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2025年浙江中考考前适应卷（四）
一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．在下列四个实数中，是无理数的是（　　）
A．﹣3 B．0 C． D．
2．在实数范围内，代数式a2﹣4a+7的值不可能为（　　）
A．6 B．3.6 C．3 D．2.8
3．如图是底面为正方形的直四棱柱，下面关于它的三个视图的说法正确的是（　　）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同
4．已知关于x的不等式的所有解都小于3．若a是整数，但不是正数，则满足条件的a的值为（　　）
A．﹣3，﹣2 B．﹣3，﹣2，﹣1
C．﹣3，﹣2，﹣1，0 D．﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0
5．某同学对数据35，29，32，4■，45，45进行统计分析，发现两位数“4■”的个位数字模糊不清，则下列统计量一定不受影响的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．如图，长方形纸片MPQN的宽MP为10cm，三角板ABC中，AC＝8cm，∠A＝60°，∠ACB＝90°．将三角板的顶点C固定在纸片的边MN上，边AB与纸片的边PQ交于点D，则BD的最大值是（　　）
A． B．4cm
C． D．5cm
7．一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的2个红球和5个白球．从袋子中随机摸球，甲认为：若摸出1个球，则摸出白球的可能性大；乙认为：若摸出3个球，则至少有1个白球．以下判断正确的是（　　）
A．甲乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲乙都错误
8．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1（x＞0）及y2（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知k1﹣k2的值为8，则△OAB的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．﹣4
10．如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为（　　）
A．3 B．6 C． D．
二．填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．若一次函数y＝kx+b的图象过点（1，m），（m，1），其中m≠1，则k＝ 　 　 ．
12．如图，易拉罐的上，下底面互相平行，用吸管吸易拉罐内的饮料时，若∠1＝70°，则∠2＝　 　 ．
13．综合实践课上，珍珍用半径为9cm，圆心角为120°的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽．如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是　 　 cm．
14．若关于x的方程mx2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　 　 ．
15．如图，在 ABCD中，E是对角线BD上一点，过点E作FG∥AB，分别交BC，AD于点F，G，将四边形ABFG沿FG翻折，得到四边形A′B′FG，点B′恰好落在BD上．若EG：EF＝5：2，AD＝28，A′H＝HD，则△HB′D的面积为 　 　 ．
16．在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△AOB按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…依次类推，点A2025的坐标为 　 　 ．
三．解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）友情提示：做解答题，别忘了写出必要的过程，作图（包括添加辅助线）最后必须用黑色字迹的签字笔或钢笔将线条描黑。
17．计算：
（1）； （2）．
18．在学习了特殊的平行四边形的相关判定后，数学兴趣小组进行了进一步的思考，在任意三角形中满足什么样的条件，可以判定得出菱形呢？他们发现，三角形某个角的角平分线与对边交于一点，该角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与该角的两边所在直线交于两点，该角的顶点以及三个交点所构成的四边形是菱形，可利用证明三角形的全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图与填空：
（1）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D．用尺规作BD的垂直平分线，分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接DE，DG（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形BGDE是菱形．
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD
又∵EG垂直平分BD，
∴BE＝DE，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴∠CBD＝①　 　 ，
又∵EG垂直平分BD，
∴BF＝②　 　 ，∠DFE＝∠BFG＝90°，
∴△DEF≌③　 　 ，
∴EF＝GF，
∴四边形BGDE是菱形．
进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是④　 　 ．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．
（1）比较∠BAE与∠CAD的大小，并说明理由；
（2）用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C（2，n）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设P是直线AB上一点，过P作PD∥y轴，交反比例函数y（x＞0）的图象于点D，交x轴于点E，连接AD．若△APE的面积是△APD的面积的2倍，求点P的坐标．
21．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如图．
根据以上信息，回答下列问题．
（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是 　 　 （填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为 　 　 分．
（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误×（﹣1），且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．
技术统计表
队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误
甲 26.5 8 2
乙 26 10 3
22．如图1，共享单车停放点A，B和图书馆C依次在一条东西走向的道路上．甲、乙两人从两停放点之间的P点处同时出发，去往图书馆．甲步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，乙步行去停放点B，然后骑共享单车去往图书馆．已知甲乙两人步行速度均为75米/分，两人到图书馆的距离s（米）与时间t（分）的函数关系如图2所示．
（1）求停放点A，B之间的距离．
（2）求甲追上乙的时间．
（3）若乙改为先步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，会比原来更早到达图书馆吗？相差多少分钟？
23．已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（常数a≠0）．
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）若﹣2＜x＜5．
①当a＞0时，该函数的最小值为﹣8，求a的值；
②当a分别取a1，a2（a1＞a2）时，两个函数的最小值相等，求a1a2的数量关系．
24．综合与探究
【定义】三角形一边上的点将该边分为两条线段，若这两条线段长度的乘积等于这个点与该边所对顶点距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“亮点”．
如图（a），在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD CD，则称点D是△ABC中BC边上的“亮点”．
【概念理解】
（1）如图（b），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE，AF分别是△ABC的高线，角平分线，中线．请判断D，E，F三点中哪些是△ABC中BC边上的“亮点”，并说明理由．
【性质应用】
（2）如图（c），在△ABC中，∠B＝45°，，AC＝10．若D是BC边上的“亮点”，求BD的长．
【拓展提升】
（3）如图（d），△ABC内接于⊙O，D是△ABC中BC边上的“亮点”且AD⊥AC．若，求的值．
试题难度分析
试题难易度程度 题量 题号 题量占比
易 9 1,2,3,4,5,6,11,12,13 37.5%
较易 7 7,8,14,17,19,20,21 29.17%
中档 7 9,10,15,16,18,22,23 29.17%
较难 1 24 4.17%
知识点分析 共计：24个知识点
知识点 题量 题号 题量占比
无理数 1 1 4.17%
配方法的应用 1 2 4.17%
简单几何体的三视图 1 3 4.17%
解一元一次不等式 1 4 4.17%
统计量的选择 1 5 4.17%
勾股定理 1 6 4.17%
可能性的大小 1 7 4.17%
由实际问题抽象出二元一次方程组 1 8 4.17%
反比例函数图象上点的坐标特征 1 9 4.17%
矩形的性质 1 10 4.17%
一次函数图象上点的坐标特征 1 11 4.17%
平行线的性质 1 12 4.17%
弧长的计算 1 13 4.17%
根的判别式 1 14 4.17%
翻折变换（折叠问题） 1 15 4.17%
规律型：点的坐标 1 16 4.17%
分式的混合运算 1 17 4.17%
作图—基本作图 1 18 4.17%
旋转的性质 1 19 4.17%
反比例函数与一次函数的交点问题 1 20 4.17%
方差 1 21 4.17%
一次函数的应用 1 22 4.17%
二次函数的性质 1 23 4.17%
圆的综合题 1 24 4.17%
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)2025年浙江中考考前适应卷（四）
一．选择题（共10小题）
1．在下列四个实数中，是无理数的是（　　）
A．﹣3 B．0 C． D．
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【解答】解：﹣3，0是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
属于无理数．
故选：C．
2．在实数范围内，代数式a2﹣4a+7的值不可能为（　　）
A．6 B．3.6 C．3 D．2.8
【分析】利用配方法得a2﹣4a+7＝a2﹣4a+4+3＝（a﹣2）2+3≥3，逐个判断选项即可．
【解答】解：∵a2﹣4a+7＝（a﹣2）2+3≥3，
∴选项D不可能，
故选：D．
3．如图是底面为正方形的直四棱柱，下面关于它的三个视图的说法正确的是（　　）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：A、俯视图是一个正方形，主视图是一个长方形，故A不符合题意；
B、左视图是一个长方形，主视图是个长方形，且两个长方形的长和宽分别相等，所以B符合题意；
C、左视图是一个长方形，俯视图是一个正方形，故C不符合题意；
D、俯视图是一个正方形，主视图是一个长方形，左视图是一个长方形，故D不符合题意．
故选：B．
4．已知关于x的不等式的所有解都小于3．若a是整数，但不是正数，则满足条件的a的值为（　　）
A．﹣3，﹣2 B．﹣3，﹣2，﹣1
C．﹣3，﹣2，﹣1，0 D．﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0
【分析】先解不等式得，由所有解都小于3，得，求解并结合a是整数，但不是正数，即可得．
【解答】解：解不等式得：，
∵所有解都小于3，
∴，
∴a≥﹣3，
∵a是整数，但不是正数，
∴﹣3≤a≤0，且a是整数，
∴满足条件的a的值为﹣3，﹣2，﹣1，0，
故选：C．
5．某同学对数据35，29，32，4■，45，45进行统计分析，发现两位数“4■”的个位数字模糊不清，则下列统计量一定不受影响的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据中位数定义可得答案．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
【解答】解：该数据共有6个数，其中35排在第三位，第三位与第四位的平均数就是中位数，故该题中位数受到影响，其中45有两个，污损的数字十位数是4，故众数不受影响，
故选：C．
6．如图，长方形纸片MPQN的宽MP为10cm，三角板ABC中，AC＝8cm，∠A＝60°，∠ACB＝90°．将三角板的顶点C固定在纸片的边MN上，边AB与纸片的边PQ交于点D，则BD的最大值是（　　）
A． B．4cm
C． D．5cm
【分析】如图，连接BC，过C作CT⊥AB于T，求解，BC，AT＝AC cos60°＝4，，AD＝4+DT，，由BD最大，可得AD最小，可得DT最小，可得CD最小，当CD⊥PQ时，CD最小，再进一步求解即可．
【解答】解：如图，连接CD，过C作CT⊥AB于T，
∵三角板ABC中，AC＝8cm，∠A＝60°，∠ACB＝90°，
∴AB16，，
∴AT＝AC cos60°＝4，，
∴AD＝4+DT，DT，
∵BD最大，
∴AD最小，
∴DT最小，
∴CD最小，当CD⊥PQ时，CD最小，
此时四边形MPDC为矩形，
∴CD＝MP＝10，
∴DT，
∴AD，
∴BD，
故选：A．
7．一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的2个红球和5个白球．从袋子中随机摸球，甲认为：若摸出1个球，则摸出白球的可能性大；乙认为：若摸出3个球，则至少有1个白球．以下判断正确的是（　　）
A．甲乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲乙都错误
【分析】根据可能性大小的定义解答即可．
【解答】解：∵有2个红球和5个白球，
∴若摸出1个球，则摸出白球的可能性大，故甲正确；若摸出3个球，则至少有1个白球，故乙正确．
故选：A．
8．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：C．
9．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1（x＞0）及y2（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知k1﹣k2的值为8，则△OAB的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．﹣4
【分析】根据反比例函数k的几何意义得出△AOB的面积为（）（k1﹣k2），再根据k1﹣k2＝2即可得出．
【解答】解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为，
∴△AOB的面积为（）（k1﹣k2），
∵k1﹣k2＝8，
∴△AOB的面积为8＝4，
故选：C．
10．如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为（　　）
A．3 B．6 C． D．
【分析】连接CF，交PQ于点K，利用全等三角形的判定与性质，得到PK＝QK，则M，K两点重合，CM＝FM，可得MN为△CAF的中位线；连接AF，延长AD交EF于点H，利用矩形的判定与性质可得四边形CEHD和四边形DHFG为矩形，可求得线段AH，FH，利用勾股定理求得AF，利用三角形的中位线定理即可得出结论．
【解答】解：连接CF，交PQ于点K，如图，
∵四边形CEFG为矩形，
∴FG∥CE，
∴∠FPQ＝∠CQP，∠PFC＝∠FCQ．
在△PFK和△QCK中，
，
∴△PFK≌△QCK（ASA），
∴FK＝CK，PK＝QK，
即点K为PQ的中点，
∵点M为PQ的中点，
∴M，K两点重合．
∴CM＝FM．
连接AF，延长AD交EF于点H，
∵矩形ABCD和矩形CEFG，
∴四边形CEHD和四边形DHFG为矩形，
∴AB＝CD＝HE＝1，DH＝CE＝4，EF＝CE＝2，AD＝BC＝2，
∴AH＝AD+DH＝2+4＝6，FH＝FE﹣HE＝2﹣1＝1，
∴AF．
∵CM＝FM，CN＝AN，
∴MN为△CAF的中位线，
∴MNAF．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．若一次函数y＝kx+b的图象过点（1，m），（m，1），其中m≠1，则k＝ 　﹣1　 ．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于k的方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象过点（1，m），（m，1），m≠1，
∴，
解得：k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．如图，易拉罐的上，下底面互相平行，用吸管吸易拉罐内的饮料时，若∠1＝70°，则∠2＝　110°　 ．
【分析】根据两直线平行，同位角相等求解即可．
【解答】解：如图，
∵AB∥CD，∠1＝70°，
∴∠3＝∠1＝70°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
13．综合实践课上，珍珍用半径为9cm，圆心角为120°的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽．如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是　3　 cm．
【分析】设圆锥的底面半径为r cm．根据扇形的弧长＝圆锥底面圆周长构建方程求解．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r cm，
由题意得：2πr，
解得r＝3，
故答案为：3．
14．若关于x的方程mx2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　且m≠0　 ．
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到Δ＞0且m≠0，代入计算解答即可．
【解答】解：∵关于x的方程mx2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得且m≠0．
故答案为：且m≠0．
15．如图，在 ABCD中，E是对角线BD上一点，过点E作FG∥AB，分别交BC，AD于点F，G，将四边形ABFG沿FG翻折，得到四边形A′B′FG，点B′恰好落在BD上．若EG：EF＝5：2，AD＝28，A′H＝HD，则△HB′D的面积为 　　 ．
【分析】如图，连接AA'，由折叠可得：四边形A'GFB'是平行四边形，可得A'B′＝GF，A'B'∥GF∥AB，AB＝GF＝A'B'，，证明，HG＝AG＝A'G，可得A'在以G为圆心，AH为直径的圆上，∠AA'H＝90°，证明△DGE∽△BFE，可得AG＝8，DG＝20，，，再进一步利用相似三角形的性质可得答案．
【解答】解：如图，连接AA'，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵FG∥AB，
∴四边形ABFG是平行四边形，
∴AB＝GF，AG＝BF，
由折叠可得：四边形A'GFB'是平行四边形，
∴A'B'＝GF，A'B'∥GF∥AB，
∴AB＝GF＝A'B'，，
∵由对折可得：AB＝A'B'，FB＝FB'，AG＝A'G，BE＝B'E，
∴，
∴HG＝AG＝A'G，
∴A'在以G为圆心，AH为直径的圆上，
∴∠AA'H＝90°，
∵AD∥BC，
∴△DGE∽△BFE，
∴，
∴而AG+DG＝AD＝28，
∴AG＝8，DG＝20，
∴HG＝AG＝A'G＝8，
∴AH＝16，DH＝12，
∵A'H＝DH，
∴A'H＝DH＝12，
∴，
∴，
∵AB∥A'B'，AB＝A'B'，
∴四边形ABB′A'为平行四边形，
∴AA'∥DB'，
∴△AA'H∽△DB′H，
∴，
∴，
故答案为：．
16．在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△AOB按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…依次类推，点A2025的坐标为 　（﹣22025，0）　 ．
【分析】根据△AOB的变换方式，可得出每变换六次，点A的对应点所在方向线循环出现，再根据△AOB的边长变化规律即可解决问题．
【解答】解：因为360°÷60°＝6，
所以每变换六次，点A的对应点所在方向线循环出现．
又因为2025÷6＝337余3，
所以第2025次变换后点A的对应点与点A3在一条方向线上，即在x轴的负半轴上．
因为A（1，0），
所以△AOB的边长为1，
则根据变换方式可知，△A1OB1的边长为2，△A2OB2的边长为22，△A3OB3的边长为23，…，△AnOBn的边长为2n．
所以△A2025OB2025的边长为22025，
所以点A2025的坐标为（﹣22025，0）．
故答案为：（﹣22025，0）．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据数的乘方及开方法则，零指数幂及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可；
（2）先算括号里面的，再算除法即可．
【解答】解：（1）
＝﹣4+9+1﹣2
＝4；
（2）


．
18．在学习了特殊的平行四边形的相关判定后，数学兴趣小组进行了进一步的思考，在任意三角形中满足什么样的条件，可以判定得出菱形呢？他们发现，三角形某个角的角平分线与对边交于一点，该角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与该角的两边所在直线交于两点，该角的顶点以及三个交点所构成的四边形是菱形，可利用证明三角形的全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图与填空：
（1）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D．用尺规作BD的垂直平分线，分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接DE，DG（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形BGDE是菱形．
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD
又∵EG垂直平分BD，
∴BE＝DE，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴∠CBD＝①　∠EDB　 ，
又∵EG垂直平分BD，
∴BF＝②　DF　 ，∠DFE＝∠BFG＝90°，
∴△DEF≌③　△BGF　 ，
∴EF＝GF，
∴四边形BGDE是菱形．
进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是④　正方形　 ．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）根据全等三角形的判定与性质、菱形的判定填空即可．
【解答】（1）解：如图，直线EG即为所求．
（2）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
又∵EG垂直平分BD，
∴BE＝DE，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴∠CBD＝∠EDB，
又∵EG垂直平分BD，
∴BF＝DF，∠DFE＝∠BFG＝90°，
∴△DEF≌△BGF（ASA），
∴EF＝GF，
∴四边形BGDE是菱形．
进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是正方形．
故答案为：①∠EDB；②DF；③△BGF；④正方形．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．
（1）比较∠BAE与∠CAD的大小，并说明理由；
（2）用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由题意旋转的性质得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝α，即可得到∠BAE＝∠CAD；
（2）利用SAS证明△ABE≌△ACD，得到BE＝CD，进而求解即可．
【解答】解：（1）∠BAE＝∠CAD．理由如下：
由旋转可知AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝α，
∴∠DAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，
即∠BAE＝∠CAD；
（2）BM＝MD+BE；
证明：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD．
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM＝MD+CD＝MD+BE．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C（2，n）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设P是直线AB上一点，过P作PD∥y轴，交反比例函数y（x＞0）的图象于点D，交x轴于点E，连接AD．若△APE的面积是△APD的面积的2倍，求点P的坐标．
【分析】（1）根据一次函数y＝x+1的图象经过点C（2，n），可以求得C的坐标，进而可以解答本题；
（2）设P（x，x+1），则E（x，0），D（x，），根据题意得出PE＝2PD，即可得到2×（x+1）＝x+1或x+1＝2（x﹣1），分别解方程求得x的值，即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+1的图象经过点C（2，n），
∴n＝2+1＝3，
∴C（2，3），
∵反比例函数y（x＞0）的图象过点C，
∴3，得k＝6，
即反比例函数解析式为：y（x＞0）；
（2）当点P在点C的右侧时，设P（x，x+1），则E（x，0），D（x，），
∴PE＝x+1，PD＝x+1
∵△APE的面积是△APD的面积的2倍，
∴PE＝2PD，即2×（x+1）＝x+1，
整理得，x2+x﹣12＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去），
∴P（3，4）．
当点P在点C的左侧时，同法可得，x+1＝2（x﹣1），
解得x或（舍弃），
∴P（，），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（3，4）或（，）．
21．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如图．
根据以上信息，回答下列问题．
（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是 　甲　 （填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为 　29　 分．
（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误×（﹣1），且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．
技术统计表
队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误
甲 26.5 8 2
乙 26 10 3
【分析】（1）根据中位数的计算方法求解即可；
（2）根据平均数的概念求解即可；
（3）根据“综合得分”的计算方法求出甲和乙的得分，然后比较求解即可．
【解答】解：（1）由折线图可得甲得分更稳定，
把乙的六次成绩按从小到大的顺序排序，第三次、第四次的成绩分别为28和30，
故中位数为：29，
故答案为：甲，29；
（2）因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好．（答案不唯一，合理即可）；
（3）甲的综合得分为：26.5×1+8×1.5+2×（﹣1）＝36.5．
乙的综合得分为：26×1+10×1.5+3×（﹣1）＝38．
因为38＞36.5，所以乙队员表现更好．
22．如图1，共享单车停放点A，B和图书馆C依次在一条东西走向的道路上．甲、乙两人从两停放点之间的P点处同时出发，去往图书馆．甲步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，乙步行去停放点B，然后骑共享单车去往图书馆．已知甲乙两人步行速度均为75米/分，两人到图书馆的距离s（米）与时间t（分）的函数关系如图2所示．
（1）求停放点A，B之间的距离．
（2）求甲追上乙的时间．
（3）若乙改为先步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，会比原来更早到达图书馆吗？相差多少分钟？
【分析】（1）根据路程＝速度×时间，求出甲、乙两人分别到达共享单车停放点A、共享单车停放点B所走路程之和即可；
（2）求出甲骑共享单车的速度，根据“甲到达共享单车停放点A时两从之间的距离÷（甲骑共享单车的速度﹣乙步行的速度）+6”列式计算即可；
（3）求出乙步行到达共享单车停放点A所用的时间加上从共享单车停放点A到达共享单车停放点B所用的时间与原来所用总时间对比并求差即可．
【解答】解：（1）75×6+75×14＝1500（米）．
答：停放点A，B之间的距离是1500米．
（2）甲骑共享单车的速度为6000÷（26﹣6）＝300（米/分），
（75+75）×6÷（300﹣75）+6＝10（分）．
答：甲追上乙的时间为10分．
（3）乙骑共享单车的速度为（6000﹣1500）÷（32﹣14）＝250（米/分），
乙改为先步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，则到达图书馆所用时间为75×6÷75+6000÷250＝30（分），
30＜32，
32﹣30＝2（分）．
答：会比原来更早到达图书馆，相差2分钟．
23．已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（常数a≠0）．
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）若﹣2＜x＜5．
①当a＞0时，该函数的最小值为﹣8，求a的值；
②当a分别取a1，a2（a1＞a2）时，两个函数的最小值相等，求a1a2的数量关系．
【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）①根据当x＝﹣1时，该函数最小值为y＝﹣4a求解即可；②由称轴在直线x＝﹣2与x＝5之间可知当a1＞a2＞0或a2＜a1＜0时，则两条抛物线的顶点相同，即a1＝a2（不合题意），则a1＞0，a2＜0，分别求出最小值即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：
∴对称轴为直线，
（2）①∵a＞0，
∴抛物选开口向上，
∵﹣2＜﹣1＜5，
∴当x＝﹣1时，该函数最小值为y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a
∵该函数的最小值为﹣8，
∴﹣4a＝﹣8，
∴a＝2，
②∵二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（常数a≠0）对称轴在直线x＝﹣2与x＝5之间，且两个函数的最小值相等
当a1＞a2＞0或a2＜a1＜0时，则两条抛物线的顶点相同，即a1＝a2（不合题意）
∴a1＞0，a2＜0
当a1＞0时，
当a2＜0时，
∵两个函数的最小值相等，
∴﹣4a1＝32a2，即a1＝﹣8a2
24．综合与探究
【定义】三角形一边上的点将该边分为两条线段，若这两条线段长度的乘积等于这个点与该边所对顶点距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“亮点”．
如图（a），在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD CD，则称点D是△ABC中BC边上的“亮点”．
【概念理解】
（1）如图（b），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE，AF分别是△ABC的高线，角平分线，中线．请判断D，E，F三点中哪些是△ABC中BC边上的“亮点”，并说明理由．
【性质应用】
（2）如图（c），在△ABC中，∠B＝45°，，AC＝10．若D是BC边上的“亮点”，求BD的长．
【拓展提升】
（3）如图（d），△ABC内接于⊙O，D是△ABC中BC边上的“亮点”且AD⊥AC．若，求的值．
【分析】（1）根据“两点”的定义判断即可得解；
（2）分类讨论，当BD＜CD或BD＞CD时，画出图形，利用勾股定理建立方程求解即可；
（3）延长AD交⊙O于点E，连接BE、CE，证△ADC∽△BDE，再根据亮点的定义得AD2＝CD BD＝AD ED，然后设参建立方程求解即可．
【解答】解：（1）D，F．
理由：∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
又∵∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠CAD，
∴△BDA∽△ADC，
，
∴DA2＝BD DC，
∴点D是△ABC中BC边上的亮点；
∵在Rt△ABC中，AF是△ABC的中线，
∴，
∴AF2＝BF CF，
∴点F是△ABC中BC边上的亮点．
（2）①当BD＜CD时，
如图，作AE⊥BC于点E，
∵，AC＝10，∠B＝45°，
∴，
∴，，
设DE＝x，
则有AD2＝x2+62＝（6﹣x）（8+x），
解得x1＝2，x2＝﹣3（舍），
即BD＝6﹣2＝4；
②当BD＞CD时，
由①可知AE＝BE＝6，CE＝8，设DE＝a，
则有AD2＝a2+62＝（6+a）（8﹣a），
解得a1＝3，a2＝﹣2（舍），
即BD＝6+3＝9，
综上所述，BD＝4或9；
（3）延长AD交⊙O于点E，连接BE、CE，
∵∠ADC＝∠BDE，∠ACD＝∠BED，
∴△ADC∽△BDE，
∴，
∴CD BD＝AD ED，
∵点D是△ABC中BC边上的亮点，
∴AD2＝CD BD＝AD ED，
∴AD＝ED．
由∠CAD＝90°可知CE是直径，
∴，
∴设AC＝b，则CE＝3b，，
∴，
在Rt△ACD中，，
又∵AD2＝CD BD，
∴，解得，
∴
(
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