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2025年春九年级数学中考复习《图形变换压轴题》解答题考前冲刺训练（附答案）
1．如图，在的方格纸中，所有标出的点均为格点，请按要求画图．
(1)如图1，作出关于点中心对称的；
(2)如图2，旋转得到．
①标出旋转中心点；
②在直线上找一点M，使得的周长最小．
2．如图，在矩形中，点是对角线上一动点（不与点，重合），过点作，分别交，于点，．连接，过点作，交射线于点，以线段，为邻边作矩形．
(1)若，，
①当时，求的长．
②求的值．
(2)连接，当时，求证：．
3．如图，在中，是边上的点，过点作交边于点，垂足为，过点作，垂足为，连接，经过点，，的与边另一个公共点为．
（1）连接，求证；
（2）若，，．
①当时，求的半径；
②当点在边上运动时，半径的最小值为___________．
4．已知，均为等腰直角三角形，
【观察发现】
（1）如图①，点，分别在线段，上，请直接写出与的数量关系；
【类比探究】
（2）如图②，将绕点顺时针旋转，连接，，且与所在的直线交于点．（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若，，在旋转的过程中，当直线时，则________．
5．在中，为上一点，将线段绕点沿逆时针旋转一定角度得到．连接．
(1)如图1，若，，，求的面积．
(2)如图2，将线段绕点沿顺时针方向旋转一定角度得到，连接．若为线段的中点，，求证：．
(3)如图3，在（1）问的条件下，为线段上一点，将沿翻折得到，取的中点，连接，．当取得最小值时，直接写出的值．
6．如图1，在中，，，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动．连接，作点关于的对称点，连接、，设点的运动时间为秒．

(1)如图2，当点与点重合时，与相交于点，求证：；
(2)当时，求的值，并求出点落在区域（含边界）内的时长；
(3)当所在直线垂直于的边时，求的值；
(4)当点运动停止后，平移使点落在中点，并绕点旋转使、分别与相交于点，（如图3）．若，请直接用含的式子表示的长．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点处，连接、BD．
（1）如图1，求证：∠DE＝2∠ABE；
（2）如图2，若点恰好落在BD上，求tan∠ABE的值；
（3）若AE＝2，求．
（4）点E在AD边上运动的过程中，∠CB的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE的长；若不存在，请说明理由．
8．在和中，，连接，，直线交于交 于．
（1）特例发现：如图1，，．推断∶①的值为__________；②的度数为__________．
（2）探究证明：如图2，若．判断的值及的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转，使点与点第一次重合，若，，，求的长．
9．如图1，正方形的边长为2，在中，（），，当时，恰好经过的中点G．

(1)如图2，连接，，则四边形为______形；
(2)将图1中的绕点B按顺时针方向旋转角度（），得到图3，连接，，求证：，；
(3)在（2）的旋转过程中，当C，F，E三点共线时，请直接写出线段的长度．
10．（1）观察猜想：如图①，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠EBD＝90°，AB＝BC，BE＝BD，连接AE，点F是AE的中点，连接CD、BF，当点D、B、C三点共线时，线段CD与线段BF的数量关系是_____，位置关系是_____
（2）探究证明：在（1）的条件下，将Rt△BDE绕点B顺时针旋转至图②位置时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请你就图②的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸：如图③，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠EBD＝90°，BC＝2AB＝8，BD＝2BE＝4，连接AE，点F是AE的中点，连结CD、BF，将△BDE绕点B在平面内自由旋转，请直接写出BF的取值范围，
11．如图1，正方形对角线、交于点，、分别为正方形边、上的点，交于点，为中点．
(1)请直接写出与的数量关系。
(2)若将绕点旋转到图2所示位置时，（1）中的结论是否成立，若成立请证明；若不成立，请说明理由；
(3)若，为中点，绕点旋转过程中，直接写出点与点的最大距离与最小距离之差。
12．在正方形ABCD中，过点B作直线l，点E在直线l上，连接CE，DE，其中，过点C作于点F，交直线l于点H．
（1）当直线l在如图①的位置时
①请直接写出与之间的数量关系______．
②请直接写出线段BH，EH，CH之间的数量关系______．
（2）当直线l在如图②的位置时，请写出线段BH，EH，CH之间的数量关系并证明；
（3）已知，在直线l旋转过程中当时，请直接写出EH的长．
13．有如下一道作业题：
如图1，四边形是菱形，且，以为顶点作顶角为120°的等腰，且，，在一条直线上，连结，．
求证：．
（1）请你完成这道题的证明．
（2）如图2，在菱形中，，点是边上一点，，且，连结，延长交于点，连结．
①求证：．
②把绕点顺时针旋转120°得到，连结（如图3）．求证：．
14．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系

(1)思路梳理：
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证_________，故之间的数量关系为_________．
(2)类比引申：
如图2，点E、F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系为_________，并给出证明．
(3)联想拓展：
如图3，在中，，点D、E均在边上，且．若，直接写出和的长．
15．在中，，．
(1)如图1，点E在上（不与点A，B重合），连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，．
①求证：；
②若，，求的长．
(2)如图2，若点E在外，且，将绕点C逆时针旋转，得到，连接交于点G，射线与射线相交于点H．求证：．
16．【探究】（1）如图1，在四边形中中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系．他的结论是　　　　　　．

【拓展】（2）如图2，已知是等腰直角三角形，．将三角板的角的顶点与点C重合，使这个角落在的内部，两边分别与斜边交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在的内部旋转，在点E、F的位置发生变化时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【实际应用】（3）如图2，在四边形中，，，若，则四边形的面积为__________．
17．如图，四边形是菱形，边长为2，，点是射线上一动点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．

(1)如图1，当点恰好为中点时，直接写出线段与的数量关系为______________；
(2)当点不是中点时，如图2，（1）中的结论是否还成立？说明理由；
(3)连接，当时，请直接写出四边形的面积．
18．在△ABC中，AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．
（1）发现问题
如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是　 　；
（2）类比探究
如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明；
（3）迁移应用
如图3，在△ABC中，AC＝2，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，P是线段BC上的任意一点．连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转45°，得到线段AQ，连接BQ，试求线段BQ长度的最小值．
19．综合与探究：
问题情境：数学课上，老师利用两块含角的全等三角尺进行图形变换操作探究，其中，．

操作探究：
（1）将两个三角尺按如图1的方式在同一平面内放置，其中与重合，此时，，三点共线，点在点异侧，求线段的长；
操作探究2
（2）在图1的基础上进行了如下的操作：三角尺保持不动，将三角尺绕点顺时针方向旋转角度，射线和交于点，如图2，认真分析旋转的过程中，解决下列问题：
①在旋转过程中，当_________时，；
②连接，求证：．
20．（1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，H是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是中点，若，求点运动的路径长．
参考答案
1．（1）解：如图为所求，
（2）①如图点为所求，
②过点C作的对称点H，连接，与的交点即为M，使得的周长最小，如图；
2．（1）解：①在矩形中，，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
；
②，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：由（1）②得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
3．解：（1）证明：如图，
∵，，
∴，
在中，，
∴．
又∵，
∴．
∵四边形是的内接四边形，
∴．
又∵，
∴，
又∵，
∴．
（2）①连接，如图，
∵，
∴，
∴．
中，，
∴，
∵，
∴．
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
在中，，
∴，
∴，
∵点在上，且，
∴是的直径，
∴．
②解题思路同①，设，则，，，
则
，
当时，有最小值，最小值为8，
则的最小值为，半径的最小值为．
故答案为：
4．（1）解：．
理由如下：∵，均为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴ ．
（2）（1）中的结论还成立．
理由如下：∵，均为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
(3)当点在点右侧时，如图，设与直线的交点为，
∵，是等腰直角三角形，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点在点左侧时，如图，设与直线的交点为，
同理可求，
∴，
∴，
综上所述：或．
5．（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由旋转知，
∴，
过作于，
∴，
∵在中， ，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：延长到，使，连接，
∵是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
由旋转知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：如图，取中点，连接，
∵为中点，
∴，
由翻折得，
∴，
由点为定点，可知点的运动轨迹为过点且的直线上部分，
如图，作点关于直线的对称点，连接，
则，
∴，当且仅当、、依次共线时取得最小值，
此时，如图，延长交于点，交于点，连接，设交于，延长交于，
由翻折知，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
由对称可知，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，为中点，
∴，即，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
6．（1）证明：点和点关于对称，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图，当时，由题意可知，，

，
，，
，
设，，
在中，，
，
，
，
；
当点在上时，由轴对称的性质可知，，
，
；
当点在上时，由轴对称的性质可知，，，

，
四边形是菱形，
，
，
，
，
点落在区域（含边界）内的时长为；
（3）解：由题意得：，
①如图，当时，，过点作于点，

点和点关于对称，
，
，，
，
，
，
设，则，
，
，即，
，
，
，
；
②如图，当时，由轴对称的性质可知，，，

，
设，，
，
，
，，
设，则，
，
，
，
，即，
，
；
③如图，当时，令与相交于点，延长交于点，

四边形时平行四边形，
，
，即，
同理可得，，，，，
，
，
，
，
，，
，此时点与点重合，
，
，
综上可知，当所在直线垂直于的边时，的值为或或；
（4）解：如图，连接，过点作于点，

由轴对称的性质可知，，，
，
，
，
设，，
，
，
，，
，
，
，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
．
7．(1)证明：由折叠的性质知：∠AEB＝∠A'EB，
∴∠AEB＝(180°﹣∠A'ED）＝90°﹣∠A'ED，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣(90°﹣∠A'ED)＝∠A'ED，
∴∠A'ED＝2∠ABE；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝8，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD＝＝10，
设AE＝x，则DE＝AD﹣AE＝8﹣x，
由折叠的性质知：A'E＝AE＝x，A'B＝AB＝6，∠BA'E＝∠A＝90°，
∴A'D＝BD﹣A'B＝4，
∴∠DA'E＝90°，
在Rt△DA'E中，根据勾股定理得：DE2﹣A'E2＝A'D2＝16，
即（8﹣x）2﹣x2＝16，
解得：x＝3，
∴AE＝3，
在Rt△ABE中，tan∠ABE＝；
(3)解：过A'作MN⊥AD，交AD于M，交BC于N，如图3所示：
则MN⊥BC，MN＝AB＝6，∠A'ME＝∠BNA'＝90°，
∴∠EA'M+∠A'EM＝90°，
由折叠的性质可知：A'E＝AE＝2，A'B＝AB＝6，∠BA'E＝∠A＝90°，
∴∠EA'M+∠BA'N＝90°，
∴∠A'EM＝∠BA'N，
∴△A'EM∽△BA'N，
∴，
设A'M＝x，则BN＝3x，A'N＝6﹣x，
在Rt△A'BN中，由勾股定理得：A'N2+BN2＝A'B2，
即（6﹣x）2+（3x）2＝62，
解得：x＝1.2或x＝0（舍去），
∴A'N＝6﹣1.2＝4.8，
∴S△A′CB＝BC×A'N＝×8×4.8＝19.2；
(4)解：∠A′CB的度数存在最大值，理由如下：
如图1，过点B作BF⊥CA'交CA'的延长线于F，
在Rt△BFC中，sin∠A'CB＝，
∴BF越大时，sin∠A'CB越大，即∠A'CB越大，
当点E在边AD上运动时，点A'与F重合时，BF最大＝A'B＝AB＝6，
∴A'B⊥A'C，
∴∠BA'C＝90°，
由折叠知，∠BA'E＝∠A＝∠D＝90°，
∴点A'在CE上，如图4所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝90°，CD＝AB＝6，
根据三角形面积得，S△BCE＝BC AB＝CE A'B，
∵A'B＝AB，
∴CE＝BC＝8，
在Rt△CDE中，根据勾股定理DE＝，
∴AE＝AD﹣DE＝8﹣2．
8．解：（1）∵
∴
在和中
∴
∴，
∴
又∵
∴
∴
故答案为，．
（2），．
理由如下：∵，
∴，
即．
∵，
∴，
∴，，
∴
．
（3）∵，，，
∴，
在中，，
在中，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
9．（1）解：，，
，
是中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
是正方形，
故答案为：正方；
（2）证明：如图，延长交于点，

，
，
在和中
，
，
，，
，
，
，即；
（3）若不动，将正方形绕点按顺时针旋转，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图：

当点C在延长线上时，
正方形边长为2，
，，
，
，
当点在延长线上时，
同理可知：，
由（2）可知：，
或．
10．解：（1）如图①，Rt△ABC与Rt△DBE都是等腰直角三角形，AB=BC，DB=EB，∠ABC=∠DBE=90°，点E、B、C三点共线，设AB=BC=m，DB=EB=n，
∴BF⊥CD，A、E、B三点共线，
∵点F是AE的中点，
∴,
∴,
∵AE=AB-BE=m-n，
∴，
∵CD=BC+BD=m+n，
∴，CD=2BF，
故答案为：CD=2BF，BF⊥CD；
（2）BF⊥CD，CD=2BF成立，证明：
∵△ABC与△DBE都是等腰直角三角形，
∴AB=BC，DB=EB，∠ABC=∠DBE=90°，
如图②，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBG，点E、F的对应点分别是G、H，连BH，
则△ABE≌△CBG，BE=BG，AE=CG，BF=BH，∠FBH=∠EBG=90°，AF=CH，EF=GH，
∴BF⊥BH，
∵AF=EF，
∴CH=GH，
∵∠DBE=90°，
∴∠DBE+∠EBG=180°，
∴D、B、G三点共线，
∴BH∥CD，，
∴BF⊥CD，，即CD=2BF，
∴BF⊥CD，CD=2BF成立；
（3）∵△ABC与△DBE都是直角三角形，BC＝2AB＝８，DB=2EB＝４，∠ABC=∠DBE=90°，
如图③，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△IBG，点A、E、F的对应点分别是I、G、H，连BH，
则△ABE≌△IBG，AB=IB，BE=BG，AE=IG，FB=BH，∠FBH=∠EBG=90°，AF=IH，EF=GH，
∴BC=2BI，
∵BC=BI+CI，
∴BI=CI，
取BD中点J，连接IJ，则，
∴，
∵AF=EF，
∴IH=GH，
∵∠DBE=90°，
∴∠DBE+∠EBG=180°，
∴D、B、G三点共线，
∵BE=BJ，
∴BG=BJ，
∴，
∴，
当点D在CB延长线上时，CD=BC+BD=8+4=12，
∴BF=3，
当点D在线段BC上时，CD=BC-BD=8-4=4，
∴BF=1，
故．
11．（1）解：，理由如下：
如图1，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵为中点
∴，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴即点是的中点，
同理，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：成立；理由如下：
如图1，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图2，连接交于点G，交于点H，交于点I，
由旋转得，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴；
（3）如图1，∵，为中点，
∴，
如图3，连接，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为，的最小值为，
∵，
∴的最大值和最小值的差为，
∴点M与点C的最大距离和最小距离的差为．
12．解：（1）①
∵CE=BC，四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD=CE，
∵CF⊥DE，
∴CF平分∠ECD，
∴∠ECH=∠HCD，
故答案为：∠ECH=∠HCD；
②，过点C作CG⊥BE于G，
∵BC=EC，
∴∠ECG=∠BCG=，
∵∠ECH=∠HCD=，
∴∠GCH=∠ECG+∠ECF=+，
∴∠GHC=180°-∠HGC+∠GCH=180°-90°-45°=45°，
∴CG=HG，
在Rt△GHC中，
∴，
∵GE=，
∴GH=GE+EH=，
∴，
∴，
∴，
故答案是：；
（2），
证明：过点C作交BE于点M，
则，
∴ ，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
（3）或，
∵，分两种情况，
当∠ABE=90°-15°=75°时，
∵BC=CE，
∴∠CBE=∠CEB=15°，
∴∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB==180°-15°-15°=150°，
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=150°=90°=60°，
∵CE=CD，
∴△CDE为等边三角形，
∴DE=CD=AB=2，∠DEC=60°，
∴∠FEH=∠DEC=∠CEB=60°-15°=45°，
∵CF⊥DE，
∴DF=EF=1，∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°，
∴EF=HF=1，
∴HE=，
当∠ABE=90°+15°=105°，
∵BC=CE，∠CBE=∠CEB=15°，
∴∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB=150°，
∴∠DCE=360°-∠DCB-∠BCE=120°，
∵CE=BC=CD，CH⊥DE，
∴∠FCE=，
∴∠FEC=180°-∠CFE-∠FCE=30°，
∴CF=，
∴EF=，
∵∠HEF=∠CEB+∠CEF=15°+30°=45°，
∴∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°=∠FEH，
∴FH=FE，
∴EH=，
∴或．
13．证明：（1）∵四边形为菱形，，
∴，，
∵是顶角为120°的等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴．
（2）①如图2（1），以点为顶点作交于点，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即,
∴,
∴，
∵，
∴.
②如图3，在上截取，连接CE，
∵，，，
∴，
∴，
∵BE=DF， ，BC=CD，
∴，
∴∠BCE=∠DCF，
∴，
∴，，
∵绕点顺时针旋转120°得到，
∴是顶角为120°的等腰三角形,
∴，且,
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴,
∵，
∴．
14．（1）解：如图1，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，即，
由旋转得：，，，，
，
即点、、共线，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
故答案为：，；
（2）如图2，，理由是：
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，则在上，

由旋转得：，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）如图3，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，，

由旋转得：，，，
，，
，
，
，
，，
由勾股定理得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
过A作，垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∴．
15．（1）①证明：，
，
即，
在与中，
；
②，
，，
，，
，
，
，，
，
在中，
；
（2）（2）如图，连接，
，
，
即，
又，
，
，
，
，
，
，
，
．
16．（1）解：结论是：，理由如下：
延长到点G，使，连接，
，
，
在和中
，
，
，，
，，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
将绕点C逆时针旋转得，连接，
，，
，
，
，
，
在和中
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
在中，，
，
．
（3）解：过点A作垂足为M，作，交延长线于点N，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
四边形面积=四边形面积=．
17．（1）解：，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴ 平分 ，
∵点恰好为中点，
在菱形 中，
根据旋转的性质得，，
故答案为：
（2）解：（1）中结论成立
理由如下：
方法1：连接
四边形是菱形，
是等边三角形，
线段转得到，
是等边三角形，
，

菱形的对角线互相垂直平分，
是的垂直平分线，
点在射线上，
，
又是等边三角形，
，
；
方法2：连接交于点，
四边形是菱形，

与都是等边三角形，
，
线段转得到，
，
是等边三角形，
，
又，
，
，
，
又是等边三角形，
，
是的垂直平分线，
，
又
；
方法3：
提示：作，证，

可得
，
是的垂直平分线，
（3）解：如图 3 ，连接 交 于点 ，则 ，

设 交 于点 ，
∵ 是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在 和 中，
，
，
在 中，
18．解：（1）由旋转知：AQ=AP，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ-∠BAP=∠BAC-∠BAP，
∴∠BAQ=∠CAP，
∵AB=AC，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ=PC，
故答案为：BQ=PC；
（2）结论：BQ=PC依然成立，
理由：由旋转知，AQ=AP，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ-∠BAP=∠BAC-∠BAP，
∴∠BAQ=∠CAP，
∵AB=AC，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ=PC；
（3）如图3，在AC上取一点E，使AE=AB，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=45°，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ-∠BAP=∠BAC-∠BAP，
∴∠BAQ=∠CAP，
在△ABQ和△AEP中，
，
∴△ABQ≌△AEP（SAS），
∴BQ=EP，
要使BQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，
∴当EP⊥BC时（点P与点F重合时），EP最小，
在Rt△ABC中，AC=2，∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴AB=AC sin∠ACB=2×sin45°=，
∴AE=AB=，
∴CE=AC-AE=2-，
∴EF=CE sin∠ACB=（2-）×=-1，
故线段BQ的长度最小值是-1．
19．解：在中，，
，
．
，
．
在中，由勾股定理得，
，
，
．

（2）①解：，，
当时，，此时．
②证明：由题可知，
，
，
．
20．解：（1），且．理由如下：
∵正方形和正方形，
∴
∴；
设正方形的边长为a，正方形的边长为b，
根据题意，得；
∵H是中点，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）结论仍然成立．理由如下，
延长到点P，使得，连接，延长二线交于点Q，
∵H是中点，
∴，，
∴，
∵正方形和正方形，
∴，，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，，
∴，，
故．
（3）如图，延长到点Q，使得，连接，
根据三角形中位线定理，得到，
∵矩形和矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
取的中点O，
连接，
∵是中点，
∴，
根据圆的定义，判定点H在以点O为圆心，以为半径的圆上，
∴其周长为．

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