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2024-2025学年重庆市“大一联盟”高一下学期5月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量与，若，，且向量与的夹角为，则( )
A. B. C. D. 或
3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
4.已知正四棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱长，则该正四棱台的体积是( )
A. B. C. D.
5.记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则中最大的边长为( )
A. B. C. D.
6.在中，为三角形的重心，为边上靠近的三等分点，设，则用，表示为( )
A. B. C. D.
7.若函数的图象上有两个相邻顶点为，将的图象沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位后得，则为( )
A. B. C. D.
8.已知直角梯形中，，，且，，点是内含边界任意一点，设，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数，下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若且是纯虚数，则
D. 若复数是方程的根，则在复平面内对应的点位于第二象限
10.在棱长为的正方体中，点，，分别为，，的中点，则下列说法正确的是( )
A. 直线平面
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 直线与直线是异面直线
D. 平面截正方体所得截面面积为
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 是以为周期的周期函数 B. 在上单调递减
C. 的最大值为 D. 存在，使得为奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且与互相垂直，则 ．
13.在直三棱柱中，侧棱长为，，且，为中点，则二面角的正切值为 ．
14.已知函数在区间上单调递减，且存在唯一实数，使得，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，若且．
设，，，判断的形状，并说明理由；
求在上的投影向量结果用坐标表示．
16.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，点，分别为棱，的中点，点为棱上的动点含端点．
求三棱锥的体积；
当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，且满足，点在上，且是角的平分线，．
求角的大小；
若，求的面积．
18.本小题分
如图，在矩形中，，．为边上一点且，为线段上的动点不含端点过作的平行线交于，现将四边形沿翻折成如图的直二面角．
若，求证：；
在的条件下，求直线与直线所成角的正切值；
当直线与直线所成角最大时，求的长．
19.本小题分
定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”其中为坐标原点．
已知为的相伴向量，求的值；
已知为函数的相伴向量，若在中，角，，的对边分别为，，，其中，角满足若点是的外心，是的中点，求的最大值；
对于中的，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：，
解得，
因为，，，
，，，
又得，
是等腰直角三角形
在方向上的投影向量为：，，
因为，，
所以所求投影向量为
16.解：；
当平面平面时，
因为平面平面，平面平面，所以．
在正方形中，连接，
，分别是，的中点，，且，
是平行四边形，，与重合．
连接交于，连接交于，易得为正方体的中心且在平面上，
连接，易得，
又平面，，
，平面，
即为所求线面角．
在中，，
所求线面角的余弦值为．
17.解：由题意，得，
所以，
所以，
因为，所以，所以；
因为平分角，所以，
因为，
所以，
所以．
又，所以，
解得，舍去，所以，
所以．
18.证明：连，在四边形中，
，，，，∽，
，
，
，．
又在直二面角中，，平面，．
，平面，
平面，；
解：由题意，平行且等于平行且等于，是平行四边形，，
与所成角即为与所成角，记为，
由图知，
，
所求线线角的正切值为；
解：设，，则，，
，
当且仅当，即时，取得最大值此时．
19.解：由题意得，
又，
所以．
因为，所以；
由题意得
在中，由，得，而，则，
由正弦定理得的外接圆半径．．，
由点为的外心，得，且，
，
由且，得，，
因此当，即时，
所以的最大值为．
向量的相伴函数为，
当时，，
即，恒成立，
所以当，即时，，
所以，即，
由于，所以的最小值为，
所以
当，，不等式化为成立．
当，时，，
所以，
即，
由于，所以的最大值为，
所以．
综上所述，的取值范围是
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