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第十五章四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．在四边形中，与相交于点O，且，．如果再增加条件，此四边形一定是（　　）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能
3．下列平面图形中，属于八边形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．不确定
5．已知四边形是平行四边形，则下列各图中与一定不相等的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示的图形中，属于多边形的有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．六边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
8．生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（　　）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正十二边形
9．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
10．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF．在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是（　　）
A．EB⊥EC B．AB⊥AC C．AB＝AC D．BF∥CE
11．如图，在矩形ABCD中，EF是对角线AC的垂直平分线，分别交AB，CD于点E，F，若，则EF的长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
12．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．无数
二、填空题
13．要使一个菱形成为正方形，则需增加的条件是 ．（填一个正确的条件即可）
14．如图所示，平行四边形ABCD中，点A，B在x轴上，点D在y轴上，若，，点A的坐标为，则点C的坐标是 .
15．若正边形的每一个内角为，则 ．
16．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ ，平行四边形CDEB为菱形．
17．如图，正方形的四个顶点分别在四条平行线上．若每两条相邻平行线间的距离都是1 cm，则正方形的面积为
三、解答题
18．如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，．
(1)求证：是菱形；
(2)若，，求的长．
19．已知：如图，在等边三角形中，D，E，F分别为各边的中点．求证：四边形是平行四边形．
20．如图，在平行四边形中，点O 是对角线的中点，过点O， 交于点E，交于点F．求证：．
21．已知：一个多边形所有的内角与它的一个外角的和等于2011°．
(1)求这个外角的度数；
(2)求它的边数.
22．如图，A，B，C是三棵树，藏宝的地点与这三棵树构成一个平行四边形，作出所有可能是藏宝地点的位置.
23．已知：如图，E在边的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形．

24．有两个多边形，它们的边数的比为1：2，内角和的比为1：4，你能确定它们各是几边形吗 试试看.
《第十五章四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B C A B B B C
题号 11 12
答案 D C
1．A
【分析】根据平行四边形的判定方法逐个判断即可解决问题．
【详解】解：A、若AB＝CD，∠A＝∠B，不可以判定四边形ABCD是平行四边形；
B、∵AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A＋∠B＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故B可以判定四边形ABCD是平行四边形；
C、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知C可以判定四边形ABCD是平行四边形；
D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知D可以判定四边形ABCD是平行四边形；
故选A．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是记住平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2．B
【分析】本题考查了矩形的判定，先证明四边形是平行四边形，然后证明四边形是矩形即可．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形．
故选：B．
3．C
【分析】根据八边形的定义判断即可；
【详解】根据判断可得：A是六边形；B是四边形；C是八边形；D是圆；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形的判定，准确判断是解题的关键．
4．B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度是解答本题的关键．由平行四边形的对边相等的性质求得，然后利用三角形中位线定理求得即可解答．
【详解】解：如图，在平行四边形中，．
，分别为的中点，
是的中位线，
．
故选：B．
5．C
【分析】由对顶角的性质得出A正确；由平行四边形的性质得出B、D正确，再根据外角的性质得到∠2=∠CBE+∠1，即可判断C．
【详解】解：A正确；
∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1=∠2；
B、D正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB∥CD，
∴∠1=∠2；
C不正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠1=∠BCE，
∵∠2=∠CBE+∠BCE，
∴∠2=∠CBE+∠1，
∴∠2＞∠1，即一定不相等；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、对顶角的性质、平行线的性质以及外角的性质；熟练掌握平行四边形的性质时解决问题的关键．
6．A
【分析】根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．
【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体，
属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个，
故选：A．
【点睛】本题考查多边形定义，熟记多边形定义是解决问题的关键．
7．B
【分析】根据任何多边形的外角和是即可求出答案．
【详解】解：∵多边形的外角和等于，
∴六边形的外角和为，
故选：．
【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识，解题的关键是熟记：多边形的外角和等于．
8．B
【分析】判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
【详解】A选项，2个正方形与3个正三角形能进行平面镶嵌，因为2×90°+3×60°＝360°，不符合题意；
B选项，正五边形不能与正三角形进行平面镶嵌，因为正五边形的内角和108°．108°的整数倍与60°的整数倍的和不等于360°，符合题意；
C选项，2个正六边形与2个三角形能进行平面镶嵌，因为2×120°+2×60°＝360°，不符合题意；
D选项，2个正十二边形与1个正三角形能进行平面镶嵌，因为2×150°+1×60°＝360°，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．
9．B
【详解】试题解析：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+）=7．故选B．
10．C
【分析】首先证明四边形BECF是平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形，即可判断．
【详解】解：∵BD＝DC，DE＝DF，
∴四边形BECF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
要使得四边形BECF是菱形，对角线必须垂直，
只有AB＝AC时，
∵BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴此时四边形BECF是菱形，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定定理，熟练掌握对角线相互垂直的平行四边形是矩形是解题的关键，再解题的过程中还需要掌握平行四边形的判定定理．
11．D
【分析】连接CE，设EF交AC于点O，根据矩形的性质和EF是AC的垂直平分线，可得，EC=AE，OA=OC，再由勾股定理可得AE=CE=5，从而得到，再由△AOE≌△COF，可得OF=OE，即可求解．
【详解】解：如图，连接CE，设EF交AC于点O，
在矩形ABCD中，BC=AD=4，AB=CD=8，∠B=∠ADC=90°，AB∥CD，
∴，
∴，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴EC=AE，OA=OC，
设EC=AE =x，则BE=AB-AE=8-x，
在Rt△EBC中，BE2+BC2=CE2，
∴x2=42+（8-x）2，解得：x=5，
∴AE=CE=5，
∵EF⊥AC，
∴，
∵AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，∠AEO=∠CFO，
∵OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OF=OE，
∴，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上相关知识是解题的关键．
12．C
【分析】分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解.
【详解】如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形.
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线.
13．或
【详解】要使一个菱形ABCD成为正方形，则需增加的条件是∠A=90°或AC=BD．
点睛：解答此题的关键是熟练掌握正方形和菱形的性质．
14．
【分析】可先解直角三角形AOD得出点D的纵坐标，即为点C的纵坐标，再由平行四边形的对边相等得出各个点的横坐标即可．
【详解】∵AD=4，OA=2，
∴在Rt△AOD中,由勾股定理可得OD= =2 ,即点C. D的纵坐标为2，
又CD=AB=5，点D的横坐标为O，∴可得点C的横坐标为5，
而点B的横坐标则为5 2=3，
∴可得B(3,0);D(0,2);C(5,2).
故答案为.
【点睛】此题考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题关键在于利用勾股定理进行计算.
15．10
【分析】本题考查了多边的内角和定理，理解多边的内角和定理是解答关键．
根据正多边形的内角和定理列出方程求解．
【详解】解：正边形的每一个内角为，
则正边形的内角和为，
，
整理得，
解得．
故答案为：10．
16．
【分析】首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB，CD=CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则
【详解】解：如图,连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中,，AC=4，BC=3
∴ (勾股定理)
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD=OB，CD=CB．
∵
∴
∴在Rt△BOC中,根据勾股定理得，
∴
故答案是：．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质,解题的关键是熟记菱形的判定方法．
17．5
【分析】过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DCF，得CF＝1，DF＝2．根据勾股定理可求CD2得正方形的面积．
【详解】解：过D点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．
∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，
∴EF⊥l1，EF⊥l4，
即∠AED＝∠DFC＝90°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC＝90°．
∴∠ADE＋∠CDF＝90°．
又∵∠ADE＋∠DAE＝90°，
∴∠CDF＝∠DAE．
在△ADE和△DCF中
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴CF＝DE＝1．
∵DF＝2，
∴CD2＝12＋22＝5，
即正方形ABCD的面积为5．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．
18．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）先证四边形是平行四边形．再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）证是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形，
，
，
是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
由（1）可知，四边形是矩形，
，，
，
即的长为．
19．见解析
【分析】由已知条件得出，为的中位线，由三角形中位线定理得出，，得出，即可得出结论．
【详解】证明： ∵分别为各边的中点，
∴，为的中位线，，
∴，，
即，，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形中位线是解决问题的关键．
20．证明见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，先由平行四边形对边平行得到，则，再由线段中点的定义得到，据此可根据证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点O 是对角线的中点，
∴，
∴．
21．(1)这个外角的度数是31°；
(2)边数为13
【分析】根据多边形的内角和公式，用2011°除以180°，商加上2就是这个多边形的边数，余数是这个多边形的一个外角度数求解即可．
【详解】（1）解：∵一个多边形的所有内角与它的一个外角的和等于2011°，
2011°÷180°=11…31°，
∴这个外角的度数是31°；
（2）解：∵一个多边形的所有内角与它的一个外角的和等于2011°，2011°÷180°=11…31°，
∴这个多边形的边数为：11+2=13．
【点睛】此题考查了多边形的内角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
22．见解析.
【分析】因为知道A、B、C三点，相当于知道平行四边形三个顶点和两边，再作两边平行边即可得到答案.
【详解】如图：
∴M1，M2，M3为可能的藏宝地点.
【点睛】本题考查画平行四边形，掌握基本画法是解题关键.
23．见解析
【分析】首先根据平行四边形的性质得到BC=AD，根据进而可得出AD=CE，结合即可证明．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴且AD=BC，
又∵，
∴AD=CE，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质．
24．三角形和六边形.
【分析】首先设出多边形边数，再利用多边形内角和定理得出等式求出即可．
【详解】解：设两个多边形的边数分别为：x，2x，
则4×180（x-2）=（2x-2）×180，
解得：x=3，
故2x=6，
即两个多边形的边数分别为：3，6．
【点睛】本题考查多边形内角与外角，正确记忆多边形内角和定理是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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