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广东省广州市2024-2025学年高二下学期数学期末测试押题预测卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 辽宁模拟）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S2＝4，S6＝7，则S4＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（5分）（2025春 镇江期中）若函数，则导函数f′（x）＝（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）设随机变量X～N（4，σ2），且P{4＜X＜8}＝0.4，则P{X≤0}＝（　　）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
4．（5分）（2024春 南充期末）从A村去B村的道路有2条，从B村去C村的道路有3条，则从A村经B村再去C村，不同路线的条数是（　　）
A．5 B．6 C．8 D．9
5．（5分）（2025 江苏模拟）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐．经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有10%的学生第二天会到楼下食堂用午餐；而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有15%的学生第二天会到楼上食堂用午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（　　）
A．700 B．800 C．900 D．1000
6．（5分）（2022秋 金安区校级月考）高三模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各批次“学科上线有双分”的分数线．考生总成绩达到总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成绩达到及学科上线有双分的称为单科上线．学科对总分的贡献或匹配程度评价有很大的意义，利用“学科对总分上线贡献率”和“学科有效分上线命中率”这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有效安排备考复习计划具有十分重要的意义．安徽省某高中2023届高三参加10月份九师联盟联考，划定总分一本线为485分，数学一本线为104分，根据该校理科一本总体命中率、贡献率分析，下列说法正确的是（　　）
理科一本总体命中率、贡献率分析
总体 总分（485） 语文（93） 数学（104） 英语（109） 物理（69） 化学（62） 生物（72）
总体上线761人 单上线 499人 715人 541人 714人 597人 629人
双上线 451人 662人 502人 661人 574人 603人
A．语文学科有效分上线命中率为59.26%
B．数学学科对总分上线贡献率为86.99%
C．物理学科对总分上线贡献率最高
D．生物学科有效分上线命中率最高
7．（5分）（2024秋 商洛期末）将3张相同的消费券分给9个人，每人至多分到1张，则不同的分法共有（　　）
A．60种 B．72种 C．84种 D．90种
8．（5分）（2022秋 江宁区校级期末）若存在实数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足g（x）≤kb+b≤f（x）恒成立，则称直线y＝kx+b为f（x）和g（x）的一条“划分直线”，下列命题正确的是（　　）
A．函数f（x）＝x2和g（x）＝2elnx之间没有“划分直线”
B．是函数f（x）＝x2和g（x）＝2elnx之间存在的唯一的一条“划分直线”
C．y＝3x是函数f（x）＝x2和之间的一条“划分直线”
D．函数f（x）＝x2和之间存在“划分直线”，且b的取值范围为（﹣4，0）
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）（2024春 蚌埠期末）已知由样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点（1.3，2.1）和（4.7，7.9）的误差较大，剔除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（　　）
A．变量x和y具有负相关关系
B．剔除后不变
C．剔除后的回归直线方程为
D．剔除后对应于样本数据点（2，3.75）的残差为0.05
（多选）10．（6分）已知（）n（a≠0）展开式的所有项的系数之和为1，且仅有第4项的二项式系数取到最大值，则下列说法中正确的是（　　）
A．展开式的常数项为60
B．第4项的系数最大
C．展开式中共有4个有理项
D．所有项的二项式系数的和为128
（多选）11．（6分）（2023 辽宁模拟）“内卷”是一个网络流行词，一般用于形容某个领域中发生了过度的竞争，导致人们进入了互相倾轧、内耗的状态，从而导致个体“收益努力比”下降的现象．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）；它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第3个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为a1，后续各正方形边长依次为a2，a3，…，an；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为b1，后续各直角三角形面积依次为b2，b3，…，bn，…．下列说法正确的是（　　）
A．数列{an}是以4为首项，为公比的等比数列
B．从正方形ABCD开始，连续3个正方形的面积之和为
C．使得不等式成立的最大值为4
D．数列{bn}的前n项和Sn＜4
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）（2024 海珠区校级模拟）在数列{an}与{bn}中，已知a1＝b1＝2，an+1+bn+1＝2（an+bn），an+1bn+1＝2anbn，则　 　 ．
13．（5分）（2024秋 武汉校级月考）无人酒店是利用人工智能与物联网技术为客人提供自助入住等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感．去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择．某游客去该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8；如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，则该游客第二天入住无人酒店的概率为　 　 ．
14．（5分）（2024秋 焦作期中）已知函数f（x）＝x3+x+1，若关于x的不等式f（ax﹣1）+f（﹣xlnx）＞2的解集中有且仅有2个整数，则实数a的最大值为 　 　 ．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）（2024秋 蓟州区月考）已知函数f（x）＝ex﹣1﹣x．
（1）求y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若存在，满足a﹣ex+1+x＜0成立，求a的取值范围．
16．（15分）（2024春 揭阳期末）南方游客勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的喜爱．某新闻媒体机构随机调查了男、女性游客各100名，统计结果如下表所示：
对滑雪的喜爱情况 性别 合计
男性游客 女性游客
喜欢滑雪 60 35 95
不喜欢滑雪 40 65 105
合计 100 100 200
（1）依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联？
（2）冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个滑雪基本动作（起步、滑行、转弯、制动）进行指导．据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为，且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立．若这四个滑雪基本动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号．求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率．
附：．
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
17．（15分）（2024春 凉山州期末）各项均为正数的等差数列{an}首项为1，且a3，a5+1，a7+7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，且，求{bn}的前n项和Tn．
18．（17分）（2025 湖北模拟）已知函数f（x）＝2ax+（2﹣a）lnx．
（1）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；
（2）若a＝0，g（x）＝emx﹣x2+mx，讨论方程f（x）﹣g（x）＝0的根的个数．
19．（17分）（2024春 朝阳区校级期中）已知箱中装有2个白球，1个红球和3个黑球，现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球．
（1）求取出的三个球的颜色互不相同的概率；
（2）记随机变量X为取出3球中白球的个数，求X的分布列及期望．
广东省广州市2024-2025学年高二下学期数学期末测试押题预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 辽宁模拟）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S2＝4，S6＝7，则S4＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】C
【分析】由已知结合等比数列的求和公式即可求解．
【解答】解：等比数列{an}中，S2＝4，S6＝7，则q≠1，
故，
解得q2，8，
则S48×（1）＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
2．（5分）（2025春 镇江期中）若函数，则导函数f′（x）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】导数的乘法与除法法则．
【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由已知结合函数求导公式即可求解．
【解答】解：若函数，则导函数f′（x）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题．
3．（5分）设随机变量X～N（4，σ2），且P{4＜X＜8}＝0.4，则P{X≤0}＝（　　）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：∵随机变量X～N（4，σ2），
∴P{0＜X＜4}＝P{4＜X＜8}＝0.4，
∴P{X≤0}＝0.5﹣P{0＜X＜4}＝0.5﹣0.4＝0.1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．
4．（5分）（2024春 南充期末）从A村去B村的道路有2条，从B村去C村的道路有3条，则从A村经B村再去C村，不同路线的条数是（　　）
A．5 B．6 C．8 D．9
【考点】分步乘法计数原理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，从A村去B村的道路有2条，从B村去C村的道路有3条，
则从A村经B村去C村不同路线有2×3＝6条．
故选：B．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意分步、分类计数原理的区别，属于基础题．
5．（5分）（2025 江苏模拟）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐．经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有10%的学生第二天会到楼下食堂用午餐；而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有15%的学生第二天会到楼上食堂用午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（　　）
A．700 B．800 C．900 D．1000
【考点】全概率公式．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果．
【解答】解：设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为x，
则楼下食堂用午餐的学生数大约为1500﹣x，
原本在楼上食堂且留下的学生：0.9x，
从楼下食堂转来的学生：0.15（1500﹣x），
所以x＝0.9x+0.15（1500﹣x），解得x＝900．
所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为900．
故选：C．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
6．（5分）（2022秋 金安区校级月考）高三模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各批次“学科上线有双分”的分数线．考生总成绩达到总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成绩达到及学科上线有双分的称为单科上线．学科对总分的贡献或匹配程度评价有很大的意义，利用“学科对总分上线贡献率”和“学科有效分上线命中率”这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有效安排备考复习计划具有十分重要的意义．安徽省某高中2023届高三参加10月份九师联盟联考，划定总分一本线为485分，数学一本线为104分，根据该校理科一本总体命中率、贡献率分析，下列说法正确的是（　　）
理科一本总体命中率、贡献率分析
总体 总分（485） 语文（93） 数学（104） 英语（109） 物理（69） 化学（62） 生物（72）
总体上线761人 单上线 499人 715人 541人 714人 597人 629人
双上线 451人 662人 502人 661人 574人 603人
A．语文学科有效分上线命中率为59.26%
B．数学学科对总分上线贡献率为86.99%
C．物理学科对总分上线贡献率最高
D．生物学科有效分上线命中率最高
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据“学科有效分上线命中率”和“学科对总分上线贡献率”的公式计算、比较可得答案．
【解答】解：根据题意可得：语文学科有效分上线命中率为，故A不正确；
生物学科有效分上线命中率为，
化学学科有效分上线命中率为95.87%，故D不正确；
数学学科对总分上线贡献率为，故B正确；
物理学科对总分上线贡献率86.99%，故C不正确．
故选：B．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
7．（5分）（2024秋 商洛期末）将3张相同的消费券分给9个人，每人至多分到1张，则不同的分法共有（　　）
A．60种 B．72种 C．84种 D．90种
【考点】简单组合问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】依题意可得9人中有3人各得1张消费券，利用组合数公式计算可得．
【解答】解：将3张相同的消费券分给9个人，每人至多分到1张，
则9人中有3人各得1张消费券，则不同的分法共有种．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
8．（5分）（2022秋 江宁区校级期末）若存在实数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足g（x）≤kb+b≤f（x）恒成立，则称直线y＝kx+b为f（x）和g（x）的一条“划分直线”，下列命题正确的是（　　）
A．函数f（x）＝x2和g（x）＝2elnx之间没有“划分直线”
B．是函数f（x）＝x2和g（x）＝2elnx之间存在的唯一的一条“划分直线”
C．y＝3x是函数f（x）＝x2和之间的一条“划分直线”
D．函数f（x）＝x2和之间存在“划分直线”，且b的取值范围为（﹣4，0）
【考点】函数恒成立问题；命题的真假判断与应用．
【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；直观想象；运算求解．
【答案】B
【分析】根据函数f（x）＝x2和g（x）＝2elnx有公共点（，e），得满足题意得“划分直线”必过点（，e），进而设其方程为y＝kx﹣ke，再结合 x＞0，f（x）≥kx﹣ke恒成立得2k，再证明g（x）＝2elnx≤2x﹣e即可判断AB；
根据当x＝﹣1时，g（x）≤3x（x＜0）不满足判断C；
根据f（x）＝x2＞0（x＜0）判断D．
【解答】解：因为f（）＝g（）＝e，
所以，函数f（x）＝x2和g（x）＝2elnx有公共点（，e），
所以，当f（x）＝x2和g（x）＝2elnx之间存在“划分直线”，则该直线必过点（，e），
设过点（，e）的直线方程为y﹣e＝k（x），即y＝kx﹣ke，
因为对于 x＞0，f（x）≥kx﹣ke恒成立，即x2﹣e＝（x）（x）＞k（x），
所以，当x∈（0，）时，xk恒成立，即2k，
当x∈（，+∞）时，xk恒成立，即2k，
所以，对于 x＞0，f（x）≥kx﹣ke恒成立，则2k，
所以，过点（，e），且满足kx+b≤f（x）的直线方程有且只有y＝2x﹣e，
下证g（x）＝2elnx≤2x﹣e，
令h（x）＝2elnx﹣2x+e，
则h′（x）2，所以，当x∈（0，）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；所以，h（x）max＝h（）＝0，即h（x）≤0，故g（x）≤2x﹣e，
所以，函数f（x）＝x2和g（x）＝2elnx之间存在的唯一的一条“划分直线”y＝2x﹣e，故A选项错误，B选项正确；
对于C选项，当x＝﹣1时，y＝3x＝﹣3；g（﹣1）＝﹣1，显然不满足g（x）≤3x（x＜0）恒成立，故错误；
对于D选项，当k＝0，b＝0时，显然满足f（x）＝x2＞0（x＜0），此时b＝0，故D错误．
故选：B．
【点评】本题属于新概念题，考查了函数的恒成立问题、导数的综合运用、计算能力及推理能力，属于难题．
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）（2024春 蚌埠期末）已知由样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点（1.3，2.1）和（4.7，7.9）的误差较大，剔除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（　　）
A．变量x和y具有负相关关系
B．剔除后不变
C．剔除后的回归直线方程为
D．剔除后对应于样本数据点（2，3.75）的残差为0.05
【考点】经验回归方程与经验回归直线；残差及残差图．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据已知条件，结合线性回归方程的性质，以及线性回归方程，即可求解．
【解答】解：回归直线方程为，1.5＞0，
则变量x和y具有正相关关系，故A错误；
，且，
则，
剔除数据的两个平均数也为，
故剔除后不变，故B正确；
剔除数据点（1.3，2.1）和（4.7，7.9）后，样本数据的中心点还是（3，5），
剔除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，
则5＝1.2×3+a，解得a＝1.4，
故剔除后的回归直线方程为，故C正确；
剔除后对应于样本数据点（2，3.75）的残差为3.75﹣（1.2×2+1.4）＝﹣0.05，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知（）n（a≠0）展开式的所有项的系数之和为1，且仅有第4项的二项式系数取到最大值，则下列说法中正确的是（　　）
A．展开式的常数项为60
B．第4项的系数最大
C．展开式中共有4个有理项
D．所有项的二项式系数的和为128
【考点】二项式系数的性质；二项式定理的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】AC
【分析】直接利用已知条件求出n的值，进一步利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．
【解答】解：展开式仅有第4项的二项式系数取到最大值，故n＝6；
由于已知（）n（a≠0）展开式的所有项的系数之和为1，当x＝1时，故（1﹣a）6＝1，解得a＝2；
所以二项式为，
根据二项式的展开式（r＝0，1，2，3，4，5，6）；
对于A：当r＝2时，常数项为，故A正确；
对于B：由于展开项有7项，故系数为，，，，，，
，故第5项的系数最大，故B错误；
对于C：当r＝0，2，4，6时，展开式为有理项，故C正确；
对于D：二项式的系数和为，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）11．（6分）（2023 辽宁模拟）“内卷”是一个网络流行词，一般用于形容某个领域中发生了过度的竞争，导致人们进入了互相倾轧、内耗的状态，从而导致个体“收益努力比”下降的现象．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）；它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第3个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为a1，后续各正方形边长依次为a2，a3，…，an；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为b1，后续各直角三角形面积依次为b2，b3，…，bn，…．下列说法正确的是（　　）
A．数列{an}是以4为首项，为公比的等比数列
B．从正方形ABCD开始，连续3个正方形的面积之和为
C．使得不等式成立的最大值为4
D．数列{bn}的前n项和Sn＜4
【考点】数列的应用；归纳推理．
【专题】对应思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据等比数列的性质逐项计算即可求解．
【解答】对于A选项，由题意知，，且an＞0，
所以，又因为a1＝4，
所以数列{an}是以4为首项，为公比的等比数列，故A正确；
对于B选项，由上知，，a1＝4，，，
所以，故B正确；
对于C选项，，
易知{bn}是单调递减数列，且，，故使得不等式成立的最大值为3，故C错误；
对于D选项，因为4[1]，且n∈N*，所以0＜1﹣（）n＜1，所以Sn＜4，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查等比数列的应用，是中档题．
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）（2024 海珠区校级模拟）在数列{an}与{bn}中，已知a1＝b1＝2，an+1+bn+1＝2（an+bn），an+1bn+1＝2anbn，则　1　 ．
【考点】数列递推式．
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】1．
【分析】由已知可得，从而求值．
【解答】解：因为，
所以1．
故答案为：1．
【点评】本题考查递推数列的性质，属于基础题．
13．（5分）（2024秋 武汉校级月考）无人酒店是利用人工智能与物联网技术为客人提供自助入住等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感．去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择．某游客去该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8；如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，则该游客第二天入住无人酒店的概率为　0.7　 ．
【考点】全概率公式．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.7．
【分析】先由题意分别求出第一天入住无人酒店和第一天入住常规酒店后第二天还入住无人酒店的概率，再由全概率公式即可求解所求概率．
【解答】解：设第一天入住无人酒店为事件A1，第一天入住常规酒店为事件A2，第二天入住无人酒店为事件B，
第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8；如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，
则P（A1）P（B|A1）＝0.5×0.8＝0.4，P（A2）P（B|A2）＝0.5×0.6＝0.3，
所以由全概率公式可得该游客第二天入住无人酒店的概率为P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）＝0.4+0.3＝0.7．
故答案为：0.7．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
14．（5分）（2024秋 焦作期中）已知函数f（x）＝x3+x+1，若关于x的不等式f（ax﹣1）+f（﹣xlnx）＞2的解集中有且仅有2个整数，则实数a的最大值为 　　 ．
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．
【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据函数的对称性和单调性可得的解集中有且仅有2个整数，设，利用导数讨论其单调性后可得实数a的最大值．
【解答】解：设g（x）＝f（x）﹣1＝x3+x，
因为y＝x3，y＝x均为R上的增函数，故g（x）为R上的奇函数，
又g（﹣x）＝﹣x3﹣x＝﹣g（x），
由不等式可化为f（ax﹣1）﹣1+f（﹣xlnx）﹣1＞0，
即g（ax﹣1）+g（﹣xlnx）＞0，故g（ax﹣1）＞g（xlnx），
关于x的不等式f（ax﹣1）+f（﹣xlnx）＞2的解集中有且仅有2个整数，
故ax﹣1＞xlnx的解集中有且仅有2个整数，
故的解集中有且仅有2个整数，
设，
则，
当x＞1时，h′（x）＞0，在（1，+∞）上为增函数，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0；故h（x）在（0，1）上为减函数，
故，
故a的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）（2024秋 蓟州区月考）已知函数f（x）＝ex﹣1﹣x．
（1）求y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若存在，满足a﹣ex+1+x＜0成立，求a的取值范围．
【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑思维．
【答案】（1）y＝（e﹣1）x﹣1．
（2）（﹣∞，）．
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；
（2）由a﹣ex+1+x＜0得a＜ex﹣1﹣x，然后求出函数ex﹣1﹣x的最大值；
【解答】解：（1）因为f（1）＝e﹣2，函数的导数为f'（x）＝ex﹣1，
所以f'（1）＝e﹣1，
所以函数在（1，e﹣2）处的切线方程为：y﹣（e﹣2）＝（e﹣1）（x﹣1），即y＝（e﹣1）x﹣1．
（2）要使a﹣ex+1+x＜0成立，即a＜ex﹣1﹣x，
只需求出函数ex﹣1﹣x在[﹣1，ln]的最大值，即可，
设f（x）＝ex﹣1﹣x，函数的导数为f'（x）＝ex﹣1，
由f'（x）＝ex﹣1＝0，解得x＝0，
当x＞0，f'（x）＞0，此时函数递增，
当x＜0，f'（x）＜0，此时函数递减，
所以当x＝0时，函数f（x）＝ex﹣1﹣x取得极小值f（0）＝0，同时也是最小值，
f（﹣1），f（ln），
因为f（﹣1），
所以在[﹣1，ln]上函数的最大值为f（﹣1），
所以要使a＜ex﹣1﹣x，成立，
所以有a，
即a的取值范围是（﹣∞，）．
【点评】本题的考点是导数的几何意义以及利用导数求函数的最值，其中第二问需要利用数形结合思想去解决．
16．（15分）（2024春 揭阳期末）南方游客勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的喜爱．某新闻媒体机构随机调查了男、女性游客各100名，统计结果如下表所示：
对滑雪的喜爱情况 性别 合计
男性游客 女性游客
喜欢滑雪 60 35 95
不喜欢滑雪 40 65 105
合计 100 100 200
（1）依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联？
（2）冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个滑雪基本动作（起步、滑行、转弯、制动）进行指导．据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为，且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立．若这四个滑雪基本动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号．求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率．
附：．
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；独立性检验．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）可以认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联；
（2）．
【分析】（1）计算出卡方，即可判断；
（2）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得．
【解答】解：（1）零假设为H0：游客是否喜欢滑雪与性别无关联，
依题意可得，
所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．
（2）令事件Ai（i＝1，2，3，4）分别表示初学者对起步、滑行、转弯、制动达到优秀，
滑雪初学者荣获“优秀学员”称号为事件B，
所以，
所以滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率是．
【点评】本题考查独立性检验以及相互独立事件的概率乘法公式相关知识，中档题．
17．（15分）（2024春 凉山州期末）各项均为正数的等差数列{an}首项为1，且a3，a5+1，a7+7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，且，求{bn}的前n项和Tn．
【考点】裂项相消法；等差数列的通项公式；等比中项及其性质．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）an＝2n﹣1；
（2）．
【分析】（1）根据等比中项可得，结合等差数列通项公式求得d＝2，即可得通项公式；
（2）利用累乘法求{bn}的通项公式，再利用裂项相消法求和．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d＞0，
因为a3，a5+1，a7+7成等比数列，则，即（1+4d+1）2＝（1+2d）（1+6d+7），
整理可得2d2﹣3d﹣2＝0，解得d＝2或（舍去），
所以数列{an}的通项公式an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
（2）因为，即，
此时
，
即，
且满足上式，所以．
可得；
所以．
【点评】本题考查数列通项公式的求法以及裂项相消法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（17分）（2025 湖北模拟）已知函数f（x）＝2ax+（2﹣a）lnx．
（1）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；
（2）若a＝0，g（x）＝emx﹣x2+mx，讨论方程f（x）﹣g（x）＝0的根的个数．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）应用分类讨论及导数研究函数的单调区间即可；
（2）根据已知有，构造h（x）＝x+ex，x∈（0，+∞）并应用导数研究函数的单调性，得到，利用导数研究右侧的单调性和最值，即可得参数范围．
【解答】解：（1）的定义域为（0，+∞），
则，
因为a＜0，由，
解得，
①当a＝﹣2时，恒成立，
所以f（x）无递增区间，递减区间为（0，+∞）；
②当﹣2＜a＜0时，，
令f′（x）＜0，得，
令f′（x）＞0，得；
③当a＜﹣2时，，
令f′（x）＞0，得；
令f′（x）＜0，得，
所以f（x）的递增区间为，递减区间为；
综上所述，
当a＝﹣2时，f（x）无递增区间，递减区间为（0，+∞）；
当﹣2＜a＜0时，f（x）的递增区间为，
递减区间为；
当a＜﹣2时，f（x）的递增区间为，递减区间为；
（2）由题设，
∴．
令h（x）＝x+ex，x∈（0，+∞），
则h′（x）＝1+ex＞0，
即h（x）在（0，+∞）上单调递增，
故上式（*）中满足h（mx）＝h（lnx2），
则有mx＝lnx2，
可得，
令，
则，
由F′（x）＝0解得x＝e．
当0＜x＜e时，F′（x）＞0，当x＞e时，F′（x）＜0，
F（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
当x→+∞时，F（x）→0且F（x）＞0，
当x→0时，F（x）→﹣∞，
故．
结合图象，可知，
当时，方程f（x）﹣g（x）＝0有0个实根；
当或m≤0时，方程f（x）﹣g（x）＝0有1个实根；
当时，方程f（x）﹣g（x）＝0有2个实根．
【点评】本题考查导数的应用，属于难题．
19．（17分）（2024春 朝阳区校级期中）已知箱中装有2个白球，1个红球和3个黑球，现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球．
（1）求取出的三个球的颜色互不相同的概率；
（2）记随机变量X为取出3球中白球的个数，求X的分布列及期望．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．
【专题】数学模型法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）．
（2）分布列如图所示，E（X）＝1．
【分析】（1）利用概率公式直接求解即可．
（2）先求出随机变量X的所有取值，再求出对应的概率即可求出分布列与期望．
【解答】解：（1）设取出的三个球的颜色互不相同的事件为A事件．
所以，
（2由题意得随机变量X可以取为：0，1，2，
即，，．
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以E（X）．
【点评】本题主要考查求离散型随机变量分布列与期望，属于中档题．
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