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2024-2025学年安徽省“江南十校”高一下学期5月份阶段联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，，则向量在向量上的投影向量坐标为( )
A. B. C. D.
3.如图，用斜二测画法得到的平面四边形的直观图为矩形，已知，则四边形的周长为( )
A. B. C. D.
4.如图，在任意平面四边形中，，分别是，的中点，若，则( )
A. B. C. D.
5.下列四个命题
直线不平行于平面，，则平面内不存在与平行的直线
两直线平行是它们与同一平面所成的角相等的充分不必要条件
平面平面，过内的任意一点作与交线的垂线，则此垂线必垂直于平面
空间中，一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．
其中正确的命题是( )
A. B. C. D.
6.已知圆台上底面圆与下底面圆半径之比为，其内切球半径为，则该圆台母线长为( )
A. B. C. D.
7.某种积木的玩法是通过用不同形状的积木穿过对应的孔洞，来锻炼儿童的手眼协调能力现有一块积木的形状如图所示，该积木由个棱长为的正方体构成，在边长为的正方形木板上挖出下列四种形状的孔洞空白部分，则不能使该积木从中穿过的为( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，的对边分别为，，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，下列选项正确的是( )
A. 的虚部是 B. C. D.
10.在中，角，，的对边分别为，，，，，下列选项正确的是( )
A. 若边上的高为，则
B. 若只有一解，则
C. 当为锐角三角形时，的取值范围是
D. 的取值范围是
11.在中，，，点满足，将沿直线翻折到的位置，下列选项正确的是( )
A. 若，则 B. 异面直线和所成角的最大值是
C. 点到平面距离的最大值为 D. 三棱锥的体积取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面直角坐标系中，已知，，，若，则 ．
13.为加快推进“光网”双千兆城市建设，在安徽某地地面有四个基站，，，，已知，两个基站建在长江南岸，相距，基站，在长江北岸，测得，，，，则，两个基站的距离 ．
14.两个有公共底面的正三棱锥与，它们的顶点均在半径为的球面上，若二面角的大小为，则的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在梯形中，，，，，，
求将梯形绕直线旋转一周所围成几何体的体积
求将梯形绕直线旋转一周所围成几何体的表面积．
16.本小题分
如图，在中，是边的中点，，与相交于点，记，．
用，表示向量
若，且，求
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，为线段上一点，且C.
求
若，且，求的最小值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，为棱上的动点，．
当在棱什么位置时，平面
若．
(ⅰ)求证：平面
(ⅱ)连接，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
一般地，任何一个复数代数形式都可以表示成的形式，其中，，是以轴的非负半轴为始边，向量复数在复平面中对应的向量所在射线为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式若复数，在复平面内对应的向量为，，则两个复数，相乘：，它的几何意义为向量绕点按逆时针方向旋转角如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角，再把它的模变为原来的倍，得到的向量表示的复数就是积现在在复平面的上半平面内包含坐标轴有一个菱形，，，三个点在单位圆上，其对应的复数分别为，，．
若，求用代数形式表示
如图，点，以为直角顶点作等腰直角在轴上方
(ⅰ)当时，是否存在复数，使得长度为，若存在，求出复数用三角形式表示，辐角若不存在，请说明理由
(ⅱ)当时，向量，求的取值范围．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14.
15.解：作，为垂足，易知，
，则，
，
将四边形绕直线旋转一周形成圆柱，，
将绕直线旋转一周形成圆锥，，
将四边形绕直线旋转一周所围成几何体的体积为；
四边形绕直线旋转一周所成几何体为圆台，其表面积分成三部分，
以为半径的圆的面积为，
以为半径的圆面积为，
以为母线的圆台的侧面积为，
该几何体的表面积为．
16.解：设
又是边的中点，
又C、、三点共线，则
解得
由可知

17.解：，
由正弦定理可知，
又，
，
又，
，
又，
；
由知，
而，
即
所以为平分线， ，
又
，又，
，即，
，
当且仅当，时取等号，
所以得最小值为．

18.解：当为中点时，平面，
四边形为菱形，
为中点，
又为中点，
，
又平面，平面，
平面；
底面，底面，
，
又四边形为菱形，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
，
又，取中点为，连接，则，
知为中点，同时为中点，
，则，
又，，平面
平面；
不妨设，
由底面，底面，知，
，，，，，
，
，
记点到平面的距离为，
，
又，
知，
记与平面夹角为，
则

19.菱形，且、、三点都在单位圆上
即，
由复数乘法的几何意义知：
不妨令，，
又，令对应的复数为，则．
设对应的复数为，由复数乘法几何意义知
记对应的复数为，
又，
，即
令，，
又结合易知对应的复数为
又，
即
又，即

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