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2024-2025学年广东省天天向上联盟高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为( )
A. B. C. D.
4.已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前项和为，若，则( )
A. 或 B. C. D.
5.等比数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
6.已知函数与的图象如图所示，则函数( )
A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是减函数
C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是减函数
7.用半径为的圆形铁皮剪出一个扇形，制成一个圆锥形容器，容器高为，当容器的容积最大时，( )
A. B. C. D.
8.若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的首项为，且满足，则( )
A. 为等差数列 B. 为递增数列
C. 的前项和 D. 的前项和
10.某中学，，，，五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是( )
A. 所有不同的分派方案共种
B. 若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共种
C. 若每个社团至少派名志愿者，且志愿者必须到甲社团，则所有不同分派方穼共种
D. 若每个社团至少有个学生选，且学生，不安排到同一社团，则所有不同分派方案共种
11.已知函数，则下列命题中正确的是( )
A. 是的极大值
B. 当时，
C. 当时，有且仅有一个零点，且
D. 若存在极小值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，常数项为______用数字作答
13.已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，，则 ______．
14.已知函数的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
混放在一起的件不同的产品中，有件次品，件正品现需通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束．
一共抽取了次检测结束，有多少种不同的抽法？
若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法？要求：解答过程要有必要的说明和步骤
16.本小题分
已知函数在处取得极值．
求，的值；
求在上的最大值和最小值．
17.本小题分
记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
求的通项公式；
证明：．
18.本小题分
已知函数为自然对数的底数，
讨论的单调性；
证明：当时，
19.本小题分
对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的．
证明：如果是等差数列，则是“优分解”的．
记，，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列．
设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，，，求的通项公式．
参考答案
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14.
15.解：有以下两种情况：
次均为正品，共有种；
前次抽到件正品件次品，且第次抽到次品，共种；
则共有种．
由题意知，第二次抽到的必是正品，
共抽取次或次检测结束，
当抽取次结束时，第次抽到的必是次品，
共有种抽法；
当抽取次结束时，若第次抽到正品且第次抽到正品，
则共有种抽法；
若第次抽到的是正品且第次抽到的是次品，
则共有种抽法；
则检测结束时有种抽法．
16.解：因为，
所以．
依题意得，，即．
解得，，经检验，，符合题意．
由可知，．
令，得舍去，．
当在上变化时，，的变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减
又，
所以在上的最大值为，最小值为．
17.解：已知，是公差为的等差数列，
所以，整理得，，
故当时，，，
得：，
故，
化简得：，，，，；
所以，
故首项符合通项．
所以．
证明：由于，
所以，
所以．
18.解：，
当时，，在上单调递减
当时，由可得，故时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
由知，，
只需证，
即证，
设，，
则，
令
则在上递减，在上递增，
，
又，故，
即成立，所以原不等式成立．
19.解：证明：因为是等差数列，设公差为，则，
令，，则为等差数列，为等比数列，并且，
所以是“优分解”的，结论成立．
证明：因为数列是“优分解”的，则存在等差数列和等比数列，使得，设的公差为，的首项为，公比为，
则
，
所以，
当时，对一切，
当时，对一切，，这时数列是首项为，公比为的等比数列．
因此，结论成立．
解：因为数列是“优分解”的，所以存在等差数列和等比数列，
使得，设的公差为，的公比为，
由已知，，，即
当时，不合条件；
当时，，因为也是“优分解”的，所以，
于是，解得：，所以，，
因此，．
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