女生该项目的情况，随机抽取40名女生进行测试并绘制频数直方图如图所示．若成绩为不少于160个为优秀，则抽取的女生中跳绳能达到优秀有（　　）
A．5人 B．12人 C．14人 D．17人
【答案】D
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解： 由频数分布直方图的数据得，抽取的女生中跳绳能达到优秀的有12+5=17（名）.
故答案为：D.
【分析】 根据频数分布直方图的数据即可求解.
6．（2025·乐清二模）如图，AB是的切线，为切点，连接AO并延长交于点，连接CD．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ∵AB是⊙O的切线，
∴∠ACO=90°，
∵∠A=24°，
∴∠AOC=90°-24°=66°，
∵OC=OD，
∴∠D=∠OCD，
∵∠AOC=∠D+∠OCD，
∴∠D=.
故答案为：C.
【分析】根据切线的性质得到∠ACO=90°，求得∠AOC=90°-24°=66°，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论.
7．（2025·乐清二模）某校要举办一场教师茶话会．若每桌坐8人，则有10人不能就坐；若每桌坐10人，则空出一张桌子．问该校准备的桌子和参加茶话会的教师各有多少？设该校准备了张桌子，参加茶话会的教师有人．根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：
根据若每桌坐8人，则有10人不能就坐，
有8x=y-10，
若每桌坐10人，则空出一张桌子，
则实际坐了（x-1）桌，可列10（x-1）=y，
则.
故答案为：A.
【分析】 根据若每桌坐8人，则有10人不能就坐；若每桌坐10人，则空出一张桌子，可以列出相应的方程组.
8．（2025·乐清二模）“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．如图由两个全等的矩形ABHC和矩形BDJE，与一个小正方形EFHG剪拼成大正方形CBJK，点A，B，D在一条直线上，若，则拼补后的正方形CBJK边长为（　　）
A．5 B．6 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：
设AB=a，BD=b，
根据题意得，，
∴，
∴AB=4，AC=3，
∴BC=，
∴拼补后的正方形CBJK边长为5.
故答案为：A.
【分析】 设AB=a，BD=b，根据题意列方程组，然后根据勾股定理即可得到结论.
9．（2025·乐清二模）如图，在“探索一次函数中k，b与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：如图，
若点P为（2，1）时，m＞n，则b＜0，故A错误；
若点P为（1，4）时，m＜n，则b＞0，故B错误；
当m+n=3时，由题意可知0＜m＜3，0＜n＜3，
∵一次函数y=kx+b图象经过A（3，3），P（m，n），
∴y随x的增大而增大，
∴k＞0，故C正确，D错误.
故答案为：C.
【分析】 利用图象即可判断A、B；利用一次函数的性质即可判断C、D.
10．（2025·乐清二模）如图，在矩形ABCD中，是BC上一点，交AD于点，交对角线AC于点，连接BG，DG，DE．若求阴影部分的面积，则只需要知道（　　）
A．的面积 B．的面积
C．四边形ABEF的面积 D．四边形CDFE的面积
【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：设AB=BE=x，EC=y，
由FE∥CD得，，
∴，
由GE∥AB得，△GEC∽△ABC，
∴，
即，
∴GE=
则===xy，
又∵SCDFE=EC·DC=xy=，
故答案为：D.
【分析】根据平行线间的距离相等，得到阴影部分面积为△GBC面积，设B=BE=x，EC=y，通过相似将GE用x，y的代数式表示，进而可表示△GBC的面积为xy，即为四边形CDFE的一半.
11．（2025·乐清二模）端午节吃粽子是我国传统习俗，小瓯为全家人蒸了2个红枣粽，3个肉粽，妈妈随机选了一个，则妈妈吃到红枣粽的概率是　 　。
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： ∵小瓯为全家人蒸了2个红枣粽，3个肉粽，
∴妈妈随机选了一个，则妈妈吃到红枣粽的概率=
故答案为：.
【分析】 直接利用概率公式解答即可.
12．（2025·乐清二模）不等式组的解集为　 　。
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解第一个不等式得：x＞-1，
解第二个不等式得：x≤6．
则不等式组的解集是：-1＜x≤6，
故答案为：-1＜x≤6.
【分析】 两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.
13．（2025·乐清二模）如图，已知，若要使得，则可添加的条件是　 　．（只需填写一个条件）
【答案】（或，答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： 补充的条件是AB=AC，理由如下：
在△ABD和△ACD中，
AB=AC，
∠1=∠2，
AD=AD，
∴ △ABD≌△ACD（SAS）
故答案为：AB=AC（答案不唯一）.
【分析】 先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法解答即可.
14．（2025·乐清二模）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为　 　。
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据弧长公式： ，
故答案为： ．
【分析】利用弧长公式：，代入计算可求解。
15．（2025·乐清二模）如图，在中，，点D，E把线段AC三等分，是BC边上的中点，连接BE，DF．若，则DF的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：
连接BD，
∵点D，E把线段AC三等分，
∴AD=DE=EC=2，
∴DC=2CE=4，
∵BE=BA，AD=DE，
∴BD⊥AE，
∴∠BDC=90°，
∵∠C=45°，
∴△DBC是等腰直角三角形，
∵F是BC的中点，
∴DF⊥BC，
∴∠DFC=90°，
∵∠C=45°，
∴△DFC是等腰直角三角形，
∴DF=.
故答案为：2.
【分析】 连接BD，求出AD=DE=EC=2，得到DC=2CE=4，由等腰三角形的性质推出∠BDC=90°，判定△DBC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质推出∠DFC=90°，判定△DFC是等腰直角三角形，即可求出DF的长.
16．（2025·乐清二模）如图，在菱形ABCD中，点在对角线BD上，，将边AB平移至EF，点的对应点为点，连接BF，若，则AB的长为　 　。
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解： 延长BF交DC的延长线于点H，连接AE，AE的延长线交CD于点P，
由平移的性质得：AB平行且等于EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵∠BFE=90°，
∴平行四边形ABFE是矩形，
∴∠AEF=∠FEO=90°，AP∥BH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，
∴∠APD=∠FEO=90°，∠H=∠BFE=90°，
∵AB∥CD，BE=8，DE=2，
∴△PDE∽△ABE，
∴，
设PD=a，AB=4a，
∴AB=BC=CD=AD=4a，
在Rt△APD中，由勾股定理得：AP=，
∵AP∥BH，AB∥CD，
∴四边形ABHP是平行四边形，
∴PH=AB=4a，BH=AP=，
∴DH=PH+PD=4a+a=5a，
又∵BD=BE+DE=10，
∴在Rt△BDH中，与勾股定理得：BD=，
得a=，
∴AB=4a=
故答案为：.
【分析】 延长BF交DC的延长线于点H，连接AE，AE的延长线交CD于点P，证明四边形ABFE是矩形，进而得∠APD=90°，∠H=90°，证明△PDE和△ABE相似， 设PD=a，AB=4a，由勾股定理得AP=， 再证明四边形ABHP是平行四边形得PH=AB=4a，BH=AP=， 则DH=5a，然后在Rt△BDH中，利用勾股定理可求出a的值，进而求得AB长.
17．（2025·乐清二模）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】 先根据二次根式的性质、零指数幂、立方根的定义计算，再根据有理数加减法则计算即可.
18．（2025·乐清二模）小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：．”
（1）老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们错的是哪一步？
（2）请你写出正确的计算过程，并求出当时原式的值．
【答案】（1）小明的解法：①错误；小红的解法：②错误。
（2）原式.
当时，原式
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【分析】 （1）观察小明和小红的计算过程，然后进行解答即可；
（2）先把分式的分母分解因式，再进行通分，然后按照同分母分式相减法则进行计算，然后约分，最后把a=1代入化简后的式子进行计算即可.
19．（2025·乐清二模）如图，在Rt中，，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，连接AE．
（1）求AC的长．
（2）求的值．
【答案】（1），
．
在Rt中，．
（2）垂直平分AB，
．
设，则，
在Rt中，，
，解得，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】 （1）先根据∠B的余弦求出BC的长，进一步求出AC的长即可．
（2）根据线段垂直平分线的性质及勾股定理求出CE的长，再结合正切的定义即可解决问题.
20．（2025·乐清二模）甲、乙两名队员参加射击训练，成绩被制成折线统计图与表格：
甲、乙两名队员射击成绩的折线统计图
甲、乙两名队员射击成绩分析表
平均数／环 中位数／环 众数／环 方差／环
甲 2.36
乙 7.8 8 9 2.96
（1）表格中甲队员射击成绩三项统计量被遮挡住了，请求出甲队员射击成绩的平均数，中位数和众数。
（2）现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较适宜？请根据表格中统计量，并结合折线统计图分析说明理由．
【答案】（1）甲平均成绩：（环）
甲中位数：8环；甲众数：8环
（2）挑选甲，理由如下：
根据折线统计图的趋势看，甲状态持续上升；
甲射击成绩方差小于乙射击成绩方差，说明甲比乙更稳定；
或挑选乙，理由如下：
乙射击成绩众数高于甲射击成绩，说明乙的高分成绩数量多；
乙方差虽大于甲方差，但9环及以上占比，甲占比，说明乙爆发力强，适合选拔参与比赛。
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义解答即可；
（2）结合平均数和中位数、方差三方面的特点进行分析.
21．（2025·乐清二模）小温和小州在研究尺规作图问题：过直线外一点作已知直线的平行线．
如图1，①在直线上取一点，连接AP并在AP延长线上取一点与不垂直）． ②以为圆心，OA为半径画弧交直线于另一点，连接OB． ③再以为圆心，OP为半径画弧交线段OB于点，作直线PQ即可．
如图2，①在直线上取两点C，D，作的角平分线CE． ②以为圆心，PC为半径的圆弧交CE于点，作直线PQ即可．
（1）给出小温作法中的证明．
（2）在图2中，完成小州的尺规作图，并保留作图痕迹．
【答案】（1）由作图可知：，
；
，
，
．
（2）作图如下：
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-平行线
【解析】【分析】
（1）证明∠OPQ=∠OAB即可；
（2）根据要求作出图.
22．（2025·乐清二模）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要10min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分．
方案 恒温工作 间歇加热工作
过程 ①从加热到； ②保持进行加工。 ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段。
加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元。（注：自然降温阶段不产生成本）
（1）求材料加热到的时间。
（2）求材料自然降温时，关于的函数表达式。
（3）已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，，为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）。仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？
【答案】（1）由图可知加热时，关于的函数为一次函数，
可设解析式为，
将点代入，得
解得
关于的函数解析式为．
当时，，解得．
第一次加热到时间为20分钟。
（2）由题意可设加热后关于的表达式为，
将（20，90）代入，得，
关于的表达式为
（3）由题意可知，加热时长为10分钟．
恒温阶段分钟，
费用为：元。
间歇加热工作：对于，令，得，
除第一次加热到需要10分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要20分钟．一天8小时中，加热时间为分钟，
费用为：元。
，因此仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本．
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求出解析式，然后把 y=90时代入即可求解；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解.
23．（2025·乐清二模）已知二次函数（为常数）．
（1）若点在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式．
（2）请证明不论为何值，二次函数的图象与轴都有两个交点．
（3）当时，该二次函数有最小值-3，求的值．
【答案】（1）方法一：
由题意可知关于对称轴直线对称，
，
该二次函数的解析式为．
方法二：
将代入，得
解得
该二次函数的解析式为．
（2）由判别式，
二次函数的图象与轴都有两个交点．
（3）如图1，
（I）若时，当时，函数有最小值为，
解得（舍去）；
如图2，
（II）若时，当时，函数有最小值为，
解得；
如图3，
（III）若时，当时，函数有最小值为，解得（舍去），
综上所述满足条件的的值为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）由题意得该二次函数的图象的对称轴为直线x=2，则根据对称轴公式，求出a的值，即可得出答案．
（2）根据二次函数与x轴有两个交点，对应Δ＞0，可得结论．
（3）由题意得，二次函数y=x2-2ax+a-1图象的对称轴为直线x=a，当a＜0时，可得当x=0时，y=-3，即a-1=-3，求出a的值即可；当0≤a≤3，可得当x=a时，y=-3，即a2-2a2+a-1=-3，求出a的值即可；当a＞3时，可得当x=3时，y=-3，即9-6a+a-1=-3，求出a的值，进而可得答案．
24．（2025·乐清二模）如图，点是在内部一点，OC平分，以为圆心，OC为半径的圆经过点，交AC于点，连接BO并延长交于点，连接ED并延长交AB于点．
（1）求证：．
（2）当时．
①求的度数．
②若是AB的中点，的半径为1，求AB的长．
【答案】（1）如图
平分，
．
，
．
，
，
．
（2）①由（1）可设，
设，
．
，
，
，
在中，，即，
，即．
②方法一：如图
连结BD，延长CO交BD于点，交AB于点，
设，
是的直径，
，即．
．
，
．
是AB的中点，，
，
．
在Rt中，，
即，解得（舍去），
．
方法二：如图
连结BD，作交DC的延长线于点，设，
是的直径，
，即．
．
是AB的中点，
，
．
，
，
，
，
，
，解得，
．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】 （1）根据OC平分∠ACB得∠1=∠2，根据OB=OC得∠2=∠4，再根据圆周角定理得∠3=∠4，进而得∠1=∠3，然后根据平行线的判定即可得出结论；
（2）①设∠1=∠2=∠3=∠4=x，∠A=y，则∠ADF=∠3=x，∠E=∠DCB=2x，∠EBF=2y，∠EFB=x+y，由三角形内角和定理得∠EFB+∠E+∠EBF=180°，则x+y+2x+2y=180°，由此得x+y=60°，据此即可得出∠EFB的度数；
②连接BD，延长CO交BD于点R，∠AB于点N，设DF=m，在Rt△BDF中，根据∠DBF=90°-∠EFB=30°得BF=2DF=2m，BD=， 证明CR⊥BD得DR=BR=， 证明RN是△BDF的中位线得RN=， FN=BN=m，根据F是AB的中点得AF=BF=2m，则AN=AF+FN=3m，AB=AF+BF=4m，再证明△ADF和△ACN相似得CN=， 则OR=m-1，然后在Rt△OBR中，由勾股定理可求出m=， 据此即可得出AB的长.
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