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广东省广州市2024-2025学年高一下学期数学期末测试押题预测卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2024 雅安开学）已知集合A＝{x|x+1＞0}，B＝{x|x2＜4}，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}
2．（5分）（2022 聊城三模）若复数z满足z+3i，则复数z的虚部为（　　）
A． B． C．i D．i
3．（5分）（2022 南京模拟）如图，水平放置的矩形ABCO，在直角坐标系下点B的坐标为（2，1），则用斜二测画法画出的矩形的直观图中，顶点B'到x'轴的距离为（　　）
A． B． C．1 D．2
4．（5分）（2025 安顺模拟）已知，是夹角为120°的两个单位向量，则向量3在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）（2024春 番禺区校级期中）已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于2km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（　　）
A．2km B．4km C． D．
6．（5分）（2022秋 赣州期中）聪明又童心未泯的数学系教授，在高数课堂上，利用表情包，以“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包，f（x）在x＝x0处连续是f（x）在x＝x0处可导的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（5分）（2023春 东城区校级期末）已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，f（x2）﹣f（x1）＞0恒成立，设，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c
8．（5分）（2022秋 全国期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，点G为CE与BF的交点，则（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）（2023春 遵义期末）近日王宝强电影新作《八角笼中》正在上映，现随机抽取6位影迷对该片进行评分，得到一组样本数据如下：9.2，9.3，9.5，9.5，9.7，9.8，则下列关于该样本的说法中正确的有（　　）
A．均值为9.5 B．方差为0.13
C．极差为0.6 D．第70%分位数为9.7
（多选）10．（6分）（2022 天津模拟）某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，若使这种溶液的杂质含量达到市场要求，则过滤次数可以为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
（多选）11．（6分）（2025 蚌埠模拟）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱DD1，C1D1，CC1的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．FG∥平面A1BD
B．直线AE与FG所成角的余弦值为
C．点E到平面B1FG的距离为
D．三棱锥B1﹣D1DG的外接球的表面积为
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）（2024春 新余期末）某校辩论赛小组共有5名成员，其中3名女生2名男生，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，则抽到2名男生的概率为 　 　 ．
13．（5分）（2022 天心区校级开学）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝60°，，且△ABC的面积为，则b＝　 　 ．
14．（5分）（2024春 张家界期末）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，，AB＝4，AC＝4，PA＝BC＝2，则球O的表面积为 　 　 ．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）（2024秋 顺庆区校级月考）为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在[50，60）的平均成绩是56，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差s2．
16．（15分）（2023秋 怀柔区校级月考）已知f（x）＝sin（x+φ）+acosx，其中．
（1）若，求φ的值；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求f（x）的单调递增区间．
条件①：；
条件②：．
17．（15分）（2022春 宁波期末）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．
（Ⅰ）证明：平面SBC⊥平面SAB；
（Ⅱ）若AB＝BC＝1，直线AC与平面SBC所成角的大小为，求SA的长．
18．（17分）（2023 全国模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（1）求的最大值；
（2）求证：在线段AB上恒存在点D，使得．
19．（17分）（2022秋 济南期中）若函数y＝f（x）自变量的取值区间为[a，b]时，函数值的取值区间恰为，就称区间[a，b]为y＝f（x）的一个“和谐区间”．已知函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，g（x）＝﹣x+4．
（1）当x∈（﹣∞，0）时，求g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在（0，+∞）内的“和谐区间”；
（3）若以函数g（x）在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数y＝h（x）的图像，是否存在实数t，使集合恰含有2个元素．若存在，求出满足条件的所有实数t所构成的集合；若不存在，说明理由．
广东省广州市2024-2025学年高一下学期数学期末测试押题预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2024 雅安开学）已知集合A＝{x|x+1＞0}，B＝{x|x2＜4}，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}
【考点】交集及其运算．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；集合；运算求解．
【答案】A
【分析】通过解不等式化简集合A，B，利用交集的定义求出A∩B．
【解答】解：因为A＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，
所以A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}．
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的表示方法和集合交集的运算，同时也考查一元一次不等式、一元二次不等式解集的计算方法，属于基础题．
2．（5分）（2022 聊城三模）若复数z满足z+3i，则复数z的虚部为（　　）
A． B． C．i D．i
【考点】共轭复数；复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】结合共轭复数的定义，以及复数相等的条件，即可求解．
【解答】解：设z＝a+bi，a，b∈R，
∵z+3i，
∴a+bi+3i＝a﹣bi，即2bi＝﹣3i，解得b．
故选：B．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数相等的条件，属于基础题．
3．（5分）（2022 南京模拟）如图，水平放置的矩形ABCO，在直角坐标系下点B的坐标为（2，1），则用斜二测画法画出的矩形的直观图中，顶点B'到x'轴的距离为（　　）
A． B． C．1 D．2
【考点】斜二测法画直观图；平面图形的直观图．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意，分析矩形的直观图，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，在直观图中，B′C′∥A′O′，且B′C′BC，
则顶点B'到x'轴的距离d，
故选：A．
【点评】本题考查斜二测画法，注意斜二测画法的规则，属于基础题．
4．（5分）（2025 安顺模拟）已知，是夹角为120°的两个单位向量，则向量3在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的投影向量．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】根据投影向量的概念结合数量积的计算可得结果．
【解答】解：已知，是夹角为120°的两个单位向量，
则由题意得，向量在向量上的投影向量为，
∵，是夹角为120°的两个单位向量，
∴，
∴向量在向量上的投影向量为．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：向量的投影，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
5．（5分）（2024春 番禺区校级期中）已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于2km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（　　）
A．2km B．4km C． D．
【考点】解三角形；正弦定理．
【专题】计算题；整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】D
【分析】利用余弦定理即可求解．
【解答】解：依题意∠ACB＝180°﹣20°﹣40°＝120°，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．
6．（5分）（2022秋 赣州期中）聪明又童心未泯的数学系教授，在高数课堂上，利用表情包，以“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包，f（x）在x＝x0处连续是f（x）在x＝x0处可导的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件与必要条件；导数及其几何意义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据函数连续和函数可导的定义，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】解：①函数y＝|x|，
当x≥0时，则y′＝1，当x＜0时，则y′＝﹣1，
∴函数y＝|x|在x＝0处连续，但不可导，
∴函数y＝f（x）在x＝x0处连续，不能推出函数y＝f（x）在x＝x0处可导，
②由函数y＝f（x）在x＝x0处可导，可得函数y＝f（x）在x＝x0处连续．
故函数y＝f（x）在x＝x0处连续是函数y＝f（x）在x＝x0处可导的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数可导和函数连续的定义和性质是解决本题的关键．
7．（5分）（2023春 东城区校级期末）已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，f（x2）﹣f（x1）＞0恒成立，设，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【考点】抽象函数的周期性；函数的奇偶性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，利用函数的单调性及偶函数的性质，结合函数的对称性即可求解．
【解答】解：根据题意，因为当1＜x1＜x2时，f（x2）﹣f（x1）＞0即f（x2）＞f（x1）恒成立，
所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，
因为f（x+1）是偶函数，则f（x）的图象关于x＝1对称，
因为，b＝f（2），c＝f（3），
因为，
所以，即，
所以b＜a＜c．
故选：D．
【点评】本题考查函数单调性与对称性的综合应用，注意函数单调性的定义，属于中档题．
8．（5分）（2022秋 全国期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，点G为CE与BF的交点，则（　　）
A． B．
C． D．
【考点】平面向量的基本定理．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意可得，，由P，G，B三点共线知，存在m∈R，满足．由C，G，E三点共线知，存在n∈R，满足．得即可解决．
【解答】解：由，，知E，F分别为AB，AD的中点．
如图，设AC与BF的交点为P，易得△APF∽△CPB，
所以，
所以．
因为点E是AB的中点，
所以．
由P，G，B三点共线知，
存在m∈R，满足．
由C，G，E三点共线知，
存在n∈R，满足．
所以．
又因为，为不共线的非零向量，
所以，解得，
所以．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量基本定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）（2023春 遵义期末）近日王宝强电影新作《八角笼中》正在上映，现随机抽取6位影迷对该片进行评分，得到一组样本数据如下：9.2，9.3，9.5，9.5，9.7，9.8，则下列关于该样本的说法中正确的有（　　）
A．均值为9.5 B．方差为0.13
C．极差为0.6 D．第70%分位数为9.7
【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据数据的均值、极差、方差以及百分位数的计算，分别判断各选项，即得答案．
【解答】解：由题意，该样本的平均值为，A正确；
方差为，B错误；
极差为9.8﹣9.2＝0.6，C正确；
由于70%×6＝4.2，故第70%分位数为第5个数，即9.7，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了平均数、方差和极差的计算，属于基础题．
（多选）10．（6分）（2022 天津模拟）某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，若使这种溶液的杂质含量达到市场要求，则过滤次数可以为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】根据实际问题选择函数类型；对数的运算性质．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】由，解不等式可得答案．
【解答】解：设经过n次过滤，这种溶液的杂质含量达到市场要求，
则，
即，两边取对数，得，即n（lg2﹣lg3）≤﹣（1+lg2），
得．
故选：BCD．
【点评】本题考查函数在实际问题中的运用，以及指数不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．
（多选）11．（6分）（2025 蚌埠模拟）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱DD1，C1D1，CC1的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．FG∥平面A1BD
B．直线AE与FG所成角的余弦值为
C．点E到平面B1FG的距离为
D．三棱锥B1﹣D1DG的外接球的表面积为
【考点】球的表面积；异面直线及其所成的角；直线与平面平行；空间中点到平面的距离．
【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】AC
【分析】对于A，利用线面平行的判定定理即可判断；对于B，利用余弦定理即可判断；对于C，利用等体积法即可判断；对于D，算正方体相关线段长，确定G射影位置，设半径R和球心O，根据关系求R，再算表面积即可判断．
【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱DD1，C1D1，CC1的中点，
对于A选项：因为点F，G分别为棱C1D1，CC1的中点，
所以FG∥A1B，又FG 平面A1BD，A1B 平面A1BD，
根据线面平行的判定定理可得FG∥平面A1BD，故A选项正确；
对于B选项：连接BG，BF，易得AE∥BG，
所以∠BGF为直线AE与FG所成的角或补角，又易得，
由余弦定理得，
所以直线AE与FG所成角的余弦值为，故B选项错误；
对于C选项：在△B1FG中，，所以，
设点E到平面B1FG的距离为h，利用等体积法可得，
所以，解得，即点E到平面B1FG的距离为，故C选项正确；
对于D选项：易得，所以△B1DD1为直角三角形，
所以G在底面B1DD1的射影为B1D的中点，设为O1，
设外接球半径为R，球心为O，由，
解得，所以三棱锥B1﹣D1DG的外接球的表面积为，故D选项错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）（2024春 新余期末）某校辩论赛小组共有5名成员，其中3名女生2名男生，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，则抽到2名男生的概率为 　　 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解．
【答案】．
【分析】利用列举法，结合古典概型概率公式即可得解．
【解答】解：设3名女生为A，B，C，2名男生为a，b，
则有（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b），共10种抽法，
其中抽到2名男生的抽法有（a，b），
所以抽到2名男生的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．（5分）（2022 天心区校级开学）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝60°，，且△ABC的面积为，则b＝　　 ．
【考点】正弦定理．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】．
【分析】由已知结合正弦定理先求出c，然后结合三角形面积公式可求a，再由余弦定理求出b．
【解答】解：由正弦定理可得，即csinB＝bsinC，则，解得c＝2，
又，解得a＝4，
则由余弦定理可得，则．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式及余弦定理在求三角形中的应用，属于中档题．
14．（5分）（2024春 张家界期末）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，，AB＝4，AC＝4，PA＝BC＝2，则球O的表面积为 　　 ．
【考点】球的表面积．
【专题】转化思想；综合法；球；运算求解．
【答案】．
【分析】根据勾股定理易得PA⊥AC，PA⊥AB，从而可得PA⊥平面ABC，设底面三角形ABC的外接圆的半径为r，球O的半径为2R，则根据正弦定理易得2r，从而可得，进而得解．
【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，，AB＝4，AC＝4，PA＝BC＝2，
∴根据勾股定理易得PA⊥AC，PA⊥AB，又AC∩AB＝A，
∴PA⊥平面ABC，
设底面三角形ABC的外接圆的半径为r，球O的半径为2R，
易知cos∠ABC，∴sin∠ABC，
∴2r，
∴，
∴球O的表面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查三棱柱的外接球问题，正弦定理的应用，化归转化思想，属中档题．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）（2024秋 顺庆区校级月考）为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在[50，60）的平均成绩是56，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差s2．
【考点】频率分布直方图的应用；平均数；方差；百分位数．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）0.030；2）84分（3）平均数为62分；方差为23．
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，建立方程，即可求解；
（2）根据百分位数的概念，建立方程，即可求解；
（3）根据加权平均数与方差的结论，即可求解．
【解答】解：（1）根据频率分布直方图可得0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1＝1，解得a＝0.030；
（2）∵成绩落在[40，80）内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3＝0.65，
落在[40，90）内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3+0.25＝0.9，
∴第75百分位数m∈（80，90），
∴0.65+（m﹣80）×0.025＝0.75，解得m＝84，
∴第75百分位数为84分；
（3）由频率分布直方图可知绩在[50，60）的市民人数为100×0.1＝10，
成绩在[60，70）的市民人数为100×0.2＝20，
所以两组成绩的总平均数（分），
成绩的总方差．
【点评】本题考查频率分布直方图的性质，百分位数的求解，加权平均数与方差的求解，属中档题．
16．（15分）（2023秋 怀柔区校级月考）已知f（x）＝sin（x+φ）+acosx，其中．
（1）若，求φ的值；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求f（x）的单调递增区间．
条件①：；
条件②：．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）；
（2）选①，答案为；选②，答案为．
【分析】（1）代入，计算出，结合，求出φ的值；
（2）选①，用三角恒等变换化简得到，利用整体法求出单调递增区间；
选②，先用三角恒等变换化简得到，利用整体法求出单调递增区间．
【解答】解：（1），
因为，所以，
（2）若选①，，
，
令，解得，
故f（x）的单调递增区间为；
若选②，，
，
令，解得，
故f（x）的单调递增区间为．
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质应用，考查计算能力，属于中档题．
17．（15分）（2022春 宁波期末）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．
（Ⅰ）证明：平面SBC⊥平面SAB；
（Ⅱ）若AB＝BC＝1，直线AC与平面SBC所成角的大小为，求SA的长．
【考点】平面与平面垂直；直线与平面所成的角．
【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；空间角；运算求解．
【答案】（Ⅰ）证明过程见解答．
（Ⅱ）1．
【分析】（Ⅰ）推导出SA⊥平面ABC，从而SA⊥BC，再由AB⊥BC，得到BC⊥平面SAB，由此能证明平面SBC⊥平面SAB．
（Ⅱ）过点A作AH⊥SB，垂足为H，连结HC，推导出AH⊥平面SBC，从而∠ACH就是直线AC与平面SBC所成角，由此能求出SA．
【解答】解：（Ⅰ）证明：在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，
因为SA⊥平面ABC，所以SA⊥BC，
因为AB⊥BC，AB∩SA＝A，所以BC⊥平面SAB，
所以平面SBC⊥平面SAB．
（Ⅱ）过点A作AH⊥SB，垂足为H，连结HC．
由（Ⅰ）得平面SBC⊥平面SAB，
又AH⊥SB，平面SBC∩平面SAB＝SB，
所以AH⊥平面SBC，
所以∠ACH就是直线AC与平面SBC所成角，
即∠ACH＝30°．
在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，故．
在Rt△AHC中，．
在Rt△SAB中，因为AH⊥SB，所以SA＝1．
【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质、线面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（17分）（2023 全国模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（1）求的最大值；
（2）求证：在线段AB上恒存在点D，使得．
【考点】解三角形；正弦定理．
【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）．（2）证明见解答．
【分析】（1）设a＝xc，b＝yc，则x+y，由可得2sin2C﹣2sinAsinB≥0，再由余弦定理将其化为x，y表示的不等式，即可得出x+y的取值范围；
（2）设∠ACD＝α，∠ACB＝β，∠BCD＝β﹣α，求出sin∠ACD，sin∠ACB的取值范围，证明恒存在∠ACD＝α∈（0，β），使sin∠ACD sin∠BCD＝sinA sinB成立即可．
【解答】解：设a＝xc，b＝yc，则x+y，x﹣y，
又∵a+b＞c，|a﹣b|＜c，∴x+y＞1，|x﹣y|＜1，
由，可得2sin2C﹣2sinAsinB≥0，
2sin2C﹣2sinAsinB＝1﹣cosC+2cosAcosB﹣2sinAsinB﹣2cosAcosB
＝1﹣cosC_2cos（A+B）﹣2cosAcosB＝1﹣3cosC﹣2cosAcosB≥0，
由余弦定理，得1﹣3cosC﹣2cosAcosB＝12
＝1
＝10，
整理得x4+y4﹣2x2y2﹣3x2﹣3y2+2xy+2≥0，
因式分解x4+y4﹣2x2y2﹣3x2﹣3y2+2xy+2＝（x2﹣y2）2﹣2（x2+y2﹣2xy）﹣（x2+y2+2xy﹣2）
＝（x+y）2（x﹣y）2﹣2（x﹣y）2﹣（x+y）2+2＝[（x+y）2﹣2][（x﹣y）2﹣1]≥0，
又x+y＞1，|x﹣y|＜1，
所以（x﹣y）2﹣1＜0，[（x+y）2﹣2≤0，
即1＜x+y，
故x+y的最大值是．
（2）证明：如图，设∠ACD＝α，∠ACB＝β，∠BCD＝β﹣α，α∈（0，β），
则sin∠ACD sin∠BCD＝sinα sin（β﹣α）cos（β﹣2α）cosβ，
又β﹣2α∈（﹣β，β），
所以（cosβ，1]，cos（β﹣2α）cosβ∈（0，（1﹣cosβ）]，
由题意sinAsinB≤sin2（∠ACB）（1﹣cos∠ACB）（1﹣cosβ），且sinAsinB，
即sinAsinB∈（0，（1﹣cosβ）]，
而对给定的△ABC来说，sinAsinB是定值，
因此恒存在∠ACD∈（0，β），使sin∠ACD sin∠BCD＝sinA sinB．
在△ACD中，由正弦定理可得，则；
在△BCD中，由正弦定理可得，则；
由存在sin∠ACD sin∠BCD＝sinA sinB．
可得存在，即．
因此，在线段AB上恒存在点D，使得．
【点评】本题考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属难题．
19．（17分）（2022秋 济南期中）若函数y＝f（x）自变量的取值区间为[a，b]时，函数值的取值区间恰为，就称区间[a，b]为y＝f（x）的一个“和谐区间”．已知函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，g（x）＝﹣x+4．
（1）当x∈（﹣∞，0）时，求g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在（0，+∞）内的“和谐区间”；
（3）若以函数g（x）在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数y＝h（x）的图像，是否存在实数t，使集合恰含有2个元素．若存在，求出满足条件的所有实数t所构成的集合；若不存在，说明理由．
【考点】函数与方程的综合运用．
【专题】新定义；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象；直观想象；运算求解．
【答案】（1）g（x）＝﹣x﹣4；
（2）[1，3]；
（3）t∈{}．
【分析】（1）根据g（x）为R上的奇函数，得到g（0）＝0，再由x∈（0，+∞）时，g（x）＝﹣x+4，当x＜0时，﹣x＞0，代入求解即可；
（2）设0＜a＜b，易知g（x）在（0，+∞）上单调递减，则，求解即可；
（3）设[a，b]为g（x）的一个“和谐区间”，且 a，b同号，若0＜a＜b，由（2）可得；若a＜b＜0，同理可求，得到h（x），再根据集合恰含有2个元素，转化为yx2+t与函数h（x）的图象有两个交点，即方程x2+t＝﹣x+4在[1，3]内恰有一个实数根，方程x2﹣x﹣4﹣t＝0在[﹣3，﹣1]内恰有一个实数根求解．
【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，
所以g（﹣x）＝﹣（﹣x）+4＝x+4，
即﹣g（x）＝x+4，
所以g（x）＝﹣x﹣4；
（2）设0＜a＜b，
∵g（x）在（0，+∞）上单调递减，所以g（x）在[a，b]上单调递减，
所以，
解得，
∴g（x）在（0，+∞）内的“和谐区间”为[1，3]；
（3）设[a，b]为g（x）的一个“和谐区间”，
则，
∴a，b同号．
当a＜b＜0时，同理可求g（x）在（﹣∞，0）内的“和谐区间”为[﹣3，﹣1]，
∴h（x），
依题意，抛物线yx2+t与函数h（x）的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，
所以m应当使方程x2+t＝﹣x+4在[1，3]内恰有一个实数根，
且使方程x2+t＝﹣x﹣4，在[﹣3，﹣1]内恰有一个实数根，
由方程x2+t＝﹣x+4，即x2﹣x+4﹣t＝0在[1，3]内恰有一根，
令h（x）x2﹣x+4﹣t，则，解得t；
由方程x2+t＝﹣x﹣4，即x2﹣x﹣4﹣t＝0在[﹣3，﹣1]内恰有一根，
令m（x）x2﹣x﹣4﹣t＝0，则，解得t．
综上可知，实数t的取值集合为{}．
【点评】本题属于新概念题，考查了求奇函数的解析式、转化思想及分类讨论思想，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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