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2024-2025学年河北省石家庄市辛集市高二（上）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设向量，，且，，则( )
A. B. C. D.
2.在四面体中，点在上，且，为中点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
3.若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.直线：参数，的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.点是椭圆：上一点，点，分别是椭圆的左、右焦点，且，则的面积为
A. B. C. D.
6.已知直线与直线的交点为，则点到直线距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线：的焦点为，直线与交于点，在第一象限，以为直径的圆与的准线相切于点若，则下列说法不正确的是( )
A. ，，三点共线 B. 的斜率为
C. D. 圆的半径是
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.圆和圆的交点为，，则有( )
A. 公共弦所在的直线方程为
B. 线段中垂线方程为
C. 公共弦的长为
D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
10.如图，内接于圆，为圆的直径，，，平面，为的中点，若三棱锥的体积为，则下列结论正确的有( )
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 直线与平面所成的角的余弦值为
C. 点到平面的距离为
D. 平面与平面所成的角的大小为
11.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过的直线与圆：相切于点，且直线与双曲线及其渐近线在第二象限的交点分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 直线是的一条渐近线 B. 若，则的渐近线方程为
C. 若，则的离心率为 D. 若，则的离心率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ______．
13.已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的离心率为 ．
14.数学家欧拉年在其所著的三角形几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，已知，，，
求边的高线的方程；
求边的中线的方程；
求的平分线的方程．
16.本小题分
已知直线，圆：
求证：无论取何值，直线均与圆相交；
已知、是圆的两条相互两直的弦，且垂足为，求四边形的面积的最大值．
17.本小题分
如图，已知四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，是正三角形，，，，分别为，，，的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求点到平面的距离；
Ⅲ线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点，，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为：．
求这两条曲线的方程；
求曲线以点为中点的弦所在直线的方程；
若为两条曲线的交点，求的余弦值．
19.本小题分
已知抛物线：与双曲线在第一象限内的交点到原点的距离为．
求抛物线的标准方程；
设直线与抛物线交于、两点，且直线、的倾斜角互补，求直线的斜率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：在中，已知，，，
依题意，直线即轴，故边上的高线必垂直于轴，且经过点，
故边的高线的方程为；
边的中点为，因边的中线经过点，
故中线方程为：，即；
如图，设的平分线的斜率为，而边和的斜率分别为，
则由，解得或．
当时，由图知，显然不符合题意；
当时，因，则的平分线的方程为，即．
16.证明：将直线整理可得：，
令，解得，所以直线过定点，
将点代入圆的方程可得，所以点在圆：内部，
故无论取何值，直线均与圆相交；
解：设圆心到，的距离分别为，，则，
则，，
所以四边形的面积，
当且仅当，即时，等号成立．
所以四边形的面积最大为．
17.解：Ⅰ证明：因为是正三角形，是的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
又，，平面，
所以面；
Ⅱ因为，，两两互相垂直，
故以点为原点，的方向分别为，，轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
则，
设平面的一个法向量为，
则有，令，得，
又，
则点到平面的距离；
Ⅲ设，，
则，
所以点到面的距离为定值，
，
，
故，
解得：或．
18.解：中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点，，
，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为：，
设椭圆方程为，
双曲线方程为，，
则，解得，，
则，，
因此，椭圆方程为，双曲线方程为；
曲线以点为中点的弦的两端点分别为、，
由中点坐标公式可得，，
若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，
因为，这两个等式作差可得，
所以，，可得，
所以，直线的方程为，即，
检验：联立可得，
则，合乎题意，
因此，曲线以点为中点的弦所在直线的方程为；
不妨设、分别为两曲线的左、右焦点，是两曲线在第一象限的交点，
设，，由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，
解得，，
在中，由余弦定理可得．
19.解：设，
因为抛物线与双曲线在第一象限内的交点到原点的距离为，
所以，
解得，
即，
因为点在抛物线上，
所以，
解得，
则抛物线的标准方程为；
易知直线，的斜率存在非零且互为相反数，
设的斜率为，
可得直线的方程为，
则直线的方程为，
设，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
解得，
同理得，
所以，，
此时，
则．
故直线的斜率为．
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