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第十六章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．定义：一元二次方程（）若满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程，若满足，那么我们称这个方程为“友善”方程.已知关于的方程（）既是“和谐”方程，又是“友善”方程，则下列结论中正确的是（　　）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程的两个根互为相反数
C．两根之积为0 D．无实数根
2．把方程化成的形式，则的值是（ ）
A．17 B．15 C．9 D．7
3．二次三项式x2-4x+7的值（ ）
A．可以等于0 B．大于3
C．不小于3 D．既可以为正，也可以为负
4．已知，，其中为任意实数，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．一元二次方程,经过配方可变形为（ ）
A． B． C． D．
6．一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（ ）
A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1+x2=3 D．x1x2=2
7．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．方程的解是（　　）
A． B． C． D．
9．已知关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且k≠0 D．且k≠0
10．方程 =9的根是（ ）
A．x=3 B．x=-3 C． =3， =-3 D． = =3
11．若关于x的方程4x2﹣（2k2+k﹣6）x+4k﹣1=0的两根互为相反数，则k的值为（　　）
A． B．﹣2 C．﹣2或 D．2或
12．若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（　　）
A．（x+5）（x-7）=0 B．（x-5）（x+7）=0 C．（x+5）（x+7）=0 D．（x-5）（x-7）=0
二、填空题
13．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两个月售价的月均下降率是x，则所列方程为 ．
14．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值范围为 ．
15．在空格内填上适当的数或字母，使等式成立：
（1） =( )2；
（2） =( )2；
（3） =2( )2；
（4） =( )2；.
16．方程的根的判别式的值是 ．
17．补全解题过程．
．
解：移项，得．
两边都加，得，
即．
两边开平方，得__________________，
即，或．
所以，．
三、解答题
18．一个批发商销售成本为25元/千克的某产品，物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千克） … 50 60 70 80 …
销售量y（千克） … 100 90 80 70 …
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)该批发商若想获得3750元的利润，应将售价定为多少元？
19．已知关于x的一元二次方程m－(m+2)x+2=0有两个不相等的实数根，．
(1)、求m的取值范围；
(2)、若＜0，且＞－1，求整数m的值．
20．解方程：
(1)；
(2)．
21．用配方法解方程：．
22．用适当的方法解下列方程．
（1）x2+4x＝2；
（2）2x（x﹣3）＝7（3﹣x）．
23．小明同学说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法：若一元二次方程a的系数a、c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．他的发现正确吗？请你先举实例验证一下是否正确，若你认为他的发现是一般规律，请加以证明．
24．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
《第十六章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A A C D B D C
题号 11 12
答案 B A
1．B
【分析】根据已知得出方程（）有两个根或，再判断即可．
【详解】解：∵把代入方程得出：，
把代入方程得出，
∴方程（）有两个根或，
∴，
即只有选项B正确；选项A、C、D都错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，主要考查学生的理解能力和计算能力．
2．C
【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法，可以得到和，再代入求解．
【详解】解：，
，
，
，
，，
，
故选：C．
3．C
【分析】利用配方法将x2-4x+7，进行配方，再利用非负数的性质得出答案．
【详解】∵x2-4x+7=x2-4x+4+3=（x-2）2+3，
∴二次三项式x2-4x+7的值不小于3．
故选C．
【点睛】此题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质，根据题意得出x2-4x+7= x2-4x+4+3再进行配方是解决问题的关键．
4．A
【分析】用作差法比较，作差后配方，再利用偶次方的非负性比较即可.
【详解】因为，，
所以，
所以．
故选A．
【点睛】本题考查了作差法比较代数式的大小，以及配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键，先加上一次项系数一半的平方，使式中出现完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．
5．A
【详解】x2-4x+4-4-6=(x-2)2-10＝0,即（x-2）2=10;
故选A．
6．C
【分析】根据根与系数关系求出方程的两根和与两根积，再结合四个选项即可求出答案．
【详解】解：A、x1=﹣1，x2=2不是原方程的解，故本选项错误；
B、x1=1，x2=﹣2不是原方程的解，故本选项错误；
C、根据根与系数关系x1+x2=3，故本选项正确；
D、根据根与系数关系x1x2=2，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查根与系数关系以及方程根的定义，属基础题型．
7．D
【详解】解：移项得，
二次项系数化为1得，
两边都加上一次项系数一半的平方得，
即，
故选D.
8．B
【分析】利用直接开平方法求解即可得．
【详解】解：
，
∴，
故选B．
【点睛】题目主要考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
9．D
【分析】因为关于x的一元二次方程有两个实数根，所以必须满足下列条件：二次项系数不为零且判别式，列出不等式求解即可确定k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，即，且，
解得且．
故选：D
【点睛】此题考查一元二次方程概念及根的判别式，解题关键在于掌握根的判别式与根的个数之间的关系，注意此处：．
10．C
【详解】∵，
∴.
故选C.
11．B
【详解】根据题意得2k2+k 6=0，
解得k= 2或，
当k=时,原方程变形为4x2+5=0，△=0 4×4×5<0，此方程没有实数解，
所以k的值为 2.
故选B.
12．A
【分析】解答此题可以采用排除法，各选择答案都很简单，解方程即可．也可根据根与系数的关系求解．
【详解】∵（x+5）（x﹣7）＝0
∴x+5＝0或x﹣7＝0
∴x1＝﹣5，x2＝7．
故选A．
【点睛】在解选择题是要注意方法的选择，有直接求解法，排除法等，在解题时要注意解题技巧与方法的积累．
13．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该款燃油汽车今年5月份的售价该款燃油汽车今年3月份的售价该款汽车这两月售价的月平均降价率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：．
14．
【分析】若一元二次方程有两相等根，则根的判别式，建立关于的方程，求出的取值．
【详解】解：方程有两个相等的实数根，，，，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
15． 4 4
【分析】利用完全平方公式进行配方即可解答.
【详解】（1）=()2；
（2）=()2；
（3）=2（）=2()2；
（4）4=
故答案为；；；；；；4；4
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式和配方是解题关键.
16．9
【分析】先根据一元二次方程的定义得出，，的值，再根据根的判别式计算公式即可得．
【详解】解：一元二次方程中的，，
则其根的判别式为，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式计算公式是解题关键．
17．
【分析】方程整理并利用完全平方公式配方，开方即可求出解．
【详解】．
解：移项，得．
两边都加，得，
即．
两边开平方，得，
即，或．
所以，．
故答案为，.
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18．(1)
(2)75元
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）利用总利润=每千克的利润×销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）设y与x的函数关系式为，
将代入得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：应将售价定为75元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据给定的数量，利用待定系数法找出y与x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
19．(1)、m≠0且m≠2；(2)、m=－1.
【详解】试题分析：(1)、根据一元二次方程的定义首先得出m≠0，根据根的判别式得出m≠2，最后综合得出m的取值；(2)、首先根据求根公式求出方程的解，然后根据题意进行计算.
试题解析：（1）由已知，得m≠0且△=－4×2m=－4m+4=＞0
∴m≠0,且m≠2.
(2)、原方程的解为x=． ∴x=1或x=
∵＜0，∴=1，=．∴m＜0． ∵＞－1，∴＞－1．∴m＞－2．
又∵m≠0,且m≠2，∴－2＜m＜0 ∵m是整数， ∴m=－1．
考点：(1)、一元二次方程根的判别式；(2)、不等式的应用.
20．(1)，
(2)，
【分析】（ 1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（ 2）整理后求出的值，再代入公式求出答案即可．
【详解】（1），
，
，
，
或，
解得：，；
（2），
，
，
这里，，，
，
，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
21．
【分析】本题考查配方法解方程，先将方程左侧展开，然后利用配方法进行求解即可．
【详解】解：
∴．
22．（1）；（2）
【分析】（1）利用配方法求解可得答案；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1）∵x2+4x＝2，
∴x2+4x+4＝2+4，即（x+2）2＝6，
∴x+2＝，
∴；
（2）∵2x（x﹣3）＝7（3﹣x），
∴2x（x﹣3）+7（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（2x+7）＝0，
∴x﹣3＝0或2x+7＝0，
∴．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
23．小明的发现正确，见解析.
【分析】根据判别式的值、根与系数的关系即可证明．
【详解】解：小明的发现正确，如x2+x﹣2＝0，a＝1，c＝﹣2，
解方程得：x1＝2，x2＝﹣1，
若 a，c 异号，则△＝b2﹣4ac＞0，
故这个方程一定有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查根与系数的关系，根的判别式等知识，灵活运用所学知识是解题的关键．
24．（1）4元或6元；（2）九折
【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．
【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240，
化简，得 x2﹣10x+24=0，
解得x1=4，x2=6.
答：每千克核桃应降价4元或6元.
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.
∵要尽可能让利于顾客，
∴每千克核桃应降价6元
此时，售价为：60﹣6=54（元），
答：该店应按原售价的九折出售．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
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