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(共64张PPT)
第13章　立体几何初步
13．2　基本图形位置关系
13.2.3　直线与平面的位置关系
第2课时　直线与平面垂直
01
自主学习
02
讲练互动
03
当堂达标
04
巩固提升
学习指导
1.理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性．
2．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题．
3．了解直线和平面所成的角的含义，并会求直线与平面所成的角．
4．理解点到平面的距离、直线到平面的距离的概念．
5．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题．
核心素养
1．直观想象、逻辑推理：直线与平面垂直的判定定理、性质定理．
2．直观想象、逻辑推理、数学运算：求直线与平面所成的角．
1．直线与平面垂直
定义 如果直线a与平面α内的__________直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直
记法 a⊥α
有关
概念 直线a叫作平面α的______，平面α叫作直线a的______，垂线和平面的交点称为______
任意一条
垂线
垂面
垂足
自主学习
图示及
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．
(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．
2．直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的__________直线垂直，那么该直线与此平面垂直
图形语言
符号语言 a⊥m，a⊥n，m α，n α，m∩n＝A a⊥α
两条相交
能将定理中的“两条相交直线”中的“相交”去掉吗？
提示：不能，判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．
3．直线与平面垂直的性质定理
平行
a∥b
(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．
(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．
4．从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离．一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离．
5．直线与平面所成的角
(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的______，斜线与平面的交点叫作______，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段．
如图所示，过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么
过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的______．平
面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的______，叫
作这条直线与这个平面所成的角．
斜线
斜足
射影
锐角
(2)规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角．
(3)范围：直线与平面所成角θ的范围是0°≤θ≤90°.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)
(2)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)
(3)如果直线l与平面α所成的角为60°，且m α，则直线l与m所成的角也是60°.(　　)
(4)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.(　　)
(5)若直线a⊥平面α，直线a⊥直线b，则直线b∥平面α.(　　)
×
×
×
√
√
2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是
(　　)
A．平行　　　　　　　　 B．垂直
C．在平面α内 D．无法确定
√
3．已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则(　　)
A．a∥α B．a α
C．a⊥α D．a是α的斜线
√
4.在正方体ABCD A1B1C1D1中．
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；
(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．
解析：(1)由线面角的定义知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.
(3)因为A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，
又因为AB1∩B1C1＝B1，且AB1 平面AB1C1D，B1C1 平面AB1C1D，
所以A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角为90°.
答案：(1)45°　(2)30°　(3)90°
5．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：

(1)与PC垂直的直线有______________________________________；
(2)与AP垂直的直线有________________________________________．
解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC 平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.
(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，
AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，因为AP 平面PAC，所以BC⊥AP.
答案：(1)AB，AC，BC　(2)BC
探究点1　直线与平面垂直的定义
(1)直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能(　　)
A．平行　　　　　　　　 B．相交
C．异面 D．垂直
√
讲练互动
(2)如果一条直线垂直于一个平面内________，则能保证该直线与平面垂直，选择合适的序号填空(　　)
①三角形的两边
②梯形的两边
③圆的两条直径
④正六边形的两条边
A．①③ B．②
C．②④ D．①②④
√
【解析】　(1)因为直线l⊥平面α，所以l与α相交．
又因为m α，所以l与m相交或异面．
由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.
故l与m不可能平行．
(2)由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③所在的平面；对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直．
对线面垂直定义的理解
(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．
(2)由定义可得线面垂直 线线垂直，即若a⊥α，b α，则a⊥b.　
1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若l⊥m，m α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
√
解析：对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；
对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；
对于C，也有可能是l，m异面；
对于D，l，m还可能相交或异面．
2．下列命题中，正确的序号是________．
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．
解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；
当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；
根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正 确．
答案：③④
探究点2　直线与平面垂直的判定
　 如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A1B1C1中,∠BAC＝90°，AB＝a，A1A＝2a，D为棱B1B的中点．
求证：A1D⊥平面ADC.
(1)线线垂直和线面垂直的相互转化
(2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理．
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
[提醒]　要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．　
如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明：(1)因为AB为⊙O的直径，
所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.
又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，所以BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，
所以AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB 平面PBM，所以AN⊥PB.
又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，
所以PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，所以NQ⊥PB.
探究点3　线面垂直的性质定理的应用
如图，已知正方体A1C.

(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，
求证：MN∥A1C.
【证明】　(1)如图，连接A1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1D1，
B1D1 平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1.
因为四边形A1B1C1D1是正方形，
所以A1C1⊥B1D1.
又因为CC1∩A1C1＝C1，
所以B1D1⊥平面A1C1C.
又因为A1C 平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C.
由(1)知A1C⊥B1D1.
同理可得A1C⊥AB1.
又因为AB1∩B1D1＝B1，
所以A1C⊥平面AB1D1.所以A1C∥MN.
(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．
(2)直线与平面垂直的其他性质
①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；
②若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面；
③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP α；
④垂直于同一条直线的两个平面平行；
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．　
在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，底面对角线AC与BD相交于点O.

(1)求证：BD1∥平面ACE；
(2)求证：BD1⊥AC.
证明：(1)连接OE，在正方体ABCD A1B1C1D1中，
因为OB＝OD，E为棱DD1的中点，所以BD1∥OE，
又因为OE 平面ACE，BD1 平面ACE，
所以BD1∥平面ACE.
(2)在正方体ABCD A1B1C1D1中，
由AC⊥BD，DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以DD1⊥AC，
又因为BD 平面BDD1，DD1 平面BDD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，
又由BD1 平面BDD1，所以BD1⊥AC.
　 如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB的长为4，∠MBC＝60°，求直线MC与平面CAB所成的角的正弦值．
1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是(　　)
A．a⊥b，且a与b相交　　 B．a⊥b，且a与b不相交
C．a⊥b D．a与b不一定垂直
解析：过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．
√
当堂达标
2.在正方体ABCD A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　)
A．平面DD1C1C　　　　　　　　
B．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB
解析：因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.
√
3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线(　　)
A．相交且垂直 B．不相交也不垂直
C．相交不垂直 D．不相交但垂直
解析：如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，
则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与
ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取
BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，
所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD.
√
4．若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为(　　)
A．60° B．45°
C．30° D．90°
√
5.如图所示，四边形ABCD是矩形，AP⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，PA＝AD，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN⊥平面PCD.
所以四边形AENM为平行四边形，
所以AE∥MN.
又因为△PAD为等腰三角形，
所以AE⊥PD，所以MN⊥PD.
连接PM，MC，设AD＝a，AB＝2b，
所以PM2＝a2＋b2，CM2＝a2＋b2，
所以CM＝PM.
又因为N为PC的中点，所以MN⊥PC.
因为PC∩PD＝P，所以MN⊥平面PCD.
本部分内容讲解结束

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