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二倍角的三角函数公式
第1课时
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问题1　这三个式子：sin 2α＝2sin α，cos 2α＝2cos α，tan 2α＝2tan α，是否成立？
不成立．
需要研究α的三角函数值与2α的三角函数值有什么关系．
新知探究
问题2　在公式Cα＋β，Sα＋β和Tα＋β中，若α＝β，公式还成立吗？若成立，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？
成立，
sin2α＝sin（α＋α）＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα；
cos2α＝cos（α＋α）＝cos2α－sin2α；
tan2α＝tan（α＋α）＝　　　　 ．
新知探究
问题3　二倍角公式中，角α的取值范围分别是什么？
正弦、余弦二倍角公式中α∈R，
正切二倍角公式中α≠kπ＋ 且α≠ ．
新知探究
问题4　能应用tanα表示sin2α，cos2α吗？
sin2α＝2sinαcosα＝
cos2α＝cos2α－sin2α＝
新知探究
问题5　已知角α是第二象限角，cosα＝ ，如何求sin2α，cos2α和tan2α的值？
由角α是第二象限角且
，得
新知探究
问题6　余弦的二倍角公式有哪些变形？正弦公式呢？
因为sin2α＋cos2α＝1，所以公式C2α可以变形为：
cos2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1，
或cos2α＝ ，sin2α＝ ，
2sinαcos α＝sin2α，sinαcosα＝ sin2α．
例1　在△ABC中，已知AB＝AC＝2BC，求角A的正弦值．
初步应用
A
B
D
C
θ
解析：因为AB＝AC＝2BC，BC＝2BD，
所以AB＝4BD，AD＝，
所以
故sin∠BAC＝2sin∠BAD·cos∠BAD＝
方法总结：画出图形根据三角形的边角关系求解．
例2　要把半径为R的半圆形木料截成矩形，应怎样截取，才能使矩形面积最大？
初步应用
解析：因为AB＝OAsinα＝Rsinα，OB＝OAcosα＝Rcosα，
所以S矩形＝Rsinα×2Rcosα＝2R2sinαcosα＝R2sin2α，
故当 时，矩形面积最大，最大值为R2．
方法总结：求最值的问题常转化为三角函数的有界性求解．
α
R
O
B
A
例3　化简：
初步应用
（1）
（2）
解析：（1）原式＝
例3　化简：
初步应用
（1）
（2）
解析：（2）原式＝
初步应用
（1）公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．
主要形式：2sinαcosα＝sin2α，
cos2α－sin2α＝cos2α，
（2）公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的的活用公式．
sinαcosα＝ sin2α，
cosα＝ ，
＝tan2α．
方法总结
归纳小结
问题7　回归本节的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳．
（1）含有三角函数的平方的式子如何进行处理？
（2）如何对“二倍角”进行广义的理解？
（3）二倍角的余弦公式的应用形式有哪些？
（1）一般要用降幂公式：
（2）对于二倍角应该有广义上的理解，
6α是3α的二倍；
如：8α是4α的二倍；
cos2α＝ ，sin2α＝ ．
4α是2α的二倍；
3α是 的二倍；
是 的二倍；
是 的二倍；
（n∈N ）．
归纳小结
问题7　回归本节的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳．
（1）含有三角函数的平方的式子如何进行处理？
（2）如何对“二倍角”进行广义的理解？
（3）二倍角的余弦公式的应用形式有哪些？
（3）在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．
二倍角的常用形式：①1＋cos2α＝2cos2α；
②cos2α＝　　　　 ；
③1－cos2α＝2sin2α；
④sin2α＝　　　　　．
作业布置
作业：教科书第157页，A组第1，2，3，4，9题，B组第1，2，3，6题．
1
目标检测
B
的值等于（　　）
A．
C．
D．
B．
解析：
2
目标检测
D
已知sin2α＝ ，则 ＝（　　）
A．
C．
D．
B．
解析：
3
目标检测
函数f(x)＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．
解析： f(x)＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋ ，
故f(x)的最小值为1－．
1－
4
目标检测
如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边都为x轴正半轴，终边分别与圆O
交于A，B两点，若α∈　　　 ，β＝ ，且点A的坐标为A(－2，m)．
（1）若tan2α＝ ，求实数m的值；
（2）若tan∠AOB＝ ，求cos2α的值．
解析：（1）由题意可得 tan2α＝
故tanα＝ 或tanα＝2．
∵α∈ ，∴
即　 　　，故m＝1．
目标检测
（2）tan∠AOB＝tan（α－β）＝
4
如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边都为x轴正半轴，终边分别与圆O
交于A，B两点，若α∈　　　 ，β＝ ，且点A的坐标为A(－2，m)．
（2）若tan∠AOB＝ ，求cos2α的值．
目标检测
4
如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边都为x轴正半轴，终边分别与圆O
交于A，B两点，若α∈　　　 ，β＝ ，且点A的坐标为A(－2，m)．
（2）若tan∠AOB＝ ，求cos2α的值．

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