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平面向量的坐标
知识回顾
如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 ,
使
对于确定的一组基底,平面内的任一向量会和一对实数对应
平面向量基本定理
标准正交分解
(1)正交基:若基中的两个向量互相垂直,则称这组基为正交基.
(2)正交分解:在正交基下向量的线性表示称为正交分解.
(3)标准正交基:若基中的两个向量是相互垂直的单位向量,则称这组基为标准正交基.
O
x
y
(x, y)
P
概念的理解
思考
问题3 相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗
由向量坐标的定义知,相等向量的坐标一定相同,但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同.
平面向量的坐标运算
1.已知a ， b ，求a+b，a-b， ．
解：a+b=( i + j ) + ( i + j )
=（ + )i+（ + )j
即
a + b
同理可得
a - b
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差
λa
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相
应坐标．
2．已知 ．求
x
y
O
解：
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐
标减去始点的坐标．
【做一做3】已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，
a-b，3a+4b的坐标．
解：
a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；
a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；
3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）
=（6，3）+（-12，16）
=（-6，19）
【做一做4】已知 =(1,3),且点A(-2,5),则点B的坐标为(　)
A.(1,8) B.(-1,8) C.(3,2) D.(-3,2)
例1． 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．
解：设顶点D的坐标为（x，y）
向量平行的坐标表示
有且只有一个实数λ，使得
b
→
a=λ
→
即：（x1 , y1) =λ(x2 , y2)
=(λx2 , λy2)
所以
x1=λx2
y1=λy2
消去λ得： x1y2- x2 y1=0
x1y2- x2 y1=0
a∥
→
b
→
a∥
→
b
→
a=(x1 ,y1)，
→
b=(x2 ,y2)
→
设
口诀：交叉相乘差为零！
练习
已知
2.若向量 与 共线且
方向相同, 求 x.
3.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行 平行时,它们是同向还是反向
易错题
题组集训

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