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17.1方差
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．小明同学周六、周日进行网上健康成长测试，周六成绩如图，周日的成绩每科都比周六增加了10分，下列说法正确的是( )
①周六、周日两天成绩的平均成绩相差10分
②周六、周日两天成绩的众数科目相同
③周六、周日两天成绩的方差相同

A．①②③ B．① C．①③ D．②③
2．某学习小组的5名同学在一次数学文化节竞赛活动中的成绩分别是：92分，96分，90分，92分，85分，则下列结论正确的是（　　）
A．平均数是92 B．中位数是90 C．众数是92 D．极差是7
3．已知一组数据：1，2，6，3，3，下列说法正确的是（ ）
A．众数是3 B．中位数是6 C．平均数是4 D．方差是5
4．国家统计局发布的统计公报显示：2001到2005年，我国GDP增长率分别为8.3％，9.1％，10.0％，10.1％，9.9％．经济学家评论说：这五年的年度增长率之间相当平稳，从统计学的角度看，“增长率之间相当平稳”说明这组数据较小的是( ).
A．方差 B．中位数 C．平均数 D．众数
5．甲、乙、丙三支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，则身高最整齐的游泳队是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
6．颠球是练习足球球感最基本的招式之一某校足球队10名球员在一次训练中的颠球测试成绩（以“次”为单位计）为：52，50，46，54，50，56，47，52，53，50．则以下数据中计算错误的是（ ）
A．平均数为51 B．方差为8.4 C．中位数为53 D．众数为50
7．为加强交通安全教育，某班50名学生参加了“交通安全”知识竞赛，测试成绩如下表，其中两个数据被遮盖．
成绩（分） 86 88 90 92 94 95 96 98 99 100
人数（人） ■ 1 ■ 1 4 5 6 5 8 7
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
8．已知甲、乙两人10次标枪的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差的描述正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
9．描述一组数据离散程度的统计量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
10．现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高为170cm，方程分别是S甲2、S乙2，且S甲2＞S乙2，则两个队的队员的身高较整齐的是（ ）
A．甲队 B．乙队 C．两队一样整齐 D．不能确定
11．若一组数据，，的方差是4，那么另一组数据，，，的标准差是（ ）．
A．7 B．2 C．4 D．6
12．体育课上，某班两名同学分别进行了次实心球投掷训练，要判断那一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较两名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
二、填空题
13．如图是南方某市4月7日开始未来7天日最高气温和日最低气温走势图，则在这7天中温度值的极差为 ℃．
14．一组数据4，5，6，x的极差是5，则x= ．
15．某学校初二（1）班要选拔一位同学参加校英语听力比赛，（1）班有小明，小肖，小顾，小华4位同学参加选拔赛，选拔赛满分50分，他们5轮比赛的平均成绩和方差如下表所示：
小明 小肖 小顾 小华
平均成绩 46 47 47 45
方差 0.6 0.6 0.7 0.7
如果要选择一名成绩优秀且稳定的人去参赛，应派 去．
16．在一次射击训练中，某位选手五次射击的环数分别为5，8，7，6，9．则这位选手五次射击环数的方差为 ．
17．如图是一次射击训练中甲、乙两人的10次射击成绩的分布情况，则射击成绩的方差较小的是 (填“甲”或“乙”)．
三、解答题
18．为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在校实习基地现场进行加工直径为20mm的零件的测试，他俩加工的10个零件的相关数据依次如下图表所示（单位：mm）．
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
平均数 方差 完全符合要求的个数
A 20 0.026 2
B 20 S2B 5
（1）考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为 的成绩好些．
（2）计算出S2B的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些．
（3）考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由．
19．申遗成功后的杭州，在国庆黄金周旅游市场中的知名餐饮受游客追捧，西湖景区附近的A，B两家餐饮店在这一周内的日营业额如下表：
(1)要评价两家餐饮店日营业额的平均水平，你选择什么统计量？求出这个统计量；
(2)分别求出两家餐饮店各相邻两天的日营业额变化数量，得出两组新数据，然后求出两组新数据的方差，这两个方差的大小反映了什么？(结果精确到0.1)
(3)你能预测明年黄金周中哪几天营业额会比较高吗？说说你的理由．
20．世界最大的水利枢纽三峡工程，在年5月日大坝下闸蓄水前，大坝库区内的巴东、巫山、万县等8个地点的水位的海拔分别为（m）：
．
而在6月1日下闸后半月内上述地点的水位的海拔分别为（m）：
．
(1)分别求出上述两组数据的平均数、方差和标准差（精确到）．
(2)利用什么统计量可以说明大坝不闸蓄水后长江出现“高峡出平湖”的景象？这种景象在下闸前后有哪些主要的变化？
21．某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取成绩稳定的一名参加比赛．下表是这两名运动员10次测验成绩（单位：m）．
甲 5.85 5.93 6.07 5.91 5.99
6.13 5.98 6.05 6.00 6.19
乙 6.11 6.08 5.83 5.92 5.84
5.81 6.18 6.17 5.85 6.21
你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？
22．在本学期某次考试中，某校八（1）、八（2）两班学生数学成绩统计
如下表：
分数 50 60 70 80 90 100
人数 八（1）班 3 5 16 3 11 12
八（2）班 2 5 11 12 13 7
请根据表格提供的信息回答下列问题：
(1)八（1）班平均成绩为_________分，八（2）班平均成绩为________分，从平均成绩看两个班成绩谁优谁次？___________________
(2)八（1）班众数为________分，八（2）班众数为________分．从众数看两个班的成绩谁优谁次？____________________
(3)已知八（1）班的方差大于八（2）班的方差，那么说明什么？
23．已知一组同学练习射击，击中靶子的环数分别为103、98、99、101、100、98、97、104，计算它们的方差.
24．在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，下图是其中的甲、乙两段台阶的示意图．请你用所学过的有关统计的知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题：
（1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？
（2）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？
（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路．对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议．（图中的数字表示每一级台阶的高度（单位：cm）．并且数据15，16，16，14，14，15的方差S甲2=，数据11，15，18，17，10，19的方差S乙2=）．
《17.1方差》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A A B C C C D B
题号 11 12
答案 D C
1．A
【分析】根据方差，平均数，众数的定义进行求解即可．
【详解】解：周六的平均成绩为分，周日的平均成绩为，
∴周六、周日两天成绩的平均成绩相差（分），故①正确；
周六、周日两天成绩的众数科目都相同，故②正确；
周六的方差，
周日的方差，
∴周六、周日两天成绩的方差相同，故③正确．
故选：．
【点睛】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数、平均数及方差的定义和意义．
2．C
【分析】根据平均数、中位数、众数以及极差的定义、计算公式对各选项进行判断．
【详解】解：A．这组数据的平均分×（85+90+92+92+96）＝91分，所以A选项错误；
B、这组数据按从小到大排列为：85、90、92、92、96，所以这组数据的中位数为92（分），所以B选项错误；
C、这组数据的众数为92（分），所以C选项正确；
D．这组数据极差是96﹣85＝11，所以D选项错误；
故选C．
【点睛】本题查平均数，中位数，众数以及极差，解题关键是正确熟练运用公式．
3．A
【分析】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
【详解】解：A、数据3出现2次，最多，故众数为3，故A选项正确；
B、排序：1，2，3，3，6，位于中间位置的数为3，故中位数为3，故B选项错误；
C、平均数为，故C选项错误；
D、方差为，故D选项错误．
故选：A．
4．A
【详解】试题解析：由于方差是用来衡量一组数据波动大小的量，所以“增长率之间相当平稳”就是指数据的方差情况．
故选A．
考点：统计量的选择．
5．B
【分析】本题主要考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．据此解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
则身高最整齐的游泳队是乙，
故选：B
6．C
【分析】分别根据平均数、方差、中位数和众数的计算方法进行计算后再判断即可．
【详解】把足球队10名球员在一次训练中的颠球测试成绩按大小顺序排列为：
46，47，50，50，50，52，52，53，54，56，
平均数为（次），故选项A正确，不符合题意；
方差
=
=8.4
故选项B正确，不符合题意；
最中间的两个数据是50，52，
所以，这组数据的中位数是（次），故选项C不正确，符合题意；
数据50出现次数最多，共3次，
所以，这组数据的众数是3，故选项D正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】此题考查了平均数、众数、中位数、方差，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数，方差是一组数据的波动大小．
7．C
【分析】根据题意，其中被遮盖两个数据的和为13，则无法判断众数，根据排序从大到小拍了可找到第20和21个数据，即可求得中位数，因不知道总成绩，无法计算平均数与方差，据此即可求解．
【详解】解：根据题意可知与被遮盖的数据无关是中位数，
故选C．
【点睛】本题考查了求平均数，众数，中位数，方差，理解题意是解题的关键．
8．C
【分析】本题主要考查了方差与数据集中性的关系．方差越小，数据越集中，据此可得答案．
【详解】解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中，
∵甲和乙的平均成绩相同，
∴，
故选：C．
9．D
【详解】试题分析：根据方差的意义可得答案.方差反映数据的波动大小，即数据离散程度.
试题解析：由于方差反映数据波动的情况，所以能够诉刻画一组数据离散程度的统计量是方差.
故选D.
考点：统计量的选择.
10．B
【分析】根据方差的意义，方差越小数据越稳定，故比较方差后可以作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定
【详解】解：∵＞，
∴乙队的队员的身高较整齐
故选：B
11．D
【分析】本题考查了标准差的变化规律，由数据的变化发现标准差的变化规律是解题关键．
根据所给的一组数据的方差，开平方求出标准差，根据两组数据之间是一个倍数关系时，这组数据的标准差也是这个倍数之间的关系，得到结果．
【详解】一组数据，，的方差是4，
这组数据的标准差是，
，，，的标准差是．
故选：D．
12．C
【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生了5次实心球投掷训练成绩的方差．
【详解】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生了5次实心球投掷训练成绩的方差．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了方差，关键是掌握方差所表示的意义，属于基础题，比较简单．
13．15
【分析】根据极差的定义求解即可．
【详解】由图可知04-13的温度最高，为30℃，
04-08的温度最低，为15℃，
∴在这7天中温度值的极差为30-15=15℃．
故答案为：15．
【点睛】本题考查极差的定义．掌握一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差是解题关键．
14．1或9
【分析】根据极差的定义求解即可．注意分类讨论：x为最大数或最小数．
【详解】根据题意：x-4=5或6-x=5，
∴x=9或x=1．
故答案为：1或9．
【点睛】考查了极差的知识，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．此题要运用分类讨论的思想．
15．小肖
【分析】根据题意选择平均成绩高，方差小的人去参加比赛即可．
【详解】解：从平均成绩来看，小肖与小顺的平均成绩相同且比小明和小华的优秀，
从方差来看，小肖与小明的方差相同且比小顺和小华的方差小，即小明与小肖的成绩更稳定，
∴综合平均成绩和方差，应派小肖去，
故答案为：小肖．
【点睛】本题主要考查了根据平均数与方差作决策，熟知平均数与方差的相关知识是解题的关键．
16．2
【详解】解：五次射击的平均成绩为 (5+7+8+6+9)=7，
方差S2= [（5﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（6﹣7）2+（9﹣7）2]=2．
故答案为：2．
17．甲
【分析】从一次射击训练中甲、乙两人的10次射击成绩的分布情况得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算．
【详解】由图中知，甲的成绩为7，8，8，9，8，9，9，8，7，7，
乙的成绩为6，8，8，9，8，10，9，8，6，7，
＝(7+8+8+9+8+9+9+8+7+7)÷10＝8，
＝(6+8+8+9+8+10+9+8+6+7)÷10＝7.9，
甲的方差S甲2＝[3×(7﹣8)2+4×(8﹣8)2+3×(9﹣8)2]÷10＝0.6，
乙的方差S乙2＝[2×(6﹣7.9)2+4×(8﹣7.9)2+2×(9﹣7.9)2+(10﹣7.9)2+(7﹣7.9)2]÷10＝1.49，
则S2甲＜S2乙，即射击成绩的方差较小的是甲．
故答案为甲．
【点睛】本题考查方差的定义与意义，熟记方差的计算公式是解题的关键，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
18．（1）B；（2）B的成绩好些；（3）理由合理即可，见解析．
【分析】（1）由于A、B两位同学成绩的平均数相同，而完全符合要求的个数B同学较多，所以B同学的成绩好些；
（2）利用方差计算公式可以求出SB2的大小，然后利用方差和平均数的意义即可求解；
（3）利用（1）（2）的结论结合实际情况说明问题即可解决问题．
【详解】解：（1）由于A、B两位同学成绩的平均数相同，而完全符合要求的个数B同学较多，所以B同学的成绩好些；
（2）∵SB2＝ [5(20.0 20.0)2+3(19.9 20.0)2+(20.1 20.0)2+(20.2 20.0)2]
=0.008，
又∵SA2=0.026，
所以SA2＞SB2，
在平均数相同的情况下，B的波动小，所以B的成绩好些；
（3）从图中的折线走势可知，A的成绩前面起伏较大，误差较大，而B的成绩比较稳定，并且预测B的潜力大，可选派B去参赛．
[说明：（3）的答案不唯一，只要能以统计知识作为理由依据即可，但只回答选A或选B而没有以统计知识作为理由依据的不得分]
【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
19．（1）选择平均数，A店的日营业额的平均值是2.5百万元，B店的日营业额的平均值是2.5百万元；（2）A组新数据的方差约为1.0，B组新数据的方差约为0.6；（3）答案见解析.
【详解】试题分析：（1）在数据差别不是很大的情况下评价平均水平一般采用平均数；
（2）分别用每一个数据减去其平均数，得到新数据后计算其方差后比较即可；
（3）用今年的数据大体反映明年的数据即可．
解：(1)选择平均数．
A店的日营业额的平均值是×(1＋1.6＋3.5＋4＋2.7＋2.5＋2.2)＝2.5(百万元)，
B店的日营业额的平均值是×(1.9＋1.9＋2.7＋3.8＋3.2＋2.1＋1.9)＝2.5(百万元)．
(2)0．6，1.9，0.5，－1.3，－0.2，－0.3；
B组数据的新数为
0，0.8，1.1，－0.6，－1.1，－0.2，
∴A组新数据的平均数
xA＝×(0.6＋1.9＋0.5－1.3－0.2－0.3)
＝0.2(百万元)，
B组新数据的平均数
xB＝×(0＋0.8＋1.1－0.6－1.1－0.2)
＝0(百万元)．
∴A组新数据的方差s＝×[(0.2－0.6)2＋(0.2－1.9)2＋(0.2－0.5)2＋(0.2＋1.3)2＋(0.2＋0.2)2＋(0.2＋0.3)2]≈1.0，
B组新数据的方差
s＝×(02＋0.82＋1.12＋0.62＋1.12＋0.22)
≈0.6.
这两个方差的大小反映了A，B两家餐饮店相邻两天的日营业额的变化情况，并且B餐饮店相邻两天的日营业额的变化情况比较小．
(3)观察今年黄金周的数据发现今年的3号、4号、5号营业额较高，故明年的3号、4号、5号营业额可能较高．
点睛：本题考查了算术平均数和方差的计算，算术平均数的计算公式是：,方差的计算公式为：，根据公式求解即可.
20．(1)下闸蓄水前平均数为，方差为，标准差为；下闸蓄水后平均数为，方差为，标准差为
(2)平均数，这种景象在下闸前后海拔明显增加
【分析】（1）根据平均数，方差，标准差的定义计算即可；
（2）根据平均数的定义解决问题即可．
【详解】（1）下闸蓄水前：
平均数，
方差，
标准差；
下闸蓄水后：
平均数，
方差，
标准差．
（2）利用平均数可以说明大坝下闸蓄水后长江出现“高峡出平湖”的景象，这种景象在下闸前后海拔明显增加．
【点睛】本题考查统计量的选择，平均数，方差，标准差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
21．选择运动员甲参赛，他的成绩更稳定．
【分析】根据平均数的计算公式先求出这组数据的平均数，再根据方差公式分别求出甲和乙的方差，然后进行比较，即可得出答案．
【详解】解：∵甲的平均数是：×（5.85+5.93+6.07+5.91+5.99+6.13+5.98+6.05+6.00+6.19）=6，
乙的平均数是：×（6.11+6.08+5.83+5.92+5.84+5.81+6.18+6.17+5.85+6.21）=6，
∴S甲2=[（5.85-6）2+（5.93-6）2+（6.07-6）2+（5.91-6）2+（5.99-6）2+（6.13-6）2+（5.98-6）2+（6.05-6）2+（6.00-6）2+（6.19-6）2]≈0.00954，
S乙2=[（6.11-6）2+（6.08-6）2+（5.83-6）2+（5.92-6）2+（5.84-6）2+（5.81-6）2+（6.81-6）2+（6.17-6）2+（5.85-6）2+（6.21-6）2]≈0.02204，
∴S2甲＜S2乙，
∴应该选择甲运动员参赛．
【点睛】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2= [（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
22．(1)80；80；一样好
(2)70；90；(2)班成绩好
(3)见解析
【分析】（1）根据平均数的计算公式计算出两个班的平均成绩，即可比较；
（2）求出两个班成绩的众数，根据众数的大小即可比较；
（3）根据方差的特征即可回答．
【详解】（1）八（1）班平均成绩为：
（分）；
八（2）班平均成绩为： （分）；
从平均成绩看两个班成绩一样．
（2）八（1）班70分的有16人，人数最多，众数为70（分）；
八（2）班90分的有13人，人数最多，众数为90（分）；
从众数看两个班的成绩八（2）班成绩优．
（3）八（1）班的方差大于八（2）班的方差，说明八（1）班的学生成绩不很稳定，波动较大．
【点睛】本题考查加权平均数、众数的求法以及方差的意义．加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则叫做这n个数的加权平均数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
23．5.5
【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差公式求方差即可.
【详解】∵，
∴=.
【点睛】本题考查了方差的计算，熟知求平均数公式及方差的计算公式是解决问题的关键.
24．见解析
【分析】（1）分别求出甲、乙的中位数、方差和极差进而分析得出即可；
（2）根据方差的性质得出即可；
（3）根据方差的稳定性得出即可．
【详解】(1)∵从小到大排列出台阶的高度值：甲的，14，14，15，15，16，16，乙的，10，11，15，17，18，19，
甲的中位数、方差和极差分别为,15cm;;16 14=2(cm)，
乙的中位数、方差和极差分别为,(15+17)÷2=16(cm),,19 10=9(cm)
平均数：甲
∴乙
∴相同点：两段台阶路高度的平均数相同.
不同点：两段台阶路高度的中位数、方差和极差均不相同.
(2)甲路段走起来更舒服一些，因为它的台阶高度的方差小.
(3) 由于每个台阶高度均为15 cm(原平均数)时，可使得方差为0，因此应把每个台阶的高度统一修为15 cm高．
【点睛】考查方差, 算术平均数, 中位数, 极差，掌握它们的概念和计算方法是解题的关键.
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