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上海市2024-2025学年高二下学期数学期末测试押题预测卷
一．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）箱子中有6支大小质地相同的钢笔，其中3支红钢笔，3支蓝钢笔，从中不放回地随机取出3支钢笔，则概率大于0且与事件“至多取出1支蓝钢笔”互斥不对立的事件可以是 　 　 ．
2．（3分）（2022春 湖北月考）某社区服务站将4名志愿者分成3组，每组至少1人，分别去三个不同的社区宣传疫苗接种的主题：“早接种，早预防”，则不同的分配方案有 　 　 种．（用数字作答）
3．（3分）（2024春 长安区校级期中）计算： 　 　 ．
4．（3分）　 　 ．
5．（3分）若函数y＝4x3﹣5，则f′（﹣1）＝　 　 ．
6．（3分）（2023春 漠河校级期末）已知两个随机变量X、Y，其中，Y～N（μ，σ2）（σ＞0），若E[X]＝E[Y]，且P（|Y|＜1）＝0.4，则P（Y＞3）＝　 　 ．
7．（3分）集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜2}的真子集个数为 　 　 ．
8．（3分）抛掷一枚骰子，记事件A＝“出现的点数大于4”，事件B＝“出现的点数为5”，则P（A）与P（B）的大小关系是 　 　 ．（填“≥”或“≤”）
9．（3分）（2023 洛阳模拟）已知函数f（x）＝xa﹣alnx（a＞0），g（x）＝ex﹣x，若x∈（1，e2）时，f（x）≤g（x）恒成立，则实数a的取值范围是 　 　 ．
10．（3分）（2022 南京模拟）已知函数y＝e4x﹣3的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为 　 　 ．
11．（3分）（2023春 常州期中）如图所示，某人从A按最短路径走到B，其中PQ段道路施工，不能通行，问共有 　 　 种不同的行走路线．
12．（3分）（2023春 新郑市校级期末）杨辉三角是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一．如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第11条斜线上，最大的数是 　 　 ．
二．选择题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）已知f（x）＝sinx+cosx，f″（0）＝（　　）
A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣2
14．（4分）有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为（　　）
A． B． C． D．
15．（4分）（2023 承德县校级开学）若B，C是互斥事件且，则P（B∪C|A）＝（　　）
A． B． C． D．
16．（4分）（2021 北京自主招生）已知A1，A2，…，A10十等分圆周，则在其中取四点构成凸四边形为梯形个数为（　　）
A．60 B．45 C．40 D．50
三．解答题（共5小题，满分48分）
17．（8分）（2021春 常熟市校级月考）已知函数f（x）＝lnx+ax2﹣x，a＞0．
（1）若f（x）为单调函数，求a的范围．
（2）若x1、x2是函数f'（x）的两个零点，求证：f（x1）+f（x2）＜x1+x2﹣5．
18．（8分）（2023秋 丰城市校级期末）某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是．乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
19．（10分）某商超通过产品、价格、渠道和促销等各种营销策略，销售业绩得到不断提升，商超利润也有较大的攀升．经统计，该商超近7周的利润数据如下：
第x周 1 2 3 4 5 6 7
商超利润y（单位：万元） 32 35 36 45 47 51 55
（1）若y关于x具有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程x，并预测该商超下周的利润；
（2）该商超为提升业绩，决定对客户开展抽奖促销活动：单张小票不超过500元可参加抽奖一次；单张小票超过500元可参加抽奖两次．若抽中“一等奖”，可获得30元的代金券；抽中“二等奖”，可获得20元的代金券；抽中“谢谢参与”，则没有奖励．已知本次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为．某客户有两次参与抽奖活动的机会，假设两次抽奖之间是否中奖相互独立，求该客户所获得代金券总额X（元）的分布列及数学期望．
附：，．
参考数据：301，．
20．（10分）（2022春 沙坪坝区校级期末）已知函数f（x）＝ax2+x﹣lnx（a∈R）．
（1）当a＝0时，过点（0，0）作y＝f（x）的切线，求该切线的方程；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣x在定义域内有两个零点，求a的取值范围．
21．（12分）（2023春 浙江期中）已知f（x）＝（2x+3）n展开式的二项式系数和为512，且（2x+3）n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n．
（1）求a1+a2+a3+…+an的值；
（2）求a2的值；
（3）求f（20）﹣20被6整除的余数．
上海市2024-2025学年高二下学期数学期末测试押题预测卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）箱子中有6支大小质地相同的钢笔，其中3支红钢笔，3支蓝钢笔，从中不放回地随机取出3支钢笔，则概率大于0且与事件“至多取出1支蓝钢笔”互斥不对立的事件可以是 　3支都是蓝钢笔（答案不唯一）．　 ．
【考点】互斥事件与对立事件．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】3支都是蓝钢笔（答案不唯一）．
【分析】根据题意，由互斥事件、对立事件的定义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，从3支红钢笔，3支蓝钢笔中不放回地随机取出3支钢笔，
有“3支都是蓝钢笔”、“2支蓝钢笔和1支红钢笔”、“1支蓝钢笔和2支红钢笔”、“3支都是红钢笔”，
事件“至多取出1支蓝钢笔”即“1支蓝钢笔和2支红钢笔”、“3支都是红钢笔”，
与其互斥不对立的事件可以是3支都是蓝钢笔．
故答案为：3支都是蓝钢笔（答案不唯一）．
【点评】本题考查互斥事件的定义，注意其与对立事件的不同，属于基础题．
2．（3分）（2022春 湖北月考）某社区服务站将4名志愿者分成3组，每组至少1人，分别去三个不同的社区宣传疫苗接种的主题：“早接种，早预防”，则不同的分配方案有 　36　 种．（用数字作答）
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】36．
【分析】4人分成三组，必有一组2人，先从4人中人选两人作为一组，即将此四人分成了三组，再用排列将这三组分到三个社区即可．
【解答】解：由已知得：共有种分配方案．
故答案为：36．
【点评】本题考查排列、组合的综合应用，属于基础题．
3．（3分）（2024春 长安区校级期中）计算： 　128　 ．
【考点】排列及排列数公式．
【专题】转化思想；转化法；排列组合；运算求解．
【答案】128．
【分析】利用排列数、组合数公式计算即得．
【解答】解：．
故答案为：128．
【点评】本题主要考查排列数、组合数公式，属于基础题．
4．（3分）　220﹣21　 ．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】220﹣21．
【分析】利用二项式定理转化求解即可．
【解答】解：（1+1）20220﹣21．
故答案为：220﹣21．
【点评】本题考查组合数公式的应用，二项式定理的应用，是基础题．
5．（3分）若函数y＝4x3﹣5，则f′（﹣1）＝　12　 ．
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】12．
【分析】利用导数运算公式，即可解出．
【解答】解：y′＝f′（x）＝12x2，
∴f′（﹣1）＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了导数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．
6．（3分）（2023春 漠河校级期末）已知两个随机变量X、Y，其中，Y～N（μ，σ2）（σ＞0），若E[X]＝E[Y]，且P（|Y|＜1）＝0.4，则P（Y＞3）＝　0.1　 ．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.1．
【分析】确定E[X]＝1得到μ＝1，确定P（Y＜﹣1）＝0.1，再根据P（Y＞3）＝P（Y＜﹣1）得到答案．
【解答】解：，则，E[X]＝E[Y]＝1，故μ＝1，
P（|Y|＜1）＝0.4，P（Y＜1）＝0.5，故P（Y＜﹣1）＝0.5﹣0.4＝0.1，
P（Y＞3）＝P（Y＜﹣1）＝0.1．
故答案为：0.1．
【点评】本题考查正态分布相关知识，属于基础题．
7．（3分）集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜2}的真子集个数为 　3　 ．
【考点】子集与真子集．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】3．
【分析】根据题意，求出集合A，进而分析可得答案．
【解答】解：根据题意，集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜2}＝{0，1}，
其真子集有22﹣1＝3个．
故答案为：3．
【点评】本题考查集合的表示方法，注意真子集的定义，属于基础题．
8．（3分）抛掷一枚骰子，记事件A＝“出现的点数大于4”，事件B＝“出现的点数为5”，则P（A）与P（B）的大小关系是 　≥　 ．（填“≥”或“≤”）
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；随机事件．
【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】≥．
【分析】由题意，出现的点数大于4，即出现的点数为5和6，分别根据古典概型的概率公式计算，再比较大小即可．
【解答】解：由题意，P（A），P（B），
则P（A）与P（B）的大小关系是P（A）≥P（B）．
故答案为：≥．
【点评】本题考查古典概型的概率公式，考查学生计算能力，属于基础题．
9．（3分）（2023 洛阳模拟）已知函数f（x）＝xa﹣alnx（a＞0），g（x）＝ex﹣x，若x∈（1，e2）时，f（x）≤g（x）恒成立，则实数a的取值范围是 　（﹣∞，e]　 ．
【考点】利用导数研究函数的最值；函数恒成立问题．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑思维．
【答案】（﹣∞，e]．
【分析】由f（x）≤g（x）可得xa﹣alnx≤ex﹣x，即xa﹣lnxa≤ex﹣x＝ex﹣lnex，设m（t）＝t﹣lnt，t∈（1，+∞），求导分析单调性，进而由m（xa）≤m（ex），可得xa≤ex，x∈（1，e2），则a，令h（x），x∈（1，e2），只需a≤h（x）min，即可得出答案．
【解答】解：由f（x）≤g（x）可得xa﹣alnx≤ex﹣x，
即xa﹣lnxa≤ex﹣x＝ex﹣lnex，
设m（t）＝t﹣lnt，t∈（1，+∞），
则m′（t）＝10，
所以m（t）＝t﹣lnt在（1，+∞）上单调递增，
所以由m（xa）≤m（ex），可得xa≤ex，x∈（1，e2），
所以a，
令h（x），x∈（1，e2），
h′（x），
令h′（x）＞0得e＜x＜e2，
令h′（x）＜0得1＜x＜e，
所以h（x）在（e，e2）上单调递增，在（1，e）上单调递减，
所以h（x）min＝h（e）＝e，
所以a≤e，
所以a的取值范围为（﹣∞，e]．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
10．（3分）（2022 南京模拟）已知函数y＝e4x﹣3的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为 　　 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意，分析直线l的方程为y＝x﹣1，可得P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线y＝x﹣1距离最小值的2倍，利用导数的几何意义求出函数y＝e4x﹣3在P（x0，y0）点处的切线斜率，令导数值为1，求出x0、y0的值，可得P到直线y＝x+1距离的最小值，据此计算可得答案．
【解答】解：根据题意，l的方程为y＝x﹣1，即函数y＝e4x﹣3的图象与函数的关于直线y＝x﹣1对称，
证明如下：设P（a，b）为函数y＝e4x﹣3图像上任意一点，则b＝e4a﹣3，
P（a，b）关于直线y＝x﹣1的对称点为Q（b+1，a﹣1），
设u＝b+1，v＝a﹣1，所以a＝v+1，b＝u﹣1，所以u﹣1＝e4|（v+1）|﹣3，
所以，即函数y＝e4x﹣3的图象与函数的图像关于直线y＝x﹣1的对称，
故P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线y＝x﹣1距离最小值的2倍，
函数y＝e4x﹣3，其导数y′＝4e4x﹣3，则该函数在P（x0，y0）点处的切线斜率为，
若，解可得，
又由y＝e4x﹣3，则，
则P到直线y＝x﹣1距离的最小值为，
P，Q两点之间距离的最小值为；
故答案为：．
【点评】本题考查曲线间距离最值的计算，根据函数的对称性，转化为点到直线的距离是解决本题的关键，是中档题．
11．（3分）（2023春 常州期中）如图所示，某人从A按最短路径走到B，其中PQ段道路施工，不能通行，问共有 　52　 种不同的行走路线．
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】52．
【分析】求出所有的从A按最短路径走到B的方法数，减去不满足题意的方法数，即可得到结果．
【解答】解：某人从A按最短路径走到B，如果没有修路，共有的方法数为：70种，
必须通过PQ段的方法数：6×3＝18种，
所以从A按最短路径走到B，其中PQ段道路施工，不能通行，共有70﹣18＝52种不同的行走路线．
故答案为：52．
【点评】本题考查排列组合的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
12．（3分）（2023春 新郑市校级期末）杨辉三角是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一．如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第11条斜线上，最大的数是 　35　 ．
【考点】归纳推理．
【专题】综合题；整体思想；综合法；推理和证明；逻辑思维．
【答案】35．
【分析】根据杨辉三角的规律再向下写出3行，找出第11条斜线上的数，比较大小可得答案．
【解答】解：杨辉三角第8行的数据为：1 7 21 35 35 21 7 1，
第9行的数据为：1 8 28 56 70 56 28 8 1，
第10行的数据为：1 9 36 84 126 126 84 36 9 1，
第11条斜线上的数为：1 9 28 35 15 1，所以最大的数是35．
故答案为：35．
【点评】本题主要考查归纳推理，属于中档题．
二．选择题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）已知f（x）＝sinx+cosx，f″（0）＝（　　）
A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣2
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】计算题；对应思想；定义法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据导数的公式即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）＝sinx+cosx，
∴f′（x）＝cosx﹣sinx，
∴f″（x）＝﹣sinx﹣cosx，
∴f″（0）＝0﹣1＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
14．（4分）有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】超几何分布．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合超几何分布的概率公式，即可求解．
【解答】解：从中任取3件，
至少有2件次品的概率为．
故选：B．
【点评】本题主要考查超几何分布，属于基础题．
15．（4分）（2023 承德县校级开学）若B，C是互斥事件且，则P（B∪C|A）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】条件概率．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，利用互斥事件的概率加法公式，即可求解．
【解答】解：因为B，C是互斥事件，且，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查互斥事件的概率加法公式以及条件概率相关知识，属于中档题．
16．（4分）（2021 北京自主招生）已知A1，A2，…，A10十等分圆周，则在其中取四点构成凸四边形为梯形个数为（　　）
A．60 B．45 C．40 D．50
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】判断构成梯形的类型，然后求解即可．
【解答】解：A1，A2，…，A10十等分圆周，则在其中取四点构成凸四边形为梯形，有两种类型，如图黑线或红线组成梯形的上下底，
可得5×8+4×5＝60．
故选：A．
【点评】本题考查计数原理的应用，判断梯形的类型是解题的关键，是中档题．
三．解答题（共5小题，满分48分）
17．（8分）（2021春 常熟市校级月考）已知函数f（x）＝lnx+ax2﹣x，a＞0．
（1）若f（x）为单调函数，求a的范围．
（2）若x1、x2是函数f'（x）的两个零点，求证：f（x1）+f（x2）＜x1+x2﹣5．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题；整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）[，+∞）；（2）证明见解析．
【分析】（1）由题意函数f（x）＝lnx+ax2﹣x在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0 在（0，+∞）恒成立，根据恒成立知识即可求解；
（2）由，设g（x）＝2ax2﹣x+1＝0的两根为x1，x2（x1≠x2），则，作差f（x1）+f（x2）﹣x1﹣x2，化简整理即可得证．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝lnx+ax2﹣x，a＞0，
∴，
∵f′（1）＝2a＞0，
∴f（x）若单调，只能为递增，
∴f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
，
，
，
∴，则a∈[，+∞）；
证明：（2），
设g（x）＝2ax2﹣x+1＝0的两根为x1，x2（x1≠x2），
则，
f（x1）+f（x2）﹣x1﹣x2
，
，
，
∴单调递增，
2﹣7＝﹣5，
则f（x1）+f（x2）＜x1+x2﹣5．
【点评】本题考查了函数的单调性和零点问题，属于中档题．
18．（8分）（2023秋 丰城市校级期末）某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是．乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可得；
（2）利用独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式计算即可得．
【解答】解：（1）记“甲家庭回答正确这道题”为事件A，“乙家庭回答正确这道题”为事件B，
“丙家庭回答正确这道题”为事件C，
则，，，
即，，
所以，，
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，；
（2）有3个家庭回答正确的概率为，
有2个家庭回答正确的概率为：
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．（10分）某商超通过产品、价格、渠道和促销等各种营销策略，销售业绩得到不断提升，商超利润也有较大的攀升．经统计，该商超近7周的利润数据如下：
第x周 1 2 3 4 5 6 7
商超利润y（单位：万元） 32 35 36 45 47 51 55
（1）若y关于x具有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程x，并预测该商超下周的利润；
（2）该商超为提升业绩，决定对客户开展抽奖促销活动：单张小票不超过500元可参加抽奖一次；单张小票超过500元可参加抽奖两次．若抽中“一等奖”，可获得30元的代金券；抽中“二等奖”，可获得20元的代金券；抽中“谢谢参与”，则没有奖励．已知本次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为．某客户有两次参与抽奖活动的机会，假设两次抽奖之间是否中奖相互独立，求该客户所获得代金券总额X（元）的分布列及数学期望．
附：，．
参考数据：301，．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解；数据分析．
【答案】（1）4x+27，59；（2）分布列见解析，35．
【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可得线性回归方程，再将x＝8点代入该线性回归方程即可求解．
（2）由题意可得，X的所有可能取值，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，从而求得数学期望．
【解答】解：（1）根据表中数据，计算可得：
4，43，
28，112，
所以4，
所以43﹣4×4＝27，
所以y关于x的线性回归方程为4x+27，
当x＝8时，得4×8+27＝59，
所以预测该商超下周的利润为59万元．
（2）该客户所获得的代金券总额X的所有可能取值有0，20，30，40，50，60．
P（X＝0），P（X＝20）＝2，P（X＝30）＝2，
P（X＝40），P（X＝50）＝2，P（X＝60），
代金券总额X的分布列如下表：
X 0 20 30 40 50 60
P
所以E（X）＝0203040506035（元）．
【点评】本题考查线性回归方程以及离散型随机变量的分布列及数学期望，是中档题．
20．（10分）（2022春 沙坪坝区校级期末）已知函数f（x）＝ax2+x﹣lnx（a∈R）．
（1）当a＝0时，过点（0，0）作y＝f（x）的切线，求该切线的方程；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣x在定义域内有两个零点，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】（1）y＝（1）x；（2）（0，）．
【分析】（1）求得a＝0时，f（x）的导数，设切点，求得切线的斜率，由两点的斜率公式可得切点坐标，进而得到所求切线的方程；
（2）由题意可得a在x∈（0，+∞）内有两个不等的实根．设h（x），求得导数和h（x）的单调性、极值，画出图象，可得所求取值范围．
【解答】 解：（1）当a＝0时，f（x）＝x﹣lnx，
f′（x）＝1，
设切点为（m，m﹣lnm），
可得切线的斜率为1，
又切线经过原点，可得1，
解得m＝e，可得切线的斜率为1，
切线的方程为y＝（1）x；
（2）函数g（x）＝f（x）﹣x在定义域内有两个零点，
即为f（x）＝x，即ax2﹣lnx＝0，
即有a在x∈（0，+∞）内有两个不等的实根．
设h（x），h′（x），
当x时，h′（x）＜0，h（x）递减；当0＜x时，h′（x）＞0，h（x）递增，
可得h（x）在x处取得极大值，且为最大值，
画出y＝h（x）的图象，如右图：
可得0＜a时，方程a在x∈（0，+∞）内有两个不等的实根，
则g（x）在定义域内有两个零点．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值、最值，以及函数的零点个数，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21．（12分）（2023春 浙江期中）已知f（x）＝（2x+3）n展开式的二项式系数和为512，且（2x+3）n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n．
（1）求a1+a2+a3+…+an的值；
（2）求a2的值；
（3）求f（20）﹣20被6整除的余数．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；定义法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）19682；
（2）144；
（3）5．
【分析】（1）利用赋值法，x＝﹣1和x＝0，代入求解即可；
（2）利用二项式系数和，求出n的值，再由（2x+3）9＝[2（x+1）+1]9和二项展开式，求解系数即可．
（3）利用439﹣20＝（42+1）9﹣20以及二项式定理展开，即可得到答案．
【解答】解：（1）令x＝﹣1，可得a0＝1，
令x＝0，可得，
所以a1+a2+a3+ +a9＝19682；
（2）因为f（x）＝（2x+3）n展开式的二项式系数和为512，
则2n＝512，解得n＝9，
因为（2x+3）9＝[2（x+1）+1]9，
则144；
（3）因为f（20）﹣20＝439﹣20＝（42+1）9﹣20，
因为能被6整除，
所以﹣19被6整除后余数为5．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，求解整除问题和求解近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，其中合理运用赋值法是求解二项展开式系数和的关键，考查了化简运算能力，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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