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【押题预测卷】北京市各地区真题重组训练-2025年中考数学
一．选择题（共8小题）
1．（2025 东城区二模）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025 东城区二模）若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．b＜a B．ab＜0 C．|b|＜|c| D．a+c＜0
3．（2025 中原区校级三模）如图，直线AB和CD相交于点O，直线EF⊥AB，垂足为O，若∠AOD＝140°，则∠COF的大小为（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
4．（2024 海淀区一模）现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为，，．若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025 海淀区校级模拟）在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到15.81亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（　　）
A．1.581×109元 B．1.581×1010元
C．5.027×108元 D．5.27×108元
6．（2025 东城区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE交AC于点F，连接BF．下列说法中，错误的是（　　）
A．AF＝BF B．BF是∠ABC的平分线
C． D．S△ABF＝3S△BCF
7．（2025 房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别为，点P是线段AB上的动点，连接PC，过点P作PQ⊥PC，交y轴于点Q．则点Q纵坐标t的取值范围是（　　）
A． B．﹣1≤t≤5 C． D．
8．（2015 昌平区二模）如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（　　）
A．2 B．4 C． D．2
二．填空题（共8小题）
9．（2025 东城区校级模拟）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
10．（2024 海淀区校级二模）方程的解为 　 　 ．
11．（2025 福州模拟）因式分解：a2﹣a＝　 　 ．
12．（2024 北京一模）某班级计划利用暑假去研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包．活动负责人征求了全班40名同学的意向，得到如下数据：
容量/L 23 25 27 29 31 33
人数/人 4 3 5 23 3 2
为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量为 　 　 L．
13．（2025 房山区二模）在△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，若AB＝3.5，CD＝6，BD＝3．则DE的长为 　 　 ．
14．（2025 房山区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB＝22.5°，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点D．若DE＝DA，CD＝5，连接OE，则OE的长为 　 　 ．
15．（2025 石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点A（2，3），当x＞2时，y的取值范围是　 　 ．
16．（2025 丰台区二模）如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，AE，BD相交于点F，DF＝DE．若AB＝1，则CE的长为 　 　 ．
三．解答题（共10小题）
17．（2025 东城区二模）计算：．
18．（2025 东城区二模）已知3a2+2a＝1，求代数式3a（a+2）+（a﹣2）2﹣（a﹣1）（a+1）的值．
19．（2025 东城区二模）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为线段OD上一点，且AE＝CE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝BE＝5，tan∠CAE，求AC的长．
20．（2025 房山区二模）4月23日是世界读书日，某校初一、初二两个年级的学生进行了“青春飞扬”读书演讲比赛．为了解比赛情况，现从两个年级各随机抽取了20名学生的比赛成绩，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．初二年级20名学生的分数数据如下：
77 82 85 88 76 87 69 93 66 84
90 88 67 88 91 96 68 97 59 88
b．初一年级20名学生分数的频数分布直方图如下（数据分5组：第1组50≤x＜60，第2组60≤x＜70，第3组70≤x＜80，第4组80≤x＜90，第5组90≤x＜100）：
c．样本数据的平均数、众数、方差如下：
平均数 众数 方差
初一年级 81.95 85 185.30
初二年级 81.95 a 115.25
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中a的值为　 　 ；
（2）抽取的初一年级20名学生的中位数位于第　 　 组；
（3）可以推断出　 　 （填“初一”或“初二”）年级学生在本次比赛中发挥比较稳定；
（4）初二年级共有学生600人，如果前120名学生将被推荐参加区级比赛，请你估计，成绩至少达到　 　 分才能参加区级比赛．
21．（2025 东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象过点（0，2）和（1，3）．
（1）求k，b的值；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y1＝kx+b的值与函数y2＝mx（m≠0）的值之和都大于6，直接写出m的取值范围．
22．（2025 东城区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知OE，CD＝9，求⊙O的半径．
23．（2025 石景山区二模）乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长OB为274cm，球网CD高15.25cm．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分．
某次训练，发球机从球台边缘O点正上方28.75cm的高度A处发球（即OA的长为28.75cm），乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm），测得几组数据如下：
水平距离x/cm 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度y/cm 28.75 33 45 49 n 33 0
根据以上数据，解决下列问题：
（1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是　 　 cm，表格中n的值为　 　 ；
（2）求出满足条件的函数表达式；
（3）若发球机的发球高度增加15cm，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后　 　 落到对面球台上（填“能”或“不能”）．
24．（2025 石景山区二模）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点（不与点A，B重合），线段DC绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接BE．
（1）求∠ABE的度数．
（2）如图2，连接AE，F是AE中点，H是BC中点，连接FD，FH，用等式表示线段FD与FH的数量关系，并证明．
25．（2025 丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点C和⊙O的弦AB，给出如下定义：点C向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C′，若点C′在弦AB上，且不与点A，B重合，则称点C是弦AB的“伴随点”．
（1）如图，点A（0，1），B（﹣1，0），在点（2，0）中，弦AB的“伴随点”是　 　 ；
（2）已知D是直线y＝x上一点，且存在⊙O的弦EF＝1，使得点D是弦EF的“伴随点”．记点D的横坐标为t，直接写出t的取值范围；
（3）已知点．对于线段MN上任意一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“伴随点”，将点S对应的弦PQ的长度的最小值记为d，直接写出d的最大值及m的取值范围．
26．（2025 朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙Q和⊙Q外一点P，给出如下定义：若⊙Q的一条弦MN绕点P旋转α得到的线段仍然是⊙Q的一条弦，则称点P是⊙Q的“α﹣旋称点”，此时的MN是⊙Q关于点P的一条“α﹣旋称弦”．
（1）如图1，⊙O的半径为2．
①在点（2，﹣2）中，⊙O的“90°﹣旋称点”可以是 　 　 ；
②弦AB的长为2，AB∥y轴．若AB是⊙O关于点C的“90°﹣旋称弦”，直接写出点C的坐标；
（2）如图.若点A，B，C都是⊙Q的“60°﹣旋称点”，且△ABC的边上存在⊙Q关于点A，B，C的“60°﹣旋称弦”，直接写出点Q的坐标，和⊙Q的半径r的取值范围．
【押题预测卷】北京市各地区真题重组训练-2025年中考数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B B D D A D
一．选择题（共8小题）
1．（2025 东城区二模）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
B．图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
C．图形是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意；
D．图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
2．（2025 东城区二模）若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．b＜a B．ab＜0 C．|b|＜|c| D．a+c＜0
【解答】解：观察数轴可知：a＜b＜0＜c，|a|＞|b|＞|c|，
∴ab＞0，a+c＜0，
∴A、B、C选项不正确，D选项正确，
故选：D．
3．（2025 中原区校级三模）如图，直线AB和CD相交于点O，直线EF⊥AB，垂足为O，若∠AOD＝140°，则∠COF的大小为（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【解答】解：∵EF⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOD＝∠DOE+∠AOE，
∠AOD＝140°，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝140°﹣90°＝50°，
∵直线AB和CD相交于点O，
∴∠COF＝∠DOE＝50°．
故选：B．
4．（2024 海淀区一模）现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为，，．若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：三张扑克牌分别用A、B、C表示，列表如下：
A B C
A （B，A） （C，A）
B （A，B） （C，B）
C （A，C） （B，C）
共有6种等可能的情况数，其中抽取的两张牌花色相同的有2种情况，
则抽取的两张牌花色相同的概率为．
故选：B．
5．（2025 海淀区校级模拟）在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到15.81亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（　　）
A．1.581×109元 B．1.581×1010元
C．5.027×108元 D．5.27×108元
【解答】解：∵15.81亿元＝1.581×109元，
∴这部电影在上映前三日平均每天的票房为1.581×109÷3＝5.27×108（元）．
故选：D．
6．（2025 东城区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE交AC于点F，连接BF．下列说法中，错误的是（　　）
A．AF＝BF B．BF是∠ABC的平分线
C． D．S△ABF＝3S△BCF
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
由作图可知DE垂直平分线段AB，
∴AF＝BF，故选项A正确，不符合题意，
∴∠FBA＝∠A＝30°，
∴∠CBF＝∠ABF＝30°，
∴BF是∠ABC的平分线，CFBF，故选项B，C正确，不符合题意；
∴AF＝BF＝2CF，
∴S△ABF＝2S△CBF，故选项D错误，符合题意，
故选：D．
7．（2025 房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别为，点P是线段AB上的动点，连接PC，过点P作PQ⊥PC，交y轴于点Q．则点Q纵坐标t的取值范围是（　　）
A． B．﹣1≤t≤5 C． D．
【解答】解：令点P的横坐标为m，
当时，延长BA交y轴于点N，过点C作AB的垂线，垂足为M，
∵∠CPQ＝90°，
∴∠QPN+∠MPC＝90°．
又∵∠MPC+∠PCM＝90°，
∴∠QPN＝∠PCM．
又∵∠PNQ＝∠CMP，
∴△PNQ∽△CMP，
∴，
即，
∴t＝（m）2，
当m时，t取得最小值为，
当m＝3时，t取得最大值1，
∴．
当3＜m≤4时，
显然当点P在点B时，点Q的纵坐标取得最大值．
同理可得，△PMQ∽△CNP，
∴，
∴，
解得t＝5，
∴1＜t≤5，
综上所述，t的取值范围是：．
故选：A．
8．（2015 昌平区二模）如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（　　）
A．2 B．4 C． D．2
【解答】解：连接OA，OB，
∵∠APB＝45°，
∴∠AOB＝2∠APB＝90°，
∵OA＝OB＝2，
∴AB2．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．（2025 东城区校级模拟）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　x　 ．
【解答】解：要使二次根式有意义，必须5x﹣1≥0，
解得：x，
所以x的取值范围是x．
故答案为：x．
10．（2024 海淀区校级二模）方程的解为 　x＝1　 ．
【解答】解：，
3x﹣1＝2x，
解得x＝1，
把x＝1，代入x （3x﹣1）＝1×（3×1﹣1）＝2≠0，
故x＝1是原方程的解．
故答案为：x＝1．
11．（2025 福州模拟）因式分解：a2﹣a＝　a（a﹣1）　 ．
【解答】解：a2﹣a＝a（a﹣1）．
故答案为：a（a﹣1）．
12．（2024 北京一模）某班级计划利用暑假去研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包．活动负责人征求了全班40名同学的意向，得到如下数据：
容量/L 23 25 27 29 31 33
人数/人 4 3 5 23 3 2
为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量为 　29　 L．
【解答】解：∵29 出现23次，出现次数最多，
∴众数是29，
故答案为：29．
13．（2025 房山区二模）在△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，若AB＝3.5，CD＝6，BD＝3．则DE的长为 　　 ．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴△CED∽△CAB，
∴，
即，
解得DE．
故答案为：．
14．（2025 房山区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB＝22.5°，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点D．若DE＝DA，CD＝5，连接OE，则OE的长为 　5　 ．
【解答】解：如图，连接OC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵∠CAB＝22.5°，
∴∠COB＝2∠CAB＝45°，
∴OC＝CD＝5，
由勾股定理得：OD5，
∵DE＝DA，OA＝OC＝CD，
∴CE＝OD＝5，
∴OE5，
故答案为：5．
15．（2025 石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点A（2，3），当x＞2时，y的取值范围是　0＜y＜3　 ．
【解答】解：∵函数的图象经过点A（2，3），
∴k＝6，
∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴当x＞2时，y的取值范围是：0＜y＜3．
故答案为：0＜y＜3．
16．（2025 丰台区二模）如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，AE，BD相交于点F，DF＝DE．若AB＝1，则CE的长为 　　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD中，AB＝1，
∴AB＝BC＝CD＝1，∠C＝90°，AB∥CD，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD，
设DF＝DE＝a，
∴BF＝BD﹣DF，CE＝CD﹣DE＝1﹣a，
∵AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴，
∴，
∴a，
∴CE＝1﹣a．
故答案为：．
三．解答题（共10小题）
17．（2025 东城区二模）计算：．
【解答】解：原式41﹣2
21﹣2
＝1.5．
18．（2025 东城区二模）已知3a2+2a＝1，求代数式3a（a+2）+（a﹣2）2﹣（a﹣1）（a+1）的值．
【解答】解：3a（a+2）+（a﹣2）2﹣（a﹣1）（a+1）
＝3a2+6a+a2﹣4a+4﹣a2+1
＝3a2+2a+5，
当3a2+2a＝1时，原式＝1+5＝6．
19．（2025 东城区二模）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为线段OD上一点，且AE＝CE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝BE＝5，tan∠CAE，求AC的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，
∴OA＝OC，
∵E为线段OD上一点，且AE＝CE，
∴OE⊥AC，即BD⊥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，且BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：如图，AB＝BE＝5，tan∠CAE，设OE＝m，
∵∠AOE＝90°，
∴tan∠CAE，
∴OA＝OC＝3OE＝3m，
∵OA2+OB2＝AB2，且OB＝5﹣m，
∴（3m）2+（5﹣m）2＝52，
解得m1＝1，m2＝0（不符合题意，舍去），
∴OA＝3，
∴AC＝2OA＝6，
∴AC的长是6．
20．（2025 房山区二模）4月23日是世界读书日，某校初一、初二两个年级的学生进行了“青春飞扬”读书演讲比赛．为了解比赛情况，现从两个年级各随机抽取了20名学生的比赛成绩，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．初二年级20名学生的分数数据如下：
77 82 85 88 76 87 69 93 66 84
90 88 67 88 91 96 68 97 59 88
b．初一年级20名学生分数的频数分布直方图如下（数据分5组：第1组50≤x＜60，第2组60≤x＜70，第3组70≤x＜80，第4组80≤x＜90，第5组90≤x＜100）：
c．样本数据的平均数、众数、方差如下：
平均数 众数 方差
初一年级 81.95 85 185.30
初二年级 81.95 a 115.25
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中a的值为　88　 ；
（2）抽取的初一年级20名学生的中位数位于第　4　 组；
（3）可以推断出　初二　 （填“初一”或“初二”）年级学生在本次比赛中发挥比较稳定；
（4）初二年级共有学生600人，如果前120名学生将被推荐参加区级比赛，请你估计，成绩至少达到　91　 分才能参加区级比赛．
【解答】解：（1）表格中a的值为88，
故答案为：88；
（2）抽取的初一年级20名学生的中位数位于第4组，
故答案为：4；
（3）由表知初二年级学生成绩的方差小于初一，
所以推断初二年级学生在本次比赛中发挥比较稳定，
故答案为：初二；
（4）204（人），
样本中前4名的成绩为91、93、96、97，
所以估计，成绩至少达到91分才能参加区级比赛．
故答案为：91．
21．（2025 东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象过点（0，2）和（1，3）．
（1）求k，b的值；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y1＝kx+b的值与函数y2＝mx（m≠0）的值之和都大于6，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：；
（2）当x＝1时，y＝x+2＝3，
把（1，3）代入y＝mx得m＝3，
∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y1＝x+2的值与函数y2＝mx（m≠0）的值之和都大于6，
由图象得：当m≥3时，函数y1＝x+2的值与函数y2＝mx（m≠0）的值之和都大于6．
22．（2025 东城区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知OE，CD＝9，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接BD、OD，则OD＝OB＝OA，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠ADB＝90°，
∵OE∥AC，交BC于点E，
∴1，
∴BE＝CE，
∴DE＝BEBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵∠ODB＝∠OBD，且∠ABC＝90°，
∴∠ODE＝∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD＝∠ABC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：设BD交OE于点L，
∵OE∥AC，BE＝CE，OE，CD＝9，
∴1，
∴BL＝DL，
∴ELCD，
∴OL＝OE﹣EL2，
∵∠OLB＝∠ADB＝90°，∠ABC＝90°，
∴cos∠BOE，
∴OB，
∴⊙O的半径长为．
23．（2025 石景山区二模）乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长OB为274cm，球网CD高15.25cm．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分．
某次训练，发球机从球台边缘O点正上方28.75cm的高度A处发球（即OA的长为28.75cm），乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm），测得几组数据如下：
水平距离x/cm 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度y/cm 28.75 33 45 49 n 33 0
根据以上数据，解决下列问题：
（1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是　230　 cm，表格中n的值为　45　 ；
（2）求出满足条件的函数表达式；
（3）若发球机的发球高度增加15cm，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后　能　 落到对面球台上（填“能”或“不能”）．
【解答】解：（1）当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为230cm，
∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是230cm；
当x＝10和当x＝170时的函数值相同，对称轴为直线x90，
当x＝130时的函数值与当x＝50的函数值相同，
∴n＝45，
故答案为：230；45；
（2）设y＝a（x﹣90）2+49，
把（230，0）代入y＝a（x﹣90）2+49中，得0＝a（230﹣90）2+49，
解得：a，
则满足条件的函数表达式为y（x﹣90）2+49；
（3）当发球机的发球高度增加15cm时，
则此时抛物线解析式为y（x﹣90）2+49+15（x﹣90）2+64，
在y（x﹣90）2+64中，
当（x﹣90）2+64＝0时，
解得：x1＝250，x2＝﹣70（舍去），
∵250cm＜274cm，
∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上，
故答案为：能．
24．（2025 石景山区二模）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点（不与点A，B重合），线段DC绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接BE．
（1）求∠ABE的度数．
（2）如图2，连接AE，F是AE中点，H是BC中点，连接FD，FH，用等式表示线段FD与FH的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）在AC上取点M，使得CM＝DB，如图，
∵线段DC绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，
∴DC＝DE，∠CDE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠1+∠CDA＝∠2+∠CDA＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴△CMD≌△DBE（SAS），
∴∠EBD＝∠DMC，
∵AB＝AC，
∴AM＝AD，
∴∠AMD＝45°，
∴∠ABE＝∠CMD＝135°；
（2）FD＝FH，证明如下：
延长HF与BE交于点N，连接AH，DH，DN，如图，
∵AB＝AC，∠CAB＝90°，H是BC中点，
∴，∠AHB＝90°，∠ABC＝45°，
∵∠ABE＝135°，
∴∠CBE＝∠ABE﹣∠ABC＝135°﹣45°＝90°，
∴∠CBE＝∠AHB，
∴AH∥NE，
∴∠HAF＝∠NEF，∠AHF＝∠ENF，
∵F是AE中点，
∴AF＝EF，
∴△AHF≌△ENF（AAS），
∴AH＝EN，HF＝NF，
∴CH＝EN，
∵∠4＝∠5，∠CDE＝∠CBE＝90°，
∴∠6＝∠7，
又∵DC＝DE，
∴△CHD≌△END（SAS），
∴DH＝DN，∠CDH＝∠EDN，
∴∠HDN＝∠CDE＝90°，
∴△HDN为等腰直角三角形，
∵HF＝NF，
∴，
即FD＝FH．
25．（2025 丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点C和⊙O的弦AB，给出如下定义：点C向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C′，若点C′在弦AB上，且不与点A，B重合，则称点C是弦AB的“伴随点”．
（1）如图，点A（0，1），B（﹣1，0），在点（2，0）中，弦AB的“伴随点”是　C1　 ；
（2）已知D是直线y＝x上一点，且存在⊙O的弦EF＝1，使得点D是弦EF的“伴随点”．记点D的横坐标为t，直接写出t的取值范围；
（3）已知点．对于线段MN上任意一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“伴随点”，将点S对应的弦PQ的长度的最小值记为d，直接写出d的最大值及m的取值范围．
【解答】解：（1）根据新定义，将先弦AB向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
则平移后经过点C1，则C1是弦AB的“伴随点”，
故答案为：C1；
（2）⊙O的弦EF＝1，⊙O的半径为1．
∴△OEF是等边三角形，
设OM⊥EF，
则，
∴EF在的圆环内，
如图，将圆环向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以G（1，1）为圆心的圆环，设y＝x分别和圆环交于D1，D2，D3，D4，
则点D是弦EF的“伴随点”在圆环内部，不包括圆弧外边界（根据定义不和端点重合），
由于y＝x与x轴的夹角为45°，
∴D1的横坐标为，D2的横坐标为，
同理可得D3的横坐标为，D4的横坐标为，
∴或；
（3）如图，将⊙O向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以G（1，1）为圆心的圆，设P1Q1为PQ的对应弦，
线段MN上任意一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“伴随点”，则P1Q1为的圆环内的弦，
当S经过的⊙G的切点时，d取得最小值dmin，
当S为半径为⊙G的切点时，即P1Q1的中点时，dmin取得最大值，
∵点在上，
∴PQ的最大值为P1Q1，
∴，
∴d的最大值为，
∴，
∵，，，
即MN是线段P1Q1上的点，当M，P1重合时m取得最小值，当N，Q1重合时m取得最大值，而不包括端点，则不能取等于号，
∴．
26．（2025 朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙Q和⊙Q外一点P，给出如下定义：若⊙Q的一条弦MN绕点P旋转α得到的线段仍然是⊙Q的一条弦，则称点P是⊙Q的“α﹣旋称点”，此时的MN是⊙Q关于点P的一条“α﹣旋称弦”．
（1）如图1，⊙O的半径为2．
①在点（2，﹣2）中，⊙O的“90°﹣旋称点”可以是 　P1，P3　 ；
②弦AB的长为2，AB∥y轴．若AB是⊙O关于点C的“90°﹣旋称弦”，直接写出点C的坐标；
（2）如图.若点A，B，C都是⊙Q的“60°﹣旋称点”，且△ABC的边上存在⊙Q关于点A，B，C的“60°﹣旋称弦”，直接写出点Q的坐标，和⊙Q的半径r的取值范围．
【解答】解：（1）①对于⊙O外任一点P，连接OP，将OP绕点P顺时针旋转45°交⊙O于R、T，其中设弦RT的中点为W，连接OW，将OP绕点P逆时针旋转45°交⊙O于U、V，其中设弦UV的中点为Z，如图所示：
当PW为⊙O的切线时，∠OWP＝90°，∠WPO＝45°，OW＝2，
∴PW＝2，
∴，
那么当时，⊙O的一条弦MN绕点P旋转90°得到的线段仍然是⊙O的一条弦；
∵在点P1（﹣1，2），P2（1，3），，P4（2，﹣2）中，
，，，，
∴，，
∴在点P1（﹣1，2），P2（1，3），，P4（2，﹣2）中，⊙O的“90°﹣旋称点”可以是P1，P3，
故答案为：P1，P3；
②取AB与x轴的交点为W，连接OA，延长WA，使得WP＝OW，连接OP，如图所示：
∵弦AB的长为2，AB∥y轴，
∴，
∵OA＝2，∠OWA＝90°，
∴，
∵，
∴；
若AB是⊙O关于点C的''90°旋称弦”，那么点C与点P点重合时，满足条件；
延长WB，使得OW＝WC，同理可算得，满足条件；
综上，C点坐标为：或；
（2）对于半径为r的⊙Q外任一点P，连接QP，将QP绕点P顺时针旋转30°交⊙Q于R、T，其中设弦RT的中点为W，连接QW，将QP绕点P逆时针旋转30°交⊙Q于U、V，其中设弦UV的中点为Z，如图所示，
同（1）①，可求得当r＜QP＜2r时，⊙Q的一条弦MN绕点P旋转60°得到的线段仍然是⊙Q的一条弦；
∵A（﹣2，0），B（2，0），.若点A，B，C都是⊙Q的“60°﹣旋称点”，且△ABC的边上存在⊙Q关于点A，B，C的“60°﹣旋称弦”，
∴Q在△ABC内部，A、B、C三点都在⊙Q外部；
将AB绕A逆时针旋转30°，将AB绕B顺时针旋转30°，将AC绕A顺时针旋转30°、将AC绕点C逆时针旋转30°，将BC绕B逆时针旋转30°，将BC绕点C顺时针旋转30°，如图所示，其交点有两个，分别为Q和U，
由题意可知，当圆心在U点时，∠CAU＝∠ACU＝∠ABU＝30°，U点的横坐标在大于0，小于2，
∴AU＝CU，
∴U在AC的垂直平分线上，
过点U作UH1⊥AC于H1，
∴，，
∵A（﹣2，0），B（2，0），，
∴，AB＝4，
∴，
∴，
∴；
不妨设UG1＝a，那么BU＝2a，，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∵U点的横坐标大于0且小于2，
∴，
∴，
∴；
分别以U为圆心，以UG1、UB为半径画圆，如图所示：
∴，
∴AC边上不存在⊙U关于点A，B，C的“60°﹣旋称弦”，故不符合题意；
当圆心在Q点时，∠BCQ＝30°＝∠QAB＝∠CBQ，
∴CQ＝BQ，
∴Q点在BC的垂直平分线上，
∵B（2，0），，
∴Q的纵坐标为，
过点Q作QE1⊥AB于E1，
∴，
∵∠QE1A＝90°，∠QAB＝30°，
∴，
∴，
∵A（﹣2，0），B（2，0），
∴OE1＝AE1﹣OA＝3﹣2＝1，BE1＝OB﹣OE1＝1，
∴，，
分别以Q为圆心，以QE1，QB为半径画圆，如图所示：
那么当QE1＜r＜QB，即，满足题意；
此时，满足r＜AQ＜2r；
综上，．
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