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2025赛季二试模拟（二)
一（体题满分40分）
给定整数n≥2，试求最大的实数Cn,使得对任意满足a1十a2十…+an=0的实娄
1,2,…,0n,都有
Cn∑lal≤∑la-al
1
16i二（体题满分40分）
如图所示，在△ABC中，点E,F在LBAC的平分线上，且满足BE∥CF,△ABF
的外接圆与△ACE的外接圆交于A,X两点，CF与△ACE的外接圆的另一交点为Y,
BE与△ABF的外接圆的另一交点为Z.证明：△XYZN△ABC.
A
Z
E
B
X
内
三（本题满分50分）
设整数n≥3.一次数学竞赛共有3肌名参赛者，他们一共使用n种语言进行交流，并
且每个参赛者恰使用其中3种语言.证明：可以从中选出
种语言，使得不存在参赛
者使用其中超过两种语言，
四（本题满分50分）
设a1,a2,a3,a4是正整数，满足：不能将它们放置在一个圆周上，使得其中任意相邻两
数都互素.试问：至多有多少个这样三元整数组(，j,),其中i,j,k∈{1,2,3,4}且两两不
等，满足(gcd(a,ay)2|ak 这里，gcd(a,b)表示正整数a与b的最大公约数
2025赛季二试棋拟（二)答案
所球大的实数C=员
首先取1==…=-1=t(>0),a■-(h一1%代人不等式，得
2m-1t,a≤nn-4+C≤2
下面正明，对任意演足a1+购十十=0的实数@1，购…，，氰部功
2als&a-外
①
1《cG
(法一)式①等价于
空2a-l“2<22-
②
1d实上，对■1,2…，n都有
会a-l=-at-w++-
≥la4-a)+(a-g)+…+(a4-l
=ha-(a1+a2+…+anl
nlail.
对《=1,2，…n求和即得式②.
(法二)将12，…，中的排负数记为1,1…，四，负数记为一，“，.其
中，k+l=几且四1十么十…十h+h十…十h.于是
∑l4-=+h)+(色+2)+…+(+n)+(+)++h)+…+(a+)
136a
+…+(十h)+十)+…+（十）
+∑-+∑+
< Gh
ikjd
≥（十么十…十）+kh十h+…+边)
=(k+0十十十)=n(百++十)
=2a++++h++t）
从而，式①得证
综上所述，所球大的实数O=分
二如图所示，设CY与△ABF的外接圆的另一交点为P,BZ与△ACE的
外接圆的另-交点为Q.由BB∥CF,知E0=QT,则∠QXY=LEAC.又∠PXY=
∠FPX-∠CYX=FAX-∠OAX=∠EAO,故∠PXY=LQXY.因此，X,P,Q三点
共线.
由E/CF,知尿=P2,故PXZ=BF=BAC,结合LPXY-LEA0=
号BAC,知Px平分aYX2,且yX2=BAC.
另一方面，设∠BAC的平分线与BC交于点D,YXZ的平分线与YZ交于点W,
则
AB BD BE XY YW YP
A0=CD=CF,X2=丽=Z0
①
又由∠BPF=LBAF=∠EAC=∠EYC,知BP∥YE,故四边形BPYE是平行四边形.
类似地，四边形CQZF也是平行四边形.于是，BE=YP,CF=ZQ.代人式①可知
XY AB
XZ-AO
又∠YXZ=∠BAC,故△XYZ△ABC.结论得证
三将所有的语言划分为简单、中等和因难三类，这样的划分方式一共有3”种，并
记所有划分方式的集合为S.对任意一种划分方式8∈S,记其中简单语言的数目为A(),
B(6)是参赛者中可以使用3种简单语言的人数
考忠所有的划分方式8ES,对A()求和的结果为∑A(a)=n3m-1.事实上，由对
称性可知该求和结果对中等和因难语言也，成立，所以对三类语直一并求和的结果应等于划
分方式数与语言数的乘积，即
3>A(s)=3a.n.

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