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5.1.1 从算式到方程
第五章 一元一次方程
第一课时
温故而知新
3+2 10.5-1.5 5×4 3×(6-2)
3+2=5 10.5-1.5=9 5×4=20 3×(6-2)=12
3x+2=5 10.5a-1.5b=9 5p2×4=20 3(6y-2)=12
3x+2 10.5a-1.5b 5p2×4 3(6y-2)
算式
等式
代数式
？
新知探究1
3x+2=5
3(6y-2)=12
5p2×4=20
10.5a-1.5b=9
像这样，含有未知数的等式叫作方程.
注意：方程必须满足两个条件（二者缺一不可）
(1)是等式； (2)化简后含有未知数.
考点解析
例 下列式子中，是方程的有（ ）
① 8+2=10； ② 3x+y=10； ③ x-1； ④ - =x； ⑤ x ＞3；
⑥ x=1； ⑦ a2-1=0； ⑧ b2 ≠-1 .
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
解析：
序号 理由 是否是方程
不含未知数
①
② ④ ⑥ ⑦
③ ⑤ ⑧
含未知数，是等式
不是等式
不是
是
不是
方程一定是等式，但等式不一定是方程
A
新知探究
注意：
(1)方程中的未知数可以用字母x表示，也可以用其他字母表示，如y、z等.
(2)方程中未知数的个数可以是一个，也可以是两个或两个以上，如3x+y=10.
新知探究
甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发，甲队从距大本营1km的一号营地出发，每小时行进1.2km；乙队从距大本营3km的二号营地出发，每小时行进0.8km，多长时间后，甲队在途中追上乙队？
你会用算术方法解决这个问题吗？列算式试试.
甲、乙两队相距 km，
甲、乙两队的速度差是 km/h，
所以甲队追上乙队需要 h.
(3-1)
(1.2-0.8)
(3-1)÷(1.2-0.8)
峰顶
二号营地
一号营地
大本营
新知探究
甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发，甲队从距大本营1km的一号营地出发，每小时行进1.2km；乙队从距大本营3km的二号营地出发，每小时行进0.8km，多长时间后，甲队在途中追上乙队？
下面，我们引入一种新的方法来解决这个问题.
思考：在这个问题中，
已知： .
未知： .
甲乙两队的行进速度及甲乙两队到大本营的距离
行进的时间和路程
新知探究
如果设两队的行进时间为x h，根据“路程=速度×时间”，甲队和乙队行进路程可以分别表示为 和 .
大本营
一号营地
二号营地
峰顶
追上地点
1km
3km
0.8x
1.2x
甲队(1.2km/h)
乙队
(0.8km/h)
乙队距大本营的路程：(0.8x+3)km
甲队距大本营的路程：(1.2x+1)km
想一想，甲队追上乙队时，他们距大本营的路程之间有什么关系？
甲队追上乙队时，他们距大本营的路程相等.
1.2x km
0.8x km
新知探究
1.2x+1= 0.8x+3
甲队距大本营的路程 = 乙队距大本营的路程
用算术方法解题时，列出的算式只含有已知数，对于较复杂的问题，列算式比较困难；
而方程是根据问题中的相等关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数，解决问题比较方便.
新知探究
问题 用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？
思考：本题的相等关系是什么？
设大水杯的单价为x元，那么小水杯的单价为(x-5)元.
买3个大水杯的钱 = 买4个小水杯的钱
3x = 4(x-5).
新知探究
问题 用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？
思考：若将小水杯的单价设为x元？你会列方程吗？
设小水杯的单价为x元，那么大水杯的单价为 元.
3(x+5) =4x.
(x+5)
总结提升
归纳 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法. 这个过程可以表示如下：
列方程的基本思路：
(1)理解题意，弄清已知是什么，未知是什么；
(2)找出题目中的相等关系；
(3)根据相等关系列方程。
实际问题
方程
设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系
典例解析
问题1 下图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其面积是4 0cm2，长是宽的两倍. 这枚纪念币的长和宽分别是多少厘米？
设这枚纪念币的宽为x cm
2x2 =4 0
思考：本题的相等关系是什么？
长×宽= 面积
典例解析
问题2 根据下列问题，设未知数并列出方程：
(1) 某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生？
解：设这所学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为(1-0.52)x。
0.52x - (1-0.52)x = 80.
思考：本题的相等关系是什么？
女生人数-男生人数=80
典例解析
问题3 根据下列问题，设未知数并列出方程：
(2) 如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长.
解：设正方形绿地的边长为x m
5m
扩大后的绿地面积= 500m2
x(x+5)=500
x2+5x=500
x
x+5
思考：本题的相等关系是什么？
巩固练习
根据下列问题，设未知数并列出方程：
1.甲种铅笔每支1.4元，乙种铅笔每支1.8元，用23元钱买这两种铅笔一共买了15支，两种铅笔各买了多少支？
2.有两条电线，第一条长90m，第二条长40 m.要从第一条截下一段接在第二条上，使两条电线长度相等求截下的那段电线的长度(两条电线接头部分的长度忽略不计).
解：设买甲种铅笔x支，则有1.4x+1.8(15-x)=23.
解：设截下x m，则有90-x=40+x.
巩固练习
根据下列问题，设未知数并列出方程：
3.某圆环形状的工件如图所示，它的面积是200cm2，外沿大圆的半径是10cm，内沿小圆的半径是多少厘米
x
解：设內沿小圆半径为x cm，根据相等关系：
大圆面积-小圆面积=200
可以列方程：π×102-πx2 = 200
课堂小结
1、方程的概念：含有未知数的等式叫作方程；
2、列方程的基本思路：
(1)理解题意，弄清已知是什么，未知是什么；
(2)找出题目中的相等关系；
(3)根据相等关系列方程。
课后作业
1.《算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了一道数学问题,大意如下：用绳子测水井深度，若将绳子折成三等份，则井外余绳4尺；若将绳子折成四等份，则井外余绳 1尺.问绳长和井深各多少尺？
2.甲、乙两人分别从相距30千米的A，B两地骑车相向而行，甲骑车的速度是 10千米/时，乙骑车的速度是8千米/时，甲先出发25分钟后，乙骑车出发，问乙出发后多少小时两人相遇？(只列方程)
莉莉：设乙出发后x小时两人相遇，列出的方程为25×10+8x+10x=30.
请问莉莉列出的方程正确吗？如果不正确，请说明理由并列出正确的方程.

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