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2024-2025 学年湖北省华中科技大学附属中学高二下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设等比数列 的公比 = 2，前

项和为 ，则 3 =( )2
A. 2 B. 7 C. 152 2 D.
17
2
2.过点(0, 4)作函数 ( ) = 4 图像的切线，则切线方程为( )
A. = 5 4 B. = 4 4 C. = 3 4 D. = 2 4
3.某人射击 8 枪命中 4 枪，这 4 枪恰有 3 枪连中的不同种数为( )
A. 720 B. 480 C. 224 D. 20
4.已知 = 0.6， = 0.8，则 ( ) =( )
A. 0.24 B. 0.32 C. 0.08 D. 0.16
5.若C +1005 +1006 2 2 2 22025 = C2025 ，则C2 + C3 + C4 + + C =( )
A. 28 B. 56 C. 112 D. 120
6.某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒 5 瓶装的饮料中有 2 瓶有奖，消费者从中随机取出 2 瓶，记
为其中有奖的瓶数，则 ( ) =( )
A. 25 B.
3
5 C.
4
5 D. 1
( ) = ln , 0 < < e,7.若 0为函数 e e + e2 e2 2, ≥ e的零点，则 0 ln 0 =( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. e2
8.设两个相关变量 和 分别满足下表：
1 2 3 4 5
1 2 8 8 16
若相关变量 和 可拟合为非线性回归方程 = 2 + ，则当 = 6 时， 的估计值为( )
(参考公式：对于一组数据 1, 1 ， 2, 2 ，…， , ，其回归直线 = + 的斜率和截距的最小二乘

估计公式分别为： = =1 2 2 ， = ；1.15
5 ≈ 2)
=1
A. 33 B. 37 C. 65 D. 73
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知在一次数学测验中，某校 1000 名学生的成绩服从正态分布 (100,100)，其中 90 分为及格线，120
分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有( )(参考数据：① ( < ≤ + ) = 0.6827；
② ( 2 < ≤ + 2 ) = 0.9545；③ ( 3 < ≤ + 3 ) = 0.9973. )
A.平均分为 100 B.及格率超过 86%
C.得分在(70,130]内的人数约为 997 D.得分低于 80 的人数和优秀的人数大致相等
10.研究变量 ， 得到 组成对数据 , ， = 1，2，…， ，先进行一次线性回归分析，接着增加一组成
对数据 1 1 +1, +1 ，其中 +1 = =1 ， +1 = =1 ，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法
正确的是( )
A.相关系数不变 B.变量 与 的相关性变强
C.线性回归方程不变 D.回归系数 不变
11.已知函数 ( ) = 2 2 e ，其导函数为 ′( )，则下列说法正确的是( )
A. (1) = ′(1)
B. ( )在区间( 2,2)上单调递减
C. ( )无最大值，有最小值
D.若函数 = ( ) ∈ R 有两个零点，则 2 2 2 e 2 < ≤ 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设3 ( ∈ N )的个位数为 ，则 1 + 2 + + 25 = ．
13.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽
植物每株成活的概率为 ，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物 10 株，设 为其
中成活的株数，若 的方差 ( ) = 2.1， ( = 3) < ( = 7)，则 =__________．
14.若e + 1 ≥ 2 + ln(2 + 1)恒成立，则实数 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在数列 中， 1 = 4， +1 = 4 3 + 1， ∈ N ．
(1)设 = ，求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
( + 1 ) 4 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为 128，且前三项系数成等差数列．
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(1)求 的值；
(2)若 < 3，展开式有多少有理项？写出所有有理项．
17.(本小题 15 分)
甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有 2 道专业理论题
与 2 道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数(考生能够正确作答的概率)均为 (0 < < 1)，每道岗位实
践题的难度系数均为 (0 < < 1)，考生至少答对 3 道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有 5 道问
1
答题，由考官逐一提问作答，累计答对 3 道题或答错 3 道题，面试结束.已知甲笔试得满分的概率为16，笔
试和面试各题是否答对相互独立．
(1)当 = 23时，求 ；
(2)求甲能够进入面试的概率 ( )的最小值及相应的 值；
(3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是(2)中求得的 值，令甲面试结束时的答题数为 ，
求 的分布列与数学期望．
18.(本小题 17 分)
预防接种是预防掌握传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众的重要措施.为了考查一种
新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物(数．量．较．大．)进行试验，从该试验群中随机抽查了50
只，得到如下的样本数据(单位；只)：
发病没发病合计
接种疫苗 7 18 25
没接种疫苗19 6 25
合计 26 24 50
(1)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？
(2)从该地区此动物群中任取一只，记 表示此动物发病， 表示此动物没发病， 表示此动物接种疫苗，定
( ) ( ∣ )
义事件 的优势 1 = 1 ( )，在事件 发生的条件下 的优势 2 = 1 ( ∣ )，利用抽样的样本数据，求
2
的估1
计值．
(3)若把表中的频．率．视作概．率．，现从该地区没发病的动物中抽取 3 只动物，记抽取的 3 只动物中接种疫苗的
只数为 ，求随机变量 的分布列、数学期望．
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
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2 0.0500.0100.001
≥ 0
0 3.8416.63510.828
19.(本小题 17 分)
已知 ( ) = e sin ，且在 = 0 处取得极小值．
(1)求 的值；
(2)若 ( ) = ( ) + 2，且 ( )在 = 0 处取得极大值，求 的取值范围；
(3) + 证明：对于任意的 1 > 0, 2 > 0, > 0，有 1 + 2 ≥ (1 + ) 1 21+ 恒成立．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.123
13.0.7
14.12/0.5
15.(1)证明：∵ +1 = 4 3 + 1,
∴ +1 = +1 ( + 1) = 4 3 + 1 1 = 4( ) = 4 ,
又∵ 1 = 1 1 = 4 1 = 3,
∴数列 是首项为 3、公比为 4 的等比数列；
(2)由(1)可知 = 3 × 4 1 ，即 = + 3 × 4 1，
∴ = ( +1) + 3(1 4
) = ( +1) 2 1 4 2 + 4 1．
16.(1)因为偶数项的二项式系数之和为 128，所以2 1 = 128，解得 = 8，
1
所以二项展开式为( + )8
4
8 1 0
第一项： 1 = 0 40+1 = 8 4 = ，系数为 1，
7 1 1 8 13 8
第二项： 2 = 11+1 = 8 4 =
4
，系数为 ，
6 1 2 28 5 28
第三项： 3 = 22+1 = 8 4 = 2 2，系数为 ， 2
8 28
由前三项系数成等差数列得：2 × = 1 + 2，解得 = 2 或 = 14．
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(2) < 3 (1) = 2 ( + 1若 ，由 得 ，故二项展开式为 )8，
24
8 1 16 3
可展开式的通项为 8 +1 = 8 4 = 42 ，其中 = 0,1,2…, 82
16 3 3r
由于 4 = 4 4，要 +1成为有理项，则 = 0,4,8，
4
= 0 = 0 4 = 4 = 4 = 8 = 35
8
= 8 = 8 2 = 1当 时， 21 8 ；当 时， 5 24 8 ；当 时， 9 28 256
所以展开式有 3 项为有理项，分别是 4, 358 ,
1 2256 ．
17.(1)由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立，
所以甲笔试满分的概率为 2 2 = 1 116，则 = 4，
= 2 1 3 3又 3，所以 = 4 × 2 = 8．
(2)由题意，甲至少答对 3 道题才能够进入面试，
所以甲能够进入面试的概率 ( ) = C12 (1 ) 2 + C12 (1 ) 2 + 2 2，
由(1)知 = 14，则 =
1
4 ，
则 ( ) = 2 (1 ) 1 1 1 2 2 116 2 + 2 4 1 4 + 16 2，
1 3
整理得 ( ) = 8 + 2 16，
因为 0 < < 1，0 < < 1，
1 3 1 3 1 3 5
所以 ( ) = 8 + 2 16 ≥ 2 8 × 2 16 = 2 16 = 16，
1 = 1当且仅当8 2，即 = 2时，等号成立，
所以甲能够进入面试的概率 ( ) 5 1的最小值为16，相应的 值为2．
(3)由(2) 1 1知，面试时每道题的难度系数是 = 2，则甲答对每道面试题的概率 = 2，
由题意，甲累计答对 3 道题或答错 3 道题，面试结束，
所以甲面试结束时的答题数 的可能取值为 3，4，5，
3 3
当 = 3 时， ( = 3) = 12 + 1
1
2 =
1
4，
2
= 4 ( = 4) = C2 1 × 1 × 1 + C1 1 × 1
2 1 3
当 时， 3 2 2 2 3 2 2 × 2 = 8，
当 = 5 时， ( = 5) = 1 ( = 3) ( = 4) = 38，
所以 的分布列为：
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3 4 5
1 3 3
4 8 8
1 3 3 33
数学期望为： ( ) = 3 × 4+ 4 × 8 + 5 × 8 = 8．
18.(1)根据列联表可得
2 = 50×(19×18 7×6)
2
26×24×25×25 ≈ 11.538 > 10.828，
所以，在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关．

(2)由于 1 ( ∣ ) = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = ( ) = | ．
( ∣ ) ( ∣ ) ( ) ( )
所以 2 = 1 ( ∣ ) = ， 1 = ∣ 1 ( ) = ，
( ∣ ) ( ) ( )
2 ∣ ( ∣ )
=
( ) ( ) ( ∣ )
1 ( )
= = = = ，
∣ ( ) ∣
( ) ( )
7
由列联表中的数据可得 ( ∣ ) = 26， ∣ =
18 2 = 1424，所以 1 39
．
(3)由题可知，抽取的 24 只没发病的动物中接种疫苗和没接种疫苗的动物分别为 18 只和 6 只，所以从没发
18 3
病的动物中随机抽取 1 只，抽取的是接种了疫苗的概率为18+6 = 4，
3
则由题意可知 = 0,1,2,3，且 3, 4 ，
( = 0) = C0 1
3 1 1 2
3 4 = 64， ( = 1) = C
1 3 1
3 4 4 =
9
64，
2 1
( = 2) = C2 3 1 = 27 3
3 27
3 4 4 64， ( = 3) = C
3
3 4 = 64，
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
1 9 27 27
64 64 64 64
3 9
所以随机变量 的数学期望为 ( ) = 3 × 4 = 4．
19.(1) ′( ) = e cos ，则 ′(0) = e0 = 0，解得 = 1，
当 = 1 时， ( ) = e sin , ′( ) = e cos ，
①当 0 ≤ ≤ π时， ′( )单调递增，又由 ′2 (0) = 0
π
，可知当 0 ≤ ≤ 2时，
′( ) ≥ 0，
π
②当 6 < < 0 时，对
′( ) = e cos 求导，得到 ( ) = e + sin ，可知 ( )单调递增，有 ( ) >
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π 1 πe > 0( e > 1
π
6
2 理由：
6
2 2 > e6 2
6 > eπ，只需证26 > 33.5 642 > 37 4096 > 2187)，
π
可知当 6 < < 0
′( ) π时， 单调递增，又由 ′(0) = 0，可知当 6 < < 0 时，
′( ) < 0，
由①②可知 = 1 时，函数 ( )在 = 0 处取得极小值；
(2) ( ) = e sin + 2，则 ′( ) = e cos + 2 , ′(0) = 0，对 ′( )求导得到 ( ) = e + sin + 2 ，
≥ 0 π π①当 时，若 ∈ 0, 2 , ( ) > 0,
′( )单调递增，当 ∈ 0, 2 时， ( ) ≥ 0, = 0 不可能是 ( )的极大
值点，
②当 < 0 π时，当 < < π时， ( ) π单调递增，若 (0) = 2 + 1 ≥ 0，可得当 0 ≤ < 时， ′2 2 2 ( )单调递
增，由①知 = 0 不可能是 ( )的极大值点，
1
若 (0) = 2 + 1 < 0 时 < 2，存在 0 ∈ 0,
π ∈ 0, ( ) < 0 ∈ , π2 ，使当 0 时， ，当 0 2 时， ( ) > 0，
又由 ′(0) = 0，可知当 < 0 时， ′( ) > 0, > 0 时 ′( ) < 0，故 = 0 是函数 ( )的极大值点，由上
知 1的取值范围为 ∞, 2 ；
(3) 1 = 2时显然成立，
( ) = e sin , ′( ) = e cos , > 0 时， ′( ) > 0，
不妨设 1, 1 , 2, 2 ，且 0 < 1 < 2，
直线 : ( ) = 2 1 1 + 1 ，2 1
设 ( ) = ( ) ( ) ，则 ′( ) = ′( ) 2 1 2
，
1
当 > 0 时，对 ′( )求导得到 ( ) = e + sin > e 1 = 0，
则 ′( )在(0, + ∞)上单调递增，又 1 = 2 = 0，
若 ′ 1 > 0，则 ( )在 1, 2 上单调递增， 2 > 1 ，矛盾，
若 ′ 2 < 0，则 ( )在 1, 2 上单调递减， 2 < 1 ，矛盾，
故 ′ 1 < 0 < ′ 2 ，即 ( )在 1, 2 上先单调递减，后单调递增，
则 ∈ 1, 2 时， ( ) < 0，此时 ( ) < ( )，
则 1+ 2 < 1+ 2 = 1 + 21+ 1+ 1+ ，
综上所述： 1 + 2 ≥ (1 + )
1+ 2
1+
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