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【押题预测卷】江苏省各地区真题重组训练（三）-2025年中考数学
一．选择题（共10小题）
1．（2025 常州二模）2025的相反数是（　　）
A．﹣2025 B．2025 C． D．
2．（2025 通州区二模）截至2024年，中国非物质文化遗产资源总量近87万项，其中共有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总量位居世界第一．将数据“87万”用科学记数法表示为（　　）
A．8.7×103 B．0.87×106 C．87×104 D．8.7×105
3．（2025 江都区一模）在我国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025 镇江模拟）如图，直线a∥直线b，∠1＝50°，∠3＝80°，则∠2等于（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
5．（2025 徐州模拟）下列运算正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝x2﹣4 B．2x2﹣x2＝x2
C．（2a2）3＝6a6 D．
6．（2025 宿城区校级二模）如图，入射光线MN满足的一次函数关系式为，遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光线NP交x轴于点P，则点P坐标为（　　）
A．（﹣2，0） B．（﹣1，0） C． D．
7．（2025 镇江模拟）在数学活动课上，小丽同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得∠1＝36°，则∠2的度数是（　　）
A．56° B．64 C．72° D．66°
8．（2025 盐都区模拟）下列各式，计算正确的是（　　）
A．a4+a2＝a6 B．a2 a4＝a8 C．a5÷a2＝a3 D．（a4）2＝a6
9．（2025 海州区二模）如图，直线AB与⊙O的相切于点C，AO交⊙O于点D，连结CD，OC．若∠ACD＝20°，则∠COD的度数是（　　）
A．30 B．40 C．50 D．60
10．（2025 镇江二模）深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为5km，若采用无人机配送，其行程只需3km，且配送时间比传统方式快15min．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为x km/min，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题）
11．（2025 宿城区校级二模）分解因式：4x2﹣4y2＝　 　 ．
12．（2025 常州二模）在打靶演习中需要射击5次，某训练者知道前4次的成绩（单位：环）为：7，9，8，6．要使这5次成绩的方差小于前4次成绩的方差，第5次射击成绩可以是　 　 环．
13．（2025 常州二模）小明和小丽分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．如图，图象表示他们离甲地的路程s（km）与所用时间t（h）的关系．则小丽的速度是　 　 km/h．
14．（2025 南通模拟）把一块含60°角的三角板ABC按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边AB与x轴的夹角∠ABO＝60°，若BC＝2，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为 　 　 ．
15．（2025 宿城区校级二模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝1，BC＝2，点O是对称中心，点P、Q分别在边AD、BC上，且PQ经过点O．将该纸片沿PQ折叠，使点A、B分别落在点A'、B′的位置，则△BA′B′面积的最大值为 　 　 ．
16．（2025 秦淮区二模）如图，正六边形EFGHIJ的顶点E，F，H，I在正方形ABCD的边上，则正方形ABCD与正六边形EFGHIJ的边长的比值是 　 　 ．
三．解答题（共11小题）
17．（2025 镇江二模）计算：．
18．（2025 秦淮区二模）计算．
19．（2023 苏州一模）解方程：．
20．（2025 通州区二模）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE．若 　 　 ，则BE＝CF．请从①AC∥DF；②AC＝DF；③∠A＝∠D这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由．
21．（2025 宿豫区三模）某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚．如图所示，遮阳篷AB长为1.56米，与墙面AD的夹角∠BAD＝67.4°，靠墙端A离地高AD为2.4米，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度BC＝0.2米．
（1）如图1，求遮阳棚上的B点到墙面AD的距离；
（2）如图2，当太阳光线EF与地面DG的夹角为53°时，求阴影DF的长．（参考数据：sin67.4°，cos67.4°，tan67.4°，sin53°，cos53°，tan53°）
22．（2025 镇江模拟）某次科普知识大赛的比赛中有一个抽奖活动．抽奖规则如下：准备三张大小一样、背面完全相同的卡片，三张卡片的正面所写内容分别是消防知识手册、辞海、辞海，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取相应的书籍．
（1）在上述活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后不放回，再随机抽出一张卡片，求抽到的两张卡片上所写内容恰好都是辞海的概率（请用列表或画树状图的方法解答）．
（2）再添加几张和原来一样的“消防知识手册”卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后任意抽出一张，使得抽到“消防知识手册”卡片的概率为，那么应该添加多少张“消防知识手册”卡片？请说明理由．
23．（2025 通州区二模）已知抛物线M：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过（0，4﹣c），（3，3a+2）两点．
（1）若b＞0，求当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围；
（2）若直线l：与抛物线M有且只有一个公共点，求a的值；
（3）在（2）的条件下，点A（x1，y1）在直线l上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线M上．若x1＝t﹣1，求h的最大值．
24．（2025 镇江二模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点A（2，6），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
25．（2025 通州区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠AOD＝2∠B．
（1）求证AB⊥CD；
（2）若，求∠B的正切值．
26．（2025 沭阳县三模）在菱形ABCD中，如图1，对角线AC与BD相交于点O，点P为线段OD上一动点（不与点O、D重合），将线段PO绕着点P顺时针旋转，得到线段PQ，旋转角度与∠ADC相等，过点Q作AD的平行线，交射线OD于点E．
（1）求证：△PQE为等腰三角形；
（2）如图2，若线段BD上存在点H，满足PD＝PH，联结OQ、AQ、HQ、AH．
①则∠OQE＝　 　 °；
②请判断在点P的运动过程中，∠AHQ的大小是否变化？若不变，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，若AB＝4，AC＝6，延长HQ交AD于点F，请直接写出的最小值．
27．（2025 江苏二模）学科实践
“科学减重、健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召，合理膳食，加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减脂运动，“博 约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自于初三某班级男生平均值）
【初步思考】
通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究：
甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理；
乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定；
丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况；
丁：我们可以建立将反比例函数图象经过适当平移后的函数模型…
设拟合函数为：
【问题解决】
（1）如图，若选取A（50，140），B（75，155），C（150，180）进行拟合，经计算k＝﹣11250，请求出拟合函数表达式．
（2）从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？
（3）①根据图象变换，（1）中图象可由的图象向左平移　 　 个单位，再向上平移　 　 个单位得到：
②点P在（1）中图象上运动，且位于直线y＝x左侧，当点P到直线y＝x距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间．
【押题预测卷】江苏省各地区真题重组训练（三）-2025年中考数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D． D C B B D C B B
一．选择题（共10小题）
1．（2025 常州二模）2025的相反数是（　　）
A．﹣2025 B．2025 C． D．
【解答】解：2025的相反数是﹣2025．
故选：A．
2．（2025 通州区二模）截至2024年，中国非物质文化遗产资源总量近87万项，其中共有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总量位居世界第一．将数据“87万”用科学记数法表示为（　　）
A．8.7×103 B．0.87×106 C．87×104 D．8.7×105
【解答】解：87万＝870000＝8.7×105．
故选：D．
3．（2025 江都区一模）在我国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：该立体图形的左视图为，
故选：D．
4．（2025 镇江模拟）如图，直线a∥直线b，∠1＝50°，∠3＝80°，则∠2等于（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【解答】解：如图所示：过点B作BC∥直线a，
故直线a∥b∥BC，
则∠1＝∠ABC＝50°，∠CBD＝∠2，
故∠2＝∠CBD＝∠3﹣∠ABC＝80°﹣50°＝30°．
故选：C．
5．（2025 徐州模拟）下列运算正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝x2﹣4 B．2x2﹣x2＝x2
C．（2a2）3＝6a6 D．
【解答】解：A、（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，故此选项不符合题意；
B、2x2﹣x2＝x2，故此选项符合题意；
C、（2a2）3＝8a6，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
6．（2025 宿城区校级二模）如图，入射光线MN满足的一次函数关系式为，遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光线NP交x轴于点P，则点P坐标为（　　）
A．（﹣2，0） B．（﹣1，0） C． D．
【解答】解：延长MN交x轴于Q，
当y＝0，则，
∴x＝1，
∴Q（1，0），故P（﹣1，0），
故选：B．
7．（2025 镇江模拟）在数学活动课上，小丽同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得∠1＝36°，则∠2的度数是（　　）
A．56° B．64 C．72° D．66°
【解答】解：如图，三角板EFG与直尺ABCD分别交AB于点F、H．
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠FHG．
又∵∠1+∠E＝∠FHG，
∴∠2＝∠1+∠E＝36°+30°＝66°．
故选：D．
8．（2025 盐都区模拟）下列各式，计算正确的是（　　）
A．a4+a2＝a6 B．a2 a4＝a8 C．a5÷a2＝a3 D．（a4）2＝a6
【解答】解：A、a4，a2不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、a2 a4＝a6，a6≠a8，计算错误，不符合题意；
C、a5÷a2＝a3，a3＝a3，计算正确，符合题意；
D、（a4）2＝a8，a6≠a8，计算错误，不符合题意．
故选：C．
9．（2025 海州区二模）如图，直线AB与⊙O的相切于点C，AO交⊙O于点D，连结CD，OC．若∠ACD＝20°，则∠COD的度数是（　　）
A．30 B．40 C．50 D．60
【解答】解：∵直线AB与⊙O的相切于点C，
∴OC⊥AC，
∵∠ACD＝20°，
∴∠OCD＝90°﹣20°＝70°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝70°，
∴∠COD＝180°﹣70°×2＝40°，
故选：B．
10．（2025 镇江二模）深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为5km，若采用无人机配送，其行程只需3km，且配送时间比传统方式快15min．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为x km/min，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意得：．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．（2025 宿城区校级二模）分解因式：4x2﹣4y2＝　4（x+y）（x﹣y）　 ．
【解答】解：4x2﹣4y2＝4（x2﹣y2）＝4（x+y）（x﹣y）．
故答案为：4（x+y）（x﹣y）．
12．（2025 常州二模）在打靶演习中需要射击5次，某训练者知道前4次的成绩（单位：环）为：7，9，8，6．要使这5次成绩的方差小于前4次成绩的方差，第5次射击成绩可以是　7或8　 环．
【解答】解：前4次成绩的平均数为：7.5，
要使这5次成绩的方差小于前4次成绩的方差，第5次射击成绩可以是7环或8环．
故答案为：7或8．
13．（2025 常州二模）小明和小丽分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．如图，图象表示他们离甲地的路程s（km）与所用时间t（h）的关系．则小丽的速度是　4　 km/h．
【解答】解：小明从甲地出发，他离甲地的距离随时间t的增大而增大；小丽从乙地到甲地，她离甲地的距离随时间t的增大而减小；
由图象可知，小丽出发2小时所走列出为：18﹣10＝8（km），故小丽的速度是：8÷2＝4（km/h）．
故答案为：4．
14．（2025 南通模拟）把一块含60°角的三角板ABC按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边AB与x轴的夹角∠ABO＝60°，若BC＝2，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为 　（5，0）　 ．
【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
在Rt△ACB中，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
∵AE⊥x轴，
∴∠AEB＝90°，即∠EAB+∠ABO＝90°，
∴∠EAB＝90°﹣60°＝30°，
∴EBAB＝2，AE2，
设OE＝m，则点A的坐标为（m，2），
∵∠ABO＝∠ABC＝60°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABO﹣∠ABC＝60°，
∵CF⊥x轴，
∴∠CFB＝90°，即∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠CBF＝30°，
∴BFBC＝1，CF，
∴OF＝OE+BE+BF＝m+3，
∴点C坐标为（m+3，），
∵点A，C同时落在一个反比例函数图象上，
∴2m（m+3），解得：m＝3，
∴OB＝OE+EB＝3+2＝5，
∴B点的坐标为：（5，0）．
故答案为：（5，0）．
15．（2025 宿城区校级二模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝1，BC＝2，点O是对称中心，点P、Q分别在边AD、BC上，且PQ经过点O．将该纸片沿PQ折叠，使点A、B分别落在点A'、B′的位置，则△BA′B′面积的最大值为 　　 ．
【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O，过点O作OH⊥A′B′于点H．
∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴，
∴，
∵OP＝OQ，OH∥PA′∥QB′，
∴A′H＝HB′，
∴，
∴当B，O，H共线时，△BA′B′的面积最大，最大值为．
故答案为：．
16．（2025 秦淮区二模）如图，正六边形EFGHIJ的顶点E，F，H，I在正方形ABCD的边上，则正方形ABCD与正六边形EFGHIJ的边长的比值是 　　 ．
【解答】解：如图，连接BD，由对称性可知，BD过点G、点J，过点F作FM⊥BD于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBM＝45°，
∵六边形EFGHIJ是正六边形，
∴∠FGM＝60°，
设GM＝a，则FG＝2GM＝2a，FM a，
∴FBFMa，
在Rt△AEF中，∠AFE＝180°﹣45°﹣90°＝45°，EF＝FG＝2a，
∴AFEFa，
∴AB＝AF+FB＝（）a，
∴正方形ABCD与正六边形EFGHIJ的边长的比值是．
故答案为：．
三．解答题（共11小题）
17．（2025 镇江二模）计算：．
【解答】解：
＝﹣2﹣4+（﹣3﹣1）
＝﹣6﹣4
＝﹣10．
18．（2025 秦淮区二模）计算．
【解答】解：


．
19．（2023 苏州一模）解方程：．
【解答】解：，
方程两边都乘x﹣3，得2x+x﹣3＝﹣6，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x﹣3≠0，
所以x＝﹣1是分式方程的解，
即分式方程的解是x＝﹣1．
20．（2025 通州区二模）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE．若 　①或③　 ，则BE＝CF．请从①AC∥DF；②AC＝DF；③∠A＝∠D这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
选择①：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴BC＝EF，
∴BE＝CF；
选择②：无法求解BE＝CF；
选择③：
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴BC＝EF，
∴BE＝CF；
故答案为：①或③．
21．（2025 宿豫区三模）某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚．如图所示，遮阳篷AB长为1.56米，与墙面AD的夹角∠BAD＝67.4°，靠墙端A离地高AD为2.4米，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度BC＝0.2米．
（1）如图1，求遮阳棚上的B点到墙面AD的距离；
（2）如图2，当太阳光线EF与地面DG的夹角为53°时，求阴影DF的长．（参考数据：sin67.4°，cos67.4°，tan67.4°，sin53°，cos53°，tan53°）
【解答】解：（1）如图，过点B作BK⊥AD于点K，
∵AB＝1.56米，sin∠BAD＝sin67.4°，
∴，
∴BK＝1.44．
答：遮阳棚上的B点到墙面AD的距离为1.44米；
（2）如上图，过点C作CH⊥DG于点H，
AK0.6（米），
∴DK＝AD﹣AK＝2.4﹣0.6＝1.8（米），
∴BH＝DK＝1.8（m），
∵BC＝0.2m，
∴CH＝1.8﹣0.2＝1.6（m），
∵∠CFH＝53°，
∴tan∠CFH，
∴
∴FH＝1.2，
∴BK＝1.44米，
∴DH＝BK＝1.44米，
∴DF＝DH﹣FH＝1.44﹣1.2≈0.24（米），
∴阴影DF的长约为0.24米．
22．（2025 镇江模拟）某次科普知识大赛的比赛中有一个抽奖活动．抽奖规则如下：准备三张大小一样、背面完全相同的卡片，三张卡片的正面所写内容分别是消防知识手册、辞海、辞海，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取相应的书籍．
（1）在上述活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后不放回，再随机抽出一张卡片，求抽到的两张卡片上所写内容恰好都是辞海的概率（请用列表或画树状图的方法解答）．
（2）再添加几张和原来一样的“消防知识手册”卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后任意抽出一张，使得抽到“消防知识手册”卡片的概率为，那么应该添加多少张“消防知识手册”卡片？请说明理由．
【解答】解：（1）列表如下：
消防知识手册 辞海 辞海
消防知识手册 （消防知识手册，辞海） （消防知识手册，辞海）
辞海 （辞海，消防知识手册） （辞海，辞海）
辞海 （辞海，消防知识手册） （辞海，辞海）
共有6种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上所写内容恰好都是辞海的结果有2种，
∴抽到的两张卡片上所写内容恰好都是辞海的概率为．
（2）设添加x张“消防知识手册”卡片，则所有卡片共有（x+3）张，“消防知识手册”卡片有（x+1）张，
由题意得，，
解得x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解且符合题意，
答：应该添加4张“消防知识手册”卡片．
23．（2025 通州区二模）已知抛物线M：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过（0，4﹣c），（3，3a+2）两点．
（1）若b＞0，求当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围；
（2）若直线l：与抛物线M有且只有一个公共点，求a的值；
（3）在（2）的条件下，点A（x1，y1）在直线l上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线M上．若x1＝t﹣1，求h的最大值．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得b＝﹣2a，c＝2，
∴y＝ax2﹣2ax+2，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵b＞0，
∴a＜0，即抛物线的开口向下，
此时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，即x≤1；
（2）将b＝﹣2a代入，
得y＝2a2x﹣a2﹣a+2，
∵y＝ax2﹣2ax+2，
∴ax2﹣2ax+2＝﹣2a2x﹣a2﹣a+2，
整理，得x2﹣（2a+2）x+a+1＝0，
∵直线l与抛物线M有且只有一个公共点，
∴方程x2﹣（2a+2）x+a+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2a﹣2）2﹣4×1×（a+1）＝0，
整理得 4a（a+1）＝0，
∵a≠0，
∴a＝﹣1．
∴a的值为﹣1；
（3）当a＝﹣1时，直线l为y＝2x+2，抛物线M为y＝﹣x2+2x+2，
∵x1＝t﹣1，
∴x1+t＝2t﹣1
∵点A（x1，y1）在直线l上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线M上，
∴y1＝2（t﹣1）+2＝2t，
，
∴h＝﹣4t2+8t﹣1﹣2t＝﹣4t2+6t﹣1配方，得，
∵h是t的二次函数，且二次项系数小于0，
∴当时，h有最大值，最大值为．
24．（2025 镇江二模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点A（2，6），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
【解答】解：（1）∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（2，6），
∴m＝2×6＝12，
∴反比例函数的表达式为y（x＞0）；
（2）∵直线y＝kx+b过点A，
∴2k+b＝6，
∵过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点，
∴B（，0），C（0，b），
∵△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，
∴6×||＝2|| |b|，
∴b＝±3，
当b＝3时，k，
当b＝﹣3时，k，
∴直线的函数表达式为：yx+3或yx﹣3．
25．（2025 通州区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠AOD＝2∠B．
（1）求证AB⊥CD；
（2）若，求∠B的正切值．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵∠AOC＝2∠B，∠AOD＝2∠B，
∴∠AOC＝∠AOD，
∵OC＝OD，
∴AB⊥CD；
（2）解：∵OC＝OD，AB⊥CD，
∴CD＝2CE，
∵，
∴，
∴，
设CE＝4x，则OC＝5x，
在Rt△OCE中，OE3x，
∴BE＝OE+OB＝8x，
在Rt△BCE中，tanB．
26．（2025 沭阳县三模）在菱形ABCD中，如图1，对角线AC与BD相交于点O，点P为线段OD上一动点（不与点O、D重合），将线段PO绕着点P顺时针旋转，得到线段PQ，旋转角度与∠ADC相等，过点Q作AD的平行线，交射线OD于点E．
（1）求证：△PQE为等腰三角形；
（2）如图2，若线段BD上存在点H，满足PD＝PH，联结OQ、AQ、HQ、AH．
①则∠OQE＝　90　 °；
②请判断在点P的运动过程中，∠AHQ的大小是否变化？若不变，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，若AB＝4，AC＝6，延长HQ交AD于点F，请直接写出的最小值．
【解答】（1）证明：∵QE∥AD，
∴∠ADB＝∠QEP，
由菱形性质可得∠ADC＝2∠ADB＝2∠QEP，
∵∠QPO＝∠Q+∠QEP，
又∵∠QPO＝∠ADC，
即∠Q+∠QEP＝2∠QEP，
∴∠QEP＝∠Q，
∴PE＝PQ．
（2）解：①由（1）知PE＝PQ，
∴∠PQE＝∠PEQ，
∵PQ＝PO，
∴∠POQ＝∠PQO，
∴∠PQE+∠PEQ+∠POQ+∠PQO＝180°，
从而2（∠PQO+∠PQE）＝180°，
∴∠PQO+∠PQE＝90°，
即∠OQE＝90°，
故答案为：90；
②证明：∠AHQ的大小不变，理由如下：
∵PD＝PH，OP＝PE，
∴OH＝DE，从而BH＝OE．
由菱形性质可知∠AOQ+∠QOD＝90°，
又∵∠QOD+∠QEO＝90°，
∴∠AOQ＝∠QEO＝∠ADB＝∠ABD，即∠ABD＝∠AOQ．
∵，，
∴，
∴△ABH∽△AOQ，
∴∠BAH＝∠OAQ，
从而可得∠HAO＝∠QAG，
由①可知∠OQE＝90°，
延长OQ交AD于点G，如图2所示，
∵QE∥AD，
∴∠AGO＝∠OQE＝90°．
∵∠AOH＝∠AGQ＝90°，
∴△AHO∽△AQG，
∴，∠HAQ＝∠OAG，
∴△AHQ∽△AOG，
∴∠AHQ＝∠AOG，
∵∠AOG大小为定值，
故∠AHQ大小为定值．
（3）解：∵∠ABD＝∠AHF＝∠ADB，
∴△BAH∽△DHF，从而，
设PD＝PH＝x，则DH＝2x，
∵AB＝4，AC＝6，
∴BO＝OD，BD，
故BH，
∴，DF，
∴AF＝4，
∴4，
则当x时，有最小值为．
27．（2025 江苏二模）学科实践
“科学减重、健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召，合理膳食，加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减脂运动，“博 约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自于初三某班级男生平均值）
【初步思考】
通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究：
甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理；
乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定；
丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况；
丁：我们可以建立将反比例函数图象经过适当平移后的函数模型…
设拟合函数为：
【问题解决】
（1）如图，若选取A（50，140），B（75，155），C（150，180）进行拟合，经计算k＝﹣11250，请求出拟合函数表达式．
（2）从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？
（3）①根据图象变换，（1）中图象可由的图象向左平移　75　 个单位，再向上平移　230　 个单位得到：
②点P在（1）中图象上运动，且位于直线y＝x左侧，当点P到直线y＝x距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间．
【解答】解：（1）由条件可得：
．
用第二个方程减去第一个方程消去b：
155﹣140，
（75+a）（50+a）＝﹣11250，
a2+125a﹣15000＝0，
（a+200）（a﹣75）＝0，
解得a＝75或a＝﹣200（舍去，因为a＞0 ）．
把a＝75代入，可得，140＝﹣90+b，
解得b＝230．
∴拟合函数表达式为．
（2）令y＝200，可得．
解得x＝300，
300÷60＝5分钟．
∴跳绳运动5分钟后就应该休息一下；
（3）①函数到，根据“左加右减，上加下减”原则，x变为x+75，图象向左平移了75个单位；整体加230，图象向上平移了230个单位．
故答案为：75，230；
②设与直线y＝x平行的直线方程为y＝x+b．
∵该直线与曲线相切时，该切点到y＝x的距离最大，
∴联立方程，
得到．
∴（x+75）（x+b）﹣（﹣11250）﹣（x+75）×230＝0．
x2+bx+75x+75b+11250﹣230x﹣17250＝0，
x2+（b﹣155）x+75b﹣6000＝0．
∵直线与曲线相切，
∴联立后的一元二次方程x2+（b﹣155）x+75b﹣6000＝0的判别式Δ＝（b﹣155）2﹣4×（75b﹣6000）＝0．
∴b2﹣610b+48025＝0．
∴．
∴x2+（b﹣155）x+75b﹣6000＝0的解为，
∴（舍去）或，
∴最佳运动心率的时间为秒．
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