资源简介

《6.3用关系式表示变量之间的关系》教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 陈芳芳
一、课型
新授课
二、内容分析
(一)课标要求
《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求学生能从丰富的现实情境与数学情境中，抽象出变量及变量之间的定量关系，理解变量间相互依存的本质，发展抽象能力，学会用数学眼光看世界。
教材解读
《用关系式表示变量之间的关系》是北师大版数学七年级下册第六章第三节的内容。本节课是在学生学习了用表格表示变量间关系的基础上进行教学的，是对变量关系学习的进一步深入。同时，它又为后续学习用图像表示变量间关系以及函数的相关知识做了铺垫，在知识体系中起着承上启下的作用。教材通常会从学生熟悉的几何图形入手，如三角形、圆锥等，引导学生观察在图形的某些元素发生变化时，其他相关元素是如何随之变化的。例如，在三角形中，当高一定时，底边长的变化会引起三角形面积的变化；在圆锥中，底面半径的变化会导致圆锥体积的变化。通过这些具体的例子，让学生直观地感受变量之间的相互依存关系。
三、学情分析
1.基础知识
学生在此前已经对变量有了初步认识，知晓在一个变化过程中存在数值会发生改变的量。比如在小学阶段学习行程问题时，对于路程、速度和时间这三个量，当速度一定，路程会随着时间变化而变化，学生对变量间的这种简单关联有了一定体验。并且，学生已经学习了用表格表示变量之间的关系，能从表格数据中观察出一个变量的变化对另一个变量的影响趋势。然而，对于变量之间精确的数学关系表达，还需要进一步深入学习。在代数知识方面，学生已经掌握了基本的代数式运算，这为理解用含自变量的代数式表示因变量的关系式奠定了基础。但从用表格呈现变量关系过渡到用关系式表达，对学生来说是思维上的一次进阶，他们需要理解如何将表格中体现的数量关系用更抽象、更具一般性的数学式子表达出来。
2.行为习惯
七年级学生通常对新鲜事物充满好奇心，课堂上愿意积极参与讨论和互动。在本节课中，关于变量关系的实际生活案例，如汽车行驶过程中耗油量与行驶路程的关系等，能够激发学生的兴趣，促使他们主动思考。但部分学生可能在课堂讨论时，容易偏离主题，需要教师及时引导回归到对变量关系本质的探讨上。
部分学生在学习过程中已经具备一定的自主学习意识，能够在教师布置任务后，尝试自主探索简单的变量关系问题。然而，对于较为复杂的实际问题，如涉及多个变量或变量关系较为隐蔽时，学生可能缺乏深入探究的耐心和方法，容易依赖教师或同学的帮助，自主学习能力有待进一步加强。
3.关键能力
从具体的实际情境中抽象出变量以及它们之间的关系，并概括为数学关系式，对七年级学生来说具有一定难度。他们可能习惯于直观、具体的思维方式，在将实际问题中的数量关系转化为数学语言时，可能难以准确把握关键信息，忽略一些限制条件，导致抽象概括出的关系式不准确。
在根据已知条件推导变量之间的关系式以及利用关系式进行推理计算时，需要学生具备一定的逻辑推理能力。部分学生可能在推理过程中条理不够清晰，步骤不够严谨。例如，在根据三角形面积公式推导当底边长变化时面积与底边长的关系式时，可能会出现公式运用错误或推导过程混乱的情况。
四、学习目标
基础性目标 1.我能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系
拓展性目标 2.我能用字母表示变量、把自然语言转化为代数式并能根据关系式求值
挑战性目标 4.我能利用本节课知识创编或改编一道题目并解答
实施路径
基础性目标 实现路径 课前：自主完成基础性目标
课堂：学生展示基础性目标活动，学生互相补充，教师点评
拓展性目标 实现路径 课前：阅读拓展性目标材料
课堂：自主完成拓展性目标，展示分享，学生相互补充，学生互评，教师点评
挑战性目标 实现路径 课前：阅读挑战性目标材料，尝试总结
课堂：学生独立思考后，小组合作总结形式，完成挑战性目标，展示分享，教师点评
课后：补充完善，形成设计作品
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 1分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务 明确本节课的学习任务
整体出发 逐渐分化 3分钟 利用三角形的面积求解问题 引入本节课知识
创设情境 基础过关 4分钟 提出基础性目标问题，及时点拨 自主探究问题，回答基础性目标问题
自主探讨 个人展评 5分钟 组织学生探究拓展性目标问题并进行及时指导，帮助汇报学生规范数学语言 自主探究拓展性目标问题，指定汇报者汇报，其他同学互相补充
合作探讨 挑战突破 12分钟 指导学生完成挑战性目标问题结论的描述，指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬 学生完成挑战性目标问题结论，重点如何理清思路，互相补充，并记录不懂的问题
答疑解惑拓展能力 12分钟 组织学生展示不懂的问题，对当堂练习进行点拨 学生展示不懂的问题，完成当堂练习
对照目标 检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标 对照本节课的基础目标和拓展性目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度
自我小结 挑战点拨 1分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充 分享课堂收获，互相补充
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6.3用关系式表示变量之间的关系
郑州外国语教育集团朗悦校区 陈芳芳
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
学习目标
基础性目标 1.我能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系
拓展性目标
2.我能用字母表示变量、把自然语言转化为代数式并能根据关系式求值
挑战性目标 3.我能根据本节课所学知识改编或创编题目并解答
预备性知识
据统计，某公交车每月的支出费用为3 000元，每月利润（利润 票款收入-支出费用）与每月的乘车人数的变化关系如下表所示（公交车票价固定不变）：
每月乘车人数/人 600 900 1 200 1 500 1 800 …
每月利润/元 0 600 …
每月利润
（1）在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是 _____
每月乘车人数
（2）观察表中数据可知，每月乘车人数至少达到________人时，该公
交车才不会亏损.
活动1(基础性目标1)
如图，△ABC 底边 BC 上的高是 6 cm。当三角形的顶点 C 沿底边所在的直线向 B 运动时，三角形的面积发生了变化？
A
B
C
活动1(基础性目标1)
（1）当BC变化时，哪些量随之发生了变化，哪些量不变？
解：(1) 三角形的底边BC长度发生了变化，
三角形的高不变。
活动1(基础性目标1)
（2）在这个变化过程中，哪些量是自变量和因变量 当底边长减小时，三角形的面积如何变化的
解：(2) △ABC 的底边 BC 长是自变量；
△ABC 的面积是因变量；
当底边长减小时，三角形的面积变小。
活动1(基础性目标1)
（3）如果三角形的底边长为 x (单位：cm)，那么三角形的面积 y
(单位：cm2) 如何表示
(3) y = 3x
活动1(基础性目标)
（4）y=3x 表示了____________________和__________之间的关系，它是变量_____随_____变化的关系式。
三角形底边边长 x
面积 y
y
x
活动1(基础性目标1)
当△ABC的底边BC上的高是6cm时 ，
（1）设三角形的底边长为x（单位：cm），三角形的面积为y（单位：cm2），请填表：
x/cm 3 4 5 6 7 8
y/cm2
9
12
15
18
21
24
（2）你能用含x的式子表示y吗？
y =3x
活动1(基础性目标1)
关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法，如 y=3x，我们可以根据任何一个自变量值求出相应的因变量的值（如下图）。
活动1(基础性目标1)练习
圆锥的体积公式是什么
其中的字母表示什么
活动1(基础性目标1)练习
h
r
高不变
底面半径变
h
r
底面半径不变
高变
活动1(基础性目标1)练习
如图所示，圆锥的高是 4 cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥体积也随之而发生了变化。
(1) 在这个变化过程中，哪些是自变量和因变量
当底面半径增大时，圆锥的体积是如何变化的
解：(1) 圆锥的底面半径是自变量，
圆锥的体积是因变量；
底面半径增大时，圆锥的体积也增大。
活动1(基础性目标1)练习
(2) 如果圆锥的底面半径为 r (单位：cm)，那么圆锥的体积V
(单位：cm3)如何表示
活动1(基础性目标1)练习
(3)当底面半径由1cm变化到10cm时，圆锥的体
积由 cm3变化到　　　 cm3
活动1(基础性目标1)练习
(3) 在这个变化过程中，取定一个底面半径r 的值，体积V 的值能确定吗
(3) 能够确定。根据圆锥的体积公式，当高度h一定时，只存在一个自变量r。所以当r确定后，圆锥体积V就能够确定。
活动2(拓展性目标2)
你知道什么是‘低碳生活”吗 “低碳生活”是指人们尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式。
二氧化碳排放量/kg 计算公式
家居用电 用电量(单位:kW·h)×0.785
开私家车(燃油车) 耗油量(单位:L)×2.7
家用天然气 用气量(单位:m3)×0.19
家用自来水 用水量(单位:m3)×0.91
活动2(拓展性目标2)
二氧化碳排放量/kg 计算公式
家居用电 用电量(单位:kW·h)×0.785
开私家车(燃油车) 耗油量(单位:L)×2.7
家用天然气 用气量(单位:m3)×0.19
家用自来水 用水量(单位:m3)×0.91
(1) 你能用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式吗 其中的字母表示什么
解：(1) y = 0.785x ，x表示用电量，y表示二氧化碳排放量。
活动2(拓展性目标2)
二氧化碳排放量/kg 计算公式
家居用电 用电量(单位:kW·h)×0.785
开私家车(燃油车) 耗油量(单位:L)×2.7
家用天然气 用气量(单位:m3)×0.19
家用自来水 用水量(单位:m3)×0.91
(2) 随着耗电量的增加，二氧化碳排放量是如何变化的
(2) 耗电量每增加 1 kW·h，二氧化碳排放量增加0.785 kg。
活动2(拓展性目标2)
二氧化碳排放量/kg 计算公式
家居用电 用电量(单位:kW·h)×0.785
开私家车(燃油车) 耗油量(单位:L)×2.7
家用天然气 用气量(单位:m3)×0.19
家用自来水 用水量(单位:m3)×0.91
(3) 当耗电量为100 kW·h 时，二氧化碳排放量是多少
(3) 100×0.785=78.5 (kg)
答：二氧化碳的排放量是78.5 kg。
活动2(拓展性目标2)
二氧化碳排放量/kg 计算公式
家居用电 用电量(单位:kW·h)×0.785
开私家车(燃油车) 耗油量(单位:L)×2.7
家用天然气 用气量(单位:m3)×0.19
家用自来水 用水量(单位:m3)×0.91
(4) 小明家本月大约用电 110 kW·h、耗油 75 L、用天然气 20 m3、用自来水5 m3，请你计算小明家这几项的二氧化碳排放量总和。
(4) 110×0.785+75×2.7+20×0.19+5×0.91=297.2 (kg)
活动3(挑战性目标3)
利用本节课所学知识改编或创编题目并解答
课堂小结
对照学习目标检查学习效果
基础性目标
1.我能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系
拓展性目标
2.我能用字母表示变量、把自然语言转化为代数式并能根据关系式求值
挑战性目标 3.我能根据本节课所学知识改编或创编题目并解答
当堂检测
1.（基础性目标）若一辆汽车以的速度匀速行驶，行驶的路程为 ，行驶的时间为，则与 之间的关系式为( )
A. B.
C. D. 以上都不对
B
当堂检测
2.（基础性目标）在登山过程中，海拔每升高，气温下降 ，已知某登山大本营所在的位置的气温是 ，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高时，所在位置的气温是，那么与 之间的关系式是( )
A. B.
C. D.
C
当堂检测
3.（拓展性目标）根据图中的程序，当自变量的值由10变化到5时，因变量 的值由_____变化到____.
41
当堂检测
4.（拓展性目标）如图所示，梯形的上底长是，下底长是 .当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化.
（1）梯形的面积与高 之间的关系式为________.
（2）当梯形的高由变化到时，梯形的面积由____ 变化到___ .
90
9
当堂检测
5.（拓展性目标）如图1，在长方形ABCD中，E为BC的中点，点F从点E出发，沿着E→C→D→A的方向移动，直至到达点A，停止移动.设点F移动的距离为x，△ABF的面积为y，其中y随x的变化情况如图2，下列说法错误的是（　　）
B
A.m＝7 B.AB＝3 C.BC＝6 D.n＝13
图1　　　 图2
当堂检测
二氧化碳排放量/kg 计算公式
家居用电 用电量(单位:kW·h)×0.785
开私家车(燃油车) 耗油量(单位:L)×2.7
家用天然气 用气量(单位:m3)×0.19
家用自来水 用水量(单位:m3)×0.91
根据表格信息，请你说一说家用自来水的二氧化碳排放量随自来水使用量的变化而变化的情况。
解：自来水使用量每增加1m3，二氧化碳排放量增加0.91kg。
当自来水使用量从1m3增加到100m3时，二氧化碳排放量从0.91kg
增加到91kg。
5.
课后作业 (可根据实际选做)
基础性作业：
1.激光测距仪发出的激光束以 的速度射向目标，后测距仪收到反射回的激光束，则到 的距离
与时间 的关系式为( )
A. B.
C. D.
A
课后作业 (可根据实际选做)
基础性作业：
2.如图，的高， ，点在边上运动.若设的
长为，的面积为，则与 之间的关系式为______________.
课后作业 (可根据实际选做)
拓展性作业：
3.变量与之间的关系是，当自变量时，因变量 的值是 .
课后作业 (可根据实际选做)
拓展性作业：
4.在地球某地，温度 T (单位：℃)与海拔高度d (单位：m)的关系可以近似地用 来表示。根据这个关系式，计算 d 值分别是0，200，400，600，800，1000 时相应的T 值，并用表格表示所得结果。
海拔d/m 0 200 400 600 800 1000
温度T/℃ 10 6
课后作业 (可根据实际选做)
挑战性作业：
5．根据本节课所学知识改编或创编题目，并解答。
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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