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【期末押题卷】2024-2025学年高二数学下学期人教版A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 仁寿县期末）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f（e）＝（　　）
A．e B． C．﹣1 D．﹣e
2．（2024秋 安顺期末）已知数列{an}是等差数列，且a25＝2000，a2000＝25，则a2025＝（　　）
A．0 B．﹣25 C．﹣2000 D．﹣2025
3．（2024秋 百色期末）已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an﹣2，若λan≥2log2an+3对任意正整数n恒成立，则实数λ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2020春 滨海新区校级期末）已知函数f（x）是定义在（，）上的奇函数，其导函数为f'（x），当x∈[0，）时，f（x）+f′（x）tanx＞0，则不等式cosx f（x）+sinx f（﹣x）＞0的解集为（　　）
A．（，） B．（，0） C．（，） D．（，0）
5．（2024秋 宁德期末）数列1，﹣2，4，﹣8，16 的一个通项公式an＝（　　）
A．﹣（﹣2）n﹣1 B．2n﹣1 C．（﹣2）n﹣1 D．（﹣1）n2n﹣1
6．（2024秋 深圳期末）已知正项数列{an}满足an﹣an+1＝anan+1，，则a1的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024秋 河南期末）已知Sn与Tn分别是等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和，且，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024秋 丽水期末）已知函数f（x）的图象如图所示，不等式xf′（x）＞0的解集是（　　）
A．（﹣3，﹣2）∪（0，2） B．（﹣3，﹣2）∪（2，3）
C．（﹣2，0）∪（0，2） D．（﹣2，0）∪（2，3）
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 保定期末）已知数列{an}满足，a1＝0，，Sn为其前n项和，则（　　）
A．a5﹣a3＝7 B．a4＝6 C．S11＝225 D．a10+a4＝53
（多选）10．（2022秋 宜丰县校级期末）已知函数f（x）＝ex（x2﹣x+1），则下列选项正确的有（　　）
A．函数f（x）极小值为1
B．函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增
C．当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）的最大值为3e2
D．当时，方程f（x）＝k恰有3个不等实根
（多选）11．（2024秋 广东校级期末）对于无穷数列{an}，下列命题中正确的是（　　）
A．若{an}既是等差数列，又是等比数列，则{an}是常数列
B．若等差数列{an}满足|an|≤2025，则{an}是常数列
C．若等比数列{an}满足|an|≤2025，则{an}是常数列
D．若各项为正数的等比数列{an}满足1≤an≤2025，则{an}是常数列
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 甘肃期末）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S8＝12，S12＝15，则S16＝　 　 ．
13．（2023秋 辛集市期末）若函数在[0，π]上恰有两个极大值点和四个零点，则实数ω的取值范围是 　 　 ．
14．（2024秋 北京期末）已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足，给出下列四个结论：
①{an}的第2项大于1；
②{an}为递减数列；
③{an}为等比数列；
④{an}中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号为　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 克东县校级模拟）已知函数f（x）＝ex+ax+a（a∈R）．
（1）当a＝1时，求f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性，并求最值．
16．（2025 福建模拟）数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1且an+1﹣Sn＝1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列bn满足，求bn的最大值．
17．（2025春 辽宁期中）已知函数，且．
（1）求a的值；
（2）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与函数的图象也相切，求b的值．
18．（2025春 河南月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，．
（1）求证：数列是等差数列．
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn．
①求Tn；
②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数λ的取值范围．
19．（2025春 辽宁期中）在数列中，若存在k（3≤k≤n，k∈N*）项：，，…，，令， s＜t，s，t∈{1，2， ，k}，都有bs＞bt，则称{bm}为{an}的“k—子减列”．
（1）在4项数列{an}中，a1＝3，a2＝8，a3＝2，a4＝1，求出{an}的所有“3—子减列”{bm}；
（2）已知数列{an}满足an＞0，且a1＝1，．
（ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（ⅱ）若数列{an}只有11项，且{bm}为{an}的“k—子减列”，{bm}中任意3项都不构成等比数列，求k的所有取值构成的集合．
【期末押题卷】2024-2025学年高二数学下学期人教版A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D D C A C B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD AC ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 仁寿县期末）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f（e）＝（　　）
A．e B． C．﹣1 D．﹣e
【解答】解：由f（x）＝2xf′（e）+lnx，得f′（x）＝2f′（e），则f′（e）＝2f′（e），所以f′（e），
故f（x）x+lnx，所以f（e）＝﹣1．
故选：C．
2．（2024秋 安顺期末）已知数列{an}是等差数列，且a25＝2000，a2000＝25，则a2025＝（　　）
A．0 B．﹣25 C．﹣2000 D．﹣2025
【解答】解：因为等差数列满足a25＝2000，a2000＝25，
所以a2000＝a25+1975d，
所以，
所以a2025＝a2000+25d＝25+25×（﹣1）＝0．
故选：A．
3．（2024秋 百色期末）已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an﹣2，若λan≥2log2an+3对任意正整数n恒成立，则实数λ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an﹣2，
可得a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2﹣2an﹣1+2，化为an＝2an﹣1，
则数列{an}是首项和公比均为2的等比数列，可得an＝2n，
若λan≥2log2an+3，即λ 2n≥2n+3，即λ对任意正整数n恒成立．
设bn，则bn+1﹣bn0，则数列{bn}为递减数列，
则数列{bn}的最大值为b1，可得λ．
故选：D．
4．（2020春 滨海新区校级期末）已知函数f（x）是定义在（，）上的奇函数，其导函数为f'（x），当x∈[0，）时，f（x）+f′（x）tanx＞0，则不等式cosx f（x）+sinx f（﹣x）＞0的解集为（　　）
A．（，） B．（，0） C．（，） D．（，0）
【解答】解：∵当x∈[0，）时，f（x）+f′（x）tanx＞0 f′（x）sinx+f（x）cosx＞0，
令g（x）＝f（x）sinx，
则当x∈[0，）时，g′（x）＝f′（x）sinx+f（x）cosx＞0，
∴g（x）在[0，）上单调递增，①
又函数f（x）是定义在（，）上的奇函数，
∴g（x）＝f（x）sinx是定义在（，）上的偶函数，②
∵不等式cosx f（x）+sinx f（﹣x）＞0，
∴sin（x）f（x）＞﹣sinx f（﹣x）＝sin（﹣x） f（﹣x），
即g（x）＞g（﹣x），其中x，且x，即x＜0，③
由①②得|x|＞|﹣x|，
解得x，④
联立③④得x＜0，
故选：D．
5．（2024秋 宁德期末）数列1，﹣2，4，﹣8，16 的一个通项公式an＝（　　）
A．﹣（﹣2）n﹣1 B．2n﹣1 C．（﹣2）n﹣1 D．（﹣1）n2n﹣1
【解答】解：数列1，﹣2，4，﹣8，16 中，
a1＝（﹣1）1﹣1×21﹣1＝（﹣2）1﹣1，
（﹣2）2﹣1，
a3＝（﹣1）3﹣1×23﹣1＝（﹣2）3﹣1，
a4＝（﹣1）4﹣1×24﹣1＝（﹣2）4﹣1，
（﹣2）5﹣1，
……
∴．
故选：C．
6．（2024秋 深圳期末）已知正项数列{an}满足an﹣an+1＝anan+1，，则a1的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因为正项数列{an}满足an﹣an+1＝anan+1，
所以，
所以数列{}是以为首项，1为公差的等差数列，
因为，所以，解得a1＝1．
故选：A．
7．（2024秋 河南期末）已知Sn与Tn分别是等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和，且，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：Sn与Tn分别是等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和，且，
由等差数列的性质可知b6+b2020＝b4+b2022＝b1+b2025，
所以．
故选：C．
8．（2024秋 丽水期末）已知函数f（x）的图象如图所示，不等式xf′（x）＞0的解集是（　　）
A．（﹣3，﹣2）∪（0，2） B．（﹣3，﹣2）∪（2，3）
C．（﹣2，0）∪（0，2） D．（﹣2，0）∪（2，3）
【解答】解：由图可得：当x∈（﹣3，﹣2）时，f′（x）＜0，则xf′（x）＞0；
当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＞0，则xf′（x）＜0；
当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，则xf′（x）＜0；
当x∈（2，3）时，f′（x）＞0，则xf′（x）＞0．
则不等式xf′（x）＞0的解集是（﹣3，﹣2）∪（2，3）．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 保定期末）已知数列{an}满足，a1＝0，，Sn为其前n项和，则（　　）
A．a5﹣a3＝7 B．a4＝6 C．S11＝225 D．a10+a4＝53
【解答】解：由a1＝0，，
取n＝1，得a1+a2＝2，则a2＝2，
再由，得，
两式作差可得an+2﹣an＝2n+1．
则a5﹣a3＝2×3+1＝7，故A正确；
a4﹣a2＝5，得a4＝7，故B错误；
S11＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+（a6+a7）+（a8+a9）+（a10+a11）
＝0+（22+1）+（42+1）+（62+1）+（82+1）+（102+1）＝225，故C正确；
a10＝（a10﹣a8）+（a8﹣a6）+（a6﹣a4）+a4＝17+13+9+7＝46，
因此a10+a4＝46+7＝53，故D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（2022秋 宜丰县校级期末）已知函数f（x）＝ex（x2﹣x+1），则下列选项正确的有（　　）
A．函数f（x）极小值为1
B．函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增
C．当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）的最大值为3e2
D．当时，方程f（x）＝k恰有3个不等实根
【解答】解：f（x）＝ex（x2﹣x+1），
f′（x）＝ex（x2﹣x+1）+ex（2x﹣1）＝ex（x2+x）＝xex（x+1），
所以在（﹣∞，﹣1），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（﹣1，0）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
对于A：函数f（x）极小值＝f（0）＝1，故A正确；
对于B：函数f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，故B错误；
对于C：由上可知函数f（x）在（﹣2，﹣1），（0，2）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，
又f（﹣2）＝7e﹣2，f（﹣1）＝3e﹣1，f（0）＝1，f（2）＝3e2，
所以函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值为3e2，故C正确；
对于D：因为f（0）＝1，f（﹣1）＝3e﹣1，
再结合函数的单调性可得，当1＜k时，方程f（x）＝k有3个不等的实根，故D错误，
故选：AC．
（多选）11．（2024秋 广东校级期末）对于无穷数列{an}，下列命题中正确的是（　　）
A．若{an}既是等差数列，又是等比数列，则{an}是常数列
B．若等差数列{an}满足|an|≤2025，则{an}是常数列
C．若等比数列{an}满足|an|≤2025，则{an}是常数列
D．若各项为正数的等比数列{an}满足1≤an≤2025，则{an}是常数列
【解答】解：根据题意：对于无穷数列{an}，
对于A选项，若数列{an}既是等差数列又是等比数列．
对于等差数列，有an+1﹣an＝d（d为公差）；对于等比数列，有（q为公比且q≠0）．
若d≠0，那么an+1＝an+d，不是常数，这与等比数列性质矛盾．所以d＝0，即an+1＝an，所以{an}是常数列，A选项正确．
对于B选项，根据题意：对于无穷数列{an}，
等差数列{an}满足|an|≤2025．
设等差数列{an}的公差为d，若d≠0，当n足够大时，|an|＝|a1+（n﹣1）d|会无限增大，不可能始终满足|an|≤2025．
只有当d＝0时，an＝a1，才能满足|an|≤2025，所以{an}是常数列，B选项正确．
对于C选项，根据题意：对于无穷数列{an}，
等比数列{an}满足|an|≤2025．
例如等比数列，，当n增大时，|an|逐渐减小且始终小于等于1，满足|an|≤2025，但它不是常数列，C选项错误．
对于D选项，根据题意：对于无穷数列{an}，
各项为正数的等比数列{an}满足1≤an≤2025．
设等比数列{an}的公比为q（q＞0），．
若q＞1，当n足够大时，会无限增大，不满足an≤2025；
若0＜q＜1，当n足够大时，会无限趋近于0，不满足1≤an．
所以只有q＝1，此时an＝a1，满足1≤an≤2025，{an}是常数列，D选项正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 甘肃期末）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S8＝12，S12＝15，则S16＝　16　 ．
【解答】解：根据题意，因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列，
所以2（S8﹣S4）＝S4+S12﹣S8，即2（12﹣S4）＝S4+3
解得S4＝7，所以S8﹣S4﹣S4＝﹣2，所以S16﹣S12＝3﹣2＝1，
解得S16＝16．
故答案为：16．
13．（2023秋 辛集市期末）若函数在[0，π]上恰有两个极大值点和四个零点，则实数ω的取值范围是 　　 ．
【解答】解：由，得，
因为当x∈[0，π]时，所以，
又在[0，π]上恰有两个极大值点和四个零点，
所以．
故答案为：．
14．（2024秋 北京期末）已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足，给出下列四个结论：
①{an}的第2项大于1；
②{an}为递减数列；
③{an}为等比数列；
④{an}中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号为　①②④　 ．
【解答】解：对于①，因为，所以当n＝1时，，即a1＝2，
当n＝2时，a2S2＝a2（2+a2）＝4，整理可得，解得，故①正确；
对于②，当n≥2时，由，可得，
两式作差得：，可得an＜an﹣1，
所以数列{an}为递减数列，故②正确；
对于③，假设数列{an}为等比数列，设其公比为q，则，即，
所以，即，解得q＝0，不合题意，
所以数列{an}不是等比数列，故③错误；
对于④，假设对任意的n∈N*，，则，
所以，与假设矛盾，假设不成立，故④正确．
故答案为：①②④．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 克东县校级模拟）已知函数f（x）＝ex+ax+a（a∈R）．
（1）当a＝1时，求f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性，并求最值．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝ex+x+1，求导得：f′（x）＝ex+1，
则f（0）＝2，f′（0）＝2，
则f（x）在（0，f（0））处的切线方程：y﹣2＝2（x﹣0），即y＝2x+2；
（2）f′（x）＝ex+a，
当a≥0时，f′（x）＞0在R上恒成立，故f（x）在R上单调递增，无最值；
当a＜0时，由f′（x）＝0，解得x＝ln（﹣a），
当x＜ln（﹣a）时，f′（x）＜0，则f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减；
当x＞ln（﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）在（ln（﹣a），+∞）单调递增，
所以f（x）在x＝ln（﹣a）有最小值，为f（ln（﹣a））＝eln（﹣a）+aln（﹣a）+a＝aln（﹣a），无最大值．
综上，当a≥0时，f（x）在R上单调递增，无最值；
当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）单调递增，
最小值为aln（﹣a），没有最大值．
16．（2025 福建模拟）数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1且an+1﹣Sn＝1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列bn满足，求bn的最大值．
【解答】解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1且an+1﹣Sn＝1，
当n≥2时，由an+1﹣Sn＝1，
可得an﹣Sn﹣1＝1（n≥2），
两式相减可得an+1＝2an，
令n＝2，则a2＝S1+1＝a1+1＝2，∴，
∴{an}为首项为1，公比为2的等比数列，
∴．
（2）由（1）知：，
则，
所以b1 b2 b3 b4 b5＞...＞bn，
所以当n＝3时，bn有最大值．
17．（2025春 辽宁期中）已知函数，且．
（1）求a的值；
（2）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与函数的图象也相切，求b的值．
【解答】解：（1）因为，所以，
所以，解得a＝2；
（2）由（1）可得，所以，
所以f（1）＝﹣2，f′（1）＝3，
所以f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y+2＝3（x﹣1），即y＝3x﹣5，
联立，得，
所以，解得b＝1或b＝5．
18．（2025春 河南月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，．
（1）求证：数列是等差数列．
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn．
①求Tn；
②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）证明：因为，可得，
所以，
可得，
可得数列是首项和公差为1的等差数列．
（2）①由等差数列的通项公式可得，
所以，可得，
所以，
则．
两式相减，可得
，
所以．
②因为对任意的n∈N+恒成立，
所以，
则对任意的n∈N+恒成立．
令，
可得，
所以数列{cn}是递减数列，
当n＝1时，cn取得最大值，所以，
即实数λ的取值范围是．
19．（2025春 辽宁期中）在数列中，若存在k（3≤k≤n，k∈N*）项：，，…，，令， s＜t，s，t∈{1，2， ，k}，都有bs＞bt，则称{bm}为{an}的“k—子减列”．
（1）在4项数列{an}中，a1＝3，a2＝8，a3＝2，a4＝1，求出{an}的所有“3—子减列”{bm}；
（2）已知数列{an}满足an＞0，且a1＝1，．
（ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（ⅱ）若数列{an}只有11项，且{bm}为{an}的“k—子减列”，{bm}中任意3项都不构成等比数列，求k的所有取值构成的集合．
【解答】解：（1）从a1＝3，a2＝8，a3＝2，a4＝1，4项中任抽3项，
得a1，a2，a3或a1，a2，a4或a1，a3，a4或a2，a3，a4，
即3，8，2或3，8，1或3，2，1或8，2，1，
其中满足“3—子减列”的只有3，2，1或8，2，1，
所以{an}的“3—子减列”{bm}为3，2，1或8，2，1；
（2）（i）由，得，
整理得（an﹣3an+1）（an+an+1）＝0，
又an＞0，则an+an+1＞0，
所以an﹣3an+1＝0，即，
又a1＝1，
所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，
故数列{an}的通项公式为．
（ii）由（i）可得数列{an}为，
要求出k的所有可能取值，则只需求出k的最大值即可，
又，
若，
则成等比数列，不合题意，
则；
若，
则成等比数列，不合题意，
则；
又，
所以，则，
同理可得，且，
所以，
则，这与已知条件矛盾，
所以ki≤6，
此时数列{bn}可以为或
或等等，
其任意3项都不构成等比数列，
所以k的所有取值构成的集合为{3，4，5，6}．
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