资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台上海市2024-2025学年高一下学期数学期末测试押题预测卷一.填空题(共12小题,满分54分)1.(4分)﹣870°角是第 象限角.2.(4分)关于x的方程x4+2x2+1=0在复数范围内的解集为 .3.(4分)(2024春 浦东新区期中)函数的值域为 .4.(4分)(2024 金山区二模)已知向量,,若,则实数m的值为 .5.(4分)(2022秋 海淀区校级期中)已知2i+a(a∈R)是方程2x2﹣12x+b=0的一个虚根,则实数b的值为 .6.(4分)(2023春 普陀区校级期末)已知{an}为等比数列,且27a2+a5=0,则{an}的公比为 .7.(5分)(2023秋 内蒙古月考)已知向量(1,﹣6),(6,8),则在方向上的投影为 .8.(5分)(2022春 萧县校级月考)如图:在△ABC中,,点D在线段AC上,且AD=2DC,AC=2,求△DBC的面积最大值 9.(5分)(2022 静安区模拟)若复数,则|z﹣i|= .10.(5分)(2022秋 连云港期末)求和: .11.(5分)(2022 杭州模拟)函数f(x)=2cos2x﹣sin2x+1在的单调递增区间是 .12.(5分)(2022春 浙江期中)已知向量,满足||=1,|3|=3,|2|,则||= .二.选择题(共4小题,满分20分,每小题5分)13.(5分)已知(a2﹣4)+(a+2)i为纯虚数,且(1﹣bi)2=﹣3﹣2ai,则b=( )A.﹣2 B. C. D.214.(5分)(2025春 酒泉期中)若是平面内一组不共线的非零向量,则下列可以作为一组基底向量的为( )①和②和③和④和A.①② B.②③ C.③④ D.①④15.(5分)(2024 广西开学)若,则( )A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣216.(5分)(2022春 元宝山区校级期中)如图所示是一个类似杨辉三角的递推式,则第n行的首尾两个数均为( )A.2n B.2n﹣1 C.2n+2 D.2n+1三.解答题(共5小题,满分76分)17.(14分)(2023 海珠区校级开学)已知函数.(1)求函数f(x)的周期和对称中心;(2)若不等式|f(x)﹣m|≤3对任意恒成立,求整数m的最大值.18.(14分)(2024秋 常熟市月考)已知数列{an}中,a1=2,an+1﹣an=2(n+1),n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若{bn}是等差数列,Sn为数列的前n项和,4b2=4b1+b4,a3=2S3,求Sn.19.(14分)求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件.20.(16分)(2024春 顺德区校级期中)如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC=2,M为AB上靠近B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点.(1)用和表示;(2)以O为原点,和方向为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,当P为AB中点时,写出点M,P,D的坐标;(3)设,求λ μ的取值范围.21.(18分)(2024秋 文昌校级月考)若有穷数列a1,a2…an(n是正整数),满足a1=an,a2=an﹣1,…,an=a1,即ai=an﹣i+1(i是正整数,且1≤i≤n),就称该数列为“对称数列”.(1)已知数列bn是项数为8的对称数列,且b1,b2,b3,b4成等差数列,b1=1,b4=10,试写出bn的每一项.(2)已知cn是项数为2k(其中k≥1,且k∈Z)的对称数列,且ck+1,ck+2…c2k构成首项为15,公差为﹣2的等差数列,数列cn的前2k项和为S2k,则当k为何值时,S2k取到最大值?最大值为多少?(3)对于给定的正整数i>1,试写出所有项数为2i﹣1的对称数列,使得1,2,22,…,2i﹣1成为数列中的连续项:当i>2000时,并分别求出所有对称数列的前2024项和S2024.上海市2024-2025学年高一下学期数学期末测试押题预测卷参考答案与试题解析一.填空题(共12小题,满分54分)1.(4分)﹣870°角是第 三 象限角.【考点】象限角、轴线角.【专题】转化思想;转化法;三角函数的求值;运算求解.【答案】三.【分析】根据已知条件,结合象限角的定义,即可求解.【解答】解:﹣870°=210°﹣3×360°,180°<210°<270°,则﹣870°角是第三象限角.故答案为:三.【点评】本题主要考查象限角的定义,属于基础题.2.(4分)关于x的方程x4+2x2+1=0在复数范围内的解集为 {i,﹣i} .【考点】复数的运算.【专题】计算题;方程思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】{i,﹣i}.【分析】解方程,由复数的概念及运算即可得解.【解答】解:x4+2x2+1=0,即(x2+1)2=0,所以x2=﹣1,所以x=±i,所以关于x的方程x4+2x2+1=0在复数范围内的解集为{i,﹣i}.故答案为:{i,﹣i}.【点评】本题考查复数的基本概念和运算,属于基础题.3.(4分)(2024春 浦东新区期中)函数的值域为 [﹣2 .【考点】三角函数的最值;两角和与差的三角函数.【专题】计算题;转化思想;综合法;三角函数的求值;三角函数的图象与性质;逻辑思维;运算求解.【答案】[﹣2.【分析】首先利用三角函数关系式的变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的值域.【解答】解:,当sin(x)=﹣1时,函数的最小值为﹣2,当时,函数的最大值为2;故函数的值域为[﹣2.故答案为:[﹣2.【点评】本题考查的知识点:三角函数关系式的变换,正弦型函数的性质,主要考查学生的运算能力,属于基础题.4.(4分)(2024 金山区二模)已知向量,,若,则实数m的值为 3 .【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.【专题】转化思想;转化法;平面向量及应用;运算求解.【答案】3.【分析】根据已知条件,结合向量垂直的性质,即可求解.【解答】解:,,,则1×m+(﹣3)×1=0,解得m=3.故答案为:3.【点评】本题主要考查向量垂直的性质,属于基础题.5.(4分)(2022秋 海淀区校级期中)已知2i+a(a∈R)是方程2x2﹣12x+b=0的一个虚根,则实数b的值为 26 .【考点】实系数多项式虚根成对定理.【专题】转化思想;转化法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】26.【分析】根据已知条件,推得a﹣2i是方程2x2﹣12x+b=0的另一个虚根,再结合韦达定理,即可求解.【解答】解:∵2i+a(a∈R)是方程2x2﹣12x+b=0的一个虚根,∴a﹣2i是方程2x2﹣12x+b=0的另一个虚根,∴,解得a=3,∴,解得b=26.故答案为:26.【点评】本题主要考查复数的运算,属于基础题.6.(4分)(2023春 普陀区校级期末)已知{an}为等比数列,且27a2+a5=0,则{an}的公比为 ﹣3 .【考点】等比数列的通项公式.【专题】计算题;方程思想;转化思想;综合法;等差数列与等比数列;运算求解.【答案】﹣3.【分析】根据题意,设等比数列{an}的公比为q,分析可得27a2+a2q3=0,变形可得答案.【解答】解:根据题意,设等比数列{an}的公比为q,由于27a2+a5=0,即27a2+a2q3=0,变形可得q=﹣3.故答案为:﹣3.【点评】本题考查等比数列的性质,涉及等比数列的通项公式,属于基础题.7.(5分)(2023秋 内蒙古月考)已知向量(1,﹣6),(6,8),则在方向上的投影为 .【考点】平面向量的数量投影.【专题】转化思想;转化法;平面向量及应用;运算求解.【答案】.【分析】根据已知条件,结合向量投影公式,即可求解.【解答】解:向量(1,﹣6),(6,8),则在方向上的投影为:.故答案为:.【点评】本题主要考查向量投影公式,属于基础题.8.(5分)(2022春 萧县校级月考)如图:在△ABC中,,点D在线段AC上,且AD=2DC,AC=2,求△DBC的面积最大值 【考点】余弦定理.【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形;运算求解.【答案】.【分析】由余弦定理得出cosB,平方关系计算出sinB,利用基本不等式可得3≥ac,根据可得答案.【解答】解:由余弦定理得,因为0<B<π,,,即,所以3≥ac当且仅当a=c等号成立,因为AD=2DC,所以,所以△DBC的面积最大值为.故答案为:.【点评】本题考查了余弦定理,基本不等式以及三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.9.(5分)(2022 静安区模拟)若复数,则|z﹣i|= .【考点】复数的模.【专题】转化思想;转化法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】.【分析】先对z化简,再结合复数模公式,即可求解.【解答】解:,则|z﹣i|=|1﹣2i|.故答案为:.【点评】本题主要考查复数的四则运算,以及复数模公式,属于基础题.10.(5分)(2022秋 连云港期末)求和: 84 .【考点】数列的求和.【专题】整体思想;综合法;等差数列与等比数列;运算求解.【答案】84.【分析】利用等比数列和等差数列的前n项和公式即可得解.【解答】解:21﹣2×1+22﹣2×2+23﹣2×3+……+26﹣2×6=(2+22+23+……+26)﹣(2+4+6+……+12)=84.故答案为:84.【点评】本题考查比数列和等差数列的前n项和公式,考查运算求解能力,属于基础题.11.(5分)(2022 杭州模拟)函数f(x)=2cos2x﹣sin2x+1在的单调递增区间是 .【考点】正弦函数的单调性.【专题】整体思想;综合法;三角函数的图象与性质;运算求解.【答案】.【分析】根据降幂公式及辅助角公式对f(x)化简,然后根据正弦型函数的单调区间即可得到结果.【解答】解:因为函数,令,解得,且,令k=0,则,即f(x)的单调递增区间为.故答案为:.【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变形,考查了正弦函数的单调性,属于基础题.12.(5分)(2022春 浙江期中)已知向量,满足||=1,|3|=3,|2|,则||= .【考点】平面向量数量积的性质及其运算.【专题】方程思想;向量法;平面向量及应用;运算求解.【答案】【分析】根据向量数量运算性质,列方程组,解方程组求解即可.【解答】解:由题意知||2=1,|3|2=9,|2|2=3,所以,消去得,消去得34,所以,所以||.故答案为:.【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,属于中档题.二.选择题(共4小题,满分20分,每小题5分)13.(5分)已知(a2﹣4)+(a+2)i为纯虚数,且(1﹣bi)2=﹣3﹣2ai,则b=( )A.﹣2 B. C. D.2【考点】纯虚数.【专题】转化思想;转化法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】D【分析】根据已知条件,结合纯虚数的定义,以及复数相等的条件,即可求解.【解答】解:(a2﹣4)+(a+2)i为纯虚数,则,解得a=2,(1﹣bi)2=﹣3﹣2ai,则1﹣b2﹣2bi=﹣3﹣4i,即,解得b=2.故选:D.【点评】本题主要考查纯虚数的定义,以及复数相等的条件,是基础题.14.(5分)(2025春 酒泉期中)若是平面内一组不共线的非零向量,则下列可以作为一组基底向量的为( )①和②和③和④和A.①② B.②③ C.③④ D.①④【考点】平面向量的基底.【专题】对应思想;定义法;平面向量及应用;逻辑思维.【答案】B【分析】根据给定条件,利用向量基底的意义逐一判断即可.【解答】解:因为202620262026(),所以与20262026共线,①不是基向量;由,得和不共线,所以②是基向量;由,得和不共线,所以③是基向量;因为363(2),2与36共线,④不是基向量,因此可以作为一组基底向量的是②③.故选:B.【点评】本题考查了基向量的定义与应用问题,是基础题.15.(5分)(2024 广西开学)若,则( )A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2【考点】两角和与差的三角函数;同角三角函数间的基本关系.【专题】计算题;转化思想;转化法;三角函数的求值;运算求解.【答案】B【分析】由两角差的正弦、余弦、正切公式展开化简即可求解.【解答】解:由题意得,则.故选:B.【点评】本题考查了两角差的正弦、余弦、正切公式在三角函数求值中的应用,属于基础题.16.(5分)(2022春 元宝山区校级期中)如图所示是一个类似杨辉三角的递推式,则第n行的首尾两个数均为( )A.2n B.2n﹣1 C.2n+2 D.2n+1【考点】二项式定理的应用.【专题】方程思想;定义法;等差数列与等比数列;运算求解.【答案】B【分析】根据给定数阵,观察首尾两个数的特征,利用等差数列的公式求解作答.【解答】解:依题意,每一行第一数依次排成一列为1,3,5,7,9,…,它们成等差数列,通项为2n﹣1,∴第n行的首尾两个数均为2n﹣1.故选:B.【点评】本题考查数字排列规律的运算,考查简单的归纳推理、等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.三.解答题(共5小题,满分76分)17.(14分)(2023 海珠区校级开学)已知函数.(1)求函数f(x)的周期和对称中心;(2)若不等式|f(x)﹣m|≤3对任意恒成立,求整数m的最大值.【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性.【专题】计算题;函数思想;转化法;三角函数的图象与性质;运算求解.【答案】(1)周期为2π,对称中心为;(2)4.【分析】(1)根据二倍角及辅助角公式把f(x)化成一个三角函数,利用周期以及对称轴公式求解即可;(2)由求出f(x)的值域,再结合不等式|f(x)﹣m|≤3恒成立,限定m的范围并求出结果.【解答】解:(1)由题意得:,可得,令,得.可得函数f(x)的周期为2π,对称中心为;(2)因为,所以,所以,所以当时,f(x)的最小值为1;当,f(x)的最大值为2,所以1≤f(x)≤2,由题意得﹣3≤f(x)﹣m≤3,所以m﹣3≤f(x)≤m+3对一切恒成立,所以,解得﹣1≤m≤4,所以整数m的最大值为4.【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换,正弦函数的性质以及不等式的解法,考查了函数思想,属于中档题.18.(14分)(2024秋 常熟市月考)已知数列{an}中,a1=2,an+1﹣an=2(n+1),n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若{bn}是等差数列,Sn为数列的前n项和,4b2=4b1+b4,a3=2S3,求Sn.【考点】数列递推式.【专题】整体思想;综合法;点列、递归数列与数学归纳法;运算求解.【答案】(1)an=n(n+1);(2).【分析】(1)由数列的递推式,结合累加法求解;(2)由等差数列的通项公式,结合等差数列的求和公式求解.【解答】解:(1)已知数列{an}中,a1=2,an+1﹣an=2(n+1),n∈N*,则n≥2时,an=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+ +an﹣an﹣1,又a1=2满足上式,则an=n(n+1);(2)设{bn}公差为d,所以b1+3d=4d,所以b1=d,则bn=d+(n﹣1)d=nd,又2S3=12,则S3=6,所以,则,则,则.【点评】本题考查了数列的递推式及累加法,重点考查了等差数列的通项公式及等差数列的求和公式,属中档题.19.(14分)求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件.【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系.【专题】对应思想;综合法;函数的性质及应用;运算求解.【答案】ac<0.【分析】根据韦达定理,先判断出“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”能推出“ac<0”成立,反之再由韦达定理,判断出“ac<0”成立能推出“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”,利用充要条件的有关定义得到结论.【解答】解:若“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”成立,由韦达定理可得,x1x20,所以ac<0成立,反之,若“ac<0”成立,此时一元二次方程ax2+bx+c=0的Δ>0,此时方程有两个不等的根,由韦达定理可得,x1x20,即方程两个根的符号相反,即一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,所以“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”是“ac<0”的充要条件.故答案为:ac<0.【点评】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断,一元二次方程根的个数与△符号的关系,及韦达定理,其中分别判断命题A 命题B与命题B 命题A的真假,是解答本题的关键.20.(16分)(2024春 顺德区校级期中)如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC=2,M为AB上靠近B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点.(1)用和表示;(2)以O为原点,和方向为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,当P为AB中点时,写出点M,P,D的坐标;(3)设,求λ μ的取值范围.【考点】平面向量数量积的性质及其运算;平面向量的线性运算.【专题】转化思想;综合法;平面向量及应用;运算求解.【答案】(1);(2),,;(3).【分析】(1)根据给定条件及几何图形,利用平面向量的线性运算求解而得;(2)建立平面直角坐标系,结合平面向量的坐标运算代入计算,即可得到结果;(3)由动点P设出,结合平面向量基本定理,λ μ建立为x的函数求解.【解答】解:(1)如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC=2,M为AB上靠近B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点,依题意,,所以,所以;(2)以O为坐标原点,以OA、OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则A(2,0),B(1,1),C(0,1),由,可得,又P是BC中点,可得,又,因为A、C、D三点共线,所以,解得,所以OD:DM=3:1,所以,则,综上,,,;(3)由已知,因P是线段BC上的动点,则令,,又不共线,则有,即又,则,即,故,在上递增,所以μ=1时,(λ μ)min=0,时,,故λ μ的取值范围是.【点评】本题考查了平面向量的综合应用,属于中档题.21.(18分)(2024秋 文昌校级月考)若有穷数列a1,a2…an(n是正整数),满足a1=an,a2=an﹣1,…,an=a1,即ai=an﹣i+1(i是正整数,且1≤i≤n),就称该数列为“对称数列”.(1)已知数列bn是项数为8的对称数列,且b1,b2,b3,b4成等差数列,b1=1,b4=10,试写出bn的每一项.(2)已知cn是项数为2k(其中k≥1,且k∈Z)的对称数列,且ck+1,ck+2…c2k构成首项为15,公差为﹣2的等差数列,数列cn的前2k项和为S2k,则当k为何值时,S2k取到最大值?最大值为多少?(3)对于给定的正整数i>1,试写出所有项数为2i﹣1的对称数列,使得1,2,22,…,2i﹣1成为数列中的连续项:当i>2000时,并分别求出所有对称数列的前2024项和S2024.【考点】数列的应用.【专题】新定义;转化思想;分析法;综合法;点列、递归数列与数学归纳法;数学抽象;逻辑思维;运算求解;数据分析.【答案】(1){bn}的项依次为1,4,7,10,10,7,4,1;(2)128;(3).【分析】(1)设前4项的公差为d,由求出公差d,从而得到b2b3,再根据对称性得到其余项;(2)首先利用等差数列求和公式求出ck+1+ck+2+ +c2k,则S2k=2(ck+1+ck+2+ +c2k),再由二次函数的性质计算可得;(3)依题意列出满足该条件的对称数列,再分i≥2024、2000<i<2024两种情况利用等比数列求和公式及分组求和法计算可得.【解答】(1)因为b1,b2,b3,b4成等差数列,b1=1,b4=10,设前4项的公差为d,所以,所以b2=b1+d=4,b3=b1+2d=7,又数列bn是项数为8的对称数列,所以b8=b1=1,b7=b2=4,b6=b3=7b5=b4=10,所以{bn}的项依次为1,4,7,10,10,7,4,1.(2)因为ck+1 ck+1,ck+2,…,c2k构成首项为15,公差为﹣2的等差数列,所以,又c1=c2k,c2=c2k﹣1,…,ck=ck+1,所以,所以当k=8时S21取得最大值,且(S2k)max=128.(3)因为1,2,22,…,2i﹣1成为数列中的连续项,且该对称数列的项数为2i﹣1,所以这样的对称数列有:①1,2,22,…,2i﹣2,,2i﹣2,…,222,1;②2i﹣12i﹣2,…,222,1,2,22,…,2i﹣22i﹣1,因为i>2000,对于①,当i≥2024时,;当2000<i<2024时S2024=1+2+22+…+2i﹣1+…+22i﹣2025=2i﹣1+2i﹣1﹣22i﹣2025,所以,对于②,当i≥2024的;当2000<i<2024时S2024=2i﹣1+2i﹣2+…+22+21+1+2+22+…+22024﹣i,所以.【点评】本题考查数列新定义,数列的综合应用,属于难题.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源预览