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平面向量基本定理
复习：共线向量相关定理
其本质是指，平行于同一直线的所有向量可以由
其中一个非零向量的倍数表示。
v1
问题情境
如图所示，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可以分解为使物体下滑的力F1，和使物体垂直于斜面并压紧斜面的力F2
G
由力的分解得到启发，能够通过作平行四边形，将一个向量a分解成两个向量，使得a是这两个向量的和.
O
C
A
M
N
活动探究
平面任意一个向量都可以由这个平面内两个不共线向量线性表示.
依据是数乘向量和平行四边形法则
平面向量基本定理:
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内任意一个向量a,存在唯一的一对实数λ1,λ2,使
a=λ1e1+λ2e2.
我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基,记为{e1,e2}.
一维直线
二维平面
思考1 一个平面的基底是不是只有一组？零向量可不可以作为基底向量？
只要是不共线的两个向量都可以作为一组基底，所以基底有无数组。
零向量和任意向量共线，所以零向量不能为基底。
思考2 若基底选取不同，则表示同一向量的实数 、 是否相同？
O
C
F
M
N
a
E
E
A
B
N
可能相同，可能不同。
思考3 若向量a,b不共线,则实数λ,μ取何值时，λa+μb=0？
思考4:若存在λ1,λ2∈R,μ1,μ2∈R,且a=λ1e1+λ2e2,a=μ1e1+μ2e2,e1与e2不共线,则λ1,μ1,λ2,μ2有何关系
λ1=μ1,λ2=μ2.
对平面向量基本定理的理解
例1给出下列命题:
①若向量e1,e2不共线,则空间中的任一向量a均可表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R);
②若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2线性表示;
③若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式.
其中不正确命题的序号是　　　　　　.
答案①②③
反思感悟 平面向量基本定理是指平面内任一向量均可用平面内的两个不共线向量线性表示,且表示方法是唯一的.
练习 1 设e1,e2是平面向量的一组基,则下面四组向量中,不能作为一组基的是(　　)
A.2e1+e2和e2-e1 B.3e1-2e2和4e2-6e1
C.e1+2e2和e2+2e1 D.e2和e1+e2
解析B中,3e1-2e2=- (4e2-6e1),则3e1-2e2与4e2-6e1共线,不能作为一组基.
答案B
练习2.若a与b是一组基,p=a+mb,q=ma+2b,且p与q不能组成一组基,则实数m=　　　　.
解析因为p与q不能组成一组基,所以p∥q,
所以存在实数λ,使p=λq,
所以有a+mb=λ(ma+2b),
即a+mb=λma+2λb,
答案A
用基表示向量
延伸探究将本例中“M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“M是AB上靠近A的一个三等分点”,“点N是OA上靠近A的一个四分点”改为“N为OA的中点”,求BP∶PN的值.

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