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上海市2024-2025学年高一下学期数学期末测试押题预测卷
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）﹣870°角是第 　 　 象限角．
2．（4分）关于x的方程x4+2x2+1＝0在复数范围内的解集为 　 　 ．
3．（4分）（2024春 浦东新区期中）函数的值域为 　 　 ．
4．（4分）（2024 金山区二模）已知向量，，若，则实数m的值为 　 　 ．
5．（4分）（2022秋 海淀区校级期中）已知2i+a（a∈R）是方程2x2﹣12x+b＝0的一个虚根，则实数b的值为 　 　 ．
6．（4分）（2023春 普陀区校级期末）已知{an}为等比数列，且27a2+a5＝0，则{an}的公比为 　 　 ．
7．（5分）（2023秋 内蒙古月考）已知向量（1，﹣6），（6，8），则在方向上的投影为 　 　 ．
8．（5分）（2022春 萧县校级月考）如图：在△ABC中，，点D在线段AC上，且AD＝2DC，AC＝2，求△DBC的面积最大值 　 　
9．（5分）（2022 静安区模拟）若复数，则|z﹣i|＝　 　 ．
10．（5分）（2022秋 连云港期末）求和：　 　 ．
11．（5分）（2022 杭州模拟）函数f（x）＝2cos2x﹣sin2x+1在的单调递增区间是 　 　 ．
12．（5分）（2022春 浙江期中）已知向量，满足||＝1，|3|＝3，|2|，则||＝　 　 ．
二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知（a2﹣4）+（a+2）i为纯虚数，且（1﹣bi）2＝﹣3﹣2ai，则b＝（　　）
A．﹣2 B． C． D．2
14．（5分）（2025春 酒泉期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组基底向量的为（　　）
①和
②和
③和
④和
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
15．（5分）（2024 广西开学）若，则（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
16．（5分）（2022春 元宝山区校级期中）如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为（　　）
A．2n B．2n﹣1 C．2n+2 D．2n+1
三．解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）（2023 海珠区校级开学）已知函数．
（1）求函数f（x）的周期和对称中心；
（2）若不等式|f（x）﹣m|≤3对任意恒成立，求整数m的最大值．
18．（14分）（2024秋 常熟市月考）已知数列{an}中，a1＝2，an+1﹣an＝2（n+1），n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若{bn}是等差数列，Sn为数列的前n项和，4b2＝4b1+b4，a3＝2S3，求Sn．
19．（14分）求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有一正根和一负根的充要条件．
20．（16分）（2024春 顺德区校级期中）如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，OA⊥OC，OA＝2BC＝2OC＝2，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为AB中点时，写出点M，P，D的坐标；
（3）设，求λ μ的取值范围．
21．（18分）（2024秋 文昌校级月考）若有穷数列a1，a2…an（n是正整数），满足a1＝an，a2＝an﹣1，…，an＝a1，即ai＝an﹣i+1（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”．
（1）已知数列bn是项数为8的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1＝1，b4＝10，试写出bn的每一项．
（2）已知cn是项数为2k（其中k≥1，且k∈Z）的对称数列，且ck+1，ck+2…c2k构成首项为15，公差为﹣2的等差数列，数列cn的前2k项和为S2k，则当k为何值时，S2k取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数i＞1，试写出所有项数为2i﹣1的对称数列，使得1，2，22，…，2i﹣1成为数列中的连续项：当i＞2000时，并分别求出所有对称数列的前2024项和S2024．
上海市2024-2025学年高一下学期数学期末测试押题预测卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）﹣870°角是第 　三　 象限角．
【考点】象限角、轴线角．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】三．
【分析】根据已知条件，结合象限角的定义，即可求解．
【解答】解：﹣870°＝210°﹣3×360°，
180°＜210°＜270°，
则﹣870°角是第三象限角．
故答案为：三．
【点评】本题主要考查象限角的定义，属于基础题．
2．（4分）关于x的方程x4+2x2+1＝0在复数范围内的解集为 　{i，﹣i}　 ．
【考点】复数的运算．
【专题】计算题；方程思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】{i，﹣i}．
【分析】解方程，由复数的概念及运算即可得解．
【解答】解：x4+2x2+1＝0，即（x2+1）2＝0，
所以x2＝﹣1，所以x＝±i，
所以关于x的方程x4+2x2+1＝0在复数范围内的解集为{i，﹣i}．
故答案为：{i，﹣i}．
【点评】本题考查复数的基本概念和运算，属于基础题．
3．（4分）（2024春 浦东新区期中）函数的值域为 　[﹣2　 ．
【考点】三角函数的最值；两角和与差的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】[﹣2．
【分析】首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值域．
【解答】解：，
当sin（x）＝﹣1时，函数的最小值为﹣2，
当时，函数的最大值为2；
故函数的值域为[﹣2．
故答案为：[﹣2．
【点评】本题考查的知识点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4．（4分）（2024 金山区二模）已知向量，，若，则实数m的值为 　3　 ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】3．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：，，，
则1×m+（﹣3）×1＝0，解得m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
5．（4分）（2022秋 海淀区校级期中）已知2i+a（a∈R）是方程2x2﹣12x+b＝0的一个虚根，则实数b的值为 　26　 ．
【考点】实系数多项式虚根成对定理．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】26．
【分析】根据已知条件，推得a﹣2i是方程2x2﹣12x+b＝0的另一个虚根，再结合韦达定理，即可求解．
【解答】解：∵2i+a（a∈R）是方程2x2﹣12x+b＝0的一个虚根，
∴a﹣2i是方程2x2﹣12x+b＝0的另一个虚根，
∴，解得a＝3，
∴，解得b＝26．
故答案为：26．
【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题．
6．（4分）（2023春 普陀区校级期末）已知{an}为等比数列，且27a2+a5＝0，则{an}的公比为 　﹣3　 ．
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】﹣3．
【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，分析可得27a2+a2q3＝0，变形可得答案．
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
由于27a2+a5＝0，即27a2+a2q3＝0，变形可得q＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
7．（5分）（2023秋 内蒙古月考）已知向量（1，﹣6），（6，8），则在方向上的投影为 　　 ．
【考点】平面向量的数量投影．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合向量投影公式，即可求解．
【解答】解：向量（1，﹣6），（6，8），
则在方向上的投影为：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量投影公式，属于基础题．
8．（5分）（2022春 萧县校级月考）如图：在△ABC中，，点D在线段AC上，且AD＝2DC，AC＝2，求△DBC的面积最大值 　　
【考点】余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】．
【分析】由余弦定理得出cosB，平方关系计算出sinB，利用基本不等式可得3≥ac，根据可得答案．
【解答】解：由余弦定理得，
因为0＜B＜π，，
，即，
所以3≥ac当且仅当a＝c等号成立，
因为AD＝2DC，
所以，
所以△DBC的面积最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了余弦定理，基本不等式以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
9．（5分）（2022 静安区模拟）若复数，则|z﹣i|＝　　 ．
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】．
【分析】先对z化简，再结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：，
则|z﹣i|＝|1﹣2i|．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
10．（5分）（2022秋 连云港期末）求和：　84　 ．
【考点】数列的求和．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】84．
【分析】利用等比数列和等差数列的前n项和公式即可得解．
【解答】解：21﹣2×1+22﹣2×2+23﹣2×3+……+26﹣2×6
＝（2+22+23+……+26）﹣（2+4+6+……+12）
＝84．
故答案为：84．
【点评】本题考查比数列和等差数列的前n项和公式，考查运算求解能力，属于基础题．
11．（5分）（2022 杭州模拟）函数f（x）＝2cos2x﹣sin2x+1在的单调递增区间是 　　 ．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】根据降幂公式及辅助角公式对f（x）化简，然后根据正弦型函数的单调区间即可得到结果．
【解答】解：因为函数，
令，
解得，
且，令k＝0，则，
即f（x）的单调递增区间为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变形，考查了正弦函数的单调性，属于基础题．
12．（5分）（2022春 浙江期中）已知向量，满足||＝1，|3|＝3，|2|，则||＝　　 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】方程思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】
【分析】根据向量数量运算性质，列方程组，解方程组求解即可．
【解答】解：由题意知||2＝1，|3|2＝9，|2|2＝3，
所以，消去得，消去得34，
所以，所以||．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．
二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知（a2﹣4）+（a+2）i为纯虚数，且（1﹣bi）2＝﹣3﹣2ai，则b＝（　　）
A．﹣2 B． C． D．2
【考点】纯虚数．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数相等的条件，即可求解．
【解答】解：（a2﹣4）+（a+2）i为纯虚数，
则，解得a＝2，
（1﹣bi）2＝﹣3﹣2ai，
则1﹣b2﹣2bi＝﹣3﹣4i，即，解得b＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查纯虚数的定义，以及复数相等的条件，是基础题．
14．（5分）（2025春 酒泉期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组基底向量的为（　　）
①和
②和
③和
④和
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【考点】平面向量的基底．
【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用；逻辑思维．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量基底的意义逐一判断即可．
【解答】解：因为202620262026（），所以与20262026共线，①不是基向量；
由，得和不共线，所以②是基向量；
由，得和不共线，所以③是基向量；
因为363（2），2与36共线，④不是基向量，
因此可以作为一组基底向量的是②③．
故选：B．
【点评】本题考查了基向量的定义与应用问题，是基础题．
15．（5分）（2024 广西开学）若，则（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】两角和与差的三角函数；同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】由两角差的正弦、余弦、正切公式展开化简即可求解．
【解答】解：由题意得，
则．
故选：B．
【点评】本题考查了两角差的正弦、余弦、正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
16．（5分）（2022春 元宝山区校级期中）如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为（　　）
A．2n B．2n﹣1 C．2n+2 D．2n+1
【考点】二项式定理的应用．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】B
【分析】根据给定数阵，观察首尾两个数的特征，利用等差数列的公式求解作答．
【解答】解：依题意，每一行第一数依次排成一列为1，3，5，7，9，…，
它们成等差数列，通项为2n﹣1，
∴第n行的首尾两个数均为2n﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查数字排列规律的运算，考查简单的归纳推理、等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三．解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）（2023 海珠区校级开学）已知函数．
（1）求函数f（x）的周期和对称中心；
（2）若不等式|f（x）﹣m|≤3对任意恒成立，求整数m的最大值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性．
【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）周期为2π，对称中心为；
（2）4．
【分析】（1）根据二倍角及辅助角公式把f（x）化成一个三角函数，利用周期以及对称轴公式求解即可；
（2）由求出f（x）的值域，再结合不等式|f（x）﹣m|≤3恒成立，限定m的范围并求出结果．
【解答】解：（1）由题意得：
，
可得，
令，得．
可得函数f（x）的周期为2π，对称中心为；
（2）因为，
所以，
所以，
所以当时，f（x）的最小值为1；
当，f（x）的最大值为2，
所以1≤f（x）≤2，
由题意得﹣3≤f（x）﹣m≤3，
所以m﹣3≤f（x）≤m+3对一切恒成立，
所以，
解得﹣1≤m≤4，
所以整数m的最大值为4．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦函数的性质以及不等式的解法，考查了函数思想，属于中档题．
18．（14分）（2024秋 常熟市月考）已知数列{an}中，a1＝2，an+1﹣an＝2（n+1），n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若{bn}是等差数列，Sn为数列的前n项和，4b2＝4b1+b4，a3＝2S3，求Sn．
【考点】数列递推式．
【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】（1）an＝n（n+1）；
（2）．
【分析】（1）由数列的递推式，结合累加法求解；
（2）由等差数列的通项公式，结合等差数列的求和公式求解．
【解答】解：（1）已知数列{an}中，a1＝2，an+1﹣an＝2（n+1），n∈N*，
则n≥2时，an＝a1+a2﹣a1+a3﹣a2+ +an﹣an﹣1，
又a1＝2满足上式，
则an＝n（n+1）；
（2）设{bn}公差为d，
所以b1+3d＝4d，
所以b1＝d，
则bn＝d+（n﹣1）d＝nd，
又2S3＝12，
则S3＝6，
所以，
则，
则，
则．
【点评】本题考查了数列的递推式及累加法，重点考查了等差数列的通项公式及等差数列的求和公式，属中档题．
19．（14分）求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有一正根和一负根的充要条件．
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ac＜0．
【分析】根据韦达定理，先判断出“一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个正根和一个负根”能推出“ac＜0”成立，反之再由韦达定理，判断出“ac＜0”成立能推出“一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个正根和一个负根”，利用充要条件的有关定义得到结论．
【解答】解：若“一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个正根和一个负根”成立，
由韦达定理可得，x1x20，
所以ac＜0成立，
反之，若“ac＜0”成立，
此时一元二次方程ax2+bx+c＝0的Δ＞0，此时方程有两个不等的根，
由韦达定理可得，x1x20，
即方程两个根的符号相反，
即一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个正根和一个负根，
所以“一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个正根和一个负根”是“ac＜0”的充要条件．
故答案为：ac＜0．
【点评】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，一元二次方程根的个数与△符号的关系，及韦达定理，其中分别判断命题A 命题B与命题B 命题A的真假，是解答本题的关键．
20．（16分）（2024春 顺德区校级期中）如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，OA⊥OC，OA＝2BC＝2OC＝2，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为AB中点时，写出点M，P，D的坐标；
（3）设，求λ μ的取值范围．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的线性运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2），，；
（3）．
【分析】（1）根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；
（2）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果；
（3）由动点P设出，结合平面向量基本定理，λ μ建立为x的函数求解．
【解答】解：（1）如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，OA⊥OC，
OA＝2BC＝2OC＝2，M为AB上靠近B的三等分点，
OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点，
依题意，，
所以，
所以；
（2）以O为坐标原点，以OA、OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
则A（2，0），B（1，1），C（0，1），
由，
可得，又P是BC中点，可得，
又，
因为A、C、D三点共线，
所以，解得，
所以OD：DM＝3：1，
所以，则，
综上，，，；
（3）由已知，
因P是线段BC上的动点，则令，
，
又不共线，则有，即
又，则，即，
故，在上递增，
所以μ＝1时，（λ μ）min＝0，
时，，
故λ μ的取值范围是．
【点评】本题考查了平面向量的综合应用，属于中档题．
21．（18分）（2024秋 文昌校级月考）若有穷数列a1，a2…an（n是正整数），满足a1＝an，a2＝an﹣1，…，an＝a1，即ai＝an﹣i+1（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”．
（1）已知数列bn是项数为8的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1＝1，b4＝10，试写出bn的每一项．
（2）已知cn是项数为2k（其中k≥1，且k∈Z）的对称数列，且ck+1，ck+2…c2k构成首项为15，公差为﹣2的等差数列，数列cn的前2k项和为S2k，则当k为何值时，S2k取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数i＞1，试写出所有项数为2i﹣1的对称数列，使得1，2，22，…，2i﹣1成为数列中的连续项：当i＞2000时，并分别求出所有对称数列的前2024项和S2024．
【考点】数列的应用．
【专题】新定义；转化思想；分析法；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学抽象；逻辑思维；运算求解；数据分析．
【答案】（1）{bn}的项依次为1，4，7，10，10，7，4，1；
（2）128；
（3）．
【分析】（1）设前4项的公差为d，由求出公差d，从而得到b2b3，再根据对称性得到其余项；（2）首先利用等差数列求和公式求出ck+1+ck+2+ +c2k，则S2k＝2（ck+1+ck+2+ +c2k），再由二次函数的性质计算可得；（3）依题意列出满足该条件的对称数列，再分i≥2024、2000＜i＜2024两种情况利用等比数列求和公式及分组求和法计算可得．
【解答】（1）因为b1，b2，b3，b4成等差数列，b1＝1，b4＝10，
设前4项的公差为d，所以，
所以b2＝b1+d＝4，b3＝b1+2d＝7，又数列bn是项数为8的对称数列，
所以b8＝b1＝1，b7＝b2＝4，b6＝b3＝7b5＝b4＝10，
所以{bn}的项依次为1，4，7，10，10，7，4，1．
（2）因为ck+1 ck+1，ck+2，…，c2k构成首项为15，公差为﹣2的等差数列，
所以，
又c1＝c2k，c2＝c2k﹣1，…，ck＝ck+1，
所以，
所以当k＝8时S21取得最大值，且（S2k）max＝128．
（3）因为1，2，22，…，2i﹣1成为数列中的连续项，且该对称数列的项数为2i﹣1，
所以这样的对称数列有：
①1，2，22，…，2i﹣2，，2i﹣2，…，222，1；
②2i﹣12i﹣2，…，222，1，2，22，…，2i﹣22i﹣1，
因为i＞2000，
对于①，当i≥2024时，；
当2000＜i＜2024时S2024＝1+2+22+…+2i﹣1+…+22i﹣2025＝2i﹣1+2i﹣1﹣22i﹣2025，
所以，
对于②，当i≥2024的；
当2000＜i＜2024时S2024＝2i﹣1+2i﹣2+…+22+21+1+2+22+…+22024﹣i，
所以．
【点评】本题考查数列新定义，数列的综合应用，属于难题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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