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题型专项培优 填空题
一．填空题（共40小题）
1．（2024 南京）已知4﹣是关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 　 　 ，　 　 ．
2．（2024 南京）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是中线，将DA绕点D顺时针旋转60°得到DE，连接BE，则S△BDE＝　 　 ．
3．（2024 南京）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．完成下表：
R/Ω … 4 6 8 …
I/A …
　 　
6 4.5 …
4．（2024 南京）如果实数a，b满足　 　 ，那么a，b互为相反数．
5．（2024 南京）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
6．（2024 徐州）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为4πcm2，圆心角θ为90°，圆锥的底面圆的半径为 　 　 ．
7．（2024 徐州）关于x的方程x2+kx+1＝0有两个相等的实数根，则k值为 　 　 ．
8．（2024 徐州）分式方程＝的解为 　 　 ．
9．（2024 徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C＝20°，则∠CAD＝　 　 °．
10．（2024 徐州）正十二边形的每一个外角等于 　 　 度．
11．（2024 宿迁）因式分解：x2+4x＝　 　 ．
12．（2024 南通）平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直线y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）经过点（1，0），并把△AOB分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 　 　 ．
13．（2024 南通）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是 　 　 ．
14．（2024 南通）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC＝6m，则旗杆AC的高度为 　 　 m．
15．（2024 南通）已知圆锥底面半径为2cm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面积是 　 　 cm2．
16．（2024 常州）分解因式：x2﹣4xy+4y2＝　 　 ．
17．（2024 宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y＝x上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 　 　 ．
18．（2024 宿迁）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF＝ 　 　 °．
19．（2024 宿迁）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 　 　 °．
20．（2024 宿迁）点P（a2+1，﹣3）在第 　 　 象限．
21．（2024 南京）阅读材料：由6+2＝5+1+2＝+2××1+12＝，可知6+2的算术平方根是+1．类似地，16﹣6的算术平方根是　 　 ．
22．（2024 南京）如图，点A，O，B在同一条直线上，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线．若∠AOE＝162°，则∠BOD＝　 　 °．
23．（2024 南京）方程﹣＝0的解是 　 　 ．
24．（2024 南京）比较大小： 　 　 （填“＞”“＜”或“＝”）．
25．（2024 南京）计算＝　 　 ．
26．（2024 徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣2023）（x﹣2024）+5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则PQ＝　 　 ．
27．（2024 徐州）如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC中点M处．若AB＝4，BC＝6，则CF＝　 　 ．
28．（2024 徐州）若点A（﹣3，a）、B（1，b）、C（2，c）都在反比例函数y＝的图象上，则a、b、c的大小关系为 　 　 ．
29．（2024 徐州）2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为 　 　 ．
30．（2024 徐州）若mn＝2，m﹣n＝1，则代数式m2n﹣mn2的值等于 　 　 ．
31．（2024 宿迁）要使有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ．
32．（2024 南通）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为 　 　 cm．
33．（2024 南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的边长为，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为 　 　 ．
34．（2024 南通）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：　 　 ．
35．（2024 南通）分解因式：ax﹣ay＝　 　 ．
36．（2024 常州）16的算术平方根是 　 　 ．
37．（2024 宿迁）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，以点E为圆心，EF长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 　 　 ．
38．（2024 宿迁）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 　 　 ．
39．（2024 宿迁）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 　 　 ．
40．（2024 宿迁）一组数据6，8，10，x的平均数是9，则x的值为 　 　 ．
题型专项培优 填空题
参考答案与试题解析
一．填空题（共40小题）
1．（2024 南京）已知4﹣是关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 　2　 ，　4+　 ．
【答案】2，4+．
【分析】根据（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0中x﹣2＝0或ax2+bx+c＝0，再根据4﹣是关于x的方程ax2+bx+c＝0的根，从而得出ax2+bx+c＝0的另一个根．
【解答】解：关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）中，x﹣2＝0或ax2+bx+c＝0，
即x＝2或ax2+bx+c＝0，
∵4﹣是关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）的一个根，
∴a（4﹣）2+b（4﹣）+c＝0，
整理得：31a+4b+c﹣（8a+b）＝0，
∵a，b，c都是有理数，
∴8a+b＝0，31a+4b+c＝0，
∴b＝﹣8a，c＝a，
∴ax2﹣8ax+a＝0，
解得：x＝4±，
∴另一个根为4+；
故答案为：2，4+．
【点评】本题考查一元二次方程的解，关键是掌握一元二次方程解的情况．
2．（2024 南京）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是中线，将DA绕点D顺时针旋转60°得到DE，连接BE，则S△BDE＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由旋转的性质可得AD＝DE＝2，∠ADE＝60°，由直角三角形的性质EH＝DE＝，即可求解．
【解答】解：过点E作EH⊥BC于H，
∵△ABC是等边三角形，AD是中线，
∴BD＝2，AD＝2，AD⊥BC，
∵将DA绕点D顺时针旋转60°得到DE，
∴AD＝DE＝2，∠ADE＝60°，
∴∠EDH＝30°，
又∵EH⊥BC，
∴EH＝DE＝，
∴S△BDE＝×BD EH＝×2×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
3．（2024 南京）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．完成下表：
R/Ω … 4 6 8 …
I/A …
　9　
6 4.5 …
【答案】9．
【分析】设I＝，根据表中的一组数值求的函数解析式，从而完成图表．
【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I＝，
把R＝6时，I＝6代入得6＝，
解得k＝36，
∴I＝，
当R＝4时，I＝＝9，
填表如下：
R/Ω … 4 6 8 …
I/A … 9 6 4.5 …
故答案为：9．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
4．（2024 南京）如果实数a，b满足　a+b＝0　 ，那么a，b互为相反数．
【答案】a+b＝0．
【分析】根据互为相反数的两个数的和为0解答即可．
【解答】解：如果实数a，b满足a+b＝0，那么a，b互为相反数．
故答案为：a+b＝0．
【点评】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的性质是解题的关键．
5．（2024 南京）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥﹣1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0，
解得x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子（a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
6．（2024 徐州）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为4πcm2，圆心角θ为90°，圆锥的底面圆的半径为 　1cm　 ．
【答案】1cm．
【分析】先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可．
【解答】解：设扇形的半径为R cm，弧长为l cm，
由题意得：＝4π，
解得：R＝4（负值舍去），
则l×4＝4π，
解得：l＝2π，
∴圆锥的底面圆的半径为：2π÷（2π）＝1（cm），
故答案为：1cm．
【点评】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．
7．（2024 徐州）关于x的方程x2+kx+1＝0有两个相等的实数根，则k值为 　±2　 ．
【答案】±2．
【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝0，可得出k2﹣4×1×1＝0，解之即可得出k的值．
【解答】解：∵关于x的方程x2+kx+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝k2﹣4×1×1＝0，
解得：k＝±2，
∴k的值为±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
8．（2024 徐州）分式方程＝的解为 　x＝1　 ．
【答案】x＝1．
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：6x＝3x+3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，2x（x+1）≠0，
故原方程的解为x＝1，
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
9．（2024 徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C＝20°，则∠CAD＝　35　 °．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OD，构造直角三角形，利用OA＝OD，可求得∠ODA＝35°，从而得出∠CAD的度数．
【解答】解：连接OD，则∠ODC＝90°，∠COD＝70°；
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠CAD＝∠COD＝35°，
故答案为：35
【点评】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．
10．（2024 徐州）正十二边形的每一个外角等于 　30　 度．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据多边形的外角和为360度，再用360度除以边数即可得到每一个外角的度数．
【解答】解：∵多边形的外角和为360度，
∴每个外角度数为：360°÷12＝30°，
故答案为：30．
【点评】主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数直接让360度除以外角即可．
11．（2024 宿迁）因式分解：x2+4x＝　x（x+4）　 ．
【答案】x（x+4）．
【分析】直接提公因式x即可．
【解答】解：原式＝x（x+4）．
故答案为：x（x+4）．
【点评】本题考查提公因式法分解因式，找出多项式各项的公因式是正确解答的关键．
12．（2024 南通）平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直线y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）经过点（1，0），并把△AOB分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 　　 ．
【答案】．
【分析】将点（1，0）代入直线y＝kx+b，将b用k表示出来，利用待定系数法求出AB所在直线的函数关系式，求出它们的交点坐标；根据三角形面积公式求出远离原点部分的面积，从而求出k的值即可．
【解答】解：如图，设AB与直线y＝kx+b交于点P．
设AB所在直线的函数关系式为y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）．
将坐标A（3，0）和B（0，3）分别代入y＝k1x+b1，
得，
解得，
∴AB所在直线的函数关系式为y＝﹣x+3．
将点（1，0）代入y＝kx+b，
得k+b＝0，
解得b＝﹣k，
∴直线y＝kx+b为y＝kx﹣k．
，
解得，
∴P（，），
∵SRt△AOB＝×3×3＝，
∴远离原点部分的面积为﹣＝，
∴×（3﹣1）×＝，
∴k＝．
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数关系、求出交点坐标、掌握三角形的面积公式是解题的关键．
13．（2024 南通）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是 　R≥3.6Ω　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过10A列不等式，求出结论，并结合图象．
【解答】解：设反比例函数关系式为：I＝，
把（9，4）代入得：k＝4×9＝36，
∴反比例函数关系式为：I＝，
当I≤10时，则≤10，
R≥3.6，
故答案为：R≥3.6Ω．
【点评】本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题．
14．（2024 南通）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC＝6m，则旗杆AC的高度为 　6　 m．
【答案】6．
【分析】依据题意，直接利用锐角三角函数关系即可计算得解．
【解答】解：由题意可得：BC＝6m，
又tan60°＝＝＝，
∴AC＝6m．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
15．（2024 南通）已知圆锥底面半径为2cm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面积是 　12π　 cm2．
【答案】12π．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×6÷2＝12πcm2．
故答案为：12π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
16．（2024 常州）分解因式：x2﹣4xy+4y2＝　（x﹣2y）2　 ．
【答案】（x﹣2y）2．
【分析】根据完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4xy+4y2
＝x2﹣4xy+（2y）2
＝（x﹣2y）2．
故答案为：（x﹣2y）2．
【点评】本题考查了运用公式法分解因式．解题的关键是熟练掌握公式法分解因式，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
17．（2024 宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y＝x上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 　　 ．
【答案】．
【分析】先求出点A坐标，作AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥x轴，垂足为N，设点C（x，0），可得△BNC∽△CMA，设点B（4m，3m），则OB＝5m，列出即，整理出方程x2﹣（4﹣4m）x+9m＝0，利用判别式确定m的取值范围，根据AB＝5﹣5m确定最值．
【解答】解：如图，作AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥x轴，垂足为N，设点C（x，0），
∵点A在函数y＝x图象上，且点A的横坐标为4，
∴y＝＝3，
∴A（4，3），
OA＝5，
设点B（4m，3m），则OB＝5m，
∴AB＝5﹣5m，
NC＝x﹣4m
∵∠ACB＝90°，
∴△BNC∽△CMA，
∴即，
整理得：x2﹣（4+4m）x+25m＝0，
点C在x轴上，方程必有实数解，
∴Δ＝（4+4m）2﹣100m≥0，即16m2﹣68m+16≥0，
∴4m2﹣17m+4≥0，
解得m≥4（舍去）或m，
∴m取最大值为，
∴AB＝5﹣5m＝5﹣＝．
（附加用解析法）点C是AB为直径的圆与x轴的交点，当圆与x轴相切时，半径最小，即AB最小，
5t+3t＝OA＝5，解得t＝，
AB＝6t＝．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换、垂线段最短，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是关键．
18．（2024 宿迁）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF＝ 　10　 °．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
由作图知，AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠BAC＝50°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝50°，
∴∠BAD＝40°，
∴∠DAF＝∠BAF﹣∠BAD＝10°，
故答案为：10．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关键．
19．（2024 宿迁）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 　90　 °．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据圆锥侧面展开图的形状以及弧长的计算公式列方程求解即可．
【解答】解：设圆锥的侧面展开扇形的圆心角的度数为n°，由题意得，
＝2π×3，
解得n＝90．
故答案为：90．
【点评】本题考查圆锥的计算，掌握圆锥侧面展开图的特征以及弧长的计算公式是正确解答的关键．
20．（2024 宿迁）点P（a2+1，﹣3）在第 　四　 象限．
【答案】四．
【分析】根据平面直角坐标系各象限中点的坐标特征判断即可．
【解答】解：∵a2+1≥1，﹣3＜0，
∴点P（a2+1，﹣3）在第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查点的坐标，掌握平面直角坐标系各象限中点的坐标特征是解题的关键．
21．（2024 南京）阅读材料：由6+2＝5+1+2＝+2××1+12＝，可知6+2的算术平方根是+1．类似地，16﹣6的算术平方根是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】仿照题中给出的方法求解即可．
【解答】解：16﹣6
＝9+7﹣
＝
＝，
∴16﹣6的算术平方根是，
故答案为：．
【点评】本题考查了算术平方根，理解题中的方法是解题的关键．
22．（2024 南京）如图，点A，O，B在同一条直线上，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线．若∠AOE＝162°，则∠BOD＝　108　 °．
【答案】108．
【分析】根据题意，得到∠DOE＝∠AOB＝90°，结合已知条件，求得∠AOD的度数，即可得到结果．
【解答】解：∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠COD＝∠AOC，
∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠EOC＝∠BOC，
∴∠COD+∠EOC＝∠AOC+∠BOC，
即∠DOE＝∠AOB＝90°，
∵∠AOE＝162°，
∴∠AOD＝∠AOE﹣∠DOE＝72°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝108°，
故答案为：108．
【点评】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
23．（2024 南京）方程﹣＝0的解是 　x＝1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：x+1﹣2x＝0，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x（x+1）≠0，
则原方程的解为x＝1，
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
24．（2024 南京）比较大小： 　＜　 （填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
【解答】解：∵＝﹣，
|﹣|＝，|﹣|＝，
＞，
∴＜．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
25．（2024 南京）计算＝　2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的乘除法则可将原式化简即可．
【解答】解：原式＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的乘除，关键是根据法则求解即可，注意把结果要化为最简二次根式．
26．（2024 徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣2023）（x﹣2024）+5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则PQ＝　1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令y＝0，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可．
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣2023）（x﹣2024）+5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：
y＝（x﹣2023）（x﹣2024），
令y＝（x﹣2023）（x﹣2024）＝0，则（x﹣2023）（x﹣2024）＝0，
∴x﹣2023＝0或x﹣2024＝0，
解得：x＝2023或2024，
∴PQ＝2024﹣2023＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了二次函数与几何变换，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．
27．（2024 徐州）如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC中点M处．若AB＝4，BC＝6，则CF＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由矩形的性质推出CD＝AB＝4，∠C＝90°，由线段中点定义得到CM＝BC＝3，由折叠的性质得到：MF＝DF，设FC＝x，由勾股定理得到（4﹣x）2＝32+x2，求出x＝，得到FC的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，∠C＝90°，
∵M是BC中点，
∴CM＝BC＝×6＝3，
由折叠的性质得到：MF＝DF，
设FC＝x，
∴FD＝4﹣x，
∴MF＝4﹣x，
∵MF2＝MC2+FC2，
∴（4﹣x）2＝32+x2，
∴x＝，
∴FC＝．
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于x的方程．
28．（2024 徐州）若点A（﹣3，a）、B（1，b）、C（2，c）都在反比例函数y＝的图象上，则a、b、c的大小关系为 　a＞c＞b　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据反比例函数的图象和已知条件，判断A，B，C三点的位置，从而根据性质判断a，b，c的大小即可．
【解答】解：∵在反比例函数中，k＝﹣4＜0，
∴函数图象在二、四象限，且每一象限y随x的增大而增大，
∵A（﹣3，a）、B（1，b）、C（2，c），
∴A在第二象限，B，C在第四象限，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∵1＜2，
∴b＜c＜0，
∴a＞c＞b，
故答案为：a＞c＞b．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解题关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质与比例系数k的关系．
29．（2024 徐州）2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为 　5.146×109　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：5146000000＝5.146×109．
故答案为：5.146×109．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
30．（2024 徐州）若mn＝2，m﹣n＝1，则代数式m2n﹣mn2的值等于 　2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】将原式变形后代入数值计算即可．
【解答】解：∵mn＝2，m﹣n＝1，
∴m2n﹣mn2
＝mn（m﹣n）
＝2×1
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．
31．（2024 宿迁）要使有意义，则实数x的取值范围是 　x≥1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式有意义的条件进行解答即可．
【解答】解：由二次根式有意义的条件可知，
x﹣1≥0，
即x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，即被开方数是非负数是正确解答的关键．
32．（2024 南通）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为 　　 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意画出图形，再利用45°特殊直角三角形求出菱形的高．
【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，
∵周长为20cm，
∴CD＝5cm，
∵∠BCD＝45°，
∴∠CDE＝45°，
∴高＝CE＝cm，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
33．（2024 南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的边长为，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为 　3　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点G作GH⊥AC于点H，证明△ABC是等腰直角三角形，△AGH是等腰直角三角形，证明△DGH≌△DEC（AAS），得GH＝DC，DH＝CE，设AH＝HG＝DC＝a，DH＝CE＝b，得2a+b＝5，a2+b2＝（）2，求出a的值，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，过点G作GH⊥AC于点H，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，AB＝AC＝5，
∵GH⊥AC，
∴△AGH是等腰直角三角形，
∴AH＝HG，AG＝AH，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG＝DE，∠GDE＝90°，
∴∠GDH＝90°﹣∠EDC＝90°﹣∠DGH＝∠DEC，
在△DGH和△DEC中，
，
∴△DGH≌△DEC（AAS），
∴GH＝DC，DH＝CE，
∴AH＝HG＝DC，
设AH＝HG＝DC＝a，DH＝CE＝b，
∵正方形DEFG的边长为，
∴DE＝，
∵AC＝AH+DH+DC，DC2+CE2＝DE2，
∴2a+b＝5，a2+b2＝（）2，
将b＝5﹣2a代入a2+b2＝（）2整理得：a2﹣4a+4＝0，
解得a1＝a2＝2，
∴AH＝a＝2，
∴AG＝AH＝2，
∴BG＝AB﹣AG＝5﹣2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，代入法解二元二次方程，解一元二次方程，解决本题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．
34．（2024 南通）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：　k＝﹣1（答案不唯一）　 ．
【答案】k＝﹣1（答案不唯一）．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣4k＞0，解之即可得出k值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k＝4﹣4k＞0，
解得：k＜1．
故答案为：k＝﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
35．（2024 南通）分解因式：ax﹣ay＝　a（x﹣y）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题属于因式分解中的基础题，观察多项式的特点，直接运用提公因式法提取公因式a即可分解因式．
【解答】解：ax﹣ay＝a（x﹣y）．
【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．
36．（2024 常州）16的算术平方根是 　4　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，据此即可求得答案．
【解答】解：16的算术平方根是4，
故答案为：4．
【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
37．（2024 宿迁）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，以点E为圆心，EF长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正六边形的性质求出∠DEF的度数，再根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：如图，∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠DEF＝＝120°，
∴的长为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正六边形的性质以及弧长的计算方法是正确解答的关键．
38．（2024 宿迁）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 　　 ．
【答案】．
【分析】将方程组整理得，然后结合已知条件可得x﹣2＝3，2y＝﹣2，解方程即可．
【解答】解：将方程组整理得，
∵关于x、y的二元一次方程组的解是，
∴x﹣2＝3，2y＝﹣2，
解得：x＝5，y＝﹣1，
即关于x、y的方程组的解是，
故答案为：．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，将方程组进行正确的变形是解题的关键．
39．（2024 宿迁）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 　同位角相等，两直线平行　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
40．（2024 宿迁）一组数据6，8，10，x的平均数是9，则x的值为 　12　 ．
【答案】12．
【分析】根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数列式计算即可．
【解答】解：∵一组数据6，8，10，x的平均数是9，
∴，
解得x＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的计算公式．
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