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同角三角函数的基本关系
第2课时
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问题1　我们学习了哪些同角三角函数的基本关系式？它有哪些变式？
（2）变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；
（1）同角关系式：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝ ．
sinα＝cosαtanα；cosα＝ ．
新知探究
问题2　 sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子之间有什么关系呢？
(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα．
新知探究
追问：若已知sinα－cosα＝ ，π＜α＜ ，如何求tanα呢？
sinα－cosα＝ ＜0 ①
将①式两边平方得sinαcosα＝ ，
所以sinα＜0，cosα＜0，
又∵π＜α＜ ，
故sinα＋cosα＜0，
∴sin α＋cos α＝　　　　　　　　　　　 ②
∴tanα＝ 　　　　．
由①＋②式得，
新知探究
因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0．
问题3　如何化简　　　　　　　　，其中α是第二象限角呢？
故
新知探究
追问：通过问题3，你能总结化简过程中常用的方法吗？
（1）化切为弦，即把非正弦、余弦函数都化为正弦、余弦函数．从而减少函数名称，
达到化简的目的．
（2）对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，
以降低函数次数，达到化简的目的．
新知探究
问题4　如何证明 ？
分析等式的左右两端，发现利用平方关系可以证明．
因为sin2α＋cos2α＝1，
由已知可知cosα≠0，且1－sinα≠0，
把①式的两端同除以cosα(1－sinα)，
所以cos2α＝1－sin2α＝(1－sinα)(1＋sinα) ①
得 ．
新知探究
追问：证明等式有哪些常用方法？
（1）从一边开始，证得它等于另一边．
（2）证明左右两边都等于同一个式子．
（3）变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式．
例1　已知tan α＝ ，求下列各式的值．
初步应用
（1）
（2）4sin2α－3cos2α．
（2）由4sin2α－3cos2α＝
（1）由题意知tan α＝ ，
则
解析：
初步应用
已知tan α＝m，可以求 或
的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．
方法总结
例2　（1）化简：
初步应用
（2）化简：
，（0＜α＜ ）．
（1）原式
解析：
例2　（1）化简：
初步应用
（2）化简：
，（0＜α＜ ）．
（2）原式
所以　　　　　 ＞0， 　　　　　＞0，
初步应用
利用同角三角函数关系化简的常用方法：
①化切为弦，减少函数名称，便于约分化简．
②对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，
为防止出错，去掉根号后首先用绝对值表示，然后考虑正负．
③对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简．
初步应用
例3　求证：
简单的三角恒等式的证明思路：
（1）从一边开始，证明它等于另一边．
（2）证明左、右两边等于同一个式子．
（3）逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．
等式左边=
等式右边=
故等式得证．
归纳小结
（1）对三角函数式化简的原则是什么？
（2）利用(sin α±cos α)2＝1±2sinαcosα，求sinα＋cosα或sinα－cosα的值时，
　　 要注意什么？
问题5　回归本节的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳．
（1）①使三角函数式的次数尽量低；
③使三角函数的种类尽量少；
⑤使式中尽量不含有根号和绝对值符号；
⑥能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示．
②使式中的项数尽量少；
④使式中的分母尽量不含有三角函数；
（2）要注意判断它们的符号．
作业布置
作业：教科书P142页，A组第3题，B组第1，2，3题．
1
目标检测
B
化简(1＋tan2α) cos2α＝（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：原式＝　　　　　　cos2α＝cos2α＋sin2α＝1．
2
目标检测
B
sinαcosα＝ ，且 　　　　 ，则cosα－sinα的值为（　　）
A．
C．
D．
B．
∴cos α－sin α＝± ．
解析：∵(cos α－sin α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－2× 　 ，
又 ，故sin α＞cos α，
∴cos α－sin α＝ ．
3
目标检测
若tan(π＋α)＝2，则　　　　　　　　　　　　　＝______．
解析：因为tan(π＋α)＝2，所以tanα＝2，
所以，原式
上式分子分母同除以cos α得，
４
目标检测
证明：
证明：左边
＝右边，故原等式成立．

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