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【期末押题卷一】2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2023春 许昌期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人都中靶的概率为（　　）
A．0.26 B．0.98 C．0.72 D．0.9
2．（2024秋 凉山州期末）已知，且∥，则x等于（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
3．（2024秋 和平区期末）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（　　）
A．若m∥α，n α，则m∥n B．若m∥α，α∥β，则m∥β
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
4．（2024春 鼓楼区校级期末）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与都是红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球
D．至少有一个黑球与至少有一个红球
5．（2025春 武强县校级期末）底面圆周长为2π，母线长为4的圆锥内切球的体积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025春 武强县校级期末）水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝4，B′C′＝3，则△ABC的面积是（　　）
A．6 B．10 C．12 D．24
7．（2022春 琼海校级期末）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，则“acosB＝bcosA”是“△ABC是等腰三角形”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（2023春 阳泉期末）已知复数，且z1＝z2，则λ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．[1，7]
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 湘潭期末）已知角α的终边经过点（3，﹣4），则（　　）
A． B．
C． D．
（多选）10．（2023春 赣州期末）已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点．若z1i（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（　　）
A．z2的虚部为 B．点B在第二象限
C． D．
（多选）11．（2023秋 赣州期末）有一组互不相等的样本数据x1，x2，…，x6，平均数为，若随机删去其中一个数据，得到一组新数据，记为y1，y2，…，y5，平均数为，则（　　）
A．新数据的极差可能等于原数据的极差
B．新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C．若，则新数据的方差一定大于原数据方差
D．若，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 湘潭期末）cos87°cos57°+sin87°sin57°的值为 　 　 ．
13．（2025春 武强县校级期末）已知满足，若在方向上的投影向量为，则　 　 ．
14．（2024春 平阳县校级期末）如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，则四棱锥A﹣B1BCC1的体积为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2021春 嘉定区校级期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosB＝2a﹣b，
（Ⅰ）求∠C的大小；
（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．
16．（2021春 济宁期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，PA＝AD＝CD＝2AB，M为PC的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：BM⊥平面PCD．
17．（2024秋 汉中期末）质量监督局检测某种产品的三个质量指标x，y，z，用综合指标Q＝x+y+z核定该产品的等级．若Q≤5，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5
质量指标 （x，y，z） （1，1，2） （2，1，2） （2，2，2） （1，3，1） （1，2，3）
产品编号 A6 A7 A8 A9 A10
质量指标 （x，y，z） （1，2，2） （2，3，1） （3，2，1） （1，1，1） （2，1，1）
（1）利用表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足Q≤4”，求事件B的概率．
18．（2024秋 黑龙江期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．
（1）求角C；
（2）若的面积为，求△ABC的周长．
19．（2024春 上饶期末）如图1，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△PAB沿AB边折起，使PC＝3，连接PD，如图2，
（1）证明：AB⊥PC；
（2）求异面直线BD与PC所成角的余弦值；
（3）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【期末押题卷一】2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D C C C A B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD BD AC
一．选择题（共8小题）
1．（2023春 许昌期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人都中靶的概率为（　　）
A．0.26 B．0.98 C．0.72 D．0.9
【解答】解：∵甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，
∴两人都中靶的概率为0.8×0.9＝0.72．
故选：C．
2．（2024秋 凉山州期末）已知，且∥，则x等于（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【解答】解：∵（﹣1，3），（x，﹣1），且 ∥，
∴﹣1×（﹣1）﹣3x＝0，
∴x．
故选：C．
3．（2024秋 和平区期末）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（　　）
A．若m∥α，n α，则m∥n B．若m∥α，α∥β，则m∥β
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
【解答】解：若m∥α，n α，则m∥n或m与n异面，故A错误；
若m∥α，α∥β，则m∥β或m β，故B错误；
若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n α，故C错误；
若m∥β，过m作平面γ交β于n，则m∥n，
又m⊥α，则n⊥α，可得α⊥β，故D正确．
故选：D．
4．（2024春 鼓楼区校级期末）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与都是红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球
D．至少有一个黑球与至少有一个红球
【解答】解：对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确；
对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是红球”不可以同时发生，对立，∴B不正确；
对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确；
对于D：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴D不正确．
故选：C．
5．（2025春 武强县校级期末）底面圆周长为2π，母线长为4的圆锥内切球的体积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知，圆锥的母线l＝4，底面半径r＝1，
根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如图所示：
根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆O，即为等腰△ABC的内切圆，
即OE⊥AC，AD⊥BC，OD＝OE，CD＝CE，
在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，由AC＝l＝4，CD＝r＝1，则，
在Rt△AOE中，AE2+OE2＝AO2，即（AC﹣CE）2+OE2＝（AD﹣OD）2，
可得，解得，即内切球的半径，
故内切球体积为．
故选：C．
6．（2025春 武强县校级期末）水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝4，B′C′＝3，则△ABC的面积是（　　）
A．6 B．10 C．12 D．24
【解答】解：由斜二测画法可知，AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，
其中AC＝A′C′＝4，BC＝2B′C′＝6，
所以△ABC的面积是12．
故选：C．
7．（2022春 琼海校级期末）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，则“acosB＝bcosA”是“△ABC是等腰三角形”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由正弦定理可得：，若acosB＝bcosA，则tanB＝tanA，∵A，B为三角形的内角，∴A＝B．
∴a＝b，即△ABC是等腰三角形．
反之不成立，可能a＝c或b＝c．
∴“acosB＝bcosA”是“△ABC是等腰三角形”充分不必要条件．
故选：A．
8．（2023春 阳泉期末）已知复数，且z1＝z2，则λ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．[1，7]
【解答】解：复数，且z1＝z2，
所以，
则，
因为θ∈R，所以sinθ∈[﹣1，1]，
当时，，当λ＝﹣1时，λmax＝7，
所以λ的取值范围是．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 湘潭期末）已知角α的终边经过点（3，﹣4），则（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：角α的终边经过点（3，﹣4），
由题意得sin，cos，tan，
所以．
故选：BCD．
（多选）10．（2023春 赣州期末）已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点．若z1i（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（　　）
A．z2的虚部为 B．点B在第二象限
C． D．
【解答】解：因为z1i对应的点（，），|z1|＝1，
设向量与x轴正方向的夹角为θ，则tanθ，即，
向量绕绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，
所以（2cos（），2sin（）＝（﹣1，），
则z2＝﹣1，即z2的虚部为，A错误；
点B（﹣1，）在第二象限，B正确；
因为z1+z2（）i，
所以|z1+z2|，C错误；
因为||2，D正确．
故选：BD．
（多选）11．（2023秋 赣州期末）有一组互不相等的样本数据x1，x2，…，x6，平均数为，若随机删去其中一个数据，得到一组新数据，记为y1，y2，…，y5，平均数为，则（　　）
A．新数据的极差可能等于原数据的极差
B．新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C．若，则新数据的方差一定大于原数据方差
D．若，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若删除的数据既不是最大值，也不是最小值，则新数据的极差等于原数据的极差，A正确；
对于B，数据x1，x2，…，x6，假设x1＜x2＜…＜x6，其中位数为（x3+x4），一定不在x1，x2，…，x6，之中，随机删去其中一个数据，得到一组新数据，所得数据的中位数是y1，y2，…，y5一个，故新数据的中位数不会等于原数据的中位数，B错误；
对于C，若，则删除的数据恰好为原来数据的平均数，由方差的计算公式，新数据的方差一定大于原数据方差，C正确；
对于D，假设原来数据为1、2、3、4、5、6，若，则删除的数据恰好为原来数据的平均数，即删除的数据为3，
新数据为1、2、4、5、6，原来数据的第40百分位数3，新数据的第40百分位数为3，D错误．
故选：AC．
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 湘潭期末）cos87°cos57°+sin87°sin57°的值为 　　 ．
【解答】解：原式＝cos（87°﹣57°）＝cos30°．
故答案为：．
13．（2025春 武强县校级期末）已知满足，若在方向上的投影向量为，则　　 ．
【解答】解：由已知得，，则，
因为，所以，所以．
故答案为：．
14．（2024春 平阳县校级期末）如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，则四棱锥A﹣B1BCC1的体积为 　　 ．
【解答】解：由题意可得：正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，
三棱锥A﹣A1B1C1的体积，
所以四棱锥A﹣B1BCC1的体积．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2021春 嘉定区校级期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosB＝2a﹣b，
（Ⅰ）求∠C的大小；
（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．
【解答】解：（1）根据题意，在△ABC中，2ccosB＝2a﹣b，
则2sinCcosB＝2sinA﹣sinB，变形可得2sinCcosB＝2sin（B+C）﹣sinB，
则有2sinBcosC＝sinB，即，
则；
（Ⅱ）取BC中点D，则，
在△ADC中，AD2＝AC2+CD2﹣2AC CDcosC，
即，
所以ab≤8，当且仅当a＝2b＝4时取等号．
此时，其最大值为．
16．（2021春 济宁期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，PA＝AD＝CD＝2AB，M为PC的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：BM⊥平面PCD．
【解答】证明：（Ⅰ）取PD中点N，连接MN，AN，
∵M为PC的中点，∴MN∥CD，且MNCD，
又AB∥CD，且CD＝2AB，
∴MN∥AB且MN＝AB，
∴四边形ABMN是平行四边形，∴BM∥AN，
∵BM 平面PAD，AN 平面PAD，
∴BM∥平面PAD．
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，CD 底面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵∠ADC＝90°，即CD⊥AD，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AN 平面PAD，∴AN⊥CD，
∵PA＝AD，PD中点为N，∴AN⊥PD，
又∵PD∩CD＝D，∴AN⊥平面PDC，
∵BM∥AN，∴BM⊥平面PDC．
17．（2024秋 汉中期末）质量监督局检测某种产品的三个质量指标x，y，z，用综合指标Q＝x+y+z核定该产品的等级．若Q≤5，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5
质量指标 （x，y，z） （1，1，2） （2，1，2） （2，2，2） （1，3，1） （1，2，3）
产品编号 A6 A7 A8 A9 A10
质量指标 （x，y，z） （1，2，2） （2，3，1） （3，2，1） （1，1，1） （2，1，1）
（1）利用表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足Q≤4”，求事件B的概率．
【解答】解：（1）根据题意，计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
S 4 5 6 5 6 5 6 6 3 4
其中Q≤5的有A1，A2，A4，A6，A9，A10共6件，故该样本的一等品率为，
从而估计该批产品的一等品率为0.6．
（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为：{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A6}，{A1，A9}，{A1，A10}，
{A2，A4}，{A2，A6}，{A2，A9}，{A2，A10}，{A4，A6}，
{A4，A9}，{A4，A10}，{A6，A9}，{A6，A10}，{A9，A10}共15种．
在该样本的一等品中，综合指标均满足Q≤4的产品编号分别为A1，A9，A10，
则事件B发生的所有可能结果为A1，A9}，{A1，A10}，{A9，A10}共3种，
所以．
18．（2024秋 黑龙江期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．
（1）求角C；
（2）若的面积为，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）∵，（a，c﹣b），（sinC+sinB，sinA+sinB），
∴a（sinA+sinB）＝（c﹣b）（sinC+sinB），
∴由正弦定理得a（a﹣b）＝（c﹣b）（c+b），
即a2+b2﹣c2＝﹣ab，
由余弦定理得，
又C∈（0，π），
则；
（2）由（1）得a2+b2﹣c2＝﹣ab，
∴（a+b）2﹣ab＝c2＝18，
又，
则ab＝6，
∴（a+b）2＝18+ab＝24，即，
∴△ABC的周长为．
19．（2024春 上饶期末）如图1，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△PAB沿AB边折起，使PC＝3，连接PD，如图2，
（1）证明：AB⊥PC；
（2）求异面直线BD与PC所成角的余弦值；
（3）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：连接PM，因为△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，所以PM⊥AB．
因为四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以CM⊥AB，
因为PM∩MC＝M，PM，MC 平面PMC，
所以AB⊥平面PMC，
因为PC 平面PMC，
所以AB⊥PC；
（2）解：在PM上取点Q，使得PQ＝2QM，设DB∩MC＝F，连接NF，BQ，QF，
因为BM∥CD，所以，
在△PMC中，，所以QF∥PC，
所以∠BFQ或其补角为异面直线BD与PC所成的角，
因为，所以，
又，
，
在△BFQ中，由余弦定理得，
所以异面直线BD与PC所成角的余弦值为；
（3）解：假设线段PD上存在点N，使得PB∥平面MCN，
因为PB∥平面MNC，PB 平面PBD，平面PBD∩平面MNC＝NF，
所以PB∥NF，又，所以，
所以线段PD上存在点N，使得PB∥平面MNC，且PN．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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