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2024-2025学年天津市红桥区高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数，则( )
A. B. C. D.
2.某射手射击所得环数为的概率分布如下表所示，此射手“射击一次命中环数不小于”的概率为( )
A. B. C. D.
3.曲线的单增区间为( )
A. B. C. D.
4.给出下列四个命题：
从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样；
样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度；
回归直线必过定点；
在回归方程中，当每增加一个单位时，就增加个单位．
其中正确命题的序号是( )
A. B. C. D.
5.曲线在点处的切线方程为，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
6.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
7.若函数满足，则的值为( )
A. B. C. D.
8.袋中装有个形状大小均相同的小球，其中有个红球和个白球．从中不放回地依次摸出个球，记事件“第一次摸出的是红球”，事件“第二次摸出的是白球”，则( )
A. B. C. D.
9.设，是定义域为的恒大于零的可导函数，且，则当时，有( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.曲线以点为切点的切线的倾斜角为______．
11.设、为两个事件，已知，，则 ______．
12.当函数取极小值时，则 ______．
13.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ．
14.曲线在点处的切线方程为 ．
15.随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从“天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区”这个景点中随机选择个景点游玩，记事件为“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件为“两位游客选择的景点不同”，则 ， ____．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记分、分、分，若某项指标不合格，则该项指标记分，各项指标检测结果互不影响．
求该项技术量化得分不低于分的概率；
记该技术的兰个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望．
17.本小题分
已知函数在处有极值．
求，的值；
求的单调区间．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ若，求函数的极值；
Ⅱ若在区间上，恒成立，求正实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
设，若恒成立，求实数的取值范围；
若有两个零点，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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16.解：设该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过量化检测合格分别为事件，，“该项技术量化得分不低于分”表示为，又与为互斥事件，且，，相互独立．
．
该技术的三个指标中被检测合格的指标个数随机变量的取值为，，，．
．
．
，
．
的分布列为：


．
17.解：，又在处有极值，
即解得，；
由可知，其定义域是，
，．
由，得；由，得．
函数的单调递减区间是，单调递增区间是．
18.解：Ⅰ当时，，，
令，得或，令，解得：，
函数在，递增，在递减；
函数的极大值是，极小值是；
Ⅱ，令，
解得：，
当时，即时，在区间单调递减，
，解得：，不合题意，舍；
当时，即时，在区间递减，在递增，
，无解，舍；
当时，即时，在区间单调递增，
，解得：，符合题意，
综上，正实数的范围是：．
19.解：当时，，
，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
，
若恒成立，则恒成立，
所以恒成立，
令
，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以，
故的取值范围为．
若有两个零点，则有两个零点，
所以在上有解，
所以在上有解，
令，，
，
令，，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，且，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，
又在上，；在上，，
所以的取值范围为
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