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上海市2024-2025学年高二下学期数学期末测试押题预测卷
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）（2022秋 淮安区期中）已知抛物线的准线方程为y＝3，则抛物线的标准方程为 　 　 ．
2．（4分）已知向量（2，1，1），（1，﹣1，0），则||＝　 　 ．
3．（4分）（2023春 岳阳月考）若（x+2）10＝a10（x﹣1）10+a9（x﹣1）9+…+a1（x﹣1）+a0，则a8＝　 　 ．
4．（4分）（2024 青羊区校级模拟）如图，若圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r1r2＝3，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为 　 　 ．
5．（4分）（2023秋 长宁区校级期末）经过（2，0），（0，3）两点的直线方程的一般式是 　 　 ．
6．（4分）（2023春 杨浦区期末）“若直线a||平面α，直线b在平面α上，则直线a||直线b”是 　 　 命题（填“真”或“假”）．
7．（5分）（2024 越秀区校级开学）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的75%分位数为 　 　 分．
8．（5分）某超市在国庆放假期间搞促销活动，这7天中每天上午9：30排队等候的人数及相应概率如表：
排队人数 [0，20] （20，30] （30，40] （40，60] （60，70] （70，75] （75，+∞）
概率 0.1 0.11 0.3 0.3 0.1 0.05 0.04
则该超市上午9：30，不超过40个人排队的概率是 　 　 ．
9．（5分）（2023 姜堰区模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝1，圆O1：（x﹣4）2+y2＝4，动点P在直线上，过P点分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足|PB|＝2|PA|的点P有且只有1个，则实数b的值是 　 　 ．
10．（5分）（2023 泸县校级模拟）已知数据x1，x2，…，xn的方差为，数据3x1﹣1，3x2﹣1，…，3xn﹣1的方差为，则　 　 ．
11．（5分）（2023秋 奉贤区期中）一张A4纸的规格为：210mm×297mm，把它作为一个圆柱的侧面．则卷成的圆柱体体积为 　 　 ．（结果精确到0.001mm3）
12．（5分）某石油勘探队在某海湾发现两口大型油气井，海岸线近似于双曲线C：的右支，现测得两口油气井的坐标位置分别为F（10，0），Q（30，9），为了运输方便，计划在海岸线上建设一个港口，则港口到两油气井距离之和的最小值为 　 　 ．
二．选择题（共4小题，满分18分）
13．（4分）（2022 苏州模拟）若直线x+my+3＝0与直线4mx+y+6＝0平行，则m＝（　　）
A． B． C．或 D．不存在
14．（4分）（2024 郊区校级三模）佳木斯市第一中学为丰富学生课余生活，利用大课间时间举行阳光体育活动，有多项趣味体育运动，某班有5位同学想参加旋风接力跑，趣味毛毛虫，企鹅漫步这三项活动，已知这5位同学每位学生只能选择一个项目参加，且每个项目都有同学参加，若同学A和B必须选择同一项比赛，则不同的选法种数是（　　）
A．81 B．54 C．36 D．18
15．（5分）（2023秋 顺庆区校级月考）《九章算术 商功》：“斜解立方（正方体），得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑（biēnào）．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图，阳马S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（　　）
A．AC⊥SB B．AD⊥SC
C．平面SAC⊥平面SBD D．BD⊥SA
16．（5分）（2025春 福州期中）已知函数f（x）＝ax3+3（a2﹣2）x+2在x＝1处取得极大值，则实数a的取值为（　　）
A．﹣2或1 B．2或﹣1 C．﹣2 D．1
三．解答题（共5小题，满分78分）
17．（14分）（2022 南京模拟）已知函数f（x）＝alnx﹣x+1，f'（x）为f（x）的导函数．
（1）若，证明：曲线y＝f（x）与x轴相切．
（2）证明：对于任意大于1的自然数n，不等式恒成立．
18．（14分）（2023秋 安徽月考）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点．
（1）求异面直线AB1与C1F所成角的余弦值；
（2）求直线AA1与平面AB1E所成角的正弦值．
19．（16分）（2022秋 河南月考）为了调查某地区程序员的工资情况，研究人员随机抽取了该地区20名程序员做调查，所得数据xi（i＝1，2，3， ，20）的茎叶图如图所示（单位：元），其中x1≤x2≤ ≤x20，经计算得，．
（1）求被调查的这20名程序员的平均工资；
（2）在（1）的条件下，可以算得，求“，， ，”的方差s2；
（3）若从被调查的这20名程序员中随机抽取工资不足6501元的2名程序员，求至少有1名程序员的工资在6000元以下的概率．
20．（16分）（2024春 许昌期末）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，A1C⊥BC，A1C＝BC，平面AA1C1C⊥平面ABC，E、F分别为A1C1，B1C1的中点．
（1）证明：A1C⊥平面ABC；
（2）若P为底面ABC内（包括边界）的动点，A1P∥平面EFC，且P的轨迹长度为1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．
（3）在（2）的条件下，求二面角A1﹣AB﹣C的正切值．
21．（18分）（2023 青羊区校级模拟）已知椭圆Γ：，A，B分别为Γ的右顶点、下顶点．
（1）求以原点O为圆心，且与直线AB相切的圆的方程；
（2）过A，B作直线AB的垂线，分别交椭圆Γ于点D，C，若|BC|＝3|AD|，求的值；
（3）设a＝2，b＝1，直线l1，l2过点B的两条相互垂直的直线，直线l1与圆O：x2+y2＝4交于P，Q两点，直线l2与椭圆Γ交于另一点R，求△PQR面积的最大值．
上海市2024-2025学年高二下学期数学期末测试押题预测卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）（2022秋 淮安区期中）已知抛物线的准线方程为y＝3，则抛物线的标准方程为 　x2＝﹣12y　 ．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】x2＝﹣12y．
【分析】根据题意，根据抛物线准线位置确定抛物线开口方向，设抛物线方程为x2＝﹣2py，由准线方程求解p的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若抛物线的准线方程为y＝3，则抛物线开口向下，
设抛物线方程为x2＝﹣2py，p＞0，则，故p＝6，
所以抛物线方程为x2＝﹣12y．
故答案为：x2＝﹣12y．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意抛物线准线的方程形式，属于基础题．
2．（4分）已知向量（2，1，1），（1，﹣1，0），则||＝　　 ．
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】先求出的坐标，再利用向量的模长公式求解．
【解答】解：∵向量（2，1，1），（1，﹣1，0），
∴（3，0，1），
∴||．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．
3．（4分）（2023春 岳阳月考）若（x+2）10＝a10（x﹣1）10+a9（x﹣1）9+…+a1（x﹣1）+a0，则a8＝　405　 ．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．
【答案】405．
【分析】令x﹣1＝t，结合二项式展开式通项式即可求出系数．
【解答】解：设x﹣1＝t，
则，
所以a8为二项式（t+3）10中含t8的系数，二项式（t+3）10展开式通项为，0≤r≤10且r∈N，
令10﹣r＝8，得r＝2，所以．
故答案为：405．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
4．（4分）（2024 青羊区校级模拟）如图，若圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r1r2＝3，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为 　12π　 ．
【考点】球的体积和表面积．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】12π．
【分析】根据圆台的性质，计算求解即可．
【解答】解：∵半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切，
∴切线长定理易得圆台母线长l＝r1+r2，
由勾股定理知（2R）2＝（r1+r2）2﹣（r1﹣r2）2，
解得R，
∴它的内切球的表面积为．
故答案为：12π．
【点评】本题考查空间几何体的性质，考查运算求解能力，属中档题．
5．（4分）（2023秋 长宁区校级期末）经过（2，0），（0，3）两点的直线方程的一般式是 　3x+2y﹣6＝0　 ．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质；直线的两点式方程．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】3x+2y﹣6＝0．
【分析】由两点求出斜率，写出点斜式，再化成一般式．
【解答】解：由（2，0），（0，3）得直线的斜率，
所以直线的点斜式方程为，
化为一般式方程为3x+2y﹣6＝0
故答案为：3x+2y﹣6＝0．
【点评】本题考查直线方程的求法，属于基础题．
6．（4分）（2023春 杨浦区期末）“若直线a||平面α，直线b在平面α上，则直线a||直线b”是 　假　 命题（填“真”或“假”）．
【考点】直线与平面平行；命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】对应思想；定义法；立体几何；逻辑思维；直观想象．
【答案】假．
【分析】根据直线与平面的位置关系判断即可．
【解答】解：若直线a||平面α，直线b在平面α上，则直线a||直线b或直线a与直线b异面，故命题为假命题．
故答案为：假．
【点评】本题考查了空间中线面位置关系，考查了推理能力，属于中档题．
7．（5分）（2024 越秀区校级开学）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的75%分位数为 　86.25　 分．
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】86.25．
【分析】利用给定的频率分布直方图，借助频率估计75%分位数即可．
【解答】解：依题意，前四个小矩形的面积之和为（0.004+0.006+0.020+0.030）×10＝0.6，
前五个小矩形的面积之和为0.6+0.024×10＝0.84＞0.75，
因此75%分位数位于[80，90）内，
则，
所以估计这50名学生成绩的75%分位数为86.25分．
故答案为：86.25．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的性质，考查了百分位数的定义，属于基础题．
8．（5分）某超市在国庆放假期间搞促销活动，这7天中每天上午9：30排队等候的人数及相应概率如表：
排队人数 [0，20] （20，30] （30，40] （40，60] （60，70] （70，75] （75，+∞）
概率 0.1 0.11 0.3 0.3 0.1 0.05 0.04
则该超市上午9：30，不超过40个人排队的概率是 　0.51　 ．
【考点】互斥事件的概率加法公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.51．
【分析】利用互斥事件概率加法公式能求出结果．
【解答】解：由题意得该超市上午9：30，不超过40个人排队的概率是：
P＝0.1+0.11+0.3＝0.51．
故答案为：0.51．
【点评】本题考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（5分）（2023 姜堰区模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝1，圆O1：（x﹣4）2+y2＝4，动点P在直线上，过P点分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足|PB|＝2|PA|的点P有且只有1个，则实数b的值是 　4或　 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】4或．
【分析】分别求出两圆圆心和半径，利用，，|PB|＝2|PA|可求点P轨迹方程，又P在直线上，结合圆心到直线的距离等于半径可求b的值．
【解答】解：由题意圆O：x2+y2＝1，则圆心O（0，0），r1＝1，
圆O1：（x﹣4）2+y2＝4，则圆心O1（4，0），r2＝2，设P（x，y），
若|PB|＝2|PA|，，，
则，
∴（x﹣4）2+y2＝4（x2+y2），∴，
即，圆心坐标为，半径为，
∵动点P在直线上，有且只有1个点P满足|PB|＝2|PA|，
∴直线与圆相切，
∴圆心到直线的距离，∴或b＝4，
即实数b的值为4或．
故答案为：4或．
【点评】本题考查求点的轨迹方程以及直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想，属中档题．
10．（5分）（2023 泸县校级模拟）已知数据x1，x2，…，xn的方差为，数据3x1﹣1，3x2﹣1，…，3xn﹣1的方差为，则　9　 ．
【考点】用样本估计总体的离散程度参数．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】9．
【分析】利用公式可得两类方差之间的关系．
【解答】解：设数据x1，x2， ，xn的均值为，则3x1﹣1，3x2﹣1， ，3xn﹣1的均值为31，
故且，故，
故答案为：9．
【点评】本题考查了方差公式的应用，属于基础题．
11．（5分）（2023秋 奉贤区期中）一张A4纸的规格为：210mm×297mm，把它作为一个圆柱的侧面．则卷成的圆柱体体积为 　1474084.329mm3或1042281.849mm3　 ．（结果精确到0.001mm3）
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．
【专题】整体思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】1474084.329mm3或1042281.849mm3．
【分析】分别以210mm的边为高，和以297mm的边为高，两种情况讨论，分别求出对应底面圆的半径，代入圆柱的体积公式即可得解．
【解答】解：①如果以210mm的边为高，则2πr1＝297，
所以，
此时圆柱体的体积为；
②如果以297mm的边为高，则2πr2＝210，
所以，
此时圆柱体的体积为．
故答案为：1474084.329mm3或1042281.849mm3．
【点评】本题主要考查了圆柱的结构特征，以及体积公式，属于基础题．
12．（5分）某石油勘探队在某海湾发现两口大型油气井，海岸线近似于双曲线C：的右支，现测得两口油气井的坐标位置分别为F（10，0），Q（30，9），为了运输方便，计划在海岸线上建设一个港口，则港口到两油气井距离之和的最小值为 　25　 ．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；直观想象；运算求解．
【答案】25．
【分析】由题意得c＝10，可得F（10，0）恰好为双曲线C的右焦点，然后设F'（﹣10，0）为双曲线C的左焦点，根据双曲线的定义得|PQ|+|PF|＝|PQ|+|PF'|﹣16≥|F'Q|﹣16，通过两点间距离公式求出|F'Q|，即可得出答案．
【解答】解：∵双曲线C：，则a＝8，b＝6，c2＝64+36＝100，
故该双曲线的两个焦点分别为（10，0）和（﹣10，0），
则F（10，0）恰好为双曲线C的右焦点，设F'（﹣10，0）为双曲线C的左焦点，
连接F'Q与双曲线C右支交于点P，则点P即为港口所在位置，
由双曲线的定义可得，|PF'|﹣|PF|＝2a＝16，即|PF|＝|PF'|﹣16，
则|PQ|+|PF|＝|PQ|+|PF'|﹣16≥|F'Q|﹣16．
当且仅当Q，P，F'三点共线时，等号成立，
此时港口到两油气井的距离之和最小，
又F'（﹣10，0），Q（30，9），
∴|F'Q|41，此时|PQ|+|PF|＝41﹣16＝25，
故答案为：25．
【点评】本题考查双曲线的性质和将军饮马问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力、直观想象，属于中档题．
二．选择题（共4小题，满分18分）
13．（4分）（2022 苏州模拟）若直线x+my+3＝0与直线4mx+y+6＝0平行，则m＝（　　）
A． B． C．或 D．不存在
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得1＝4m×m＝4m2，解可得m的值，验证直线是否平行，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若直线x+my+3＝0与直线4mx+y+6＝0平行，
则有1＝4m×m＝4m2，解可得m＝±，
当m时，两直线方程为xy+3＝0和2x+y+6＝0，两直线重合，不符合题意；
当m时，两直线方程为xy+3＝0和﹣2x+y+6＝0，两直线平行，符合题意，
故m，
故选：B．
【点评】本题考查直线平行的判断，注意直线的一般式方程，属于基础题．
14．（4分）（2024 郊区校级三模）佳木斯市第一中学为丰富学生课余生活，利用大课间时间举行阳光体育活动，有多项趣味体育运动，某班有5位同学想参加旋风接力跑，趣味毛毛虫，企鹅漫步这三项活动，已知这5位同学每位学生只能选择一个项目参加，且每个项目都有同学参加，若同学A和B必须选择同一项比赛，则不同的选法种数是（　　）
A．81 B．54 C．36 D．18
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意把同学A和B捆绑一起与其余三个学生分成三组，然后三个项目对应三组同学利用排列组合计算即可
【解答】解：根据题意把同学A和B捆绑一起与其余三个学生分成三组，即，
三个项目对应三组同学，即．
故选：C．
【点评】本题主要考查了排列组合在实际问题中的应用，属于基础题．
15．（5分）（2023秋 顺庆区校级月考）《九章算术 商功》：“斜解立方（正方体），得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑（biēnào）．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图，阳马S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（　　）
A．AC⊥SB B．AD⊥SC
C．平面SAC⊥平面SBD D．BD⊥SA
【考点】平面与平面垂直．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；新文化类．
【答案】D
【分析】根据线面垂直的性质定理可判断A，B；根据面面垂直的判定定理判断C；采用假设BD⊥SA，推出矛盾的方法判断D．
【解答】解：由题意知SD⊥底面ABCD，AC 底面ABCD，
故SD⊥AC，又阳马S﹣ABCD的底面为正方形，
即AC⊥BD，而SD∩BD＝D，SD，BD 平面SBD，
故AC⊥平面SBD，SB 平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；
SD⊥底面ABCD，AD 底面ABCD，
故SD⊥AD，又阳马S﹣ABCD的底面为正方形，
即AD⊥CD，而SD∩CD＝D，SD，CD 平面SCD，
故AD⊥平面SCD，SC 平面SCD，故AD⊥SC，故B正确．
由于AC⊥平面SBD，AC 平面SAC，
故平面SAC⊥平面SBD，故C正确；
SD⊥底面ABCD，BD 底面ABCD，故SD⊥BD，
若BD⊥SA，而SD∩SA＝S，SD，SA 平面SAD，
故BD⊥平面SAD，AD 平面SAD，故BD⊥AD，
即∠BDA＝90°，
这与正方形ABCD中∠BDA＝45°矛盾，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查线面垂直和面面垂直的证明，属于中档题．
16．（5分）（2025春 福州期中）已知函数f（x）＝ax3+3（a2﹣2）x+2在x＝1处取得极大值，则实数a的取值为（　　）
A．﹣2或1 B．2或﹣1 C．﹣2 D．1
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，求得f'（x）＝3ax2+3（a2﹣2），由x＝1是函数f（x）上的极值，得到f'（1）＝0，求得a＝﹣2或a＝1，分类讨论，结合函数的单调性和极值点的概念，进行判断，即可求解．
【解答】解：由函数f（x）＝ax3+3（a2﹣2）x+2，可得f'（x）＝3ax2+3（a2﹣2），
因为x＝1是函数f（x）的极值点，可得f'（1）＝3a+3（a2﹣2）＝0，
即a2+a﹣2＝0，解得a＝﹣2或a＝1，
当a＝1时，f'（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），
令f（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞1；令f'（x）＜0，解得﹣1＜x＜1，
所以f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递增，在区间（﹣1，1）单调递减，
此时，在x＝1处函数f（x）取得极小值，不符合题意，舍去；
当a＝﹣2时，f'（x）＝﹣6x2+6＝﹣6（x+1）（x﹣1），
令f′（x）＞0，解得﹣1＜x＜1；令f（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞1，
所以f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在区间（﹣1，1）单调递增，
此时，在x＝1处函数f（x）取得极大值，符合题意．
综上可得，实数a的值为﹣2．
故选：C．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
三．解答题（共5小题，满分78分）
17．（14分）（2022 南京模拟）已知函数f（x）＝alnx﹣x+1，f'（x）为f（x）的导函数．
（1）若，证明：曲线y＝f（x）与x轴相切．
（2）证明：对于任意大于1的自然数n，不等式恒成立．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；分类讨论；函数思想；综合法；分类法；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）求导，根据导数值求出a，再根据导数的几何意义证明x轴是曲线y＝f（x）的切线即可；
（2）由（1）证明不等式lnx≤x﹣1对任意x∈（0，+∞）恒成立，令，则，可得，进一步证明．
【解答】证明：（1），，解得a＝1，
故f（x）＝lnx﹣x+1，，
令f'（x）＝0，则x＝1，f（1）＝0，
所以过点（1，0）的切线方程为y＝0，
所以曲线y＝f（x）与x轴相切；
（2）由（1）知，当a＝1时，，
令f'（x）＞0，得0＜x＜1，令f'（x）＜0，得x＞1，
所以f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），
所以f（x）≤f（1）＝0，
则不等式lnx≤x﹣1对任意x∈（0，+∞）恒成立，当且仅当x＝1时，等号成立，
所以当x∈（1，+∞）时，lnx＜x﹣1恒成立，
令，
则，
当n＝2时，．
当n≥3时，
，
综上可得，
故．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，考查了放缩思想，属于难题．
18．（14分）（2023秋 安徽月考）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点．
（1）求异面直线AB1与C1F所成角的余弦值；
（2）求直线AA1与平面AB1E所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．
【专题】转化思想；综合法；空间角；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，结合向量的夹角公式，即可求解；
（2）求得向量和平面AB1E的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：（1）以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
可得
设异面直线AB1与C1F所成角为θ，
则，
所以异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为；
（2）由，
设平面AB1E的法向量为，则，
取z＝2，可得x＝1，y＝﹣2，所以，
设直线AA1与平面AB1E所成角为α，则，
所以直线AA1与平面AB1E所成角的正弦值为．
【点评】本题考查求异面直线所成角和直线与平面所成角，属于中档题．
19．（16分）（2022秋 河南月考）为了调查某地区程序员的工资情况，研究人员随机抽取了该地区20名程序员做调查，所得数据xi（i＝1，2，3， ，20）的茎叶图如图所示（单位：元），其中x1≤x2≤ ≤x20，经计算得，．
（1）求被调查的这20名程序员的平均工资；
（2）在（1）的条件下，可以算得，求“，， ，”的方差s2；
（3）若从被调查的这20名程序员中随机抽取工资不足6501元的2名程序员，求至少有1名程序员的工资在6000元以下的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图；用样本估计总体的离散程度参数．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）被调查的这20名程序员的平均工资；
（2）s2＝411.632；
（3）至少有1名程序员的工资在6000元以下的概率为．
【分析】（1）根据数据的平均值计算公式求解即可；
（2）根据数据方差的计算公式先确定数据xi（i＝1，2，3， ，20）的方差D（X），再由数据，， ，”的方差s2与D（X）的关系求解即可；
（3）根据古典概型计算公式求解即可．
【解答】解：（1）由于，
故被调查的这20名程序员的平均工资；
（2）数据xi（i＝1，2，3， ，20）的方差，
故所求方差；
（3）由题意可知，这20名程序员中随机抽取工资不足6501元的有6名，
其中有3名工资在6000元以下记作A1，A2，A3，记工资在6000～6500元之间的3名程序员为B1，B2，B3，
则6名程序员任取2人的所有抽取情况如下：Ω＝{{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}}，共15种情况，
设至少有1名程序员的工资在6000元以下为事件M，
则M的所有抽取情况如下：M＝{{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}}，共12种情况，
则，
所以至少有1名程序员的工资在6000元以下的概率为．
【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题．
20．（16分）（2024春 许昌期末）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，A1C⊥BC，A1C＝BC，平面AA1C1C⊥平面ABC，E、F分别为A1C1，B1C1的中点．
（1）证明：A1C⊥平面ABC；
（2）若P为底面ABC内（包括边界）的动点，A1P∥平面EFC，且P的轨迹长度为1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．
（3）在（2）的条件下，求二面角A1﹣AB﹣C的正切值．
【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直．
【专题】数形结合；转化思想；综合法；立体几何；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）证明见解析．
（2）2．
（3）．
【分析】（1）取AC的中点D，连接BD，由面面垂直得出BD⊥平面AA1C1C，BD⊥A1C，再由A1C⊥BC，得出A1C⊥平面ABC．
（2）取BC的中点M，连接DM，A1D，A1M，利用中位线定理得出EF∥A1B1，DM∥AB，由平行四边形得出A1B1∥BA，证明DM∥EF，得出DM∥平面EFC，再证明四边形A1ECD为平行四边形，得出A1D∥EC，A1D∥平面EFC，从而证明平面A1DM∥平面CEF，得出点P的轨迹为DM，从而计算三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．
（3）取AB的中点H，连接CH，A1H，找出二面角A1﹣AB﹣C的平面角为∠A1HC，利用Rt△A1HC求出二面角A1﹣AB﹣C的正切值．
【解答】（1）证明：取AC的中点D，连接BD，
因为△ABC是等边三角形，所以BD⊥AC．
又平面AA1C1C⊥平面ABC，且平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，
所以BD⊥平面AA1C1C．
因为A1C 平面AA1C1C，所以BD⊥A1C．
因为A1C⊥BC，BD∩BC＝B，BD，BC 平面ABC，
所以A1C⊥平面ABC．
（2）解：取BC的中点M，连接DM，A1D，A1M．
因为E，F分别为A1C1，B1C1的中点，所以EF∥A1B1，
D，M分别为AC，BC的中点，所以DM∥AB，
因为三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以侧面A1B1BA为平行四边形，所以A1B1∥BA，所以DM∥EF．
且EF 平面EFC，DM 平面EFC，所以DM∥平面EFC，
因为三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以侧面A1C1CA为平行四边形，DE分别为AC，A1C1的中点，
所以A1E∥DC，且A1E＝DC，所以平行四边形A1ECD，所以A1D∥EC，
因为EC 平面EFC，A1D 平面EFC，所以A1D∥平面EFC，
又EF∩EC＝E，EF，EC 平面CEF，
所以平面A1DM∥平面CEF．
又因为P为底面ABC内（包括边界）的动点，当P∈DM时，A1P 平面A1DM，
所以A1P∥平面CEF，所以P的轨迹为DM，所以DM＝1，所以AB＝2，
又因为△ABC是正三角形，所以．
又因为（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为A1C，所以A1C＝BC＝2，
所以三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为．
（3）解：取AB的中点H，连接CH，A1H，
因为△ABC是正三角形，H为AB的中点，所以CH⊥AB，
因为A1C⊥平面ABC，AB 平面ABC，所以A1C⊥AB，
又CH∩A1C＝C，CH，A1C 平面A1CH，
因为AB⊥平面A1CH，且A1H 平面A1CH，所以AB⊥A1H，
所以二面角A1﹣AB﹣C的平面角为∠A1HC，
在Rt△A1HC中，A1C＝2，，，
所以二面角A1﹣AB﹣C的正切值为．
【点评】本题考查了空间中的平行与垂直的判断与性质应用问题，也考查了几何体体积与二面角大小的计算问题，是中档题．
21．（18分）（2023 青羊区校级模拟）已知椭圆Γ：，A，B分别为Γ的右顶点、下顶点．
（1）求以原点O为圆心，且与直线AB相切的圆的方程；
（2）过A，B作直线AB的垂线，分别交椭圆Γ于点D，C，若|BC|＝3|AD|，求的值；
（3）设a＝2，b＝1，直线l1，l2过点B的两条相互垂直的直线，直线l1与圆O：x2+y2＝4交于P，Q两点，直线l2与椭圆Γ交于另一点R，求△PQR面积的最大值．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的几何特征．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据题意求得直线AB的方程，利用圆与直线AB相切求出圆的半径，即可求解；
（2）求出AD和BC的方程，分别与椭圆方程联立求出D和C的横坐标，根据|BC|＝3|AD|，转化为|xC﹣0|＝3|xD﹣a|，即可求解；
（3）求得椭圆的方程，分别求得当直线l1的斜率不存在或0时，△PQR的面积，当直线l1的斜率存在且不为0时，设其直线的方程为y＝kx﹣1（k≠0），利用圆的弦长公式和点到直线的距离公式，求得面积的表达式，结合基本不等式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意，可得A（a，0），B（0，b），
可得直线，即bx﹣ay+ab＝0，
设该圆的半径为r，
则圆心到直线的距离为，即，
所以所求圆的方程为．
（2）由题意，可得直线AD的方程为，
联立方程组，解得，
同理可得直线BC的方程为，与椭圆Γ联立，可解得，
因为|BC|＝3|AD|，可得|xC﹣0|＝3|xD﹣a|，即，
整理得2a3b2＝6ab4，即a2＝3b2，所以．
（3）解：由a＝2，b＝1，可得椭圆的方程为，且B（0，﹣1），
当直线l1的斜率不存在时，直线l2与椭圆相切于点B，不合题意；
当直线l1的斜率为0时，此时可得；
当直线l1的斜率存在且不为0时，设其直线的方程为y＝kx﹣1（k≠0），
则点O到直线l1的距离为，
根据圆的弦长公式，可得，
因为l1⊥l2，所以直线l2的方程为，
由，解得，即R（，），
可得，
所以，
令，则，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
又由，所以面积的最大值为．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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