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2024-2025 学年湖北省“新八校”协作体高一下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = log2 < 1 ， = { |
+2
1 0}，则 ∪ =( )
A. (0,1] B. ( ∞,2) C. (0,1) D. [ 2,2)
2 2 i.已知复数 = 4+3i (其中 i 为虚数单位)，则 的虚部为( )
A. 2 2 2 25 B. 5 i C. 5 D. 5 i
3.已知 斜二测画法下的直观图是面积为 9 3的正三角形 ′ ′ ′(如图所示)，则顶点 ′对应的点
到 轴的距离是( )
A. 6 B. 3 6 C. 6 2 D. 6 6
4.在四边形 中，若 = + ，则“ ⊥ ”是“四边形 是正方形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5 π.已知函数 ( ) = 2sin + 4 ( > 0)的最小正周期为 2，则 ( )在[ 2, 1]上的值域为( )
A. 2, 2 B. [ 2,2] C. 2, 2 D. 2, 2
6.古时“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台.现有一个可盛米 104 kg 的“方
斗”容器如图所示，已知 = 60 cm， 1 1 = 20 cm
3
，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的4
时，“方斗”中米的总质量为( )
A. 26 kg B. 52 kg C. 58.5 kg D. 78 kg
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7.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽
弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”
中，若 = , = , = 2 ，则 =( )
A. 613 +
9 2 3 9 6 3 2
13 B. 13 + 13 C. 13 + 13 D. 13 + 13
8.已知函数 ( ) = log 9 3 + 9 ，若 ( + 2) ≥ (2 1)成立，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞,3] B. 13 , 3
C. 13 , 3 D. ∞,
1
3 ∪ [3, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量 = 1, cos , = 2, sin ，则( )
A. ∈ , , 不垂直 B. ∈ ，使得 , 共线
C. = π当 4时， +
= 3 D.当 = 0 时， 1在 方向上的投影向量为 2
10.已知函数 ( ) = 2sin( + ) > 0, | | < π2 的部分图象如图所示，则( )
A. = π3
B. ( ) 5π在区间 π, 6 上单调递减
C. = ( )的图象可由 = 2cos2 π向右平移6个单位得到
D. cos 2
3
1 = 4
11.定义“真指数”：e = 1, < 0+ e , ≥ 0 (e 为自然对数的底数)，则( )

A. 1+ 2 1 2 B. e 1 2
e 1+
+ + + + ≥ e 2+
1+ 2
C. 1 2+ (
1 2 1 2 2
+ ) D. e+ + e+ ≥ 2e+
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.已知复数 是关于 的实系数二次方程 2 + 2 + = 0 的一个根，且| | = 2，则实数 的所有可能取值的
和为 ．
13.在 中，内角 , , 的对边分别为 , , ，已知 = 2, sin + cos = ， 2 + 2 2 = 2 3 sin ，
则 的面积为 ．
14.已知平面向量 1、 2、 、 ，且 1 = 2 = 1 2 = 2，若 1 + 4 = 0， 2 = 1，则 2 的
最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 , 是平面内两个不共线向量， = + 3 , = 2 , = 3 + ，且 , , 三点共线．
(1)求实数 的值；
(2)已知 (1,2)，若 = ( 1, 1)， = (3,4)，且 , , , 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点 的坐
标．
16.(本小题 15 分)
已知关于 的二次方程 2 2 + 4 + tan + π4 ≥ 0 对 ∈ 恒成立．
(1)求 tan 的取值范围；
(2)当 tan 取得最小值时，求cos2 + 3sin cos + 1 的值．
17.(本小题 15 分)
如图，等腰 中， = 2, = = 4, 为 边的中点， 为 边上靠近点 三等分点， 为线段
3
的一点，且 = 过点 的直线与边 , 分别交于点 , ，已知 = ， = 7
．
(1) 1 2求 + 的值；
(2) 1若 = 6 , < ，求 2 +
+ 的值．
18.(本小题 17 分)
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锐角 中，内角 , , 的对边分别为 , , ，且 2 cos( ) + = 4 sin sin .若在线段 上的点 满
足 = 1 且 = 2 ．
(1)求 ；
(2) 3求证： 2 = 2 2
2 + 2 3 ；
(3)求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知在平面直角坐标系中，点 0, 0 绕坐标原点 逆时针旋转 得到点 ( , )，则满足公式
= 0cos 0sin
= sin + ．0 0cos
(1) π已知点 (2,1)，将点 绕坐标原点 逆时针旋转 得到点 ′4 ，求
′的坐标；
(2)已知曲线 : sin(2 + ) = 2 ．
( ) 5 1请利用公式( )说明曲线 和函数 = 5 sin 5 的图象之间的关系，并证明直线 = 2 ( + 1)与曲线
相切；
1
( ) = 当 ∈ (0,2)时，试严格证明方程组 2，至少有 3 组解．
sin(2 + ) = 2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 4
13. 3+14
14.2
15.(1) = + = + 3 + 2 = ( + 1) + ，
因为 , , 三点共线，所以存在 ∈ 使得 = ，
即( + 1) + = 3 + = 3 + ，
因为 , 是平面内两个不共线向量，
+ 1 = 3
所以 1 = ，解得 = 4．
(2)当 = ( 1, 1)， = (3,4)时，
= + = ( 3) = 7 = (4,3)，
设 ( , )，则 = (1 , 2 )，
因为 , , , 四点按逆时针顺序构成平行四边形，
= 1 = 4 = 3所以 ，则 2 = 3，解得 = 1 ,
所以 ( 3, 1)．
16.(1)因为关于 π的二次方程 2 2 + 4 + tan + 4 ≥ 0 对 ∈ 恒成立，
所以 = 16 8 ( + 4 ) 0，解得 tan +
π
4 ≥ 2，
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+1 1 ≠ 0, 1
即 2 { 解得3 < 1，1 (3 1)( 1) 0,
1
故 tan 的取值范围为 3 , 1 ．
(2)当 tan 1取得最小值时，tan = 3．
cos2 +3sin cos
cos2 + 3sin cos + 1 = 2 2 + 1cos + sin
1+3×1
= 1+3tan 3 141+tan2 + 1 = 2 + 1 =1+ 1 5
．
3
17.(1)因为 , , 三点共线，
所以存在 ∈ 使得 = + (1 ) = + (1 ) ，
又 = 3 = 3 + = 3 + 2 = 3 + 2 2 = 1 2 7 7 7 3 7 3 3 7 + 7 ，
= 1 ,
因为 , 不共线，所以 7
(1 ) = 27 ,
1 2
两式消去 得 + = 7．
(2) 1由 = 6 得2 sin∠ = 6 ×
1
2 sin∠
1
，所以 = 6，
由(1) 1 2 1 1得 + = 7，联立解得 = 3 , = 2．
= 4所以 3 , = 2，
42 2 2
在 中，由余弦定理得 cos = +4 2 72×4×4 = 8，
4 2 4 7 10
所以在 中，由余弦定理得 2 = 23 + 2 2 × 3 × 2 × 8 = 9，
因为 = , 为 边的中点，所以 ⊥ ，
所以 2 = 2 2 = 42 12 = 15．
又 + = + = + , + = + = ，
所以 + + = +
=
2 2
= 10 15 = 1259 9 ．
18.(1)由题设及正弦定理得，2sin cos( ) + sin = 4sin sin sin ，
在 中， ∈ 0, π ，所以 sin ≠ 0，则 2cos( ) + 1 = 4sin sin ，
所以 2cos cos + 2sin sin + 1 = 4sin sin ，
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所以 2cos cos 2sin sin = 1，则 cos( + ) = 12，
因为 + + = π 1，所以 cos( + ) = cos π = cos ，所以 cos = 2，
π
因为 ∈ 0, π ，所以 = 3．
→
(2)因为 = 2 ， = ，
→ →
所以 = 23 ， =
1
3 ，
设∠ = ，则∠ = π ，又 = 1，
1
2 1
在 中，由余弦定理得 2 = 23 + 1 2 3 1 cos π ，
2
在 2中，由余弦定理得 2 = + 12 2 23 3 1 cos ，
6
两式消去 得， 2 + 2 2 = 2 + 3，所以 2 = 39 2 2
2 + 2 3 ．
2 2
(3)由(2) 及正弦定理知 3 sin2 sin
2 + 6 sin2 sin
2 = 2 2 + 9，
9
所以 2 = 4sin2 +8sin2 2．
又 4sin2 + 8sin2 2 = 4 1 cos2 2 + 8
1 cos2
2 2 = 4 2cos2 4cos2
= 4 2cos(2 + 2 ) 4cos2 = 4 + cos2 + 3sin2 4cos2
π
= 4 + 2 3sin 2 3 .
0 < < π ,
因为锐角 π，所以 2π 所以 < <
π
，
2 < +
π < π, 6 23
0 < 2 π所以 3 <
2π π
3，所以 0 < sin 2 3 ≤ 1，
所以 4 < 4sin2 + 8sin2 2 ≤ 4+ 2 3，即 2 ∈ 9 94+2 3 , 4 ,
3 3 3所以 的取值范围为 2 ,
3
2 ．
= 2cos π π 2
19.(1)设 ′( , )，则 4
sin 4 = 2 ,所以 ′ 2 , 3 22 2 ．
= 2sin π4 + cos
π
4 =
3 2
2 ,
(2)sin(2 + ) = 2 sin 5 2 5 55 + 5 = 5
5 2 5 = 5 5 + 2 55 5 5 5 ，
取 满足 cos = 2 55 , sin =
5
5 ，
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设 0, 0 为平面直角坐标系任意一点，将点 绕坐标原点 逆时针旋转 得到点 ( , )，
= 2 5 + 5
则 5
0 5 0,
= 5 + 2 55 0 5 0.
设 0, 0 在曲线 : sin(2 + ) = 2 上，
2 5 5 5 2 5
则 sin 5 5 0 + 5 0 = 5 5 0 + 5 0 ，所以 sin 5 = 5 ，
即 = 55 sin 5 ，所以点 ( , )在曲线 =
5
5 sin 5 上.
( ) 2 5 5将曲线 : sin(2 + ) = 2 的图象绕坐标原点 逆时针旋转 cos = 5 , sin = 5 ，
再关于 轴对称即可得到 = 55 sin 5 的图象．
设 11, 1 在直线 = 2 ( + 1)上，其绕原点逆时针旋转 得到
′( , )，
= 2 5 1 +
5 1,
5
1 = (2 ),
则 5 5 解得 5
= 5 + 2 5 55 1 5 1, 1 = 5 ( + 2 ),
5
所以 5 ( + 2 ) =
1 5
2 5 (2 ) + 1 ，整理得 =
5
5 ，
1
即直线 = 2 ( + 1)
5
绕原点逆时针旋转 得到直线 = 5 ，
而曲线 : sin(2 + ) = 2 5的图象绕坐标原点 逆时针旋转 得到曲线 = 5 sin 5 ，
5
且 5 恰为函数 =
5
5 sin 5 的最大值，
1
所以直线 = 2 ( + 1)与曲线 相切．
( ) =
1
联立 2消 有 sin 3 12 = + 1，设 3
1 = ，则 ∈ 1 , 11 ，
sin(2 + ) = 2 2 2 2
1 5
原问题等价于关于 的方程 sin = 3 + 6解的个数，
设 ( ) = sin + 13
5
6，
∈ 1 , π ( ) = sin + 1 5 (0) = 5 < 0, π = π①当 2 2 时，易知 3 6为增函数，且 6 2 6 +
1
6 > 0，
1 π
则存在唯一 1 ∈ 2 , 2 ，使得 1 = 0；
∈ π , 3π π π 1 3π 11②当 2 2 时，由 2 = 6 + 6 > 0, 2 = 6 +
π 3π 11
2 = 6 < 0，
π 3π
故至少存在 2 ∈ 2 , 2 ，使得 2 = 0；
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∈ 3π , 11 ( ) = sin + 1 5 3π 11 π 3π 11 11③当 2 2 ，易知 3 6为增函数，由 2 = 6 + 2 = 6 < 0， 2 = sin
11
2 +
1 > 0 3π 11，则存在唯一 3 ∈ 2 , 2 ，使得 3 = 0．
= 1
综上可知方程组 2至少有 3 组解．
sin(2 + ) = 2
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