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(共18张PPT)
2.6.1 余弦定理
已知三角形的三边，求三角形的三个内角
已知三角形的两边及一个角，求其他边和角
问题提出
1
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
余弦定理
1
余弦定理的证明
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为
【1】向量法
从而
如图，因为AC=AB+AC，
所以AC2=(AB+BC)2，即
AC2=AB2+BC2+2AB · BC=AB2+BC2+2|AB||BC|(cos180°-B)
同理，根据AB=AC+CB，BC=BA+AC，可以得到
余弦定理
1
余弦定理的证明
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为
【2】解析法(建系法)
如图，以A为坐标原点，边AB所在直线为轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(,0),C(
)
所以
即
同理可证，
余弦定理
1
余弦定理的描述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的两倍.符号语言：在ΔABC中，三个角A、B、C所对的边分别是，则有
适用范围：任意的三角形
结构特征：“平方”“乘积”“夹角”“余弦”
简单应用：已知两边一角或已知三边，求三角形其他边角
余弦定理
1
勾股定理与余弦定理的联系:
勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方与其中一个角之间的关系，因此勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.
用余弦定理判断三角形的类型：




余弦定理
1
余弦定理的推论
已知两边及一角解三角形
解析:(1)在△ABC中,由余弦定理得,
答案:(1)7　(2)5
【例2】 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,b=3,c=4,则△ABC最小角的余弦值是　　　　　.
解析:因为a=2,b=3,c=4,所以A是最小角,
已知三边解三角形
若将例2改为:已知a∶b∶c=2∶3∶4,则△ABC最大角的余弦值是(　　)
解析:因为a∶b∶c=2∶3∶4,
所以c边所对角最大.设a=2k,b=3k,c=4k(k>0),
答案:B
忽视三角形的构成条件——两边之和大于第三边.
忽略构成三角形的条件
坑①
已知钝角三角形ABC的三边，求实数的范围.
【错解】∵，且ΔABC为钝角三角形，∴C为钝角
由余弦定理的推论得
∴ ，解得
又 ∵ 为三角形的边长，所以
【正解】∵，且ΔABC为钝角三角形，∴C为钝角
由余弦定理的推论得
∴ ，解得
由三角形两边之和大于第三边得解得，∴
利用余弦定理判断三角形的形状
例3(1)在△ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cos Asin B=sin C,试判断三角形的形状.
(2)在△ABC中,若acos B+acos C=b+c,试判断该三角形的形状.
1.在△ABC中,若aA.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不存在
解析因为c2因为a所以△ABC为锐角三角形.
答案B
变式训练2在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=bccos A+cacos B+abcos C,则△ABC是　　　三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
答案直角
三角形的面积公式
1.在△ABC中,若ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高,则
变式1 在上例中，求三角形的面积取值范围.
变式2 在上例中，求三角形的周长取值范围.

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