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2024-2025学年重庆市“大一联盟”高二下学期5月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.已知与之间具有相关关系，并测得如下一组数据，与之间的经验回归方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
3.函数的极小值点为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的导函数为偶函数，图象如图所示，则函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.近年来，人工智能赋能各行各业蓬勃发展，成为推动经济高质量增长的重要力量．从传统制造业到现代服务业，从能源领域到医疗健康，人工智能的应用场景不断拓展，为产业发展带来了前所未有的变革．已知有甲、乙、丙三类模型，其各自的应答准确率分别为、、，现有一个问题需要模型辅助解决，选择甲、乙、丙的概率分别为、、则该问题的应答准确率为( )
A. B. C. D.
6.名同学分别戴了顶不同的帽子参加聚会，参加聚会时出于礼仪他们需要将帽子脱下放置于一个不透明的空的储物箱中，参加完聚会以后名同学随机从这个储物箱中取出顶帽子，则至少有人戴错帽子的事件数为( )
A. B. C. D.
7.已知函数为自然对数的底数，，直线与和都相切，则直线的方程是( )
A. B.
C. 或 D. 或
8.对任意，，都有恒成立，则实数的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有装有若干黄球和若干白球的不透明盒子，下列说法正确的是( )
A. 从盒子中摸出一个球，记录黄球的个数，则服从两点分布．
B. 从盒子中不放回的依次取个球，则这个试验是重伯努利试验．
C. 利用样本估计总体中黄球的比例，采用不放回摸球估计的结果更可靠
D. 用表示有放回方式下摸出黄球的个数，已知，则．
10.有甲、乙、丙、丁、戊五名同学，下列说法正确的是( )
A. 名同学参加学校内的社团活动，已知有个社团供学生选择，则不同的选择方法有种
B. 名同学排成一排，甲乙相邻且丙丁不相邻，则不同的排法有种
C. 名同学排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种
D. 若将名同学分配到个班进行宣讲，每班至少名同学，且每名同学只去个班，则有种不同的分配方案
11.已知函数，下列说法正确的是( )
A.
B. 当且仅当时，方程有两个不等的实根
C. 对区间上任意两个实数，都有
D. 设，只有一个极值点，则实数的范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从正态分布，且，则 ．
13.已知在定义域上单调递减，则的取值范围是 ．
14.由个与个组成的数列，，，满足对任意的都有，则这样的数列有 个
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求在处的切线方程；
求在上的最大值．
16.本小题分
二项式展开式前三项的二项式系数和为．
求的值；
求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；
求展开式中的所有的有理项．
17.本小题分
某区为了研究高二年级同学的体质健康成绩与学习成绩的关系，从全区的高二年级同学中随机抽取人，将他们的体质健康成绩单位：分分成，，，，五组，并绘制如下频率直方分布图．
求的值．
若一位同学体质健康成绩大于，则认为他的“体质健康成绩高”，反之，则认为他的“体质健康成绩低”，现在统计这名同学的体检健康成绩与学习成绩情况，得到列联表如下：
体质健康成绩高 体质健康成绩低 总计
学习成绩高
学习成绩低
总计
(ⅰ)补全表格，并说明是否有的把握认为学生的体质成绩高低与学习成绩高低有关？
(ⅱ)从全区的高二学生中随机抽取名学生，记其中“体质健康成绩高”的学生人数为，求的数学期望与不小于的概率．
附：．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时恒成立，求实数的最小值
当时，方程有个解，求的取值范围．
19.本小题分
现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中．
设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望；
设结束后，细胞数量为的概率为．
求；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.易知函数的定义域为，
所以，
则，
当时，，即切点为，
所以切线方程为
令，得令，得或，
故函数在上单调递增，在和上单调递减，
所以在和上单调递减。
即在时取得极大值
又，
所以在上的最大值为
16.展开式前三项的二项式系数和为，，
，或舍，故的值为
先计算各项的系数和，令，得，故各项的系数和为．
再计算各项的二项式系数和，
故比值为
由二项式展开式的通项公式知：，，，
为有理项，，
所有的有理项为，
17.解：由题意可得：每组的频率依次为，，，，，
则，则，解得；
由题意可得列联表为
体质健康成绩高 体质健康成绩低 总计
学习成绩高
学习成绩低
总计
由列联表中数据，计算可得，
所以有的把握认为学生的体质成绩健康高低与学习成绩高低有关；
从全区的高二学生中随机抽取一名学生，
则他“体质健康成绩高”的概率
，
设表示这名学生中“体质健康成绩高”的人数，则∽，
则，
．
所以其中“体质健康成绩高”学生人数不低于人的概率为．
18.解：函数的定义域为，求导得，
当时，由，得由，得，函数在上单调递增，在上单调递减：
当时，由，得或由，得，函数在，上单调递增，在上单调递减
当时，恒成立，函数在上单调递增：
当时，由，得或由，得，函数在，上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，函数的递增区间为，递减区间为
当时，函数的递增区间为，，递减区间为
当时，函数的递增区间为当时，函数的递增区间为，，递减区间为
由知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则，
依题意，，即恒成立，
令函数，求导得，
当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，
即，
因此，所以最小值为
方程有个解有个解
当时，，
由知：当时，函数在，上单调递增，在上单调递减，，
当时，，
当时，，
的图象大致如图所示：
显然，当时，方程有个解，
依题意，方程有个解
即
19.解： 个 结束后， 的取值可能为 ，其中 ，
，
， ，
所以 分布列为
．
表示分裂 结束后共有 个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成 个 细胞不妨设在第 时分裂为 个 细胞，之后一直有 个 细胞，
此事件概率 ，
所以
．
代表分裂 后有 个细胞的概率，设细胞 在 后分裂为 个新的 细胞，这两个 细胞在剩下的 中，其中一个分裂为 个 细胞，一个保持一直分裂为 个 细胞，此事件的概率
，
得 ，
，
其中 ， ．
令 ， ，
记 ， ，令 ，得 ．
当 ， ， 递增；
当 ， ， 递减．
故 ，
也就是 ．
第1页，共1页

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