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北京市2024-2025学年高二下学期数学期末测试押题预测卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2022秋 河南月考）已知集合A＝{x|x＝2n+3，n∈N}，B＝{x|x2﹣18x﹣40＜0}，则A∩B中的元素个数为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（4分）（2024春 龙岗区校级月考）甲、乙两位同学进行围棋比赛，约定五局三胜制（无平局），已知甲每局获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）（2022秋 富锦市校级期末）设函数f（x），若f（x）﹣b＝0有三个不等实数根，则b的取值范围是（　　）
A．（0，10] B．（，10] C．（1，+∞） D．（1，10]
4．（4分）（2024春 永川区校级月考）设a、b是不同的两条直线，α、β是不同的两个平面，下列说法正确的有（　　）
A．a⊥α，b β，a⊥b，则α⊥β
B．α∥β，a⊥α，b∥β，则a⊥b
C．a α，b β，且a∥β，b∥α，则α∥β
D．a∥b，a∥β，则b∥β
5．（4分）（2023秋 安康月考）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）在区间上单调递减，且，则φ＝（　　）
A． B． C． D．
6．（4分）（2023春 海安市期中）使命题“ x∈[1，2），x2﹣a≤0”成立的一个充分不必要条件可以是（　　）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥4 D．a＞4
7．（4分）（2023 郑州二模）七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（　　）
A．48种 B．72种 C．90种 D．144种
8．（4分）（2024秋 谷城县校级期中）已知定义在R上的函数f（x），对 x∈R，都有f（x+2）＝﹣f（x）+2，若函数f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则f（2025）＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
9．（4分）（2025 奉贤区二模）函数y＝f（x）的导函数为y＝g（x），若存在实数x0，使得g（x0）f（﹣x0）＝1成立，则称函数y＝f（x）具有x0性质，下列函数y＝f（x）具有x0性质的函数是（　　）
A．y＝e﹣x B．y＝sinx
C．y＝ex+e﹣x D．
10．（4分）（2022 天津模拟）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足a+b＝4，且t恒成立，则实数t的取值范围是（　　）
A．t≤1 B．t＜1 C．t≤2 D．t＜2
二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）
11．（5分）命题“ x，y，z∈R，x2+y2+z2≥xy+yz+zx”的否定是 　 　 ．
12．（5分）已知（2+x）（a﹣x）5的展开式中x4项的系数为，则a＝　 　 ．
13．（5分）（2020春 海南期末）已知λ∈R，函数，当λ＝1时，函数f（x）的单调递增区间为 　 　 ，若f（x）仅有2个零点，则λ的取值范围是 　 　 ．
14．（5分）（2025 湖北模拟）已知点（2，1）在抛物线C：y＝ax2上，T为直线y＝x﹣2上的一动点，过点T作C的2条切线，切点分别为M，N，直线TM、TN分别交x轴于点A、B，则AB的最小值为 　 　 ，△TAB外接圆半径的最小值为 　 　 ．
15．（5分）（2024春 顺义区校级月考）已知函数，给出下列三个结论：
①当a＝﹣1时，函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）
②若函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+∞）
③对于任意实数a都存在x0，使得f（﹣x0）＝f（x0）
④若a＜1且a≠0，则 b∈R，使得函数y＝f（x）﹣b恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x3＝﹣1
其中，所有正确结论的序号是 　 　 ．
三．解答题（共6小题，满分85分）
16．（13分）（2023秋 罗湖区期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，从条件①bcosA+acosB﹣2ccosC＝0；条件②2ccosA+a＝2b；条件③4S（a2+b2﹣c2）中选择一个作为已知，并解答下列问题．
（1）求角C的大小；
（2）点D是△ABC外一点，DC＝3，DA＝1，若∠ABC＝60°，求四边形ABCD面积的最大值．
17．（14分）（2024 东城区校级开学）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PC、PD、BC的中点．
（1）求证：AB∥平面EFG；
（2）求平面EFG与平面ABCD夹角的大小；
（3）线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为？若存在，求出线段PM的长度；若不存在，说明理由．
18．（13分）（2022春 沈阳期中）某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为m（m∈[70，100]），其质量指标等级划分如表：
质量指标值m [70，75） [75，80） [80，85） [85，90） [90，100）
质量指标等级 良好 优秀 良好 合格 废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了10000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图频率分布直方图：
（1）若将频率作为概率，从这10000件产品中随机抽取2件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；
（2）若从质量指标值m不低于85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90，95）的件数X的分布列及数学期望；
（3）若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如表（1＜t＜4）：
质量指标值m [70，75） [75，80） [80，85） [85，90） [90，100）
利润y（元） 6t 8t 4t 2t
判断该产品的平均利润变化情况并试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6）．
19．（15分）（2024秋 四川月考）已知椭圆T：1（a＞b＞0）的右焦点为E（3，0），直线l：x+3y﹣13＝0与椭圆T相切．
（1）求椭圆T的方程；
（2）过点（0＜t＜b）作与x轴平行的直线交椭圆T于M，N两点，直线PE与y轴交于点Q，证明：M，N，E，Q四点共圆．
20．（15分）（2024秋 河南月考）已知函数f（x）＝eax﹣1 cosx，h（x）＝ex﹣kx﹣1，（a，k∈R）．
（1）求函数h（x）在x＝0处的切线方程；
（2）若h（x）≥0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设a＞0，证明：当时，函数f（x）存在唯一的极大值点x0，且．
21．（15分）（2024秋 仓山区校级期中）已知集合A＝{a1，a2， ，ak}（k≥2），其中ai∈Z（i＝1，2， ，k），新定义1个性质G：若对任意的x∈A，必有﹣x A，则称集合A具有性质G．由A中元素可构成两个点集P和Q：P＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，Q＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，其中P中有m个元素，Q中有n个元素．
（1）已知集合J＝{0，1，2，3}与集合K＝{﹣1，2，3}和集合L＝{y|y＝x2﹣2x+2}，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由；
（2）集合A具有性质G，若k＝100，求：集合Q最多有几个元素？
（3）试判断：集合A具有性质G是m＝n的什么条件（写出结论即可）．
北京市2024-2025学年高二下学期数学期末测试押题预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2022秋 河南月考）已知集合A＝{x|x＝2n+3，n∈N}，B＝{x|x2﹣18x﹣40＜0}，则A∩B中的元素个数为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；运算求解．
【答案】B
【分析】利用集合A＝{x|x＝2n+3，n∈N}，B＝{x|x2﹣18x﹣40＜0}，先求出A∩B，由此能求出集合A∩B中的元素个数．
【解答】解：∵集合A＝{x|x＝2n+3，n∈N}，B＝{x|x2﹣18x﹣40＜0}＝{x|﹣2＜x＜20}，
∴A∩B＝{3，5，7，9，11，13，15，17，19}，
∴集合A∩B中的元素个数为9．
故选：B．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（4分）（2024春 龙岗区校级月考）甲、乙两位同学进行围棋比赛，约定五局三胜制（无平局），已知甲每局获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据3：0，3：1，3：2进行分类讨论，结合独立重复试验概率计算公式求得正确答案．
【解答】解：根据题意，甲获胜包括三种情况，即3：0，3：1，3：2．
若甲3：0获胜，则概率为；
若甲3：1获胜，则概率为；
若甲3：2获胜，则概率为；
所以甲胜的概率为．
故选：D．
【点评】本题主要考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题．
3．（4分）（2022秋 富锦市校级期末）设函数f（x），若f（x）﹣b＝0有三个不等实数根，则b的取值范围是（　　）
A．（0，10] B．（，10] C．（1，+∞） D．（1，10]
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】作图题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】把f（x）﹣b＝0有三个不等实数根转化为函数y＝f（x）的图象与y＝b有3个不同交点，画出图形，数形结合得答案．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
f（x）﹣b＝0有三个不等实数根，即函数y＝f（x）的图象与y＝b有3个不同交点，
由图可知，b的取值范围是（1，10]．
故选：D．
【点评】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．
4．（4分）（2024春 永川区校级月考）设a、b是不同的两条直线，α、β是不同的两个平面，下列说法正确的有（　　）
A．a⊥α，b β，a⊥b，则α⊥β
B．α∥β，a⊥α，b∥β，则a⊥b
C．a α，b β，且a∥β，b∥α，则α∥β
D．a∥b，a∥β，则b∥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维．
【答案】B
【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断．
【解答】解：对于A，a⊥α，b β，a⊥b，则α，β相交或平行，故A错误；
对于B，因为α∥β，a⊥α，所以a⊥β，
又因为b∥β，所以可在β内作一条直线c，使得c∥b，
又因为a⊥β，c β，所以a⊥c，
因为c∥b，所以a⊥b，故B正确；
对于C，a α，b β，且a∥β，b∥α，则α，β相交或平行，故C错误；
对于D，a∥b，a∥β，则b∥β或b β，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
5．（4分）（2023秋 安康月考）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）在区间上单调递减，且，则φ＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】复合三角函数的单调性；三角函数的周期性．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】根据最小正周期求得ω，再由求得φ．
【解答】解：因为f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0）在区间上单调递减，且，
所以f（x）的最小正周期，
所以，
所以，
又0＜φ＜π，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查了余弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．
6．（4分）（2023春 海安市期中）使命题“ x∈[1，2），x2﹣a≤0”成立的一个充分不必要条件可以是（　　）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥4 D．a＞4
【考点】充分条件与必要条件；全称量词和全称量词命题．
【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】D
【分析】求出已知命题恒成立的a的范围，然后根据充分不必要条件的定义以及集合的包含关系对各个选项逐个分析即可判断求解．
【解答】解：因为 x∈[1，2），x2﹣a≤0，
即a≥x2在[1，2）上恒成立，只需a≥（x2）max，
又x∈[1，2），所以（x2）max＜4，则a≥4，
又{a|a≥1} {a|a≥4}，{a|a＞1} {a|a≥4}，{a|a＞4} {a|a≥4}，
所以使命题“ x∈[1，2），x2﹣a≤0”成立的一个充分不必要条件可以是a＞4．
故选：D．
【点评】本题考查了充分必要条件的定义以及恒成立问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
7．（4分）（2023 郑州二模）七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（　　）
A．48种 B．72种 C．90种 D．144种
【考点】部分元素不相邻的排列问题．
【专题】计算题；对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】D
【分析】先得到甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，其他车辆任意排列，再利用排列求解即可．
【解答】解：由题意得，甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，共有6种排法，
其他车辆任意排列，有24种排法，
∴总排法有6×24＝144种．
故选：D．
【点评】本题考查了排列组合的运用，属于中档题．
8．（4分）（2024秋 谷城县校级期中）已知定义在R上的函数f（x），对 x∈R，都有f（x+2）＝﹣f（x）+2，若函数f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则f（2025）＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
【考点】奇偶函数图象的对称性；抽象函数的周期性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性和周期性求出即可．
【解答】解：因为对 x∈R，都有f（x+2）＝﹣f（x）+2，
所以f（x+2+2）＝﹣f（x+2）+2＝f（x），即f（x）是以4为周期的周期函数，
因为函数f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，所以f（x﹣1+1）＝f（1﹣x﹣1），
即f（x）＝f（﹣x），所以f（x）是偶函数，
所以f（2025）＝f（1+4×506）＝f（1）＝f（﹣1），
由f（x+2）＝﹣f（x）+2，令x＝﹣1，可得f（1）＝﹣f（﹣1）+2，解得f（1）＝1，
所以f（2025）＝1．
故选：D．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数的对称性和周期性，考查运算求解能力，属于中档题．
9．（4分）（2025 奉贤区二模）函数y＝f（x）的导函数为y＝g（x），若存在实数x0，使得g（x0）f（﹣x0）＝1成立，则称函数y＝f（x）具有x0性质，下列函数y＝f（x）具有x0性质的函数是（　　）
A．y＝e﹣x B．y＝sinx
C．y＝ex+e﹣x D．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】函数思想；转化思想；综合法；定义法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解；新定义类．
【答案】C
【分析】先求出函数的导函数，然后逐个选项验证g（x0）f（﹣x0）＝1是否成立即可得出结果．
根据指数的运算法则计算可判断选项A；
根据二倍角正弦公式和三角函数的有界性可判断选项B；
解出方程1的根可判断选项C；
根据题意令，整理得，分正负分析，并结合放缩法可知此方程无解，从而判断D．
【解答】解：对于A，因为函数f（x）＝e﹣x的导函数为g（x）＝﹣e﹣x，
所以，故A错误；
对于B，因为函数f（x）＝sinx的导函数为g（x）＝cosx，
所以g（x0）f（﹣x0）＝cos（x0） sin（﹣x0）＝cos（x0） （﹣sinx0）sin2x0，
而sin2x0∈[﹣1，1]，
所以，，故B错误；
对于C，因为函数f（x）＝ex+e﹣x的导函数为g（x）＝ex﹣e﹣x，
所以g（x0）f（﹣x0）．
令1，
解得，x0，
即存在实数x0，使得g（x0）f（﹣x0）＝1成立，
所以函数y＝f（x）具有x0性质，故C正确；
对于D，因为函数f（x）的导函数为g'（x），
所以g（x0）f（﹣x0），
令1，显然x0≠0，
化简得：．
下面证明方程ln（x2+1）无解．
当x＜0时，ln（x2+1）＞ln1＝0，，
所以方程ln（x2+1）无解；
当x＞0时，，而ln（x2+1）＜2x，
令h（x）＝ln（x2+1）﹣2x，x＞0，
则h'（x）1﹣2＝﹣1＜0，
所以H（x）单调递减．
又因为h（0）＝0，
所以h（x）＜h（0）＝0，
即h（0）＜0，
所以，
综上，方程ln（x2+1）无解．
所以不存在实数x0使得g（x0）f（﹣x0）＝1成立，故D错误．
故选：C．
【点评】本题属于新概念题，考查了指数函数、对数函数及三角函数的性质，考查了导数的计算法则及综合运用、放缩法的应用，属于难题．
10．（4分）（2022 天津模拟）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足a+b＝4，且t恒成立，则实数t的取值范围是（　　）
A．t≤1 B．t＜1 C．t≤2 D．t＜2
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】利用“乘1法”，可得1，从而得解．
【解答】解：（a+b）（）（2）（2+2）＝1，当且仅当，即a＝b＝2时，等号成立，
因为a≠b，所以1，
又t恒成立，所以t≤1．
故选：A．
【点评】本题考查基本不等式的应用，熟练掌握基本不等式中的“乘1法”是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）
11．（5分）命题“ x，y，z∈R，x2+y2+z2≥xy+yz+zx”的否定是 　“ x，y，z∈R，x2+y2+z2＜xy+yz+zx”　 ．
【考点】全称量词命题的否定．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；逻辑思维．
【答案】“ x，y，z∈R，x2+y2+z2＜xy+yz+zx”．
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：“ x，y，z∈R，x2+y2+z2＜xy+yz+zx”．
故答案为：“ x，y，z∈R，x2+y2+z2＜xy+yz+zx”．
【点评】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题．
12．（5分）已知（2+x）（a﹣x）5的展开式中x4项的系数为，则a＝　　 ．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】．
【分析】根据（a﹣x）5的展开式的通项公式，从而求出（2+x）（a﹣x）5展开式中含x4项的系数，列出方程求出实数a的值．
【解答】解：∵（a﹣x）5的展开式的通项公式为
Tr+1 a5﹣r （﹣x）r＝（﹣1）r a5﹣r xr，
∴（2+x）（a﹣x）5的展开式中x4项的系数为：2×（﹣1）4 a1 1×（﹣1）3 a2 ，
整理得4a2﹣4a+1＝0，
解得a，
故答案为：．
【点评】本题考查了二项式定理的应用以及利用二项展开式的通项公式求展开式中某项系数的问题，是综合性题目．
13．（5分）（2020春 海南期末）已知λ∈R，函数，当λ＝1时，函数f（x）的单调递增区间为 　（1，+∞）　 ，若f（x）仅有2个零点，则λ的取值范围是 　（0，2]∪（3，+∞）　 ．
【考点】分段函数的应用．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1，+∞）；（0，2]∪（3，+∞）．
【分析】在同一坐标系中作出y＝x2﹣2x，y＝x﹣3的图象，运用数形结合的思想可得出答案．
【解答】解：在同一坐标系中作出y＝x2﹣2x，y＝x﹣3的图象，如下图所示，
所以当λ＝1时，函数，所以函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；
当λ≤0时，函数f（x）仅有1个零点：x＝3；
当2＜λ≤3时，函数f（x）有3个零点，x＝0，x＝2和x＝3；
当0＜λ≤2时，函数f（x）有2个零点，x＝0和x＝3；
当λ＞3时，函数f（x）有2个零点，x＝0和x＝2；
所以要使函数f（x）仅有2个零点，则λ的取值范围是（0，2]∪（3，+∞），
故答案为：（1，+∞）；（0，2]∪（3，+∞）．
【点评】本题考查了分段函数的单调性以及零点问题，属于中档题．
14．（5分）（2025 湖北模拟）已知点（2，1）在抛物线C：y＝ax2上，T为直线y＝x﹣2上的一动点，过点T作C的2条切线，切点分别为M，N，直线TM、TN分别交x轴于点A、B，则AB的最小值为 　2　 ，△TAB外接圆半径的最小值为 　　 ．
【考点】直线与抛物线的综合；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】2；．
【分析】首先求抛物线方程，根据导数的几何意义求切线方程，并求点A，B的坐标，并联立方程求点T的坐标，根据点T的坐标的特点，以及弦长|AB|，转化为二次函数求最值；根据坐标运算得到FA⊥TA，FB⊥TB，确定T，A，F，B四点共圆，根据圆的几何性质，即可求解．
【解答】解：因为点（2，1）在抛物线C上，
所以1＝4a，
解得，
则抛物线C的方程为x2＝4y，
设，
因为，
所以，
此时，
直线，直线，
令y＝0，
可得，
因为，
所以，
即，
可得x1x2＝2（x1+x2）﹣8，
，
则当x1+x2＝4时，|AB|的最小值为2；
已知抛物线C的焦点F（0，1），
所以，
此时，
同理得，
所以TA⊥FA，TB⊥FB，
所以T，A，F，B四点共圆，
则△TAB的外接圆的直径为TF，
此时|TF|的最小值即为F到直线x﹣y﹣2＝0的距离，
易知点F到直线x﹣y﹣2＝0的距离d．
则△TAB的外接圆的半径的最小值为．
故答案为：2；．
【点评】本题考查抛物线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
15．（5分）（2024春 顺义区校级月考）已知函数，给出下列三个结论：
①当a＝﹣1时，函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）
②若函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+∞）
③对于任意实数a都存在x0，使得f（﹣x0）＝f（x0）
④若a＜1且a≠0，则 b∈R，使得函数y＝f（x）﹣b恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x3＝﹣1
其中，所有正确结论的序号是 　②④　 ．
【考点】分段函数的应用．
【专题】分类讨论；函数思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；直观想象；运算求解．
【答案】②④．
【分析】结合函数的图象，即可判断①②③，由题意结合函数图象不妨设x1＜0＜x2＜1＜x3，进而可得，，，令验证后即可判断．
【解答】解：①a＝﹣1时，，f（0）＝1，，
则，所以函数在区间（﹣∞，1）不单调递减，故①错误；
②，
画出函数的图象，如图所示，
由题意可得，函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+∞），故②正确；
③设x＞0，则﹣x＜0，f（﹣x）＝f（x），则﹣ax+1＝|lnx|，
如图，当a＞0时，y＝﹣ax+1与y＝|lnx|并不一定有交点，故③错误；
④令y＝f（x）﹣b＝0，即f（x）＝b，结合函数图象，不妨设x1＜0＜x2＜1＜x3，
则ax1+1＝﹣lnx2＝lnx3＝b，则lnx2+lnx3＝0，即x2x3＝1，
所以x1＝﹣1，
所以，即b＝﹣a+1，
当a＜0时，b＝﹣a+1＞1，y＝f（x）﹣b存在三个零点，且x1x2x3＝﹣1，符合题意；
当0＜a＜1时，0＜b＝﹣a+1＜1，y＝f（x）﹣b存在三个零点，且x1x2x3＝﹣1，符合题意，故④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查了对数函数、一次函数的性质，考查了函数的零点、分类讨论思想及数形结合思想，属于中档题．
三．解答题（共6小题，满分85分）
16．（13分）（2023秋 罗湖区期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，从条件①bcosA+acosB﹣2ccosC＝0；条件②2ccosA+a＝2b；条件③4S（a2+b2﹣c2）中选择一个作为已知，并解答下列问题．
（1）求角C的大小；
（2）点D是△ABC外一点，DC＝3，DA＝1，若∠ABC＝60°，求四边形ABCD面积的最大值．
【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解；结构不良题．
【答案】（1）C；（2）3．
【分析】（1）选择条件①：利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式，化简可得cosC，从而得解；
选择条件②：运用两次余弦定理，可求得cosC，从而得解；
选择条件③：结合三角形的面积公式与余弦定理，推出tanC，从而得解；
（2）在△ACD中，利用余弦定理，用含D的式子表示出AC2，再运用三角形的面积公式可得S＝S△ABC+S△ACD（10﹣6cosD）sinD，然后结合辅助角公式与正弦函数的性质，即可得解．
【解答】解：（1）选择条件①：
由正弦定理及bcosA+acosB﹣2ccosC＝0得，sinBcosA+sinAcosB﹣2sinCcosC＝0，
所以sin（A+B）﹣2sinCcosC＝0，即sinC﹣2sinCcosC＝0，
因为sinC≠0，所以1﹣2cosC＝0，即cosC，
因为C∈（0，π），所以C．
选择条件②：
由余弦定理及2ccosA+a＝2b得，2c a＝2b，
整理得，a2+b2﹣c2＝ab，
由余弦定理得，cosC，
因为C∈（0，π），所以C．
选择条件③：因为4S（a2+b2﹣c2），
所以4 absinC 2abcosC，
所以tanC，
因为C∈（0，π），所以C．
（2）由（1）知，∠ACB，
因为∠ABC，
所以△ABC是等边三角形，
在△ACD中，由余弦定理知，AC2＝AD2+CD2﹣2AD CDcosD＝1+9﹣2×1×3cosD＝10﹣6cosD，
所以S△ABCAC ABsinAC2 （10﹣6cosD），
S△ACDAC CDsinD1×3×sinDsinD，
所以四边形ABCD面积S＝S△ABC+S△ACD（10﹣6cosD）sinD＝3sin（D），
因为D∈（0，π），
所以D∈（，），
所以当D，即D时，sin（D）取得最大值1，
此时四边形ABCD面积取得最大值，为3．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17．（14分）（2024 东城区校级开学）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PC、PD、BC的中点．
（1）求证：AB∥平面EFG；
（2）求平面EFG与平面ABCD夹角的大小；
（3）线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为？若存在，求出线段PM的长度；若不存在，说明理由．
【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；空间向量法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面平行．
【专题】转化思想；向量法；立体几何；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）证明见解答；（2）；（3）线段PA上不存在满足题意的点M，理由见解答．
【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立以O为原点，以AD，OG，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法，即可得出答案；
（3）假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，设m（0≤m≤1），由（2）得平面EFG的法向量为（，0，1），则直线GM与平面EFG的法向量所成的夹角为，利用向量法，列出关于m的方程，求解即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：因为E、F、G分别是PC、PD的中点，所以EF∥CD，
因为底面ABCD是正方形，所以AB∥CD，所以AB∥EF，
因为AB 平面EFG，EF 平面EFG，所以AB∥平面EFG；
（2）取AD的中点O，连接PO，连接OG，
因为△PAD是等边三角形，所以PO⊥AD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，AD 平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD，
建立以O为原点，以AD，OG，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示：
底面ABCD是边长为4的正方形，则O（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），C（﹣2，4，0），D（﹣2，0，0），G（0，4，0），P（0，0，2），E（﹣1，2，），F（﹣1，0，），
则（0，2，0），（1，2，），
设平面EFG的法向量为（x，y，z），
则，取x，则y＝0，z＝1，
所以平面EFG的法向量为（，0，1），
又平面ABCD的法向量为（0，0，2），
所以|cos，|，
又平面EFG与平面ABCD的夹角为锐角，
所以平面EFG与平面ABCD的夹角为；
（3）假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，设m（0≤m≤1），
由（2）得平面EFG的法向量为（，0，1），则直线GM与平面EFG的法向量所成的夹角为，
因为（2，0，﹣2），m（0≤m≤1），
所以（2m，0，﹣2m），则M（2m，0，22m），
所以（2m，﹣4，22m），
所以cos|cos，|，即2m2﹣3m+2＝0，
因为Δ＝9﹣12＝﹣3＜0，
所以关于m的方程无解，
故线段PA上不存在满足题意的点M．
【点评】本题考查直线与平面垂直和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力、直观想象，属于中档题．
18．（13分）（2022春 沈阳期中）某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为m（m∈[70，100]），其质量指标等级划分如表：
质量指标值m [70，75） [75，80） [80，85） [85，90） [90，100）
质量指标等级 良好 优秀 良好 合格 废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了10000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图频率分布直方图：
（1）若将频率作为概率，从这10000件产品中随机抽取2件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；
（2）若从质量指标值m不低于85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90，95）的件数X的分布列及数学期望；
（3）若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如表（1＜t＜4）：
质量指标值m [70，75） [75，80） [80，85） [85，90） [90，100）
利润y（元） 6t 8t 4t 2t
判断该产品的平均利润变化情况并试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6）．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）0.91；
（2）分布列见解析，数学期望为；
（3）生产该产品能盈利，当t≈1.6时，每件产品的平均利润达到最大．
【分析】（1）计算出抽取一件是废品的概率为0.3，由题意Y服从二项分布求解即可；
（2）根据分层抽样可知每层分别抽取4，2，1件，根据超几何分布求分布列、期望即可；
（3）计算每件产品的平均利润，利用导数求出最大值即可得解．
【解答】解：（1）设事件A的概率为P（A），抽取到的非废品数为Y，
则由频率分布直方图可得，任取1件产品是废品的概率为：5（0.04+0.02）＝0.3，
不是废品的概率为：1﹣0.3＝0.7，
则Y～B（2，0.7），
则；
（2）由频率分布直方图得指标值大于或等于85的产品中，
m∈[85，90）的频率为0.08×5＝0.4，
m∈[90，95）的频率为0.04×5＝0.2，
m∈[95，100）的频率为0.02×5＝0.1，
∴利用分层抽样抽取的7件产品中，m∈[85，90）的有4件，m∈[90，95）的有2件，m∈[95，100）的有1件，
从这7件产品中，任取3件，质量指标值m∈[90，95）的产品件数x的所有可能取值为0，1，2，则：
，
，
，
∴X的分布列为：
X 0 1 2
P
∴X的数学期望为：．
（3）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y（元）的关系如表所示（1＜t＜4），
质量指标值m [70，75） [75，80） [80，85） [85，90） [90，100）
利润y（元） 6t 8t 4t 2t
P 0.05 0.1 0.15 0.4 0.3
∴每件产品的平均利润：
h（t）＝﹣0.5et+0.8t+0.6t+0.8t+0.3t＝﹣0.5et+2.5t，（1＜t＜4）
则h′（t）＝﹣0.5et+2.5，
令h′（t）＝﹣0.5et+2.5＝0，解得t＝ln5，
∴当t∈（1，ln5）时，h′（t）＞0，函数h（t）＝﹣0.5et+2.5t单调递增，
当t∈（ln5，4）时，h′（t）＜0，函数h（t）＝﹣0.5et+2.5t单调递减，
∴当t＝ln5时，h（t）取最大值为h（ln5）＝﹣0.5eln5+2.5×ln5≈1.5，
∴生产该产品能够实现盈利，
当t＝ln5≈1.6时，每件产品的平均利润达到最大．
【点评】本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列与期望以及概率在实际决策问题中的应用，属于中档题．
19．（15分）（2024秋 四川月考）已知椭圆T：1（a＞b＞0）的右焦点为E（3，0），直线l：x+3y﹣13＝0与椭圆T相切．
（1）求椭圆T的方程；
（2）过点（0＜t＜b）作与x轴平行的直线交椭圆T于M，N两点，直线PE与y轴交于点Q，证明：M，N，E，Q四点共圆．
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）证明过程见解析．
【分析】（1）联立方程组，由Δ＝0求解；
（2）先由△EMN外接圆的圆心在y轴上，从而设出圆的方程，由点E、点N在圆上和点Q也在圆上，从而得证．
【解答】解：（1）联立，消去y并整理得．
因为直线l与椭圆T相切，
所以，
整理得a2+9b2﹣169＝0，①
因为椭圆T的右焦点为E（3，0），
所以c＝3，②
又a2＝b2+c2，③
联立①②③，
解得a＝5，b＝4，
则椭圆T的方程为；
（2）证明：因为点M，N关于y轴对称，
所以△EMN外接圆的圆心在y轴上．
设△EMN的外接圆方程为x2+y2+y0y+z0＝0．
因为点E在△EMN的外接圆上，
所以9+z0＝0，
解得z0＝﹣9．
将y＝t代入椭圆方程中，
解得，
取，，
因为点N在△EMN的外接圆上，
所以，
解得，
所以△EMN的外接圆方程为，
直线PE的方程为，
令x＝0，
解得，
即，
将点代入，
得，等式成立，
则点Q也在△EMN的外接圆上．
故M，N，E，Q四点共圆．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
20．（15分）（2024秋 河南月考）已知函数f（x）＝eax﹣1 cosx，h（x）＝ex﹣kx﹣1，（a，k∈R）．
（1）求函数h（x）在x＝0处的切线方程；
（2）若h（x）≥0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设a＞0，证明：当时，函数f（x）存在唯一的极大值点x0，且．
【考点】利用导数求解函数的极值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）{1}；
（3）证明见解析．
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）h′（x）＝ex﹣k，考虑k≤0和k＞0两种情况，得到函数的单调区间，只需k﹣klnk﹣1≥0，设r（k）＝k﹣klnk﹣1，求导得到单调区间，计算最值即可；
（3）求导得到单调区间，确定tanx0＝a，结合（2）中的结论得到，设φ（t）＝（1+t2）et﹣1，求导得到函数单调递增，计算最值得到证明．
【解答】（1）解：由题意，f′（x）＝aeax﹣1 cosx﹣eax﹣1sinx，∴，
又，
∴切线方程为，即；
（2）解：h′（x）＝ex﹣k，
当k≤0时，h′（x）＞0，h（x）为R上的增函数，
∴存在x0＜0，h（x0）＜h（0）＝0，不符合题意；
当k＞0时，由h′（x）＝ex﹣k＝0，得x＝lnk，
x∈（﹣∞，lnk）时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，
x∈（lnk，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，
∴h（x）≥h（lnk）＝k﹣klnk﹣1，∴只需k﹣klnk﹣1≥0，
设r（k）＝k﹣klnk﹣1，则r′（k）＝﹣lnk，
当0＜k＜1时，r′（k）＞0，r（k）为增函数；当k＞1时，r′（k）＜0，r（k）为减函数，
则r（k）≤r（1）＝0，∴当且仅当k＝1时不等式成立，
综上所述：k＝1，即k的取值范围是{1}；
（3）证明：，
∵y＝a﹣tanx是上的减函数，由正切函数的性质及a＞0可知，
在内，存在唯一实数x0，使得tanx0＝a，
当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
∴x0是f（x）的极大值点，
易知，当时，x≥sinx，由（2）可知ex≥x+1，
∴，
下面证明，
令，即证，即（1+t2）et﹣1＜0，
设φ（t）＝（1+t2）et﹣1，则φ′（t）＝et（1+t）2≥0，∴φ（t）是（﹣∞，0）上的增函数，
∴t＜0时，φ（t）＜φ（0）＝0，（1+t2）et﹣1＜0成立，命题得证．
【点评】本题考查了导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（15分）（2024秋 仓山区校级期中）已知集合A＝{a1，a2， ，ak}（k≥2），其中ai∈Z（i＝1，2， ，k），新定义1个性质G：若对任意的x∈A，必有﹣x A，则称集合A具有性质G．由A中元素可构成两个点集P和Q：P＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，Q＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，其中P中有m个元素，Q中有n个元素．
（1）已知集合J＝{0，1，2，3}与集合K＝{﹣1，2，3}和集合L＝{y|y＝x2﹣2x+2}，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由；
（2）集合A具有性质G，若k＝100，求：集合Q最多有几个元素？
（3）试判断：集合A具有性质G是m＝n的什么条件（写出结论即可）．
【考点】元素与集合的属于关系的应用．
【专题】整体思想；综合法；集合；逻辑思维；运算求解；新定义类．
【答案】（1）答案见解析；
（2）4950；
（3）充分不必要条件．
【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合P，Q．
（2）利用定义，探讨出k与n的关系式，代入求值．
（3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合P与Q集合个数的大小关系，推理得证．
【解答】解：集合A＝{a1，a2， ，ak}（k≥2），其中ai∈Z（i＝1，2， ，k），
（1）若对任意的x∈A，必有﹣x A，则称集合A具有性质G，
由于0∈J，不符合定义故J不具有性质G；
集合K具有性质G，对应集合P＝{（﹣1，3），（3，﹣1）}，Q＝{（2，﹣1），（2，3）}；
集合L不是整数集，所以不具有性质G．
（2）由题意可知集合A的元素构成有序数对（ai，aj）共有k2个，
因为0 A，所以（ai，ai） Q
又因为a∈A时，﹣a A，所以（ai，aj）∈Q时，（aj，ai） Q，
所以集合Q的元素个数不超过个，
取A＝{1，2， ，100}，则Q中元素的个数为4950个，
故Q中元素的个数最多4950．
（3）充分不必要条件，理由如下：
当集合A具有性质G时，
①对于（a，b）∈P，根据定义可知：a∈A，b∈A，a+b∈A，
又因为集合A具有性质G，则（a+b，a）∈Q，
如果（a，b），（c，d）是P中的不同元素，那么a＝c，b＝d中至少有一个不成立，
于是b＝d，a+b＝c+d中至少有一个不成立，
故（a+b，b）和（c+d，d）也是Q中不同的元素，
可见P的元素个数不多于Q的元素个数，即m≤n，
②对于（a，b）∈Q，根据定义可知：a∈A，b∈A，a﹣b∈A，
又因为集合A具有性质G，则（a﹣b，b）∈P，
如果（a，b），（c，d）是Q中的不同元素，那么a＝c，b＝d中至少有一个不成立，
于是b＝d，a﹣b＝c﹣d中至少有一个不成立，
故（a﹣b，b）和（c﹣d，d）也是P中不同的元素，可见Q的元素个数不多于P的元素个数，即n≤m，
由①②可知m＝n．
若A＝{﹣1，1，2，3}，则P＝{（﹣1，2），（2，﹣1），（﹣1，3），（3，﹣1），（1，1），（1，2），（2，1）}，
Q＝{（1，2），（2，3），（2，1），（3，2），（1，﹣1），（3，1），（2，﹣1）}，
满足m＝n，而集合A不具有性质G．
所以集合A具有性质G是m＝n的充分不必要条件．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了元素与集合关系的应用，考查了推理的能力，属于中档题．
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