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【期末押题卷】2024-2025学年数学八年级下册北师大版
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 萧山区期末）若x＜y，且ax＜ay，则a的值可能是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
2．（2024秋 象州县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE交AB，BC于点D，E，则∠BAE＝（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
3．（2024秋 邓州市期末）如图，在三角测平架中，AB＝AC，在BC的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认BC处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（　　）
A．等腰三角形的三线合一
B．等角对等边
C．三角形具有稳定性
D．等边对等角
4．（2024春 儋州期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（2024秋 安定区期末）若分式的值为0，则x的值是（　　）
A．﹣5 B．5 C．±5 D．0
6．（2023春 邻水县期末）不等式组的整数解的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2024秋 潮阳区期末）已知a＝2023x+2022，b＝2023x+2023，c＝2023x+2024，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2024秋 鹿寨县期末）如图，A是棱长为2的正方体的一个顶点，B是一条棱的中点，将正方体按图中所示展开，则展开图中A，B两点间的距离为（　　）
A． B．3 C． D．
二．填空题（共8小题）
9．（2022秋 秀屿区校级期末）使分式有意义的x的取值范围是 　 　 ．
10．（2019秋 道外区期末）不等式组的解集是　 　 ．
11．（2024秋 梅县区期末）因式分解：a2﹣ab＝　 　
12．（2024秋 东营期末）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是 　 　 边形．
13．（2024秋 方城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的度数为　 　 ．
14．（2024秋 文峰区期末）如图，在△ABC中，已知AB＝4，把△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为 　 　 ．
15．（2024秋 沙坪坝区校级期末）若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有a的值之和是 　 　 ．
16．（2024秋 肥东县期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点P（m，5），则关于x的不等式kx+b≥x+1的解集为 　 　 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 竹溪县期末）解分式方程：．
18．（2024秋 鼓楼区校级期末）先化简，再求值：，其中．
19．（2023秋 雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是CA延长线上的一点，EG∥AD，交AB于点F．求证：AE＝AF．
20．（2024春 滦南县期末）如图1， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案
（1）正确的方案有 　 　 种；
（2）针对上述三种作图方案，请从你认为正确的方案中选择一种给出证明过程．
21．（2024秋 碑林区校级期末）某文具店订购A、B两种具有纪念意义的书签进行销售，若订购A种书签10张，B种书签20张，共花费500元；订购A种书签12张，B种书签40张，共花费840元．
（1）求A、B两种书签每张的进价分别为多少元？（利用二元一次方程组求解）
（2）若文具店购进A、B两种书签共计50张，A种书签不超过B种书签数量的一半，并将A、B两种书签每张分别以28元和21元全部售出，求文具店所获最大利润．
22．（2024秋 定西期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转n°后得到△A′B′C，且点A，B′，A′在同一条直线上，连接AB′．
（1）求n的值；
（2）求AA′的长．
23．（2024春 蒸湘区期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°．
（1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 　 　 秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第 　 　 秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结果）；
（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
24．（2024秋 竹溪县期末）阅读以下材料
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝　 　 ；
（2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4；
（3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．
【期末押题卷】2024-2025学年数学八年级下册北师大版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A C A B D D
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 萧山区期末）若x＜y，且ax＜ay，则a的值可能是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：∵x＜y，且ax＜ay，
∴a＞0，
故选：B．
2．（2024秋 象州县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE交AB，BC于点D，E，则∠BAE＝（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
∵AB的垂直平分线DE交AB，BC于点D，E，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝40°，
故选：D．
3．（2024秋 邓州市期末）如图，在三角测平架中，AB＝AC，在BC的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认BC处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（　　）
A．等腰三角形的三线合一
B．等角对等边
C．三角形具有稳定性
D．等边对等角
【解答】解：这种做法依据的数学原理是：等腰三角形的三线合一．
理由：∵AB＝AC，CD＝BD，
∴AD⊥BC．
∵AD是重锤所在的直线，
∴BC是水平的．
故选：A．
4．（2024春 儋州期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是：
故选：C．
5．（2024秋 安定区期末）若分式的值为0，则x的值是（　　）
A．﹣5 B．5 C．±5 D．0
【解答】解：由题可知，
，
解得：x＝﹣5．
故选：A．
6．（2023春 邻水县期末）不等式组的整数解的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：解不等式x﹣4≥1，得：x≥5，
解不等式3x+6＞4x﹣2，得：x＜8，
则不等式组的解集为5≤x＜8，
∴不等式组的整数解的个数为5、6、7这3个，
故选：B．
7．（2024秋 潮阳区期末）已知a＝2023x+2022，b＝2023x+2023，c＝2023x+2024，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：∵a＝2023x+2022，b＝2023x+2023，c＝2023x+2024，
∴a﹣b＝（2023x+2022）﹣（2023x+2023）
＝2023x+2022﹣2023x﹣2023
＝﹣1，
a﹣c＝（2023x+2022）﹣（2023x+2024）
＝2023x+2022﹣2023x﹣2024
＝﹣2，
b﹣c＝（2023x+2023）﹣（2023x+2024）
＝2023x+2023﹣2023x﹣2024
＝﹣1，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝3，
故选：D．
8．（2024秋 鹿寨县期末）如图，A是棱长为2的正方体的一个顶点，B是一条棱的中点，将正方体按图中所示展开，则展开图中A，B两点间的距离为（　　）
A． B．3 C． D．
【解答】解：连接AB，
∵正方体得到棱长为2，
∴AC＝4，
∵点B是一条棱的中点，
∴CB＝1，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．（2022秋 秀屿区校级期末）使分式有意义的x的取值范围是 　x≠﹣2　 ．
【解答】解：由题意得，x+2≠0，
解得x≠﹣2．
故答案为：x≠﹣2．
10．（2019秋 道外区期末）不等式组的解集是　﹣2＜x≤2　 ．
【解答】解：解不等式5﹣2x≥1，得：x≤2，
解不等式﹣2x＜4，得：x＞﹣2，
所以不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
故答案为：﹣2＜x≤2．
11．（2024秋 梅县区期末）因式分解：a2﹣ab＝　a（a﹣b）　
【解答】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．
故答案为：a（a﹣b）．
12．（2024秋 东营期末）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是 　八　 边形．
【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2） 180°＝3×360°，
解得n＝8，
∴这个多边形为八边形．
故答案为：八．
13．（2024秋 方城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的度数为　108°或72°　 ．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝36°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝36°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA（180°﹣36°）＝72°，
∵∠BAC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∴∠BAD＝108°﹣72°＝36°；
∴∠BDA＝180°﹣36°﹣36°＝108°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝36°，
∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°，
∴∠BDA＝180°﹣72°﹣36°＝72°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是108°或72°．
故答案为：108°或72°．
14．（2024秋 文峰区期末）如图，在△ABC中，已知AB＝4，把△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为 　　 ．
【解答】解：由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，
∴S△ABC＝S△ADE，
∴S阴影＝S△ADE+S扇形BAD﹣S△ABC＝S扇形BAD，
∵旋转角∠BAD＝40°，AB＝4
∴扇形BAD的圆心角∠BAD＝40°，半径AB＝4，
∴S扇形BAD．
∴图中阴影部分的面积为．
故答案为：．
15．（2024秋 沙坪坝区校级期末）若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有a的值之和是 　﹣12　 ．
【解答】解：不等式2x﹣6≤3（x﹣1）的解集为x≥﹣3，
关于x的不等式1﹣x 的解集为x，
∵数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，
∴﹣10，
解得﹣8≤a＜﹣3；
关于y的分式方程的解为y＝5，
∵关于y的分式方程有整数解，
∴a为偶数，
∵分式方程的增根为y＝2，
当y＝2时，即52，解得a＝﹣6，
因此a≠﹣6，
又∵﹣8≤a＜﹣3且a为偶数，
∴a＝﹣8或a＝﹣4，
∴满足条件的所有a的值之和是﹣8﹣4＝﹣12．
故答案为：﹣12．
16．（2024秋 肥东县期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点P（m，5），则关于x的不等式kx+b≥x+1的解集为 　x≤4　 ．
【解答】解：将P（m，5）代入y＝x+1，得
5＝m+1，
解得m＝4．
所以点P的坐标为（4，5）．
所以关于x的不等式kx+b≥x+1的解集为x≤4．
故答案为：x≤4．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 竹溪县期末）解分式方程：．
【解答】解：，
方程两边都乘2﹣x，得3﹣x﹣3（2﹣x）＝﹣x，
3﹣x﹣6+3x＝﹣x，
﹣x+3x+x＝6﹣3，
3x＝3，
x＝1，
检验：当x＝1时，2﹣x≠0，
所以分式方程的解是x＝1．
18．（2024秋 鼓楼区校级期末）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式
，
当时，
原式．
19．（2023秋 雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是CA延长线上的一点，EG∥AD，交AB于点F．求证：AE＝AF．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵GE∥AD，
∴∠AFE＝∠BAD，∠E＝∠CAD，
∴∠AFE＝∠E，
∴AE＝AF
20．（2024春 滦南县期末）如图1， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案
（1）正确的方案有 　3　 种；
（2）针对上述三种作图方案，请从你认为正确的方案中选择一种给出证明过程．
【解答】解：（1）正确的方案有3种；
故答案为：3；
（2）方案甲中，连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵BN＝NO，OM＝MD，
∴NO＝OM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙中，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN⊥BD，CM⊥BD，
∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，
在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（AAS），
∴AN＝CM，
又∵AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙中，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，
∴∠BAN＝∠DCM，
在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（ASA），
∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案丙正确．
21．（2024秋 碑林区校级期末）某文具店订购A、B两种具有纪念意义的书签进行销售，若订购A种书签10张，B种书签20张，共花费500元；订购A种书签12张，B种书签40张，共花费840元．
（1）求A、B两种书签每张的进价分别为多少元？（利用二元一次方程组求解）
（2）若文具店购进A、B两种书签共计50张，A种书签不超过B种书签数量的一半，并将A、B两种书签每张分别以28元和21元全部售出，求文具店所获最大利润．
【解答】解：（1）设A种书签每张的进价为a元，B种书签每张的进价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：A种书签每张的进价为20元，B种书签每张的进价为15元；
（2）设购买A种书签x张，则购买B种书签（50﹣x）张，总利润为w元，
由题意可得：w＝（28﹣20）x+（21﹣15）（50﹣x）＝2x+300，
∴w随x的增大而增大，
∵A种书签不超过B种书签数量的一半，
∴x（50﹣x），
解得x≤16，
∵x为整数，
∴当x＝16时，w取得最大值，此时w＝332，
答：文具店所获最大利润为332元．
22．（2024秋 定西期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转n°后得到△A′B′C，且点A，B′，A′在同一条直线上，连接AB′．
（1）求n的值；
（2）求AA′的长．
【解答】解：（1）由条件可知∠BAC＝30°，
由旋转得A′C＝AC，∠A′＝∠BAC＝30°，
∵A、B′、A′在同一条直线上，
∴∠CAA′＝∠A′＝30°，
∴∠ACA′＝120°，
∴旋转角的度数是120°，即n°＝120°，
∴n的值为120；
（2）由条件可知AB＝2BC＝4，
由旋转得A′B′＝AB＝4，B′C＝BC＝2，∠A′B′C＝∠B＝60°，
由（1）得∠CAA′＝30°，
∴∠ACB′＝∠A′B′C﹣∠CAA′＝30°，
∴∠ACB′＝∠CAA′，
∴AB′＝B′C＝2，
∴AA′＝AB′+A′B′＝2+4＝6，
∴AA′的值为6．
23．（2024春 蒸湘区期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°．
（1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 　9或27　 秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第 　12或30　 秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结果）；
（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
又∵OM平分∠BOC，
∴∠COM∠BOC＝60°，
∴∠CON＝∠COM+90°＝150°；
（2）∵∠OMN＝30°，
∴∠N＝90°﹣30°＝60°，
∵∠AOC＝60°，
∴当ON在直线AB上时，MN∥OC，
旋转角为90°或270°，
∵每秒顺时针旋转10°，
∴时间为9或27，
直线ON恰好平分锐角∠AOC时，
旋转角为90°+30°＝120°或270°+30°＝300°，
∵每秒顺时针旋转10°，
∴时间为12或30；
故答案为：9或27；12或30．
（3）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AON＝90°﹣∠AOM，
∠AON＝60°﹣∠NOC，
∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，
∴∠AOM﹣∠NOC＝30°，
故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．
24．（2024秋 竹溪县期末）阅读以下材料
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝　（x﹣y﹣1）2　 ；
（2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4；
（3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．
【解答】（1）解：令x﹣y＝A，
原式＝A2﹣2A+1＝（A﹣1）2，
将“A”还原，得原式＝（x﹣y﹣1）2；
故答案为：（x﹣y﹣1）2；
（2）解：令 a2﹣4a＝A，
原式＝（A+2）（A+6）+4
＝A2+8A+12+4
＝（A+4）2，
将“A”还原，得：
原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4；
（3）证明：令 n2﹣2n＝A，
原式＝（A﹣3）（A+5）+17
＝A2+2A﹣15+17
＝A2+2A+2
＝（A+1）2+1，
将 A＝n2﹣2n 还原，
原式＝（n2﹣2n+1）2+1＝（n﹣1）4+1，
因为无论n为何值 （n﹣1）4≥0，
所以 （n﹣1）4+1≥1
即式子 （n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17 的值一定是一个不小于1的数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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