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【押题预测卷】广东省各地区真题重组训练-2025年中考数学
一．选择题（共10小题）
1．（2025 福田区模拟）深圳作为科技创新之城，有很多知名品牌，以下深圳品牌标志，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025 茂南区校级模拟）2024年“十一”黄金周假期，广东全省累计接待游客5848.1万人次，按可比口径同比增长6.2%．“5848.1万”用科学记数法表示为（　　）
A．5.8481×103 B．5848.1×104
C．5.8481×107 D．0.58481×108
3．（2025 广东模拟）下列四个数中，是负数的是（　　）
A．﹣2 B．|﹣2| C．﹣（﹣2） D．（﹣2）2
4．（2025 宝安区校级三模）学校组织学生参加户外拓展活动，需准备帐篷和睡袋．已知每顶大帐篷可住8名学生，每顶小帐篷可住5名学生．若租用大帐篷x顶，小帐篷y顶，刚好能住下150名学生，且大帐篷比小帐篷多5顶．则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025 福田区模拟）如图是由9个全等的小正方形组成的图案，假设可以在图案中随意取一个点（不包括边界线），那么这个点取在阴影部分的概率是（　　）
A． B． C． D．1
6．（2025 惠阳区模拟）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC与BD交于点G，∠BOC＝54°，则∠AGB的度数为（　　）
A．108° B．110° C．99° D．117°
7．（2025 东莞市三模）如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 番禺区二模）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF交AB于E，交BC于F，若AB的长为8，则四边形BFDE的面积为（　　）
A．14 B．16 C．18 D．20
9．（2023 南海区校级模拟）小明利用如图1所示的电路探究电流与电阻的关系，已知电源电压为3V且保持不变，更换了5个阻值不同的定值电阻Rx，依据五次实验的数据描点绘制了如图2所示的图象，已知I与Rx成反比例函数关系．以下说法不正确的是（　　）
A．本实验中电压表的读数为2.5V
B．当定值电阻Rx＝10Ω时，电流表的示数为0.25A
C．当电流表的示数为0.1A时，定值电阻Rx＝20Ω
D．电流I与电阻Rx之间的函数关系式为
10．（2025 深圳校级模拟）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角∠BAC＝130°，点D在伞柄AP上，AE＝AF＝DE＝DF＝m，则AD的长度可表示为（　　）
A．msin65° B．mcos65° C．2msin65° D．2mcos65°
二．填空题（共7小题）
11．（2024 揭阳一模）点p（2，4）关于原点的对称点Q的坐标为 　 　 ．
12．（2025 潮阳区一模）不等式组的整数解的和为　 　 ．
13．（2023 越秀区校级模拟）△ABC中，∠B＝40°，若从顶点A作高线AD和角平分线AE，AD与AE的夹角为5°，则∠C＝　 　 ．
14．（2025 海珠区校级二模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则代数式m化简的结果是　 　 ．
15．（2025 福田区模拟）如图，△ABC内接于⊙O．若，则AB的弧长为　 　 ．
16．（2025 番禺区二模）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a2﹣b2，，则方程2☆x＝x★6的解为 　 　 ．
17．（2025 番禺区二模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交边AD于点E，∠AEB＝25°，则∠D的度数是 　 　 ．
三．解答题（共10小题）
18．（2025 宝安区校级三模）计算：．
19．（2025 宝安区校级三模）先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣3x﹣4＝0的一个解．
20．（2025 广州模拟）已知如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°．
（1）作∠B的平分线，交AC于点D；作AB的中点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接DE，求证：△ADE≌△BDE．
21．（2025 越秀区校级二模）如图，在 ABCD中，BE⊥AD交DA的延长线于点E，AE＝AD．
（1）求证：四边形AEBC是矩形；
（2）F为CD的中点，连接AF，BF．已知AB＝6，BF⊥AF，求BF的长．
22．（2025 海珠区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣3a+1（a＜0）与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴，与抛物线交于点B．
（1）若抛物线经过点（﹣1，0），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，当t﹣1≤x≤t时，抛物线取得最大值为，求t的值；
（3）已知点G（1，3），H（3，3），若抛物线与线段GH有且只有一个交点（不含端点G、H），求a的取值范围．
23．（2025 福田区模拟）为丰富学生的校园生活，增强学生的美育意识，某校开设了五个社团活动：美食共享（A）、书法创作（B）、绘画绘美（C）、音乐之声（D）、经典诗词（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动．为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，美食共享（A）对应扇形的圆心角度数是 　 　 ；
（3）若该校有1800名学生，请估算本学期参加音乐之声（D）活动的学生人数；
（4）若小明和小亮可从这五个社团活动中任选一个参加，请直接写出两人恰好选择同一个社团的概率．
24．（2025 南山区三模）如图1，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上．
（1）请你添加一个条件：　 　 ，使得直线CD与⊙O相切并写出你的证明过程；
（2）如图2，PA，PB是圆的切线，A，B为切点．
求作：这个圆的圆心O（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）．
25．（2025 海珠区校级二模）如图1是某种笔记本电脑支架，如图2，其底座AB放置在水平桌面上，通过调节∠ACD及∠CDF的度数来控制托盘EF的高度，笔记本机身和屏幕分别用线段EG，GH表示．已知CD＝16cm，EG＝GH＝21cm，DE＝5cm，不计材料厚度．若∠ACD＝60°，∠CDG＝90°．
（1）为使屏幕与桌面保持垂直，求∠EGH的度数；
（2）在（1）的条件下，求此时点H到桌面的距离．
26．（2025 宝安区校级三模）在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，点E是对角线AC上的动点，连接BE，点F在直线AD上（点F不与点D重合），连接EF，EF＝EB．
（1）如图1，当E在线段OC上时，求证：BE⊥EF；
（2）如图2，若AB＝4，当E在线段OA上，且AE＝AF时，求CE的长．
27．（2025 广东模拟）如图1，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，AC∥y轴．
（1）若菱形ABCD边长为5，对角线AC＝8．
①若点A（1，3），反比例函数的图象经过点B．求该反比例函数的表达式，并判断点A是否在这个反比例函数图象上；
②是否存在点A（a，b），使得反比例函数的图象同时经过点A、B？若存在，求a、b满足的关系式；若不存在，说明理由．
（2）如图2，菱形的顶点A，B和边AD的中点E在反比例函数图象上，顶点C、D在反比例函数图象上，边AB与y轴的交点为F，
①求AF：BF的值；
②若k1 k2＝﹣15，则菱形ABCD的面积为 　 　 ．
【押题预测卷】广东省各地区真题重组训练-2025年中考数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C． A． A B A D B C D
一．选择题（共10小题）
1．（2025 福田区模拟）深圳作为科技创新之城，有很多知名品牌，以下深圳品牌标志，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
2．（2025 茂南区校级模拟）2024年“十一”黄金周假期，广东全省累计接待游客5848.1万人次，按可比口径同比增长6.2%．“5848.1万”用科学记数法表示为（　　）
A．5.8481×103 B．5848.1×104
C．5.8481×107 D．0.58481×108
【解答】解：5848.1万＝58481000＝5.8481×107．
故选：C．
3．（2025 广东模拟）下列四个数中，是负数的是（　　）
A．﹣2 B．|﹣2| C．﹣（﹣2） D．（﹣2）2
【解答】解：A．﹣2＜0，是负数，符合题意；
B．|﹣2|＝2＞0，是正数，不符合题意；
C．﹣（﹣2）＝2＞0，是正数，不符合题意；
D．（﹣2）2＝4＞0，是正数，不符合题意；
故选：A．
4．（2025 宝安区校级三模）学校组织学生参加户外拓展活动，需准备帐篷和睡袋．已知每顶大帐篷可住8名学生，每顶小帐篷可住5名学生．若租用大帐篷x顶，小帐篷y顶，刚好能住下150名学生，且大帐篷比小帐篷多5顶．则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设大帐篷x顶，小帐篷y顶，
由题意得，
故选：A．
5．（2025 福田区模拟）如图是由9个全等的小正方形组成的图案，假设可以在图案中随意取一个点（不包括边界线），那么这个点取在阴影部分的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【解答】解：设小正方形的面积为x，则阴影部分的面积是5x，则整个图形的面积是9x，
则这个点取在阴影部分的概率是，
即这个点取在阴影部分的概率是．
故选：B．
6．（2025 惠阳区模拟）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC与BD交于点G，∠BOC＝54°，则∠AGB的度数为（　　）
A．108° B．110° C．99° D．117°
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠DAB＝90°，
∵，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°，
∵∠BOC＝54°，
∴∠BAC∠BOC＝27°，
∴∠AGB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABD＝108°，
故选：A．
7．（2025 东莞市三模）如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：U型磁铁从上面看的示意图是一个大矩形，且中间有2条实线段，D图符合．
故选：D．
8．（2025 番禺区二模）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF交AB于E，交BC于F，若AB的长为8，则四边形BFDE的面积为（　　）
A．14 B．16 C．18 D．20
【解答】解：连接BD．
∵等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，D是AC中点，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，BD＝AD＝CD，BD⊥AC，
∵∠EDB+∠FDB＝90°，∠FDB+∠CDF＝90°，
∴∠EDB＝∠CDF，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴S△BED＝S△CFD，
∴S四边形BFDE＝S△BDCS△ABC8×8＝16．
故选：B．
9．（2023 南海区校级模拟）小明利用如图1所示的电路探究电流与电阻的关系，已知电源电压为3V且保持不变，更换了5个阻值不同的定值电阻Rx，依据五次实验的数据描点绘制了如图2所示的图象，已知I与Rx成反比例函数关系．以下说法不正确的是（　　）
A．本实验中电压表的读数为2.5V
B．当定值电阻Rx＝10Ω时，电流表的示数为0.25A
C．当电流表的示数为0.1A时，定值电阻Rx＝20Ω
D．电流I与电阻Rx之间的函数关系式为
【解答】解：由图象可知，电流I与电阻Rx之积为0.5×5＝2.5V，
∴本实验中电压表的读数为2.5 V，
∴电流I与电阻Rx之间的函数关系式为，选项A，D正确，故该选项不符合题意；
当Rx＝10Ω时，A，选项B正确，故该选项不符合题意；
当I＝0.1A时，由图象可知R＝25Ω≠20Ω，选项C错误，故该选项符合题意．
故选：C．
10．（2025 深圳校级模拟）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角∠BAC＝130°，点D在伞柄AP上，AE＝AF＝DE＝DF＝m，则AD的长度可表示为（　　）
A．msin65° B．mcos65° C．2msin65° D．2mcos65°
【解答】解：连接EF交AD于点O，
∵AE＝AF＝DE＝DF＝m，
∴四边形AEDF是菱形，
∴OA＝ODAD，∠AOF＝90°，∠FAD∠EAF＝65°，
在Rt△AOF中，AO＝AF cos65°＝mcos65°，
∴AD＝2AO＝2mcos65°，
∴AD的长度可表示为2mcos65°，
故选：D．
二．填空题（共7小题）
11．（2024 揭阳一模）点p（2，4）关于原点的对称点Q的坐标为 　（﹣2，﹣4）　 ．
【解答】解：点p（2，4）关于原点的对称点Q的坐标为（﹣2，﹣4）．
故答案为：（﹣2，﹣4）．
12．（2025 潮阳区一模）不等式组的整数解的和为　5　 ．
【解答】解：
解①得x≤5，
解②得x＞﹣5，
∴不等式组的解集为﹣5＜x≤5，
∴不等式组的整数解为﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，
∴整数解的和为﹣4+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4+5＝5，
故答案为：5．
13．（2023 越秀区校级模拟）△ABC中，∠B＝40°，若从顶点A作高线AD和角平分线AE，AD与AE的夹角为5°，则∠C＝　30°或50°　 ．
【解答】解：①当∠B＞∠C时，如图，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∵∠DAE＝5°，
∴∠BAE＝∠CAE＝55°，
∴∠BAC＝110°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣40°﹣110°＝30°；
②当∠B＜∠C时，如图，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∵∠DAE＝5°，
∴∠BAE＝∠EAC＝45°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠C＝90°﹣∠DAC＝50°，
综上所述，∠C＝30°或50°．
故答案为：30°或50°．
14．（2025 海珠区校级二模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则代数式m化简的结果是　1　 ．
【解答】解：由条件可知Δ＝4﹣4m≥0，
∴m≤1，
∴；
故答案为：1．
15．（2025 福田区模拟）如图，△ABC内接于⊙O．若，则AB的弧长为　　 ．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
由圆周角定理得：∠AOB＝2∠C＝2×45°＝90°，
∴OA＝OBAB＝1，
∴的长为：，
故答案为：．
16．（2025 番禺区二模）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a2﹣b2，，则方程2☆x＝x★6的解为 　x1＝﹣4，x2＝1　 ．
【解答】解：∵2☆x＝x★6，
∴，
∴x2+3x﹣4＝0，
∴（x+4）（x﹣1）＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣4，x2＝1．
17．（2025 番禺区二模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交边AD于点E，∠AEB＝25°，则∠D的度数是 　50°　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠D＝∠ABC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线BE交边AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE＝25°，
∴∠ABC＝50°，
∴∠D＝∠ABC＝50°．
故答案为：50°．
三．解答题（共10小题）
18．（2025 宝安区校级三模）计算：．
【解答】解：
＝﹣122
＝﹣12
＝﹣3．
19．（2025 宝安区校级三模）先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣3x﹣4＝0的一个解．
【解答】解：
＝（）×（x+1）（x﹣1）
＝x（x﹣1）﹣2（x+1）
＝x2﹣3x﹣2，
∵x2﹣3x﹣4＝0，
∴x2﹣3x﹣2＝2，
∴原式＝2．
20．（2025 广州模拟）已知如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°．
（1）作∠B的平分线，交AC于点D；作AB的中点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接DE，求证：△ADE≌△BDE．
【解答】解：（1）如图，点D、E即为所求作；
（2）证明：由条件可知，
∵∠A＝30°，
∴∠ABD＝∠A，
∴AD＝BD，
在△ADE和△BDE中，
，
∴△ADE≌△BDE（SSS）．
21．（2025 越秀区校级二模）如图，在 ABCD中，BE⊥AD交DA的延长线于点E，AE＝AD．
（1）求证：四边形AEBC是矩形；
（2）F为CD的中点，连接AF，BF．已知AB＝6，BF⊥AF，求BF的长．
【解答】（1）证明：由题意可得：AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝AD，
∴AE∥BC，AE＝BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
又∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∴四边形AEBC是矩形．
（2）解：由（1）得四边形AEBC是矩形，AD＝BC，
∴∠CAD＝∠CAE＝90°，
由题意可得：，
∵∠AFB＝90°，
由勾股定理得．
22．（2025 海珠区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣3a+1（a＜0）与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴，与抛物线交于点B．
（1）若抛物线经过点（﹣1，0），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，当t﹣1≤x≤t时，抛物线取得最大值为，求t的值；
（3）已知点G（1，3），H（3，3），若抛物线与线段GH有且只有一个交点（不含端点G、H），求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣3a+1（a＜0）过点（﹣1，0），
∴a+3a﹣3a+1＝0，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）∵，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，
分以下两种情况讨论：
Ⅰ．当时，t﹣1≤x≤t在对称轴左侧，y随x增大而增大，
∴x＝t时，为最大值，即，
解得或（舍）；
Ⅱ．当即时，t﹣1≤x≤t在对称轴右侧，y随x增大而减小，
x＝t﹣1时，为最大值，即，
解得或（舍），
综上所述，t的值为或；
（3）解：∵抛物线，
∴抛物线对称轴为直线，顶点为，
∵点G（1，3），H（3，3），若抛物线y＝ax2﹣3ax﹣3a+1与线段GH有且只有一个交点，
分以下两种情况讨论：
Ⅰ．当抛物线y＝ax2﹣3ax﹣3a+1的顶点在线段GH上时，
即：，
解得：；
Ⅱ．当抛物线y＝ax2﹣3ax﹣3a+1的顶点落在GH上方时，
当x＝1时，y＝a﹣3a﹣3a+1＝﹣5a+1，
当x＝3时，y＝9a﹣9a﹣3a+1＝﹣3a+1，
∵a＜0，对称轴为直线，
∴﹣5a+1＞﹣3a+1，
由题意可得：与线段GH有且只有一个交点，一定在对称轴右侧，
∴，
解得：，
∴a的取值范围是或．
23．（2025 福田区模拟）为丰富学生的校园生活，增强学生的美育意识，某校开设了五个社团活动：美食共享（A）、书法创作（B）、绘画绘美（C）、音乐之声（D）、经典诗词（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动．为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，美食共享（A）对应扇形的圆心角度数是 　120°　 ；
（3）若该校有1800名学生，请估算本学期参加音乐之声（D）活动的学生人数；
（4）若小明和小亮可从这五个社团活动中任选一个参加，请直接写出两人恰好选择同一个社团的概率．
【解答】解：（1）抽查总人数为18÷20%＝90（名），
则D社团人数为：90﹣30﹣10﹣10﹣18＝22（名），
补全条形统计图如下：
（2）美食共享（A）对应扇形的圆心角度数是360°120°，
故答案为：120°；
（3）1800440（名），
答：该校本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数大约有440名；
（4）画树状图为：
由图知，一共有25种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一个社团的有5种结果，
所以两人恰好选择同一个社团的概率为．
24．（2025 南山区三模）如图1，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上．
（1）请你添加一个条件：　∠CDA＝∠ABD　 ，使得直线CD与⊙O相切并写出你的证明过程；
（2）如图2，PA，PB是圆的切线，A，B为切点．
求作：这个圆的圆心O（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）．
【解答】解：（1）添加条件：∠CDA＝∠ABD，
证明：连接OD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠ODB＝90°，
∵∠CDA＝∠ABD，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
即∠CDO＝90°，
∵OD是半径
∴CD是⊙O的切线，
故答案为：∠CDA＝∠ABD；
（2）如图所示，（答案不唯一）．
圆心O即为所求；
25．（2025 海珠区校级二模）如图1是某种笔记本电脑支架，如图2，其底座AB放置在水平桌面上，通过调节∠ACD及∠CDF的度数来控制托盘EF的高度，笔记本机身和屏幕分别用线段EG，GH表示．已知CD＝16cm，EG＝GH＝21cm，DE＝5cm，不计材料厚度．若∠ACD＝60°，∠CDG＝90°．
（1）为使屏幕与桌面保持垂直，求∠EGH的度数；
（2）在（1）的条件下，求此时点H到桌面的距离．
【解答】解：（1）如图，延长HG交AB于点M，则∠GMC＝90°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠DCM＝180°﹣∠ACD＝180°﹣60°＝120°，
∵∠DGM+∠GMC+∠DCM+∠CDG＝360°，∠CDG＝90°，
∴∠DGM＝360°﹣∠CDG﹣∠CMG﹣∠DCM＝60°，
∴∠EGH＝180°﹣∠DGM＝120°．
（2）过点D作DP⊥GM，DN⊥AB，则四边形DNMP是矩形，
∴DN＝PM，
∵∠ACD＝60°，CD＝16cm
∴，
∴，
∵EG＝GH＝21cm，ED＝5cm，
∴DG＝EG﹣ED＝16cm，
∴∠DGP＝60°，
∴，
∴，
答：点H到桌面的距离为．
26．（2025 宝安区校级三模）在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，点E是对角线AC上的动点，连接BE，点F在直线AD上（点F不与点D重合），连接EF，EF＝EB．
（1）如图1，当E在线段OC上时，求证：BE⊥EF；
（2）如图2，若AB＝4，当E在线段OA上，且AE＝AF时，求CE的长．
【解答】解：（1）证明：如图1，过E作EH⊥AD于H，HE的延长线交BC于I，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，AD∥BC，AB∥CD，∠D＝90°，
∵EH⊥AD，
∴∠EHF＝∠EHD＝90°＝∠D，
∴四边形CDHI为矩形，
∴DH＝CI＝EI，∠BIE＝90°＝∠EHF，
∵BE＝EF，
∴Rt△BEI≌Rt△EFH（HL），
∴∠BEI＝∠FEH，
∵∠FEH+∠EFH＝90°，
∴∠BEI+∠FEH＝90°
∴∠BEF＝90°，
∴BE⊥EF．
（2）如图3，连接DE，过E作EH⊥AD于H．
∵EF＝BE＝DE，EH⊥AD，
∴FH ＝DH，
∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，
∴AC，∠DAC＝90°，
∴AH＝EH，
设AH＝EH＝x，则AEAF，FH＝x，DH＝4﹣x，
∴4﹣x＝x，
解得x，
∴AE＝ ，
∴CE＝AC﹣AE＝4（44）＝4．
27．（2025 广东模拟）如图1，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，AC∥y轴．
（1）若菱形ABCD边长为5，对角线AC＝8．
①若点A（1，3），反比例函数的图象经过点B．求该反比例函数的表达式，并判断点A是否在这个反比例函数图象上；
②是否存在点A（a，b），使得反比例函数的图象同时经过点A、B？若存在，求a、b满足的关系式；若不存在，说明理由．
（2）如图2，菱形的顶点A，B和边AD的中点E在反比例函数图象上，顶点C、D在反比例函数图象上，边AB与y轴的交点为F，
①求AF：BF的值；
②若k1 k2＝﹣15，则菱形ABCD的面积为 　32　 ．
【解答】解：（1）①如图1，连接BD交AC于Q，
∵四边形ABCD是菱形，边长为5，AC＝8，
∴AC⊥BD，AQAC＝4，AB＝5，
∴BQ3，
设B（m，n），
∵点A（1，3），AC∥y轴，
∴1﹣m＝3，3﹣n＝4，
∴m＝﹣2，n＝﹣1，
∴B（﹣2，﹣1），
∵反比例函数的图象经过点B，
∴k＝﹣2×（﹣1）＝2，
∴该反比例函数的表达式为y，
当x＝1时，y＝2，
∴点A（1，3）不在这个反比例函数图象上；
②存在点A（a，b），使得反比例函数的图象同时经过点A、B，且4a+3b＝12；
理由如下：
设B（m，n），当点A（a，b）时，反比例函数的图象同时经过点A、B，
则，
∴4a+3b＝12，
故存在点A（a，b），使得反比例函数的图象同时经过点A、B，且4a+3b＝12；
（2）①如图2，连接BD交AC于K，交y轴于P，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AK＝KC，BK＝KD，CD＝AD，
设A（a，），D（b，），则DP＝b，
∴K（a，），C（a，），则PK＝a，
∴BP＝BK﹣PK＝KD﹣PK＝DP﹣2PK＝b﹣2a，
∵AK＝KC，即K是AC的中点，
∴2，
整理得：，
∴，
∵E为AD的中点，
∴E[，（）]，
∴（）＝k1，
整理得：，
∴，
∴（3a﹣b）（2a﹣b）＝a（a+b），
即5a2﹣6ab+b2＝0，
解得：a＝b（舍去），ab，
即b＝5a，
∵AK∥OF，
∴，
即；
②∵，k1 k2＝﹣15，
∴k1＝3，k2＝﹣5，
∴S菱形ABCDBD×AC2KD×2AK＝2KD×AK＝2（b﹣a）（）＝2（5a﹣a）（）＝2×4a32；
故答案为：32．
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