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广东省广州市2024-2025学年高一下学期数学期末测试押题预测卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2021春 栾城区校级月考）复数z满足z（1﹣i）＝1+2i，则z对应复平面内的点坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）（2024秋 福建校级期中）设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|3a≤x≤a+1}，若B A，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．或
3．（5分）（2023 碑林区校级模拟）已知一个球与一个圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台的侧面积为16π．上、下底面的面积之比为9：1，则球的表面积为（　　）
A．12π B．14π C．16π D．18π
4．（5分）（2023春 绥棱县校级期末）已知有8个样本数据分别为4，7，8，11，13，15，20，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为（　　）
A．9 B．12 C．17.5 D．21
5．（5分）（2022 南京模拟）已知函数，若函数g（x）＝f（x）+x﹣m恰有两个不同的零点，则m的取值范围是（　　）
A．[0，1] B．（﹣1，1） C．[0，1 ） D．（﹣∞，1]
6．（5分）（2024春 惠山区校级期末）已知事件A，B满足P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则（　　）
A．若B A，则P（AB）＝0.5
B．若A，B互斥，则P（A+B）＝0.7
C．若A与B相互独立，则
D．若P（B）+P（C）＝1，则C与B相互对立
7．（5分）（2024秋 西城区校级期末）设椭圆C的焦点为F1，F2，离心率为e，则“”是“C上存在一点P，使得”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（5分）（2023春 成都期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则下列结论中错误的是（　　）
A．C，G，A1，F四点共面
B．直线EF∥平面BDD1B1
C．平面HCG∥平面BDD1B1
D．直线EF和HG所成角的正切值为
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）（2024秋 松原校级期末）已知实数a，b，c满足0＜c＜1＜b＜a，则（　　）
A．ca＞cb B．ac＞bc
C． D．tanc＜tanb
（多选）10．（6分）（2023 浉河区校级模拟）某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意致匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（　　）
A．在被抽取的学生中，成绩在区间[90，100）内的学生有160人
B．图中x的值为0.030
C．估计全校学生成绩的中位数为86.7
D．估计全校学生成绩的80%分位数为95
（多选）11．（6分）（2023春 济宁期末）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，F分别为BD，AA1的中点，点P为棱BB1上的动点（包含端点），则下列说法中正确的是（　　）
A．AC⊥D1P
B．三棱锥F﹣DPD1的体积为定值
C．FP+PC1的最小值为
D．当P为BB1的中点时，平面D1FP截正方体所得截面的面积为2
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）已知一组数据6、5、4、3、3、3、2、2、2、1，则第85百分位数为 　 　 ．
13．（5分）（2024春 福州期末）已知1﹣2i是关于x的方程x2+px+q＝0（其中p、q为实数）的一个根，则p﹣q的值为 　 　 ．
14．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，，若对任意x∈[0，+∞），f（x）≥3a+4，则实数a的取值范围是 　 　 ．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）已知，分别为两条不重合的直线l1，l2的方向向量，判断下列各组中两条直线的位置关系是平行还是垂直：
（1）（1，﹣1，1），（﹣1，2，3）；
（2）（1，﹣2，0），（﹣1，2，0）．
16．（15分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的4个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．
（1）列出所有可能结果；
（2）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；
（3）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．
17．（15分）（2023春 密云区期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点．
（1）求证：PE⊥BC；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（3）在线段PC上是否存在点M，使得DM∥平面PEB？请说明理由．
18．（17分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且满足．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的面积，内切圆的半径为r＝3，求c；
（3）若∠ACB的平分线交AB于D，且CD＝2，求△ABC的面积S的最小值．
19．（17分）已知函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，g（x）在区间（0，+∞）上单调递减，下列函数在区间（0，+∞）上是否定单调递增？
（1）f（x）+g（x）；
（2）f（x）﹣g（x）；
（3）f（x） g（x）；
（4）f（x）+[g（x）]2．
广东省广州市2024-2025学年高一下学期数学期末测试押题预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2021春 栾城区校级月考）复数z满足z（1﹣i）＝1+2i，则z对应复平面内的点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】计算出复数z的代数形式，即可解出．
【解答】解：由题意可得z，
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．
2．（5分）（2024秋 福建校级期中）设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|3a≤x≤a+1}，若B A，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．或
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】B
【分析】分B＝ 和B≠ 两种情况，得到不等式，求出a的取值范围．
【解答】解：因为B A，
所以分B＝ 和B≠ 两种情况讨论，
当B＝ 时，3a＞a+1，
解得，
当B≠ 时，或，
解得或，
所以，
综上所述，实数a的取值范围为{a|}．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题．
3．（5分）（2023 碑林区校级模拟）已知一个球与一个圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台的侧面积为16π．上、下底面的面积之比为9：1，则球的表面积为（　　）
A．12π B．14π C．16π D．18π
【考点】圆台的侧面积和表面积．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；球；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】首先利用圆台和球的关系求出圆台的上下底的半径，进一步求出圆台的母线长，最后求出内切球的半径和球的表面积．
【解答】解：设圆台的底面半径为r1和r2，
由于上、下底面的面积之比为9：1，故，
所以r1＝3r2，
则S表＝π（r1+r2） l＝16π，
故4πr2l＝16π，解得r2l＝4，
由于l＝r1+r2＝4r2，所以，解得r1＝3，r2＝1；
故．解得R2＝3，
故．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：圆台和球的关系，球的表面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
4．（5分）（2023春 绥棱县校级期末）已知有8个样本数据分别为4，7，8，11，13，15，20，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为（　　）
A．9 B．12 C．17.5 D．21
【考点】用样本估计总体的集中趋势参数．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，由百分位数的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，数据从小到大为：4，7，8，11，13，15，20，22，
由于86，则总体的第三四分位数17.5．
故选：C．
【点评】本题考查数据的百分位数的计算，注意百分数的计算公式，属于基础题．
5．（5分）（2022 南京模拟）已知函数，若函数g（x）＝f（x）+x﹣m恰有两个不同的零点，则m的取值范围是（　　）
A．[0，1] B．（﹣1，1） C．[0，1 ） D．（﹣∞，1]
【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用．
【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；直观想象；运算求解．
【答案】D
【分析】将函数的零点个数转化成方程根的个数，再将方程根的个数转化成两图象交点的个数，再数形结合即可求解．
【解答】解：∵g（x）＝f（x）+x﹣m恰有两个不同的零点，
∴方程g（x）＝f（x）+x﹣m＝0有两个不同的实根，
即方程f（x）＝﹣x+m有两个不同的实根，
∴y＝f（x）与y＝﹣x+m有两个交点，
在平面直角坐标系在作出y＝f（x）的图象，再平移直线y＝﹣x+m，
观察y＝f（x）与y＝﹣x+m有两个交点时，得m∈（﹣∞，1]，
故选：D．
【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，方程的根个数与图象交点个数相互转化，化归转化思想，数形结合思想，属基础题．
6．（5分）（2024春 惠山区校级期末）已知事件A，B满足P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则（　　）
A．若B A，则P（AB）＝0.5
B．若A，B互斥，则P（A+B）＝0.7
C．若A与B相互独立，则
D．若P（B）+P（C）＝1，则C与B相互对立
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；对立事件的概率关系及计算．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】利用互斥事件、相互独立事件、对立事件求解．
【解答】解：事件A，B满足P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，
对于A，B A，则P（AB）＝P（B）＝0.2，故A错误；
对于B，若A与B互斥，则P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.5+0.2＝0.7，
故B正确；
对于C，A与B相互独立，则P（A）＝P（A）P（）＝0.5×0.8＝0.4，故C错误；
对于D，若P（B）+P（C）＝1，则C与B不一定相互对立，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查互斥事件、相互独立事件、对立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（5分）（2024秋 西城区校级期末）设椭圆C的焦点为F1，F2，离心率为e，则“”是“C上存在一点P，使得”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】根据椭圆的性质，可得C上存在一点P，使得的等价条件为∠F1PF2＞90°，由此求得离心率范围，进而得出结论．
【解答】解：若椭圆C上存在一点P，使得，
则有∠F1PF2＞90°，即b＜c，
则有b2＜c2，即a2﹣c2＜c2，
即，解得，
又，
则“”是“C上存在一点P，使得”的必要而不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的性质，属中档题．
8．（5分）（2023春 成都期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则下列结论中错误的是（　　）
A．C，G，A1，F四点共面
B．直线EF∥平面BDD1B1
C．平面HCG∥平面BDD1B1
D．直线EF和HG所成角的正切值为
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行；平面与平面平行；平面的基本性质及推论．
【专题】整体思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】C
【分析】根据线线平行即可判断A，根据面面平行得线面平行即可判断B，根据面面平行的性质即可得矛盾判断C，根据异面直线的几何法找到其角，即可由三角形边角关系求解D．
【解答】解：取BC中点M，连接B1M，FM，
由于F是AD的中点，在正方体中可知A1F∥B1M，
又B1G＝CM，B1G∥CM，所以四边形B1GCM为平行四边形，故B1M∥CG，
因此CG∥A1F，故C，G，A1，F四点共面，故A正确，
取AB中点N，连接FN，EN，
由于N，E，F均为中点，所以FN∥BD，EN∥BB1，
又因为FN 平面DBB1D1，BD平面DBB1D1，所以FN∥平面DBB1D1，
同理EN∥平面DBB1D1，EN∩FN＝N，EN，FN 平面EFN，
所以平面EFN∥平面DBB1D1，EF 平面EFN，故直线EF∥平面BDD1B1，B正确，
假设平面HCG∥平面BDD1B1，则平面HCG∩平面BCC1B1＝GC，平面BDD1B1∩平面BCC1B1＝BB1，根据面面平行的性质可得平面BB1∥GC，显然这与BB1与GC相交矛盾，故C错误，
由于GH∥B1D1，BD∥B1D1，FN∥BD，所以GH∥FN，
故∠EFN为直线EF和HG所成角或其补角，
不妨设正方体的棱长为a，则，
由于EN⊥底面ABCD，FN 平面ABCD，所以EN⊥FN，
故，
直线EF和HG所成角的正切值为，D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了线面平行和面面平行的判定，考查了求异面直线所成的角，属于中档题．
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）（2024秋 松原校级期末）已知实数a，b，c满足0＜c＜1＜b＜a，则（　　）
A．ca＞cb B．ac＞bc
C． D．tanc＜tanb
【考点】对数值大小的比较．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据指数函数以及幂函数单调性可判断A错误，B正确，自由对数函数单调性可得C正确，取特殊值可判断D错误．
【解答】解：因为0＜c＜1＜b＜a，
所以f（x）＝cx在R上为减函数，
所以f（a）＜f（b），即ca＜cb，故A错误；
因为g（x）＝xc在（0，+∞）上为增函数，所以g（a）＞g（b），即ac＞bc，故B正确；
因为b＞1，所以，，所以，故C正确；
取，，满足0＜c＜1＜b，可得tanc＝1，tanb＝﹣1，不满足tanc＜tanb，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查函数的性质，属于基础题．
（多选）10．（6分）（2023 浉河区校级模拟）某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意致匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（　　）
A．在被抽取的学生中，成绩在区间[90，100）内的学生有160人
B．图中x的值为0.030
C．估计全校学生成绩的中位数为86.7
D．估计全校学生成绩的80%分位数为95
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】数形结合；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】对于A，由频率分布直方图求出[90，100）的频率，再乘以400可得结果；对于B，由各组的频率和为1可求得结果；对于C，先判断中位数所在的区间，再列方程求解；对于D，根据百分位数的定义能求出结果．
【解答】解：由题意，成绩在区间[90，100）内的学生人数为400×0.040×10＝160，故A正确；
由（0.005+0.010+0.015+x+0.040）×10＝1，
解得x＝0.030，故B错误；
由于前3组的频率和为（0.005+0.010+0.015）×10＝0.3＜0.5，
前4组的频率和为（0.005+0.010+0.015+0.030）×10＝0.6＞0.5，
∴中位数在第4组，
设中位数为a，则（0.005+0.010+0.015）×10+0.030（a﹣80）＝0.5，
解得a≈86.7，故C正确；
低于90分的频率为1﹣0.4＝0.6，
设样本数据的80%分位数为n，
则，解得n＝95，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查频率分布直方图、中位数、百分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．（6分）（2023春 济宁期末）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，F分别为BD，AA1的中点，点P为棱BB1上的动点（包含端点），则下列说法中正确的是（　　）
A．AC⊥D1P
B．三棱锥F﹣DPD1的体积为定值
C．FP+PC1的最小值为
D．当P为BB1的中点时，平面D1FP截正方体所得截面的面积为2
【考点】棱锥的体积；平面的交线及其性质；点、线、面间的距离计算．
【专题】转化思想；数形结合法；立体几何；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】A中，证明AC⊥平面D1DBB1，得出AC⊥D1P；
B中，计算出三棱锥F﹣DPD1的体积是定值；
C中，把侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展成一个平面，连接FC1，交BB1于点P，得出FP+PC1的最小值为FC1；
D中，P为BB1的中点时，平面D1FP截正方体所得截面是矩形D1FPC1，计算截面面积即可．
【解答】解：对于A，D1D⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以D1D⊥AC，
又因为AC⊥BD，BD∩D1D＝D，所以AC⊥平面D1DBB1，
又因为D1P 平面D1DBB1，所以AC⊥D1P，选项A正确；
对于B，三棱锥F﹣DPD1的体积为：
AC2×22，是定值，选项B正确；
对于C，把侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展成一个平面ACC1A1，
连接FC1，交BB1于点P，则FP+PC1的最小值为FC1，选项C错误；
对于D，P为BB1的中点时，平面D1FP截正方体所得截面是矩形D1FPC1，
所以截面面积为D1F D1C1＝2，选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质、平面的基本性质、以及体积计算问题，是中档题．
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）已知一组数据6、5、4、3、3、3、2、2、2、1，则第85百分位数为 　9　 ．
【考点】百分位数；归纳推理．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】9．
【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．
【解答】解：数据从小到大排序为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，共10个，
10×0.85＝8.5，
故第85百分位数为9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
13．（5分）（2024春 福州期末）已知1﹣2i是关于x的方程x2+px+q＝0（其中p、q为实数）的一个根，则p﹣q的值为 　﹣7　 ．
【考点】实系数多项式虚根成对定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解．
【答案】﹣7．
【分析】把x＝1﹣2i代入方程x2+px+q＝0中，再利用复数相等求出p、q，即可得解．
【解答】解：由已知可得（1﹣2i）2+p（1﹣2i）+q＝0，即（p+q﹣3）﹣（4+2p）i＝0，
所以，解得，
所以p﹣q＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查的知识点：复数的运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
14．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，，若对任意x∈[0，+∞），f（x）≥3a+4，则实数a的取值范围是 　（﹣∞，﹣2]　 ．
【考点】不等式恒成立的问题．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（﹣∞，﹣2]．
【分析】根据函数的奇偶性求出当x≥0时f（x）的解析式，根据不等式恒成立进行转化求解即可．
【解答】解：若x＞0，则﹣x＜0，
则f（﹣x）＝﹣x6，
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣x6＝﹣f（x），
即f（x）＝x6，（x＞0），
对任意x∈[0，+∞），f（x）≥3a+4恒成立，
则当x＝0时，f（0）＝0≥3a+4恒成立，此时a，①
当x＞0时，由f（x）≥3a+4得x6≥3a+4恒成立，
即x3a+10，
∵x22|a|＝﹣2a，
∴不等式等价为﹣2a≥3a+10，得5a≤﹣10，得a≤﹣2，②，
由①②得a≤﹣2，
即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]，
故答案为：（﹣∞，﹣2]．
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数奇偶性求出函数的解析式，利用不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）已知，分别为两条不重合的直线l1，l2的方向向量，判断下列各组中两条直线的位置关系是平行还是垂直：
（1）（1，﹣1，1），（﹣1，2，3）；
（2）（1，﹣2，0），（﹣1，2，0）．
【考点】空间向量语言表述线线的垂直、平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（1）垂直；
（2）平行．
【分析】（1）根据题意，分析可得 1﹣2+3＝0，则有⊥，可得两直线垂直；
（2）根据题意，分析可得∥，可得两直线平行．
【解答】解：（1）（1，﹣1，1），（﹣1，2，3），
则有 1﹣2+3＝0，则有⊥，故两直线垂直；
（2）（1，﹣2，0），（﹣1，2，0），
易得，即∥，故两直线平行．
【点评】本题考查直线的方向向量，涉及空间直线与直线的位置关系，属于基础题．
16．（15分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的4个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．
（1）列出所有可能结果；
（2）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；
（3）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16种．
（2）．
（3）．
【分析】（1）设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x，y，用（x，y）表示抽取结果，利用列举法能求出所有可能结果．
（2）利用列举法求出所取两个球上标号为相同数字的结果，由此能求出取出的两个球上标号为相同数字的概率．
（3）利用列举法求出所取两个球上的数字积能被3整除的结果，由此能求出取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．
【解答】解：（1）设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x，y，用（x，y）表示抽取结果，
则所有可能有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16种．
（2）所取两个小球上的数字为相同数字的结果有：
（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），共4种．
故取出的两个球上标号为相同数字的概率P．
（3）所取两个球上的数字积能被3整除的结果有：
（1，3），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），共7种．
故取出的两个球上标号之和能被3整除的概率P．
【点评】本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17．（15分）（2023春 密云区期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点．
（1）求证：PE⊥BC；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（3）在线段PC上是否存在点M，使得DM∥平面PEB？请说明理由．
【考点】平面与平面垂直；直线与平面平行．
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）存在M为PC中点，理由见解析．
【分析】（1）由题意PE⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，即可得证PE⊥BC；
（2）由PE⊥平面ABCD，所以PE⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，得CD⊥AP，又PA⊥PD，从而PA⊥平面PCD，即可得结论；
（3）存在M为PC中点时，DM∥平面PEB．取PB中点为F，可得四边形EFMD为平行四边形，因此DM∥EF，即可证明．
【解答】解：（1）证明：因为PA＝PD，E为AD中点，所以PE⊥AD，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE 平面PAD，
所以PE⊥平面ABCD，又BC 平面ABCD，
因此PE⊥BC．
（2）证明：由（1）知，PE⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PE⊥CD．
在矩形ABCD中，AD⊥CD，
又因为AD∩PE＝E，AD，PE 平面PAD，所以CD⊥平面PAD．
AP 平面PAD，所以CD⊥AP．
又因为PA⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以PA⊥平面PCD．
因为PA 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．
（3）存在M为PC中点时，DM∥平面PEB．
理由：取PB中点为F，连接DM，FM，
因为M为PC中点，∴FM∥BC，且．
在矩形ABCD中，E为AD中点，所以ED∥BC，且．
所以ED∥FM，且ED＝FM，所以四边形EFMD为平行四边形，
因此DM∥EF，又因为EF 面PEB，DM 面PEB，
所以DM∥面PEB．
【点评】本题考查线线垂直，面面垂直的证明，考查线面平行的判定，属中档题．
18．（17分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且满足．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的面积，内切圆的半径为r＝3，求c；
（3）若∠ACB的平分线交AB于D，且CD＝2，求△ABC的面积S的最小值．
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；不等式；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简所给等式，结合同角三角函数的基本关系与特殊角的函数值求出角C的大小；
（2）根据三角形内切圆的性质算出，结合ab＝40利用余弦定理列式求得边c的值；
（3）分别在△ACD、△BCD与△ABC中，利用正弦定理推导出边a、b的关系式，可得，然后根据基本不等式求得ab的最小值，进而求出三角形面积的最小值．
【解答】解：（1）由（sinBsinA﹣cosBcosA）＝sinC，
可得cos（A+B）＝sinC，所以cosC＝sinC，
即tanC，结合0＜C＜π，可得．
（2）根据题意，△ABC的面积，
所以，解得①，且ab＝40…②，
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC，
即c2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab…③，根据①②③组成方程组，解得．
（3）根据CD平分∠ACB，可知，
设AD＝m（0＜m＜c），则BD＝c﹣m，
在△ACD中，由正弦定理得，则，
在△BCD中，由正弦定理得，则，可得（*）．
在△ABC中，由正弦定理得，即，
化简得代入（*）式，可得，整理得．
由基本不等式，可得，解得，当且仅当时取等号．
所以，当且仅当时，△ABC的面积取得最小值．
【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、正弦定理与余弦定理、运用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．
19．（17分）已知函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，g（x）在区间（0，+∞）上单调递减，下列函数在区间（0，+∞）上是否定单调递增？
（1）f（x）+g（x）；
（2）f（x）﹣g（x）；
（3）f（x） g（x）；
（4）f（x）+[g（x）]2．
【考点】抽象函数的周期性；由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）不一定单调递增；
（2）一定单调递增；
（3）不一定单调递增；
（4）不一定单调递增．
【分析】（1）举出反例，可得该函数不一定单调递增，
（2）设0＜x1＜x2，利用作差法分析[f（x1）﹣g（x1）]﹣[f（x2）﹣g（x2）]的符号，分析可得结论，
（3）举出反例，可得该函数不一定单调递增，
（4）举出反例，可得该函数不一定单调递增．
【解答】解：（1）f（x）+g（x），在区间（0，+∞）上不一定单调递增，如f（x）＝x，g（x）＝﹣2x；
（2）f（x）﹣g（x），在区间（0，+∞）上一定单调递增，
证明：设0＜x1＜x2，则有f（x1）﹣f（x2）＞0，g（x1）﹣g（x2）＜0，
则[f（x1）﹣g（x1）]﹣[f（x2）﹣g（x2）]＝[f（x1）﹣f（x2）]+[g（x2）﹣g（x1）]＞0，
则f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上一定单调递增．
（3）f（x） g（x），在区间（0，+∞）上不一定单调递增，如f（x）＝x，g（x）；
（4）f（x）+[g（x）]2，在区间（0，+∞）上不一定单调递增，如f（x）＝x2，g（x）．
【点评】本题考查函数单调性的定义和判断方法，注意函数单调性的判断，属于基础题．
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